2017_2018学年高中数学第04章圆与方程专题4.1.1圆的标准方程试题 新人教A版 必修2 含答案

4．1.2圆的一般方程［提出问题]已知圆心（2,3),半径为2。

问题1：写出圆的标准方程．提示：(x－2）2＋(y－3)2＝4。

问题2:上述方程能否化为二元二次方程的形式？提示:可以,x2＋y2－4x－6y＋9＝0.问题3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？提示：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．问题4:方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圆吗？提示：不一定．[导入新知]1．圆的一般方程的概念当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．2．圆的一般方程对应的圆心和半径圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为错误!,半径长为错误!错误!。

［化解疑难］1．圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：（1）x2,y2的系数相等且不为0;(2)没有xy项．2．对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明:方程条件图形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F<0不表示任何图形D2＋E2－4F＝0表示一个点错误!D2＋E2－4F>0表示以错误!为圆心,以错误!D2＋E2－4F为半径的圆圆的一般方程的概念辨析[例1] 若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆,求：(1)实数m的取值范围；（2）圆心坐标和半径．[解] (1)据题意知D2＋E2－4F＝(2m）2＋（－2）2－4(m2＋5m）＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0,解得m＜错误!,故m的取值范围为错误!.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为（x＋m)2＋（y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为（－m，1)，半径r＝错误!。

［类题通法］形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：（1）由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆,否则不表示圆；(2）将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解,应用这两种方法时,要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式,若不是,则要化为这种形式再求解．［活学活用]下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2）x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3）2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程不表示任何图形．(2)∵D＝2a,E＝0，F＝a2,∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a，0)．(3)两边同除以2,得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a,F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0,∴方程表示圆,它的圆心为错误!，半径r＝错误!错误!＝错误!|a｜.圆的一般方程的求法[例2］ABC A B（－2,3）,C（4，－5)，求△ABC的外接圆方程、外心坐标和外接圆半径．[解］法一：设△ABC的外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圆上，∴错误!∴错误!∴△ABC的外接圆方程为x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1）2＋(y＋1）2＝25。

4．1圆的方程4．1.1 圆的标准方程圆的标准方程［提出问题］右图是一个公园内的摩天轮．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．问题1：游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心距离都是相等的，都是圆的半径．问题2：若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系,游客在任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：错误!＝错误!。

问题3：以（1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标（x，y)满足什么关系？提示：错误!＝3。

［导入新知]圆的标准方程（1)圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆,定点称为圆心，定长称为圆的半径．(2）确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．（3）圆的标准方程：圆心为C(a，b),半径长为r的圆的标准方程是（x－a）2＋（y－b)2＝r2.当a＝b＝0时,方程为x2＋y2＝r2,表示以原点为圆心、半径为r 的圆．[化解疑难]1．由圆的标准方程，可直接得到圆的圆心坐标和半径大小;反过来说，给出了圆的圆心和半径，即可直接写出圆的标准方程,这一点体现了圆的标准方程的直观性，为其优点．2．几种特殊位置的圆的标准方程:条件圆的标准方程过原点(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圆心在x轴上(x－a）2＋y2＝r2(r≠0)圆心在y轴上x2＋（y－b）2＝r2(r≠0）圆心在x轴上（x－a)2＋y2＝a2（a≠0）且过原点圆心在y轴上x2＋（y－b）2＝b2(b≠0）且过原点与x轴相切(x－a)2＋（y－b）2＝b2(b≠0）与y轴相切（x－a）2＋（y－b）2＝a2（a≠0)点与圆的位置关系[提出问题］爱好运动的小华、小强、小兵三人相邀搞一场掷飞镖比赛,他们把靶子钉在土墙上，规定谁的飞镖离靶心O越近，谁获胜．如图A，B,C分别是他们掷一轮飞镖的落点．看图回答下列问题：问题1：点与圆的位置关系有几种？提示：三种．点在圆外、圆上、圆内．问题2：如何判断他们的胜负?提示：利用点与圆心的距离．［导入新知］点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a）2＋（y－b）2＝r2，圆心C（a，b)，半径为r。

第四章 圆与方程 §4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程【课时目标】 1．用定义推导圆的标准方程，并能表达点与圆的位置关系．2．掌握求圆的标准方程的不同求法．1．设圆的圆心是A (a ，b )，半径长为r ，则圆的标准方程是________________，当圆的圆心在坐标原点时，圆的半径为r ，则圆的标准方程是________________．2．设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，点P 在圆外⇔________；点P 在圆上⇔________；点P 在圆内⇔________．一、选择题1．点(sin θ，cos θ)与圆x 2＋y 2＝12的位置关系是( )A ．在圆上B ．在圆内C ．在圆外D ．不能确定2．已知以点A (2，－3)为圆心，半径长等于5的圆O ，则点M (5，－7)与圆O 的位置关系是( )A ．在圆内B ．在圆上C ．在圆外D ．无法判断3．若直线y ＝ax ＋b 通过第一、二、四象限，则圆(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝1的圆心位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4．圆(x －3)2＋(y ＋4)2＝1关于直线y ＝x 对称的圆的方程是( ) A ．(x ＋3)2＋(y ＋4)2＝1 B ．(x ＋4)2＋(y －3)2＝1 C ．(x －4)2＋(y －3)2＝1 D ．(x －3)2＋(y －4)2＝15．方程y ＝9－x 2表示的曲线是( ) A ．一条射线 B ．一个圆 C ．两条射线 D ．半个圆6．已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上．则此圆的方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝13B ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝13C ．(x －2)2＋(y ＋3)2＝52D ．(x ＋2)2＋(y －3)2＝52二、填空题7．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是________________________________________________________________________．8．圆O 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25，点(2,3)到圆上的最大距离为________．9．如果直线l 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝5平分且不通过第四象限，那么l 的斜率的取值范围是________．三、解答题10．已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2，－2)，且圆心C在直线l：x－y＋1＝0上，求圆心为C的圆的标准方程．11．已知一个圆与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且该圆经过点A(6,1)，求这个圆的方程．能力提升12．已知圆C：(x－3)2＋(y－1)2＝4和直线l：x－y＝5，求C上的点到直线l的距离的最大值与最小值．13．已知点A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，点P在圆x2＋y2＝4上运动，求|P A|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．1．点与圆的位置关系的判定：(1)利用点到圆心距离d与圆半径r比较．(2)利用圆的标准方程直接判断，即(x0－a)2＋(y0－b)2与r2比较．2．求圆的标准方程常用方法：(1)利用待定系数法确定a，b，r，(2)利用几何条件确定圆心坐标与半径．3．与圆有关的最值问题，首先要理清题意，弄清其几何意义，根据几何意义解题；或对代数式进行转化后用代数法求解．第四章 圆与方程 §4．1 圆的方程 4．1．1 圆的标准方程答案知识梳理1．(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 x 2＋y 2＝r 2 2．d >r d ＝r d <r 作业设计1．C [将点的坐标代入圆方程，得sin 2θ＋cos 2θ＝1>12，所以点在圆外．]2．B [点M (5，－7)到圆心A (2，－3)的距离为5，恰好等于半径长，故点在圆上．] 3．D [(－a ，－b )为圆的圆心，由直线经过一、二、四象限，得到a <0，b >0，即－a >0，－b <0，再由各象限内点的坐标的性质得解．]4．B [两个半径相等的圆关于直线对称，只需要求出关于直线对称的圆心即可，(3，－4)关于y ＝x 的对称点为(－4,3)即为圆心，1仍为半径．即所求圆的方程为(x ＋4)2＋(y －3)2＝1．]5．D [由y ＝9－x 2知，y ≥0，两边平方移项，得x 2＋y 2＝9．∴选D ．] 6．A [设直径的两个端点为M (a,0)，N (0，b )， 则a ＋02＝2⇒a ＝4，b ＋02＝－3⇒b ＝－6．所以M (4,0)，N (0，－6)． 因为圆心为(2，－3)，故r ＝(2－4)2＋(－3－0)2＝13．所以所求圆的方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13．] 7．(x －4)2＋(y －1)2＝26解析 圆心即为两相对顶点连线的中点，半径为两相对顶点距离的一半． 8．5＋ 2解析 点(2,3)与圆心连线的延长线与圆的交点到点(2,3)的距离最大，最大距离为点(2,3)到圆心(3,4)的距离2加上半径长5，即为5＋2．9．[0,2]解析 由题意知l 过圆心(1,2)，由数形结合得0≤k ≤2． 10．解 因为A (1,1)和B (2，－2)，所以线段AB 的中点D 的坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12， 直线AB 的斜率k AB ＝－2－12－1＝－3，因此线段AB 的垂直平分线l ′的方程为y ＋12＝13⎝⎛⎭⎫x －32，即x －3y －3＝0． 圆心C 的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y －3＝0，x －y ＋1＝0的解．解此方程组，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝－2.所以圆心C 的坐标是(－3，－2)．圆心为C 的圆的半径长r ＝|AC |＝(1＋3)2＋(1＋2)2＝5．所以，圆心为C 的圆的标准方程是(x ＋3)2＋(y ＋2)2＝25． 11．解 设圆的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (r >0)． 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|a |＝r a －3b ＝0(6－a )2＋(1－b )2＝r 2．解得a ＝3，b ＝1，r ＝3或a ＝111，b ＝37，r ＝111．所以圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x －111)2＋(y －37)2＝1112．12．解 由题意得圆心坐标为(3，1)，半径为2，则圆心到直线l 的距离为d ＝|3－1－5|2＝32－62，则圆C 上的点到直线l 距离的最大值为32－62＋2，最小值为32－62－2．13．解 设P 点坐标(x ，y )，则x 2＋y 2＝4．|P A |2＋|PB |2＋|PC |2＝(x ＋2)2＋(y ＋2)2＋(x ＋2)2＋(y －6)2＋(x －4)2＋(y ＋2)2＝3(x 2＋y 2)－4y ＋68＝80－4y ．∵－2≤y ≤2，∴72≤|P A |2＋|PB |2＋|PC |2≤88．即|P A |2＋|PB |2＋|PC |2的最大值为88，最小值为72．高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

4.1.2 圆的一般方程(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0表示的图形是( )A ．一个点B ．一个圆C ．一条直线D ．不存在 【解析】 方程2x 2＋2y 2－4x ＋8y ＋10＝0，可化为x 2＋y 2－2x ＋4y ＋5＝0，即(x －1)2＋(y ＋2)2＝0，故方程表示点(1，－2)．【答案】 A2．方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示的圆过原点且圆心在直线y ＝x 上的条件是( )A ．D ＝E ＝0，F ≠0B ．D ＝F ＝0，E ≠0C ．D ＝E ≠0，F ≠0 D ．D ＝E ≠0，F ＝0 【解析】 ∵圆过原点，∴F ＝0，又圆心在y ＝x 上，∴D ＝E ≠0.【答案】 D3．由方程x 2＋y 2＋x ＋(m －1)y ＋12m 2＝0所确定的圆中，最大面积是( ) A.32π B.34π C ．3πD ．不存在 【解析】 所给圆的半径为r ＝1＋ m －1 2－2m 22＝12－ m ＋1 2＋3. 所以当m ＝－1时，半径r 取最大值32，此时最大面积是34π. 【答案】 B4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2B.12或32 C ．2或0D ．－2或0 【解析】 把圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0化为标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，故此圆圆心为(1,2)，圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则22＝|1－2＋a |2，解得a ＝2，或a ＝0.故选C.【答案】 C5．若Rt △ABC 的斜边的两端点A ，B 的坐标分别为(－3,0)和(7,0)，则直角顶点C 的轨迹方程为( )A ．x 2＋y 2＝25(y ≠0)B ．x 2＋y 2＝25C ．(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)D ．(x －2)2＋y 2＝25【解析】 线段AB 的中点为(2,0)，因为△ABC 为直角三角形，C 为直角顶点，所以C到点(2,0)的距离为12|AB |＝5，所以点C (x ，y )满足 x －2 2＋y 2＝5(y ≠0)， 即(x －2)2＋y 2＝25(y ≠0)．【答案】 C二、填空题6．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝________.【解析】 由题意可得圆C 的圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－a 2在直线x －y ＋2＝0上，将⎝⎛⎭⎪⎫－1，－a 2代入直线方程得－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＋2＝0，解得a ＝－2. 【答案】 －27．当动点P 在圆x 2＋y 2＝2上运动时，它与定点A (3,1)连线中点Q 的轨迹方程为________．【解析】 设Q (x ，y )，P (a ，b )，由中点坐标公式得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝a ＋32，y ＝b ＋12，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2x －3，b ＝2y －1.点P (2x －3,2y －1)满足圆x 2＋y 2＝2的方程，所以(2x －3)2＋(2y －1)2＝2，化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12，即为点Q 的轨迹方程． 【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝12三、解答题8．已知圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋3＝0，圆心在直线x ＋y －1＝0上，且圆心在第二象限，半径为2，求圆的一般方程. 【解】 圆心C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－D 2，－E 2， 因为圆心在直线x ＋y －1＝0上，所以－D 2－E 2－1＝0，即D ＋E ＝－2， ① 又r ＝D 2＋E 2－122＝2，所以D 2＋E 2＝20， ② 由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4或⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝－4，E ＝2.又圆心在第二象限，所以－D 2<0，即D >0， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ D ＝2，E ＝－4，所以圆的一般方程为：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0.9．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝9，求经过点A (1,2)的圆的弦的中点P 的轨迹．【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，根据题意可知AP ⊥OP .当AP 垂直于x 轴时，P 的坐标为(1,0)，此时x ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ≠0，且x ≠1时，有k AP ·k OP ＝－1，∵k AP ＝y －2x －1，k OP ＝y x ， ∴y －2x －1·y x＝－1， 即x 2＋y 2－x －2y ＝0(x ≠0，且x ≠1)．经检验，点(1,0)，(0,0)适合上式．综上所述，点P 的轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1为圆心，以52为半径的圆． [能力提升]10．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|PA |＝2|PB |，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设动点P 的轨迹坐标为(x ，y )，则由|PA |＝2|PB |，知x ＋2 2＋y 2＝2 x －1 2＋y 2，化简得(x －2)2＋y 2＝4，得轨迹曲线为以(2,0)为圆心，以2为半径的圆，该圆面积为4π.【答案】 B11．已知圆的方程是x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0.(1)求此圆的圆心与半径；(2)求证：不论m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆．【解】 (1)x 2＋y 2＋2(m －1)x －4my ＋5m 2－2m －8＝0可化为[x ＋(m －1)]2＋(y －2m )2＝9，∴圆心为(1－m,2m )，半径r ＝3.(2)证明：由(1)可知，圆的半径为定值3，且圆心(a ，b )满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1－m ，b ＝2m ，即2a ＋b ＝2.∴不论m 为何值，方程表示的圆的圆心在直线2x ＋y －2＝0上，且为等圆．。

第四章 4.14.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是导学号 09024937( D ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为导学号 09024938( A )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4[解析] 配方得(x ＋a )2＋(y －b 2)2＝a 2＋b 24－c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧ －a ＝2，b 2＝2，a 2＋b24－c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为导学号 09024939( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是导学号 09024940( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2， ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为导学号 09024941( C )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0 [解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是导学号 09024942( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0__.导学号 09024943[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.导学号 09024944[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.导学号 09024945[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点，当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.导学号 09024946 [解析] 解法一：设圆的方程为 x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧ 1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)， 半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过导学号 09024947( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为导学号 09024948( B )A ．52B ．102C ．152D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－[(1－0)2＋(3－1)2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是导学号 09024949( D )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为导学号 09024950( B )A ．5B ．5C ．25D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__.导学号 09024951[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__.导学号 09024952[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝(x －0)2＋(y －0)2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．C 级 能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.导学号 09024953[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)．因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，①并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③.所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.导学号 09024954(1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0，即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0， 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝124(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＝－7m 2＋6m ＋1＝－7(m －37)2＋167.∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

青海省高中数学人教新课标A版必修2 第四章圆与方程 4.1.1圆的标准方程姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共7题；共14分)1. （2分）若圆C的半径为1，其圆心与点（1，0）关于直线y=x对称，则圆C的标准方程为（）A .B .C .D .2. （2分）若点（1，1）和点（0，2）一个在圆（x﹣a）2+（y+a）2=4的内部，另一个在圆的外面，则正实数a的取值范围是（）A . （1，+∞）B . （0，）C . （0，1）D . （1，2）3. （2分） (2015高二上·城中期末) 如果圆（x﹣a）2+（y﹣a）2=8上总存在两个点到原点的距离为，则实数a的取值范围是（）A . （﹣3，﹣1）∪（1，3）B . （﹣3，3）C . [﹣1，1]D . （﹣3，﹣1]∪[1，3）4. （2分）设f(x)是定义在R上的增函数,且对于任意的x都有f(2—x)+f(x)=0恒成立.如果实数m、n满足不等式组’则m2+n2的取值范围是（）A . (3,7)B . (9,25)C . (13,49)D . (9,49)5. （2分） (2015高二上·湛江期末) 已知二元一次不等式组所表示的平面区域为M，若M与圆（x﹣4）2+（y﹣1）2=a（a＞0）至少有两个公共点，则实数a的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分）圆心在x+y=0上，且与x轴交于点A（﹣3，0）和B（1，0）的圆的方程为（）A . （x+1）2+（y﹣1）2=5B . （x﹣1）2+（y+1）2=C . （x﹣1）2+（y+1）2=5D . （x+1）2+（y﹣1）2=7. （2分）圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心坐标和半径分别是（）A . (1，－2)，5B . (1，－2)，C . (－1,2)，5D . (－1,2)，二、单选题 (共1题；共2分)8. （2分）若直线y=kx+4+2k与曲线y=有两个交点，则k的取值范围是（）A . [1，+∞）B . [﹣1，﹣）C . （， 1]D . （﹣∞，﹣1]三、填空题 (共3题；共3分)9. （1分） (2017高一上·西安期末) 与圆C：（x﹣2）2+（y+1）2=4相切于点（4，﹣1）且半径为1的圆的方程是________．10. （1分） (2016高二上·台州期中) 过点（1，2）总可以作两条直线与圆 x2+y2+kx+2y+k2﹣15=0 相切，则实数k的取值范围是________．11. （1分）(2017·南通模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知点P（0，1）在圆C：x2+y2+2mx﹣2y+m2﹣4m+1=0内，若存在过点P的直线交圆C于A、B两点，且△PBC的面积是△PAC的面积的2倍，则实数m的取值范围为________．四、解答题 (共3题；共30分)12. （5分） (2019高二上·九台月考) 判断圆与的位置关系.13. （15分） (2018高二上·安庆期中) 如图，已知矩形四点坐标为A（0，-2），C（4，2），B（4，-2），D（0，2）．（1）求对角线所在直线的方程；（2）求矩形外接圆的方程；（3）若动点为外接圆上一点，点为定点，问线段PN中点的轨迹是什么，并求出该轨迹方程。

4.1.2圆的一般方程隹知识、圆的一般方程 1 •圆的一般方程的定义当D 2 • E 2 -4F 0时，方程x 2 y 2 Dx Ey ^0表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程, 其中圆心为，半径r =______________________ .2 •圆的一般方程的推导把以（a,b ）为圆心，r 为半径的圆的标准方程 （x-a ）2 • （y-b ）2二r 2展开，并整理得 x 2 y 2 -2ax -2by a 2 b 2- r 2 = 0 .取 D - -2a, E - -2b, F 二 a 2 b 2 - r 2，得：2 2x y Dx Ey F =0 ①.当且仅当 _______________ 时，方程表示圆，且圆心为 _____________ ，半径长为 ___________ID E当D +E —4F =0时，方程只有实数解 x = ——,y=——，所以它表示一个点 _____________________2 2当D 2 • E 2 -4F <0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形. 3.点与圆的位置关系点 P （x 0,y 0）与圆 x 2 y 2 Dx Ey F =0（D 2 E 2 -4F - 0）的位置关系是： P 在圆内？ ______________________ P 在圆上？ ______________________ P 在圆外？ ______________________ 、待定系数法求圆的一般方程求圆的方程常用“待定系数法”，用“待定系数法”求圆的方程的大致步骤是: ①根据题意，选择________________________②根据条件列出关于 a 、b 、r 或D 、E 、F 的 __________ ③解出a 、b 、r 或D 、E 、F ，代入标准方程或一般方程. 三、轨迹和轨迹方程 1 .轨迹和轨迹方程的定义平面上一动点 M 按照一定规则运动，形成的曲线叫做动点 M 的轨迹.在坐标系中，这个轨迹可用一个方程表示，这个方程就是轨迹方程 .把①的左边配方，并把常数项移到右边，得D 2E （X D ）（y 石）2 2E 、2 D E -4F2 .求轨迹方程的五个步骤① _____ :建立适当的坐标系，用 (X, y)表示曲线上任意一点 M 的坐标; ② _______ :写出适合条件 P 的点M 的集合P ={ M | p(M )}； ③ _______ :用坐标(x, y)表示条件p(M )，列出方程F(x, y)=0 ； ④ _____ :化方程F(x, y)=0为最简形式；⑤ 査漏、剔假：证明化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.K 知识参考答案:三、2.①建系②设点③列式④化简理重点1•圆的方程的判断判断二元二次方程 x y Dx Ey F =0是否表示圆的方法：(1) 利用圆的一般方程的定义，求出D 2 • E 2 -4F 利用其符号判断•2 2(2) 将方程配方化为(x -a ) +(y -b) =m 的形式,根据m 的符号判断 【例1】判断下列方程是否表示圆，若是,化成标准方程• 2 2(1) x +y +2x+1=0; 2 2 (2) x +y +2ay-1=0;1.(—D , 一 -E )1.D 2 E 2 -4F2 222.〜2 一2 _ c D E D E -4F > 0 ( 一, ■ 2-2) 3. 2丄 2 X 。

第四章4.1 4.1.2A 级 基础巩固一、选择题1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是导学号 09024937( D ) A ．(2,3)B ．(－2,3)C ．(－2，－3)D ．(2，－3)[解析] 圆的一般程化成标准方程为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，可知圆心坐标为(2，－3)． 2．(2016～2017·曲靖高一检测)方程x 2＋y 2＋2ax －by ＋c ＝0表示圆心为C (2,2)，半径为2的圆，则a ，b ，c 的值依次为导学号 09024938( A )A ．－2,4,4B ．－2，－4,4C ．2，－4,4D ．2，－4，－4[解析] 配方得(x ＋a )2＋(y －b2)2＝a 2＋b 24－c ，由条件知⎩⎪⎨⎪⎧－a ＝2，b 2＝2，a 2＋b 24－c ＝2.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝4.3．(2016～2017·长沙高一检测)已知圆C 过点M (1,1)，N (5,1)，且圆心在直线y ＝x －2上，则圆C 的方程为导学号 09024939( A )A ．x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0 B ．x 2＋y 2＋6x －2y ＋6＝0 C ．x 2＋y 2＋6x ＋2y ＋6＝0D ．x 2＋y 2－2x －6y ＋6＝0[解析] 由条件知，圆心C 在线段MN 的中垂线x ＝3上，又在直线y ＝x －2上，∴圆心C (3,1)，半径r ＝|MC |＝2.方程为(x －3)2＋(y －1)2＝4，即x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0. 故选A ．4．设圆的方程是x 2＋y 2＋2ax ＋2y ＋(a －1)2＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是导学号 09024940( B )A ．在圆上B ．在圆外C ．在圆内D ．不确定[解析] 将原点坐标(0,0)代入圆的方程得(a －1)2， ∵0<a <1，∴(a －1)2>0，∴原点在圆外．5．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为导学号 09024941( C )A ．－2或2B ．12或32C ．2或0D ．－2或0[解析] 化圆的标准方程为(x －1)2＋(y －2)2＝5，则由圆心(1,2)到直线x －y ＋a ＝0距离为22，得|1－2＋a |2＝22，∴a ＝2或0. 6．圆x 2＋y 2－2y －1＝0关于直线y ＝x 对称的圆的方程是导学号 09024942( A ) A ．(x －1)2＋y 2＝2 B ．(x ＋1)2＋y 2＝2C ．(x －1)2＋y 2＝4D ．(x ＋1)2＋y 2＝4[解析] 圆x 2＋y 2－2y －1＝0的圆心坐标为(0,1)，半径r ＝2，圆心(0,1)关于直线y ＝x 对称的点的坐标为(1,0)，故所求圆的方程为(x －1)2＋y 2＝2.二、填空题7．圆心是(－3,4)，经过点M (5,1)的圆的一般方程为__x 2＋y 2＋6x －8y －48＝0__.导学号 09024943[解析] 只要求出圆的半径即得圆的标准方程，再展开化为一般式方程．8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则PA 的中点M 的轨迹方程是__x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0__.导学号 09024944[解析] 设M (x ，y )，A (2，－1)，则P (2x －2,2y ＋1)，将P 代入圆方程得：(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即为：x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0.三、解答题9．判断方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0能否表示圆，若能表示圆，求出圆心和半径.导学号 09024945[解析] 解法一：由方程x 2＋y 2－4mx ＋2my ＋20m －20＝0， 可知D ＝－4m ，E ＝2m ，F ＝20m －20，∴D 2＋E 2－4F ＝16m 2＋4m 2－80m ＋80＝20(m －2)2，因此，当m ＝2时，D 2＋E 2－4F ＝0，它表示一个点，当m ≠2时，D 2＋E 2－4F >0，原方程表示圆的方程，此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝12D 2＋E 2－4F ＝5|m －2|.解法二：原方程可化为(x －2m )2＋(y ＋m )2＝5(m －2)2，因此，当m ＝2时，它表示一个点， 当m ≠2时，原方程表示圆的方程．此时，圆的圆心为(2m ，－m )，半径为r ＝5|m －2|.10．求过点A (－1,0)、B (3,0)和C (0,1)的圆的方程.导学号 09024946 [解析] 解法一：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)把A 、B 、C 三点坐标代入方程(*)得 ⎩⎪⎨⎪⎧1－D ＋F ＝09＋3D ＋F ＝01＋E ＋F ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－2E ＝2F ＝－3.故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x ＋2y －3＝0解法二：线段AB 的中垂线方程为x ＝1，线段AC 的中垂线方程为x ＋y ＝0， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1x ＋y ＝0，得圆心坐标为M (1，－1)，半径r ＝|MA |＝5，∴圆的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝5.B 级 素养提升一、选择题1．若圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心位于第三象限，那么直线x ＋ay ＋b ＝0一定不经过导学号 09024947( D )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 圆x 2＋y 2－2ax ＋3by ＝0的圆心为(a ，－32b )，则a <0，b >0.直线y ＝－1a x －b a ，其斜率k ＝－1a >0，在y 轴上的截距为－ba>0，所以直线不经过第四象限，故选D ．2．在圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0内，过点E (0,1)的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面只为导学号 09024948( B )A ．5 2B ．10 2C ．15 2D ．20 2[解析] 圆x 2＋y 2－2x －6y ＝0化成标准方程为(x －1)2＋(y －3)2＝10，则圆心坐标为M (1,3)，半径长为10.由圆的几何性质可知：过点E 的最长弦AC 为点E 所在的直径，则|AC |＝210.BD 是过点E 的最短弦，则点E 为线段BD 的中点，且AC ⊥BD ，E 为AC 与BD 的交点，则由垂径定理可是|BD |＝2|BM |2－|ME |2＝210－1－2＋－2]＝2 5.从而四边形ABCD 的面积为12|AC ||BD |＝12×210×25＝10 2.3．若点(2a ，a －1)在圆x 2＋y 2－2y －5a 2＝0的内部，则a 的取值范围是导学号 09024949( D )A ．(－∞，45]B ．(－43，43)C ．(－34，＋∞)D ．(34，＋∞)[解析] 化圆的标准方程为x 2＋(y －1)2＝5a 2＋1，点(2a ，a －1)的圆的内部，则(2a )2＋(a －1－1)2＜5a 2＋1，解得a ＞34.4．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2＋y 2＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2＋(b －2)2的最小值为导学号 09024950( B )A ． 5B ．5C ．2 5D ．10[解析] 由题意，得直线l 过圆心M (－2，－1)， 则－2a －b ＋1＝0，则b ＝－2a ＋1，所以(a －2)2＋(b －2)2＝(a －2)2＋(－2a ＋1－2)2＝5a 2＋5≥5， 所以(a －2)2＋(b －2)2的最小值为5. 二、填空题5．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x ＋ay －3＝0(a 为实数)上任意一点关于直线l ：x －y ＋2＝0的对称点都在圆C 上，则a ＝__－2__.导学号 09024951[解析] 由题意可知直线l ：x －y ＋2＝0过圆心， ∴－1＋a2＋2＝0，∴a ＝－2.6．若实数x 、y 满足x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，则x 2＋y 2的最大值是__5＋3__.导学号 09024952[解析] 关键是搞清式子x 2＋y 2的意义．实数x ，y 满足方程x 2＋y 2＋4x －2y －4＝0，所以(x ，y )为方程所表示的曲线上的动点.x 2＋y 2＝x －2＋y －2，表示动点(x ，y )到原点(0,0)的距离．对方程进行配方，得(x ＋2)2＋(y －1)2＝9，它表示以C (－2,1)为圆心，3为半径的圆，而原点的圆内．连接CO 交圆于点M ，N ，由圆的几何性质可知，MO 的长即为所求的最大值．C 级 能力拔高1．设圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (0,1)的直线l 交圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 为AB 的中点，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程.导学号 09024953[解析] 设点P 的坐标为(x ，y )、A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)． 因为A 、B 在圆上，所以x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4， 两式相减得x 21－x 22＋y 21－y 22＝0，所以(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＋(y 1－y 2)(y 1＋y 2)＝0. 当x 1≠x 2时，有x 1＋x 2＋(y 1＋y 2)·y 1－y 2x 1－x 2＝0，① 并且⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1＋x 22，y ＝y 1＋y 22，y －1x ＝y 1－y 2x 1－x 2，②将②代入①并整理得x 2＋(y －12)2＝14.③当x 1＝x 2时，点A 、B 的坐标为(0,2)、(0，－2)，这时点P 的坐标为(0,0)也满足③. 所以点P 的轨迹方程为x 2＋(y －12)2＝14.2．已知方程x 2＋y 2－2(m ＋3)x ＋2(1－4m 2)y ＋16m 4＋9＝0表示一个圆.导学号 09024954 (1)求实数m 的取值范围； (2)求该圆的半径r 的取值范围； (3)求圆心C 的轨迹方程． [解析] (1)要使方程表示圆，则 4(m ＋3)2＋4(1－4m 2)2－4(16m 4＋9)＞0， 即4m 2＋24m ＋36＋4－32m 2＋64m 4－64m 4－36＞0， 整理得7m 2－6m －1＜0，解得－17＜m ＜1.(2)r ＝12m ＋2＋－4m22－m 4＋＝－7m 2＋6m ＋1＝－m －372＋167. ∴0＜r ≤477.(3)设圆心坐标为(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝m ＋3y ＝4m 2－1.消去m 可得(x －3)2＝14(y ＋1)．∵－17＜m ＜1，∴207＜x ＜4.故圆心C 的轨迹方程为(x －3)2＝14(y ＋1)(207＜x ＜4)．。

圆的标准方程检测卷(时间：25分，满分55分)1. (5分)点M 在圆(x — 5)2+ (y — 3)2= 9上，则点 M 到直线3x + 4y — 2 = 0的最短距离为()C . 5【答案】圆(x — 1) 2 +(y — 1) 2= 2被x 轴截得的弦长等于( 【答案】 【答案】C 4. (5分)若点(2a , a — 1)在圆x 2+ (y + 1)2= 5的内部，贝V a 的取值范围是(【答案】B5. (5分)点P(a,5)与圆x 2+ y 2= 24的位置关系是【答案】A6. (5分)方程(x + a)2 + (y + b)2= 0表示的圆形是(【答案】D7. ( 5分)若圆C 与圆(x + 2)2+ (y — 1)2= 1关于原点对称，则圆 C 的标准方程是【答案】(x — 2)2+ (y + 1)2= 18. (5分)已知圆C 经过A(5,1), B(1,3)两点，圆心在 x 轴上，则C 的方程为【答案】(x — 2)2+ y 2= 109. ( 5分)圆过点A(1,— 2), B( — 1,4)，求周长最小的圆的方程为【答案】x 2 + (y — 1)2= 1010. ( 10分) 求圆心在直线 4x + y = 0上，且与直线l : x + y — 1 = 0切于点P(3, — 2)的圆的方程, 并找出圆的圆心及半径.【答案】圆的方程为(x — 1)2+ (y + 4)2= 8,它是以(1, — 4)为圆心，以2,2为半径的圆. (A) 3(B) 2 (C)2 (D) 1 2. (5 分) 3. (5 分) 过点 A(1 , - 1), B(- 1,1)，且圆心在直线 x + y — 2= 0上的圆的方程是 (). A . (x — 3)2 + (y + 1)2= 4 B . (x + 3)2+ (y — 1)2= 42 2C . (x — 1) + (y — 1) =2 2 D . (x + 1)2+ (y + 1)2 = 4B . ( — 1,1)C . (2,5)D . (1 ,+ IA .点在圆外B .点在圆内C .点在圆上D .不确定A .以(a , b)为圆心的圆B .点(a , b)C . 以(一a , — b)为圆心的圆。

4.1.1圆的标准方程A组1.圆(x-2)2+(y+3)2=2的圆心和半径分别为()A.(-2,3),1B.(2,-3),3C.(-2,3),D.(2,-3),答案:D2.已知圆的方程是(x-2)2+(y-3)2=4,则点P(3,2) ()A.是圆心B.在圆上C.在圆内D.在圆外解析:∵(3-2)2+(2-3)2=2<4,∴点P在圆内.答案:C3.函数y=的图象是()A.一条射线B.一个圆C.两条射线D.半圆弧解析:y=可化为x2+y2=9(y≥0),所以y=的图象是半圆弧.答案:D4.已知一圆的圆心为点A(2,-3),一条直径的两个端点分别在x轴和y轴上,则此圆的方程是()A.(x-2)2+(y+3)2=13B.(x+2)2+(y-3)2=13C.(x-2)2+(y+3)2=52D.(x+2)2+(y-3)2=52解析:设该直径的两个端点分别为P(a,0),Q(0,b),则A(2,-3)是线段PQ的中点,故P(4,0),Q(0,-6),圆的半径r=|PA|=.所以圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=13.答案:A5.若P(2,-1)为圆C:(x-1)2+y2=25的弦AB的中点,则直线AB的方程是()A.x-y-3=0B.2x+y-3=0C.x+y-1=0D.2x-y-5=0解析:由题意知圆心为C(1,0).由圆的几何性质,得AB⊥CP,k CP=-1,∴k AB=1.∴直线AB的方程为y+1=x-2,即x-y-3=0.答案:A6.与圆(x-2)2+(y+3)2=16同心,且过点P(-1,1)的圆的方程是.解析:由已知得,所求圆的圆心为(2,-3).又该圆过点P(-1,1),则所求圆的半径r==5.所以,所求圆的方程为(x-2)2+(y+3)2=25.答案:(x-2)2+(y+3)2=257.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为.解析:设圆心(0,b),圆的方程为(x-0)2+(y-b)2=1,把(1,2)代入得12+(2-b)2=1,∴b=2.∴圆的方程为x2+(y-2)2=1.答案:x2+(y-2)2=18.已知点A(8,-6)与圆C:x2+y2=25,P是圆C上任意一点,则|AP|的最小值是.解析:由于82+(-6)2=100>25,故点A在圆外,从而|AP|的最小值为-5=10-5=5.答案:59.已知圆心在x轴上的圆C与x轴交于两点A(1,0),B(5,0),求圆的标准方程.解:线段AB的垂直平分线方程为x=3,又圆心在x轴上,所以圆心坐标为(3,0),半径r=2,所以圆的标准方程为(x-3)2+y2=4.10.已知圆C的标准方程为(x-5)2+(y-6)2=a2(a>0).(1)若点M(6,9)在圆上,求半径a;(2)若点P(3,3)与Q(5,3)有一点在圆内,另一点在圆外,求a的取值范围.解:(1)∵点M(6,9)在圆上,∴(6-5)2+(9-6)2=a2,即a2=10.又a>0,∴a=.(2)∵|PC|=,|QC|==3,|PC|>|QC|,故点P在圆外,点Q在圆内,∴3<a<.11.求圆(x+2)2+(y-6)2=1关于直线3x-4y+5=0的对称图形的方程.解:设圆心坐标为(a,b),则有解得故圆的方程为(x-4)2+(y+2)2=1.B组1.已知圆(x-a)2+(y-1)2=2a(0<a<1),则原点O在()A.圆内B.圆外C.圆上D.圆上或圆外解析:将O(0,0)代入圆的方程可得a2+1>2a(0<a<1),即原点在圆外.答案:B2.若圆心在x轴上,半径为的圆C位于y轴左侧,且与直线x+2y=0相切,则圆C的方程是()A.(x-)2+y2=5B.(x+)2+y2=5C.(x-5)2+y2=5D.(x+5)2+y2=5解析:如图,设圆心C(a,0),则圆心C到直线x+2y=0的距离为,解得a=-5或a=5(舍去),∴圆心是(-5,0).即圆的方程是(x+5)2+y2=5.答案:D3.已知圆O:x2+y2=1,点A(-2,0)及点B(2,a),从A点观察B点,要使视线不被圆C挡住,则实数a的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(-1,+∞)B.(-∞,-2)∪(2,+∞)C.D.(-∞,-4)∪(4,+∞)解析:(法一)(直接法)写出直线方程,将直线与圆相切转化为点到直线的距离来解决.过A,B两点的直线方程为y=x+,即ax-4y+2a=0,令d==1,化简后,得3a2=16,解得a=±.再进一步判断便可得到正确答案为C.(法二)(数形结合法)如图,在Rt△AOC中,由|OC|=1,|AO|=2,可求出∠CAO=30°.在Rt△BAD中,由|AD|=4,∠BAD=30°,可求得BD=,再由图直观判断,故选C.答案:C4.已知圆C经过A(5,1),B(1,3)两点,圆心在x轴上,则圆C的方程为.解析:设圆心坐标为(a,0),易知,解得a=2.所以圆心为(2,0),半径长为,所以圆C的方程为(x-2)2+y2=10.答案:(x-2)2+y2=105.当a为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0恒过定点C,则以C为圆心,为半径的圆的方程是.解析:将直线方程整理为(x+1)a-(x+y-1)=0,可知直线恒过点(-1,2),从而所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=5.答案:(x+1)2+(y-2)2=56.一束光线从点A(-1,1)出发,经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上,则最短路程是.解析:由题意,得最短路程即为A'(-1,-1)与圆上点的最近距离,故d min=|A'C|-1=5-1=4.答案:47.已知点A(1,2)和圆C:(x-a)2+(y+a)2=2a2,试分别求满足下列条件的实数a的取值范围:(1)点A在圆的内部;(2)点A在圆上;(3)点A在圆的外部.解:(1)∵点A在圆的内部,∴(1-a)2+(2+a)2<2a2,即2a+5<0,解得a<-.故a的取值范围是.(2)将点A(1,2)坐标代入圆的方程,得(1-a)2+(2+a)2=2a2,解得a=-.(3)∵点A在圆的外部,∴(1-a)2+(2+a)2>2a2,即2a+5>0,解得a>-.故a的取值范围是.8.若圆C经过坐标原点,且圆心在直线y=-2x+3上运动,求当半径最小时圆的方程.解法一:设圆心坐标为(a,-2a+3),则圆的半径r==.当a=时,r min=.故所求圆的方程为.解法二:易知,圆的半径的最小值就是原点O到直线y=-2x+3的距离.如图,此时r=.设圆心为(a,-2a+3),则,解得a=,从而圆心坐标为.故所求圆的方程为.。