数形结合在二次函数中的应用(教案及反思)

二次函数的复习----之与二次函数有关的数形结合专题（教案）教师:__________班级：__________ 上课时间：___年____月___日课程名称与二次函数有关的数形结合专题教学目标一、知识技能：运用“数形结合”的思想解决二次函数的图象与性质相关问题，以及方程、不等式等相关应用问题.二、过程与方法：1．通过学霸问题质疑一元二次不等式的方法，步入“数形结合”解决问题之路； 2．引导观察二次函数图象,获取“数形结合”解题思路；2．通过例题的讲解，培养学生提升“数形结合”的数学思想能力. 三、情感态度价值观：通过动态演示，提高学生学习数学的兴趣，从而让学生感受学习数学的快乐，理解掌握“数形结合”数学思想方法.学习重点 “数形结合”在二次函数中的运用 学习难点 “数形结合”在二次函数中的运用 情景引入设计意图一、挑战学霸：从小学到初中，陈正娴同学都是大家公认的学霸.他一直都自信满满，直到有一天，他遇到这样一道题：求下列不等式的解集：3232++->+-x x x她冥思苦想了好几天，始终百思不得其解.让我们一起来挑战一下学霸吧！通过设置挑战学霸的机会，增强学生的好奇心，质疑一元二次不等式的解法，提升学生的学习兴趣。

板书部份学生的“结果“，并带着质疑走进本课学习。

问 题 与 情 景设计意图二、与二次函数图象与性质有关的数形结合 已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，问题：从图中你能得到哪些信息？引导学生学会观察、思考、总结并完成思路建设. 从“形”的角度从“数”的角度知识延伸：问 题 与 情 景设计意图二、与二次函数图象与性质有关的数形结合例 1 已知：二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，下列说法正确的是：_______________. (1)0>abc ； (2)02>+b a ；(3) 方程c bx ax -=+2，有一个正根和一个负根；(4)1>x 时，y 随x 的增大而减小； (5)0>++c b a .根据前面“数形”配对意识，引导学生从：（1）形状；（2）对称轴、顶点、最值；（3）与坐标轴的交点；（4）增减性；（5）特殊值情况下的不等式；五个方面观察理解函数图象，并完成做题。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用【摘要】二次函数教学中，数形结合思想的应用是非常重要的。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更深入地理解二次函数的概念和特性。

通过实例分析和图形展示，学生能够直观地看到二次函数的图像与方程之间的关系，从而加深对这一知识点的理解。

通过实践操作，学生可以更好地掌握数学知识，提升他们的实际运用能力。

数形结合思想不仅可以提升学生的学习兴趣和效果，还可以帮助他们从多角度理解数学知识，提高数学素养。

在二次函数教学中，充分利用数形结合思想是非常有益的，可以有效提升学生的学习水平和综合素质。

【关键词】二次函数、数形结合、教学、图形、特性、实例分析、数学、几何、理解、实践操作、学习兴趣、学习效果、多角度、数学素养。

1. 引言1.1 二次函数教学的重要性二次函数作为高中数学中的重要内容之一，在学生数学学习中具有重要的地位。

学会了二次函数的相关知识，可以帮助学生理解和掌握高中数学中的很多概念和方法，为以后的学习打下坚实的基础。

二次函数的教学内容丰富多样，不仅可以帮助学生提高数学的解题能力，还可以培养学生的数学思维和创新能力。

二次函数具有许多独特的特性和规律，通过学习二次函数，可以让学生在数学上有更深入的认识和了解。

二次函数也广泛应用于生活和科学领域，学会了二次函数相关知识可以帮助学生更好地理解和解决实际问题。

二次函数教学的重要性不言而喻。

只有深入理解和掌握二次函数的相关知识，才能在数学学习中取得更好的成绩，为将来的发展打下坚实的基础。

二次函数的教学不仅具有重要的理论意义，更具有重要的实践意义。

通过深入的学习和实践，可以帮助学生更好地理解和应用二次函数相关知识，提高数学素养和解决实际问题的能力。

1.2 数形结合思想的意义数形结合思想在二次函数教学中扮演着至关重要的角色。

通过将数学与几何相结合，可以帮助学生更直观地理解抽象的数学概念，提高他们的学习兴趣与学习效果。

在二次函数这一抽象概念中，数形结合思想可以将函数的数学性质与图形的几何特征相联系，使学生更全面地理解二次函数的本质。

二次函数性质——数学结合应用复习目标：知识与技能：掌握二次函数的图像、性质及变化趋势,深刻领悟数形结合思想在二次函数问题中的应用．过程与方法：通过演示、同学们间的合作探究加深对函数性质的理解。

从而提高的自己识图能力．情感态度与价值观：消除对函数知识的恐惧，通过对图像的理解培养、提高自己学习函数的兴趣．培养自己的合作意识、探究精神．任务要求：1、组长带领组员复习掌握知识点，同时组长还可以就知识点编写题目进行口头提问，熟练知识点。

2、教给组员知识点的应用技巧。

1、二次函数解析式的三种表示方法：（1）顶点式：（2）交点式：（3）一般式：3、(画草图分析)二次函数y=ax2+bx+c，当a＞0时，在对称轴右侧，y随x的增大而，在对称轴左侧，y随x的增大而；当a＜0时，在对称轴右侧，y随x的增大而, 在对称轴左侧，y随x的增大而4、抛物线y=ax2+bx+c，当a＞0时图象有最点，此时函数有最值；当a＜0时图象有最点，此时函数有最值5、二次函数相关字母及代数式符号的确定（1）a的符号决定抛物线的；a>0_____；a<0_______。

∣a∣决定抛物线的开口大小(形状)。

∣a∣越大，开口越_____（2）a、b共同决定___________；规律：___________(即：a、b同号，对称轴在__________;a、b异号，对称轴在___________).当对称轴为y轴时，（3）c决定抛物线___________。

c>0________；c<0__________。

若c=0，则__________。

抛物线与y轴的交点坐标是。

（4）b2-4ac的符号决定抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点个数。

①当b2-4ac＞0时个交点；当b2-4ac=0时个交点；当b2-4ac＜0时个交点 ②若知道抛物线与x 轴有交点，则b 2-4ac6、求抛物线与x 轴的交点，则令 _____=0，求与y 轴交点,则令_____=0。

课题：数形结合在二次函数中的应用一、教学目标：（1）理解二次函数解析式与二次函数图象间的关系，通过解析式本身蕴含的信息以及函数图象的直观表示解决有关问题，体会数与形的密切联系。

（2）感悟数形结合在解题中的应用，增强数形结合的意识。

（3）通过应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，增强学好数学的自信心。

二、教学重点、难点：教学重点：感悟数形结合在解题中的应用，掌握数形结合的数学思想，增强数形结合的意识。

教学难点：应用数形结合思想解决问题，提高学生的解题能力，三、教学方法：探究法引导法四、教学过程：（一）情景引入“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞；数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。

切莫忘，几何代数统一体，永远联系，切莫分离。

”——华罗庚寥寥数语，就将数与形之间的内在联系表达的淋漓尽致。

数形结合思想就是将数量关系与空间形式有机地结合，用数的观念来解决形的问题，或者用形的方法来解决数的问题，它是中考数学的一个重要思想方法。

今天，我们就通过研究二次函数中的数形结合来体会“数形结合百般好”的奥妙！设计思路：从学生熟悉的小诗入手，激发学生探究学习的积极性。

（二）亲身经历、感悟数形1、想一想二次函数y= -x2 + 2x+3的图象的形状。

画一画画一画它的大致图象。

说一说你是如何确定的？2、感悟数形数量关系图形特征a=-1<0 开口向下－b/2a=1 对称轴：直线x=1（b2-4ac）/4a=4 顶点坐标（1，4）c=3 与y轴交点坐标（0，3）-x2 + 2x+3=0 与x轴交点坐标（-1，0）（0，3）设计思路：借助复习二次函数的基础知识，体会把数量关系的问题转化为图形特征的问题，发展数形结合的意识。

3、复习二次函数解析式中的字母系数的符号与其图像之间的联系方法归纳：在抛物线中：①、a的符号决定抛物线的开口方向；②、a、b联合决定抛物线对称轴的位置:当a、b异号时，-b/2a＞0，对称轴位于y轴的右侧，当a、b同号时，-b/2a＜0，对称轴位于y轴的左侧，当b=0时，-b/2a=0，对称轴就是y轴；为方便记忆，这一结论可简称为“左同右异”.③、c的符号决定抛物线与y轴交点位置；④、的符号决定抛物线与x轴交点个数；⑤、与a-b+c.分别是x=1、-1时的函数值，观察x=1、-1时图像上点的位置即可得与a-b+c.的符号.⑥、代数式、( )符号判断，可先观察对称轴x=-b/2a与1、-1的大小关系，再对不等式进行变形就可得出。

例谈二次函数教学中“数形结合”思想的应用数形结合思想在二次函数教学中的应用是非常重要的。

二次函数是高中数学中的重要内容，它在解决实际问题时，往往需要将数学知识与几何图形相结合，才能更好地进行分析和解决。

在讲解二次函数的基本概念时，可以借助几何图形进行解释。

通过绘制抛物线的图像，让学生直观地感受到二次函数的特点和性质。

可以引导学生观察图像的特点，如顶点、对称轴、开口方向等。

通过观察图像，学生可以更深入地理解二次函数的定义和性质。

数形结合思想在解决二次函数的最值问题时也能起到很大的帮助。

当需要求一个二次函数在一定区间内的最大值或最小值时，可以通过分析几何图像的形状来确定最值的位置。

如果是一个开口向上的抛物线，最小值即为顶点的纵坐标；如果是一个开口向下的抛物线，则最大值为顶点的纵坐标。

通过这种数形结合的思想，学生不仅可以快速找到最值的位置，还能够对最值的意义有更深入的理解。

数形结合思想在解决二次函数方程的根的个数和位置问题时也很有用。

通过绘制抛物线的图像，可以让学生观察到抛物线与x轴交点的个数和位置与方程的根的个数和位置是一致的。

如果抛物线与x轴只有一个交点，那么方程也只有一个实根；如果抛物线与x轴有两个交点，那么方程有两个实根；如果抛物线与x轴没有交点，那么方程没有实根。

通过这种数形结合的思想，学生可以更好地理解二次函数方程根的个数与位置的关系。

数形结合思想在解决二次函数的图像变换问题时也能起到很大的帮助。

在讲解平移变换时，可以通过移动抛物线的顶点，让学生理解平移变换对函数图像的影响；在讲解伸缩变换时，可以通过改变抛物线的开口程度，让学生理解伸缩变换对函数图像的影响。

通过这种数形结合的思想，学生可以更直观地理解各种函数变换的效果和特点。

《数形结合思想在二次函数中的应用》教学反思星海中学 数学科组 区敏健在完成这堂课后，通过学生所反馈的教学效果，我深深体会到学生集体的智慧是无穷的。

在运用数形结合思想解题的过程中，学生的思维不是受老师控制的，而是自己去发掘问题，自己去解决问题，不知不觉中，本节课知识点的学习、应用都超过了传统教学。

本节课的教学目标是 1、使学生理解数形结合的本质，即几何图形的性质反映了数量关系，数量关系决定了几何图形的性质；2、在二次函数中运用“数形结合”思想方法进行解题，使学生理解数形结合在解决数学问题中的作用就是化抽象为直观，使解决问题的方法更简捷；3、通过解题培养学生观察、分析、归纳能力，领会数形结合的思想方法。

因此在教学上我更注重的是通过反复的训练让学生掌握在二次函数中数形结合思想运用的特征与要求，体会这种思想的优异性。

但是在课后，我发现教学过程中存在还有不少问题，这些地方若进行修改，相信教学效果更佳。

1、在“知识系统网络”中帮助学生梳理二次函数的基础知识，形成网络，使知识系统化、结构化，以加深对知识的理解与记忆。

但是在对()k h x a y +-=2形式的归纳只着重在一般位置的二次函数图像特征中，对于特殊位置的二次函数图像（如顶点在原点、x 轴、y 轴）的特征没有提出，且在题目中经常出现特殊位置的二次函数图像。

因此需要在归纳中加入特殊位置二次函数图像的特征。

2、在题目讲解中，只站于讲解题目答案的层面上，没有就题目作更深一层的分析，缺乏把知识进行归纳、总结的意识。

如：已知：1x =-是抛物线c bx ax y ++=2的对称轴，它的图象如图所示，则下列函数中，成立的个数是（ ）①0abc > ②b a c <+ ③0a b c ++>④b ＜2a ⑤b 2－4a c ＜0这道题目的①0abc >④b ＜2a ⑤b 2－4a c ＜0充分考验了学生对在二次函数图像中a 、b 、c 的性质运用，这在前面的知识点归纳中已经出现过，因此可以稍稍在重复一遍加深学生的印象。

依形判数，以数助形数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学．“数”与“形”是数学中的两个最基本的概念，每一个几何图形中都蕴含着一定的数量关系；而数量关系又常常可以通过几何图形做出直观的反映和描述，所以数形结合也就成为研究数学问题的重要思想方法．在解题方法上，“数”与“形”相互转化，从而使问题化难为易、化繁为简，达到解决问题的目的．下面结合具体例题给同学们说说数形结合思想在二次函数中的体现．【例1】二次函数在同一坐标系中的图象如图1．（1）哪个函数的图象过B、C、D三点？（2）若BO=AO，BC=DC，且点B、C的横坐标分别是1、3，求这两个函数的解析式．图1【分析】借助函数的图象研究函数的性质，是一种很重要的方法．观察图象，过A、B、C三点的抛物线开口向下，则相应二次函数解析式中二次项系数应小于零，而过B、C、D三点的抛物线开口向上，则相应二次函数解析式中二次项系数应大于零，所以只要判断a与a+1哪个大于零即可．因为a+1>a，易得出经过B、C、D三点．利用抛物线的对称性确定的对称轴为x=0，的对称轴经过C点，则可推出D点坐标．再利用图象上点的坐标应满足函数解析式，则可构造关于a、c的方程组，求出待定系数的值．【解】（1）22(1)2(2)3y a x b x c ∴=+-+++的图象开口向上 2y B C D ∴的图象经过、、三点122||||2020103||||50BO AO b y x ab B C y BC DC y C D =-∴=-=∴==∴ （）的对称轴（，）、（，）又的对称轴经过点，且（，）122212100(1)502580(2)13(1)(2)131121433333B y a c D y a c a c y x y x x +=++=⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴=-+=-+将（，）代入，得将（，）代入，得解、得，【评点】观察图形主要是观察图形的形状、大小、位置关系等，寻找图形中蕴含的数量关系，运用推理或计算得出结论．这是数形结合分析、解决问题的一个重要方面．【例2】 已知：关于x 的方程2230x mx m -+=的两个实数根是12x x ，，且212()16x x -=．如果关于x 的另一个方程22690x mx m -+-=的两个实数根都在12x x 和之间，求m 的值．【分析】本题是已知一元二次方程的两个实数根所满足的条件，求方程中待定系数的值的题目．常规的解法是由第一个方程两根满足的条件，利用根与系数的关系，建立关于待定系数m 的方程，求出m 的值．再把m 的值代入第二个方程，并求出其根，检验其两根是否都在第一个方程的两根之间，从而确定m 的值【解法一】212230(1)x x x mx m -+= 、是方程的两个实数根121221223()16x x m x x mx x ∴+==-= ，· 21212212()41641216141x x x x m m m m I m ∴+-=∴-==-==-解得，（）当时，2122212(1)230312690(2)2150n 5n 353311x x x x x mx m x x x x m +-=∴=-=-+-=+-=∴=-=--∴=- 方程为，方程为，、不在和之间不合题意，舍去21221211224(1)812026(2)8150n 3n 52356n n II m x x x x x x x x x x x x =-+=∴==-+=∴==<<<<<< （）当时，方程为，方程为，，即(2)(1)44m I I I m ∴∴==方程的两根都在方程的两根之间综合（）（），【评点】由以上几例看到，正确地绘图对于题意的理解、思路的探求、方法的选择、结论的判定都有重要的作用，要善于把作图与计算结合起来，充分发挥图形的作用．【例3】如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴只有一个公共点P ，与y 轴交点为Q ．过Q 点的直线2y x m =+与x 轴交于点A ，与这个二次函数的图象交于另一点B ．若3BPQ APQ S S ∆∆=，求这个二次函数的解析式．【分析】本题为函数与平面几何的综合题，要确定二次函数的解析式，就需要构造关于待定系数b 、c 的方程组，求出b 、c 的值．如何利用题目给出的众多条件呢？（1）以数助形，求出图象上关键点的坐标．二次函数图象与y 轴交点Q 的坐标为（0，c ）222242y x m Qm c y x bx c y x cB b b c =+∴=⎧=++⎨=+⎩--+ 又直线过点。

《数形结合思想在二次函数中的应用》教学设计一、内容和内容解析1．内容二次函数的图像、性质及变化趋势2．内容解析本课的教学重点：运用数形结合思想进一步理解二次函数的概念、图像和性质，掌握图像的画法，熟悉解析式的参数和图像形状、位置特征的关系．二．目标与目标解析1．目标：⑴．掌握二次函数的图像、性质及变化趋势．⑵．通过几何画板动态演示、学生合作探究加深对函数性质的理解。

2．目标解析：达成目标⑴的标志是：掌握二次函数的图像、性质及变化趋势,深刻领悟数形结合思想目标⑵的标志是：通过几何画板动态演示、学生合作探究加深对函数性质的理解。

从而提高的学生识图能力．三、教学问题诊断分析学生在前面接触了一次函数的学习，对坐标系和函数知识有了一定的理解．二次函数是学生在初中阶段关于数与代数学习的终结章，是对代数式的计算与变形的再认识，是对数形结合思想的完美体验．本节课的难点是：通过了解函数解析式y=a(x-h)2+k中的参数a、h、k对图像特征的影响，理解并掌握求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图像的对称轴和顶点坐标公式的方法．四、教学过程设计：1、课堂导入昨天为同学们布置了预习作业，现在让我们来展示一下，看看我们的劳动成果（提前布置预习作业，培养学生复习总结的习惯）2、讲授新课：（1）、几何画板动态演示解析式的一般式和顶点式（培养学生数形结合的能力，对运动变化的理解，体会解析式之间的内在联系）⑵、二次函数的顶点坐标、对称轴和最值（数形结合加深理解）⑶、二次函数相关字母及代数式符号的确定（总结规律合作学习）⑷、给出图像学生练习（加深理解）（5）、二次函数图像与坐标轴交点坐标（体验数形结合思想）（6）、抛物线y=1/3(x-4)2-3图象与x轴交与A、B两点，与y轴交于点D，抛物线的顶点为点C，求以A、B、C、D四个点为顶点四边形的面积.(培养学生的作图能力、计算能力、交点坐标与方程的解之间的数形结合能力)(7)、二次函数的增减性（结合图像理解函数的增减性）（8）、已知点(-2,y1), (-1,y2), (3,y3) 在函数y=x2+2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是（）A．y3﹤y2﹤y1 B. y2﹤y1﹤y3 C. y1﹤y2,﹤y3, D. y3﹤y1﹤y2（加深理解，培养学生一题多解的能力，培养学生运用图像解题的能力）3、变式训练：A(-13/4, y1) B(-1, y2) C(5/3, y3)为二次函数 y=ax2+4ax+c (a<0)的图象上的三点，则y1，y2,y3, 的大小关系是（）Ａ．y1﹤y2,﹤y3,Ｂ．y3﹤y2﹤y1Ｃ．y3﹤y1﹤y2Ｄ．y2﹤y1﹤y3（加深对三种解题方法的理解，针对不同题型，选择合理方法）4、几何画板演示二次函数一般式和顶点式两种形式的抛物线关于x轴、y轴、原点对称的图像（数形结合的理解运动变换的理解）5、思考题：若m、n（m<n）是关于x的方程1-(x-a)(x-b)=0的两根，且 a < b，则a、b、m、n 的大小关系是 A. m< a < b < n B. a < m < n < bC. a< m < b < nD. m< a < n<b（培养学生利用数形结合思想解题的能力，二次函数和方程的巧妙结合，利用函数图像解决有关的一元二次方程的问题）6、课堂小结谈谈本节课的收获7、布置作业8、教学反思。

数形结合在二次函数中的应用（教案及反思）解析式 a ab c △示意图y=x2+2xy=x2+x+3y=x2-2x+1y=-x2-4xy=-x2+2x-1y=-x2-4x-5观察表格中的数据和图像，归纳a、ab、c、Δ的符号与图像的位置之间的关系.四、应用举例例1 已知抛物线Y=ax2+bx+c(a≠0)如图所示.试确定a、b、c、Δ及a+b+c、a-b+c的符号.从学生熟悉的解析式出发,从特殊到一般,引导学生观察发现a、ab、c、Δ的符号与二次函数图像的大体位置之间的关系.学生根据总结出的a、ab、c、Δ的符号与二次函数图像的大体位置之间的关系判断题目中相关代数式的符号，培养学生运用数形结合的思想方法解决问题的能力.例2请同学们完成下列选择题：1．如图，直线x=1是抛物线y=ax2+bx+c (a≠0)的对称轴，则（）(A) abc>0(B) a+b+c<0(C) 2a+b=0(D) a-b+c<03．若二次函数y=x2+bx+c(a≠0)经过原点和第一、二、三象限，则( )（A）a<0，b>0，c=0（B）a>0，b<0，c=0（C）a>0，b>0，c=0（D）a<0，b<0，c=04.已知二次函数y=x2+bx+c(a≠0),且a<0，a-b+c>0,则一定有( )(A)b2-4ac>0 (B) b2-4ac=0(C) b2-4ac<0 (A) b2-4ac≤05.二次函数y=x2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,且线段OM和ON相等，那么有( )(A)ac+b+1=0(B)ac+b-1=0(C)ac-b+1=0(D)a c-b-1=0由学生自己独立思考,动手画图,引导学生由数到形，由形到数,通过观察图像的特征，获取二次函数解析式的一些信息.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

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《数形结合在二次函数中的应用》教学设计一、教材分析
本节的作用和地位：二次函数是初中数学的重要内容之一，本节课是对二次函数的图像和性质在数形结合中的具体应用做专题复习。

通过数形结合的思想加深对二次函数的理解，在教学中不仅注意对函数知识、技能的落实，更要注意对研究函数的方法（画图像、分析函数解析式的特点、观察图像归纳函数性质、了解函数变化规律和函数变化趋势）为在高中阶段进一步学习各类初等函数做好准备。

二、学生分析
学生在前面接触了一次函数和反比例函数的学习，对坐标系和函数知识有了一定的理解，二次函数是学生在初中阶段学习的最重要的章节，是对代数式的计算与变形的再认识。

三、本节主要内容
⑴自主学习：由一道二次函数一般式的简单问题引发学生的系列思考。

⑵合作探究：一道有代表性的方程与函数图像结合的问题，引导学生学会转化思想和画图的技能。

⑶当堂检测：在这部分设置了一道有一定难度的选择题，进一步考察学生画图的能力和解题的技巧。

⑷课堂小结：通过本节课的学习，让学生谈一谈这节课的收获有哪些。

四、教学目标
⑴熟练掌握二次函数的图像和性质。

⑵能够利用数形结合的思想解决二次函数中的相关问题。

五、教学重难点
教学重点：运用数形结合思想进一步理解二次函数的概念、图像及性质，会用五点法画二次函数的图像。

教学难点：教会学生根据题意画出相应的草图，利用数形结合的思想解决二次函数的问题。

六、教学理念
进一步体会数形结合的重要性，一句话概括为：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。

”
七、教学手段：利用多媒体辅助教学，小组合作交流。

八、教学过程
解的个数。

教师巡视各个。