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哈工大理论力学第五章 点的运动学

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理论力学第五章 点的运动

理论力学第五章 点的运动

【例5.1】 已知点的运动方程为 x r cost y r sin t 其中：r、ω是常数。求动点的运动轨迹、速度与加速度。
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
【解】 为求动点的运动轨迹，将运动方程平方后相加，消去t得 x2 y2 r 2
这说明动点的运动轨迹是以O为圆心、r为半径的一个圆。当 ωt=0时，x=r, y=0，动点位于x轴上，当ωt=π/2时，x=0, y=r，动点位 于y轴上。 y v 动点的速度在坐标轴上的投影为 M r v x r sin t t v y r cost x O 因此速度的大小为
z M k O r z
a
v x y
i
j y
上式表明，动点的加速度在各坐标轴上的投影分别等于动点相 应的位置坐标对时间t的二阶导数。 目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法 加速度的大小及方向余弦为
2 2 2 d x d y d z 2 2 2 2 2 2 a ax a y az ( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) dt dt dt ay ax az cosa , i cosa , j cosa , k a a a
x x(t ) y y (t )
当动点始终沿一直线运动时，如取该直线为坐标轴Ox，则动点 的运动方程为
x x(t )
目录
第五章 点的运动\描述点运动的直角坐标表示法
5.2.2 用直角坐标表示点的速度
如图所示，若以O点为坐标原点建立 Oxyz直角坐标系，则动点的位置矢量r 可表示为
第五章 点的运动\描述点运动的弧坐标表示法
dr τ ds 式中：—沿轨迹切向指向弧坐标正向的单位矢量。此外，

哈尔滨工业大学 第七版 理论力学 第5章 课后习题答案

哈尔滨工业大学 第七版 理论力学 第5章 课后习题答案

第5章 摩 擦5-1 如图5-1a 所示，置于V 型槽中的棒料上作用1力偶，力偶矩m N 15⋅=M 时，刚好能转动此棒料。

已知棒料重力N 400=P ，直径m 25.0=D ，不计滚动摩阻。

求棒料与V 形槽间的静摩擦因数f s 。

(a)(b)图5-1解 圆柱体为研究对象，受力如图5-1b 所示，F s1，F s2为临界最大摩擦力。

0=∑x F ，045cos 2s 1N =°−+P F F （1） 0=∑y F ，045sin 1s 2N =°−−P F F （2） 0=∑O M ，0222s 1s =−+M DF D F（3）临界状态摩擦定律：1N s 1s F f F =（4） 2N s 2s F f F =（5）以上5式联立，化得 0145cos s2s =+°−MPDf f 代入所给数据得01714.4s 2s =+−f f 方程有2根：442.4s1=f （不合理）， 223.0s2=f （是解）故棒料与V 形槽间的摩擦因数223.0s =f5-2 梯子AB 靠在墙上，其重力为N 200=P，如图5-2a 所示。

梯长为l ，并与水平面交角°=60θ。

已知接触面间的静摩擦因数均为0.25。

今有1重力为650 N 的人沿梯向上爬，问人所能达到的最高点C 到点A 的距离s 应为多少？AN F As F(a)(b)图5-2解 梯子为研究对象，受力如图5-2b 所示，刚刚要滑动时，A ，B 处都达最大静摩擦力。

人重力N 650=W ，平衡方程： 0=∑x F , 0s N =−A B F F （1） 0=∑y F , 0s N =−−+W P F F B A（2）0=∑A M ，060cos 60sin 60cos 60cos 2s N =°−°−°+°l F l F Ws lPB B （3） 临界补充方程：A s A F f F N s = （4）B s B F f F N s =（5）联立以上5式，解得 N 80012sN =++=f WP F A ，N 200s =A F N 200)(12s N =++=W P f f F sB ，N 50s =B F l PF f W l s B 456.02)3[(N s =−+=5-3 2根相同的匀质杆AB 和BC ，在端点B 用光滑铰链连接，A ，C 端放在不光滑的水平面上，如图5-3a 所示。

《理论力学》第五章 点的运动

《理论力学》第五章 点的运动

动点的速度等于它的矢 径对于时间的一阶导数
r－动点 对于点O的
矢径或位置矢
矢径r的矢端线是 点的运动轨迹
单位
§5-2 点的运动的直角坐标表示法
点的运动方程
即 x xt y yt z zt
r xi y j zk
M v
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
4. M点的加速度
I
a x r sin t
2
a y r 2 cos t
( a, x )

2
; ( a, y )
例1：图示机构中A、B两滑块可分别沿互相垂直的两 直槽滑动。已知BA=a，AM＝b，＝t+(, 为常 y 量)，求点M的运动轨迹、速度和加速度。 M
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
F2=(y、z)
y
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
x
F1=(x、y)
z
例
一人在路灯下由灯柱起以匀速 u 沿直线背离灯
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的直线运动
点的曲线运动
点的合成运动
刚体的平行移动 刚体的定轴转动 刚体的平面运动 刚体的定点运动 刚体的一般运动
刚体的基本 运动形式
刚体的运动
第五章
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
点的运动
轨迹或路径：点在空间所占据的位置随时 间连续变化而形成的曲线 直线 轨 迹 曲线 矢量法
d v d( ve ) d v d e a e v dt ds dt dt

哈工大理论力学第5章角动量资料

哈工大理论力学第5章角动量资料

i
rc mvc
轨道角动量
Lc 自旋角动量
L rc mvc Lc
二、质点系角动量定理和角动量守恒
Fi
11
第i 个质点角动量的时间变化率
d Li
dt
ri (Fi
i j
fij )
质点系角动量的时间变化率
d L
dt
i
ri Fi
i
(ri
fij )
i j
M外 M内
mi
ri
O
fij
A
C
式中: J A 是 A球对z 轴的转动惯量；
JB 是 B棒对z 轴的转动惯量；
J c 是 C球对z 轴的转动惯量。
④ 回转半径
任意刚体的回转半径 RG
J m
(J mRG2 )
式中: J 是刚体关于某一轴的转动惯量，m 是刚体的质量。
例:
RG
JZ2 m
1 ml2 3
l
z2
m 1.73 o
l 2
R
解: 设圆盘半径为 R，总质量为 m，
则质量面密度
m
R 2
J z
r 2 d m R r 2 d s 0
z ds
R r2 2 r d r 0
R
r
R r2
0
m
R2
2 r
d r
1 2
mR2
2. 有关转动惯量计算的几个定理
25
① 平行轴定理
式中:
J z Jc mh2
J c 是通过质心轴的转动惯量，
dL dt
MzLeabharlann d Lz dtMi roi Fi roi Fiz roi Fi
0

理论力学 第五章 点的运动学(合)

理论力学 第五章 点的运动学(合)

⋅
τ
+v⋅dτ dt
z 切向加速度 at
第一项反映速度大小随时间的变化率，方向沿切线 方向。
at
=
dvτ
dt
=
d2 sτ
dt2
at
=
dv dt
=
d2 s dt2
25
第五章 点的运动学
z 法向加速度 an ——反映速度方向随时间的变化率
an
=
v
dτ
dt
= v lim Δτ
Δt→0 Δt
方向沿主法线正向。
s
O
正方向：坐标原点O的某一侧为正向。
弧坐标 s ：沿轨迹从O到点M的弧长。
M
(+)
B
弧坐标表示的运动方程 s = f (t) = s(t)
21
二、自然轴系
第五章 点的运动学
切线：单位矢量 τ ，指向与弧坐标正向一致。
主法线：单位矢量 n，正向指向凹侧。
副法线：单位矢量 b ，且满足 b = τ × n 。
⑦ at ≡ 0, an = 常数 （匀速曲线运动）
⑧ at = 常数，an = 常数 （匀变速曲线运动）
38
第五章 点的运动学
（4）判断下列运动是否可能出现？若能出现，则判断是 什么运动?
(加速曲线运动) (不可能) (匀速曲线运动) (不可能)
(不可能)
(减速曲线运动) (不可能)
39
第五章 点的运动学
xB = r sin( ωt + θ )
vB = rω cos( ω t + θ )
a B = − rω 2 sin( ω t + θ ) = −ω2xB
运动图线

理论力学第5章(点的运动)

理论力学第5章(点的运动)
包括几何静力学、分析静力学
(2) 运动学: 研究点与刚体运动的几何性质。
包括位移、轨迹、速度、加速度。 (与力无关、也是变形体运动基础)
A B
F
C
B
刚体运动
C
变形(包含刚体位移和相对位移)
(3) 动力学: 研究物体所受力与运动间的关系。
包括质点系、刚体，变形体的动力效应。
第五章 点的运动学
§5-1 运动学的基本概念
速度
已知： OC AC BC l , MC a , t。 求：运动方程、轨迹、速度和加速度。
x l a cost ax v x 2 a y vy y l a sin t
2
加速度
a a a
F ( x, y) 0
二、点的速度v
又
r = xi + yj + zk
式中 v x 所以得
dr dx dy dz v i j k dt dt dt dt v = vx i + vy j + vz k
、v y
、v z
vx
dx dt
v
表明：“动点的速度在坐标轴上的投影，等于动点对应的位置 坐标对时间 t 的一阶导数”。 则速度的大小和方向余弦为
弧坐标的运动方程sf切向加速度表示速度大小的变化三点的加速度法向加速度表示速度方向的变化匀速运动v常数常数常数匀变速直线运动匀速圆周运动匀速直线运动或静止直线运动匀速运动圆周运动匀速运动直线运动匀速曲线运动匀变速曲线运动点作曲线运动画出下列情况下点的加速度方向
(1) 静力学: 研究物体所受力系的简化、平衡规律及其应用。
△r称为在△t时间内动点M的位移。
间间隔△t内的平均速度。以 v*表示。则： Δr v Δt 平均速度表示动点在△t内平均运动的快慢和运动方向。

理论力学第五章——点的运动

'
'
当Δt 0， Δv/Δt的极限称为点在瞬时t的加速度：
v dv d 2 x a lim 2 x t 0 t dt dt
5.1 点的直线运动
已知加速度或速度方程， 采用积分法 求运动方程 ，积 分常数由运动初始条件决定。 dv a dv adt dt v t dv adt
由于
dτ dτ ds dτ ds v n dt dt ds ds dt
所以
dv v a τ n dt
2
5.4 自然法
4 点的切向加速度和法向加速度
dv v a τ n dt
上式表明加速度矢量a是由两个分矢量组成：分矢量at 的方向永远沿轨迹的切线方向，称为切向加速度，它 表明速度代数值随时间的变化率；分矢量 an的方向永 远沿主法线的方向，称为法向加速度，它表明速度方 向随时间的变化率。
2 t 2
2
at tan | | 0.25 an
2
5.4 自然法
全加速度为aτ和an的矢量和
a at an
全加速度的大小和方向由下列二式决Leabharlann ： 大小：a at an
2
2
方向：
at an cos(a ,t ) , cos(a ,n ) a a
5.4 自然法
如果动点的切向加速度的代数值保持不变，则动 点的运动称为匀变速曲线运动。现在来求它的运动规 律。 at c
dτ τ j 1 lim lim n n ds s 0 s s 0 s
t"
5.4 自然法
3 点的速度
r s ds v lim lim t 0 t t 0 t dt

理论力学-点的运动学


7
三. 点的加速度
a dv dvx i dvy j dvz k dt dt dt dt
d2 x i
dt2
d2 y dt2
j
d2 z k
dt2
axi
ay
j
azk
a ax2 ay2 az2
cos(a, i
)
ax
,
a
[注] 这里的 x、y、z 都是时间单位连续函数。
x f1(t)
11
加速度的大小为
a
a
2 x
a
2 y
2
(l a)2 cos2 t (l a)2 sin2 t
2 l2 a2 2al cos 2t
加速度的方向余弦为
cos(a，i) ax a
cos(a，j) ay a
（l a）cost l2 a2 2al cos 2t
（l a）sint l2 a2 2al cos 2t
dt dt
dt
dt dt2
dt
① 切向加速度 a
——表示速度大小的变化
a
dv τ dt
d2 dt
s
2
τ
② 法向加速度 an ——表示速度方向的变化
an
vdτ dt
v lim Δ τ Δt0 Δ t
v lim (Δ τ Δt0 Δ s
Δ s) Δt
v2 lim Δ τ Δt0 Δ s
(lim Δ s d s v) Δt0 Δ t d t
1
即an
v2 n，
a a2 an2 ,
a
a arctg
2
an |a | an
dv dt
τ
v2
n
16

哈工大理论力学教研室《理论力学Ⅰ》(第7版)课后习题-点的运动学(圣才出品)


图 5-1 答：A，B，D 是可能的；C，E，F，G 是不可能的。
5-3 点 M 沿螺线自外向内运动，如图 5-2 所示。它走过的弧长与时间的一次方成正 比，问点的加速度是越来越大还是越来越小？点 M 越跑越快还是越跑越慢？
图 5-2 答：由于曲率半径不断减小，故法向加速度将越来越大，切向加速度大小不变，所以点 的加速度越来越大。点 M 速度大小不变。
（1）任一瞬时两动点的切向加速度必相同； （2）任一瞬时两动点的速度必相同； （3）两动点的运动方程必相同。 答：由题设条件知，两动点任一瞬时切向加速度必相同，因此，任一瞬间两动点的速度 必相同，运动方程必相同。
5-6 动点在平面内运动，已知其运动轨迹 y＝f（x）及其速度在 x 轴方向的分量 υx。 判断下述说法是否正确：
（1）点沿曲线作匀速运动； （2）点沿曲线运动，在该瞬时其速度为零； （3）点沿直线作变速运动； （4）点沿曲线作变速运动。 答：（1）at＝0，an＝a （2）an＝0,at＝a
（3）an＝0，a＝at （4）a＝an+at
5-8 点曲线运动时，下述说法是否正确： （1）若切向加速度为正，则点作加速运动； （2）若切向加速度与速度符号相同，则点作加速运动； （3）若切向加速度为零，则速度为常矢量。 答：（1）不正确。若速度亦为正，则点作加速运动；若速度为负，则点作减速运动。 （2）正确。 （3）不正确。切向加速度为零时，速度大小不变，速度方向改变，所以速度不是常矢
（2）加速度沿 x 轴方向的分量 ax 可完全确定。其大小为 （3）当 υx≠0 时，f'（x）为有限值，此时 υy＝f'（x）υx 故 υ 可求，υt，υn 也可求，所 以 at，an 及全加速度 a 可求。
5-7 下述各种情况下，动点的全加速度 a、切向加速度 at 和法向加速度 an 三个矢量之 间有何关系？

理论力学哈工大第八版答案

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理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室课后答案前辅文静力学引言第一章静力学公理和物体的受力分析第二章平面力系第三章空间力系第四章摩擦理论力学（I）第8版哈尔滨工业大学理论力学教研室习题答案§4-4 滚动摩阻的概念运动学引言第五章点的运动学*§5-5 点的速度和加速度在球坐标中的投影思考题习题第六章刚体的简单运动§6-1 刚体的平行移动§6-2 刚体绕定轴的转动§6-3 转动刚体内各点的速度和加速度§6-4 轮系的传动比§6-5 以矢量表示角速度和角加速度·以矢积表示点的速度和加速度思考题习题第七章点的合成运动第八章刚体的平面运动动力学引言第九章质点动力学的基本方程第十章动量定理第十一章动量矩定理第十二章动能定理第十三章达朗贝尔原理第十四章虚位移原理参考文献习题答案索引Synopsis哈尔滨工业大学理论力学教研室理论力学（I）第8版课后答案第十四章虚位移原理。

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dvz d 2 z az 2 dt dt
例 5-1 已知：椭圆规的曲柄OC 可绕定轴O 转动，其端点C 与规
尺AB 的中点以铰链相连接，而规尺A，B 两端分别在相互
垂直的滑槽中运动， OC AC BC l , MC a, ωt 求：① M 点的运动方程； ② 轨迹；
ax (l a ) cos t cos(a , i ) a l 2 a 2 2al cos 2t ay (l a ) sin t cos( a , j ) a l 2 a 2 2al cos 2t
例5-2
已知：正弦机构如图所示。曲柄OM长为r，绕O轴匀速转动， 它与水平线间的夹角为 t ,其中 为t = 0时的夹角， 为一常数。动杆上A，B两点间距离为b。
速度 矢径矢端曲线切线
加速度 速度矢端曲线切线
§5-2 直角坐标法
运动方程
x x(t ) y y (t ) z z (t )
直角坐标与矢径坐标之间的关系
r (t ) x t i y (t ) j z (t )k
速度
dr dx dy dz v i j k vx i v y j vz k dt dt dt dt
③ 速度；
④ 加速度。
解： 点M作曲线运动，取坐标系Oxy如图所示。
运动方程
x (OC CM ) cos (l a) cos t
y AM sin (l a) sin t
消去t, 得轨迹
x2 y2 1 2 2 (l Biblioteka a） (l a )速度
l a sin t vx x (l a) cost vy y v vx 2 v y 2 (l a) 2 2 sin 2 t (l a) 2 2 cos 2 t
vx (l a ) sin t cos(v , i ) v l 2 a 2 2al cos 2 t vy (l a ) cos t cos(v , j ) v l 2 a 2 2al cos 2 t
l 2 a 2 2al cos 2 t
有 v at t
v 15m/s at 0.125m/s 2 t 120s
①
t 0, an 0
a at 0.125m/s 2
② t 2min 120s
v 2 (15m/s) 2 an 0.281m/s 2 R 800m
a a 2 t a 2 n 0.308m/s 2
求：点A和B的运动方程及点B的速度和加速度。
解： A，B点都作直线运动，取Ox轴如图所示。
运动方程
x A b r sin b r sin(t )
xB r sin r sin(t )
B r cost vB x aB xB r 2 sin t 2 xB
例5-5 已知点的运动方程为x=2sin 4t m，y=2cos 4t m， 求：点运动轨迹的曲率半径 。 z=4t m。 解： 由点M的运动方程，得
8 cos 4t , a x 32 sin 4t vx x x
8 sin 4t , a y 32 cos 4t vy y y
4, a z vz z z0
2 2 2 2 从而 v vx vy vz2 80m s , a ax ay a z2 32m s 2
v2 故 2.5m an
dv at 0, an a 32 m/s 2 dt
例5-6
已知：半径为r的轮子沿直线轨道无滑动地滚动 （称为纯滚动），设轮子转角 t ( 为常值）， 如图所示。求用直角坐标和弧坐标表示的轮缘上任一 点M的运动方程，并求该点的速度、切向加速度及法 向加速度。
v v v r 2(1 cos t ) 2r sin
2 x 2 y
t
2
（0 t 2 )
s vdt 2r sin
0 0
t
t
t
2
dt 4r (1 cos
t
2
)
(0 t 2 π)
ax x r 2 sin t , a y y r 2 cos t
第五章 点 的 运 动 学
点的三维变速曲线运动
§5-1 矢量法
运动方程 r r t
速度
v dr dt r
单位
m/s
加速度
a
dv dt

d r
2
dt
2
v r
单位 m/s 2
提问：如何确定速度和加速度的方向？
矢端曲线
周期运动 B点的速度和加速度
x(t T ) x t 1 f 频率 T
例5-3 已知：如图所示，当液压减振器工作时，它的活塞在套 筒内作直线往复运动。设活塞的加速度 求：活塞的运动规律。
（ v 为活塞的速度， k 为比例常数)，初速度为 v0 。
a kv
解：
解： M点作曲线运动，取
直角坐标系如图所示。
由纯滚动条件
OC MC r rt
从而 x OC O1 M sin r ( t sin t )
y O1C O1M cos r 1 cost
r 1 cos t , v y y r sin t vx x
0
t
外啮合齿轮
分析齿轮上一点的运动
§ 5-3
自然法
自然法：利用点的运动轨迹建立弧坐标和自然轴系，利用它们 描述和分析点的运动的方法。 1.弧坐标 2.自然轴系
s f (t )
切向单位矢量


主法线单位矢量
n
b n
副法线单位矢量
曲线在P点的密切面形成
自然坐标轴的几何性质
?
因为
d d d d 1 ds d ds ds
d n ds


方向同 n
所以
3.速度
dr dr v dt ds 4.加速度 a
代入
则
ds ds v dt dt dv dv d v dt dt dt d d ds v n dt ds dt
dx vx dt
dy vy dt
dz vz dt
加速度
dv dvx dv y dvz a i j k ax i a y j az k dt dt dt dt
dv x d 2 x ax 2 dt dt
ay dv y dt d2 y dt 2
1 at 常数 , v v0 at t , s s0 v0t at t 2 2
例5-4 已知：列车沿半径为R=800m的圆弧轨道作匀加速
运动。如初速度为零，经过2min后，速度到达
54km/h。
求：列车起点和未点的加速度。
解： 列车作曲线加速运动，取弧坐标如上图。 由 at 常数 , v0 0
2 2 a ax ay r 2
又点M的切向加速度为
an
2 2
at v r cos
2 2
t
2
a at r sin
t
2
活塞作直线运动，取坐标轴Ox如图所示
dv 由 a kv dt v dv t 得 k dt v0 v 0
v ln kt , v v0e kt v0 dx 由 v v0e kt dt
得
v0 x x0 1 e kt k

x
x0
dx v0e kt dt
加速度
x l a 2 cost ax v x y l a 2 sin t ay v y 2 2 2 2 4 a ax ay l a 4 cos2 t (l a） sin 2 t
2 l 2 a 2 2al cos 2t
dv v 2 a n at an n dt
dv d 2 s at 2 dt dt
1 ds 2 an ( ) dt v2
——切向加速度 ——法向加速度
a a2 t a2n
曲线匀速运动 曲线匀变速运动
at 0, v v0 常数 , s s0 v0t