2009-2010第一学期概率期末试题A

浙江科技学院2009 ­2010 学年第 I 学期考试试卷 A 卷考试科目概率论与数理统计(3 学时) 考试方式 闭卷 完成时限2 小时 拟题人 工程数学组 审核人批准人 2010 年 1 月 13 日院年级专业三题 序一二123 456四总分加分人复核人得分签名(1.96)0.975 F = ， (1.64)0.95 F = ， (2.5)0.9938 F = ， (2.33)0.99 F = ， (2.58)0.995 F = ， 0.05 (15) 1.7531 t = ， 0.025 (15) 2.1314 t = ， 0.01 (5) 3.3649 t = ， 0.005 (5) 4.0321t = ， 2 0.025 (15)27.488; c = 2 0.975 (15) 6.262. c = 一、选择题。

在题后括号内，填上正确答案代号。

（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）1、设 A 与 B 是两个概率不为 0 的互不相容的事件，则下列结论中肯定正确 的是（）.（A ） A 与B 互不相容； （B ） A 与B 独立； （C ） ()()() P AB P A P B = ；（D ） ()() P A B P A -= 。

2、设离散型随机变量X 的分布列为() F x 为 X 的分布函数， 则 (2) F =（）. （A ） 0。

2；（B ） 0.5； （C ） 0.7；（D ） 1。

得分X0 123 P 0.20.3 0.20.3专业班级学号姓名………………………………………………………………………装订线……………………………………………………………………………………3、设两个随机变量 X 与Y 相互独立且同分布， {1}{1}1/2 P X P Y =-==-= ，{1}{1}1/2 P X P Y ==== ，则下列式子成立的是（ ）.（A ） {}1/2 P X Y == ； （B ） {}1 P X Y == ；（C ） {0}1/4 P X Y +== ；（D ） {1}1/4 P XY == 。

2008～2009学年第一学期 《概率论》课程考试试卷（A 卷）（闭卷）院(系)_________专业班级__________学号_________姓名__________考试日期:2008年7月3日考试时间:PM ：3:00-5:30一．是非题（共4分，每题1分） 在（ ）中填√或 ×1．设随机事件,A B 满足0)(0)(>>B P A P ，，则表示式 AB =Ø和()()()P AB P A P B = 不可能同时成立. （ ） 2．二维均匀分布的随机变量的边缘分布不一定是一维均匀分布. （ ） 3．若随机变量X 的方差不存在，则X 的数学期望也不存在.（ ）4．设随机变量Y X ，不相关，则随机变量d cY V b aX U +=+=，也不相关， 其中d c b a ，，，为常数，且c a ，不为零． （ ）是是非是cov(aX+b,cY+d)=cov(aX,cY)+cov(aX, d)+cov(b,cY)+cov(b,d)=accov(X,Y)=01. 设随机变量,X Y 相互独立，)1,0(~N X ,)1,1(~N Y ，则.)(A 2/1)0(=≤+Y X P ； )(B 2/1)1(=≤+Y X P ； )(C 2/1)0(=≤-Y X P ； )(D 2/1)1(=≤-Y X P B2．已知随机变量X 的概率密度函数为 4 C其中 λ>0 , A 为常数，则P(λ <X < λ+a )（A ）与 a 无关，随 λ 的增大而增大； （B ）与a 无关，随 λ 的增大而减小； （C ）与 λ 无关，随a 的增大而增大； （D ）与 λ 无关，随 a 的增大而减小；3. 设1{0,0}5P X Y ≥≥=,2{0}{0}5P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥=(C) (A) 15; (B) 25; (C) 35; (D) 454. 设随机变量X 的分布函数为)21(7.0)(3.0)(-Φ+Φ=x x x F ，则=EX ( ) C(A) 0； (B) 3.0； (C) 7.0； (D) 1.5. 设)(1x f 为)1,0(N 的概率密度，)(2x f 为)3,1(-U 的概率密度，若函数12(),0()(),0af x x f x bf x x ≥⎧=⎨<⎩为概率密度，则有 ( ) A;(A) 42=+b a ； (B) 42=-b a ； (C)1=+b a ； (D) 1=-b a得 分 二. 选择题（15分，每题3分）评卷人1. 设,A B 为随机事件,()0.5P A =,()0.6P B =,()0.7P AB =,则()|P A B =（2/3 ）2．设随机变量X 在区间[0,1]上服从均匀分布,则XY e =的数学期望为（ ） 1e - 3．设X ~(,)b n p 为二项分布,且() 1.6E X =,() 1.28D X =,则p =8,0.2n p ==4. 设随机变量X 在区间[0,2]上服从均匀分布,用切比雪夫不等式估计得{}12P X -≥≤.1/125．设事件,A B 相互独立,且()0P A >,()0P B >,，则有(B)(A) ()|0P B A =;(B)()()|P A B P A =; (C) ()|0P A B =;(D)()()P AB P A =6. 叙述随机序列{n η}服从弱大数定律的定义.(2) 在先取出的零件是一等品的条件下，第二次取出的零件仍然是一等品的概率. (注：答案需整理单列，否则扣1分)得 分 三. 填空题（18分，每题3分）评卷人得 分 四.(12 分) 假设有两箱同种零件，第一箱装50 件，其中10 件一等品；第二箱装30 件，其中18 件一等品. 现从两箱中随意挑出一箱，然后从该箱中先后随机地取出两个零件（取出的零件不放回）.求：评卷人,02,(,)0,A x y xf x y ⎧<<<=⎨⎩其他（1）求常数A 的值；（2）求边缘概率密度()(),X Y f x f y ；（3）X 和Y 是否独立? 说明理由。

北方民族大学试题课程代码：24100082 课程：概率论与数理统计（A 卷）一、填空题：（每小题3分，共30分）1.设8.0)(,5.0)(==A B P A P ，则=)(AB P ＿＿＿＿＿＿ 。

2.设在一次试验中，事件A 发生的概率为p,现进行n 次独立试验，则A 至少发生一次的概率为 ＿＿＿＿＿＿ 。

3.设X 的分布律为则分布函数值=)25(F ＿＿＿＿＿＿ 。

4.设随机变量X ～N(0,1),)x （Φ为其分布函数，则)()x x -Φ+Φ（=＿＿＿＿＿＿ 。

5.已知连续型随机变量X 的分布函数为2200,1),1(31,31)(≥<≤<⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=x x x x e x F x，设X 的概率密度为)(x f ，则当=<)(,0x f x ＿＿＿＿＿＿ 。

6.设X 服从正态分布N(μ,2σ)，则=-)23(X E ＿＿＿＿＿＿ 。

7.设随机变量X 与Y 相互独立，则X 与Y 的相关系数=XY ρ＿＿＿＿＿。

8.设随机变量X 的分布律为!3)(3k e k X P k -==，,,2,1,0 =k 则)(2X E =＿＿＿＿＿＿ 。

X0 1 2 3 P(X=k) 0.10.30.40.29. 设随机变量X 与Y 相互独立，且,2)(,1)(==Y D X D 则=-)(Y X D ＿＿＿＿＿＿ 。

10.若4321,,,X X X X 为来自正态分布N(0,4)的样本，则∑=41241i i X ～＿＿＿＿＿＿ 分布 。

二、设有N 件产品，其中有D 件次品，今从中任取n 件，问其中恰有k(D k ≤)件次品的概率。

（10分）三、设随机变量X 的概率密度函数为，其他10,0,3)(2<≤⎩⎨⎧=x x x f 求： （1）X 的分布函数；（2）⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-2121X P .（10分）四、设随机变量X 具有概率密度，其他,0,)(>⎩⎨⎧=-x e x f x 求随机变量2X Y =的概率密度。

考试课程： 班级： 姓名： 学号：------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------第 1 页(共 2 页)求：1）X 和Y 的边缘分布律；2）1=X 下Y 的条件分布律。

8 设n X X X ,,,21⋅⋅⋅是来自总体X 的样本，总体X 的概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥=-其它情况001),(x ex f xθθθ，其中θ未知，且0>θ。

1）求θ的极大似然估计量∧θ；2）判断∧θ是否为θ的无偏估计。

三 应用题（每小题8分，共16分）1为了估计产品使用寿命的均值μ和标准差σ，测试了9件产品，求得,1500=x 20=S ， 若已知产品使用寿命服从正态分布),(2σμN ，分别求总体均值μ和方差2σ的置信度为95％的 置信区间。

（注：023.19)9(,3060.2)8(96.1,2622.2)9(2025.0025.0025.0025.0====χt z t ，180.2)8(,535.17)8(,700.2)9(2975.02025.02975.0===χχχ）2 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差50002=σ的正态 分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变，现随机取26只 电池，测出其寿命的样本方差92002=s ，问根据这一数据能否推断这批电池的寿命的波动 性较以往的有显著的变化？（取02.0=α） （注：642.45)26(,524.11)25(,314.44)25(201.0299.0201.0===χχχ，198.12)26(299.0=χ）四 证明题（共6分）设二维连续型随机变量),(Y X 的两个分量X 和Y 相互独立，且服从同一分布，证明：21)(=≤Y X P 。

2002-2003学年第一学期概率论与数理统计（A ）期末考试试卷答案一．填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）请将合适的答案填在每题的空中 1．掷两颗骰子，已知两颗骰子的点数之和为6，则其中有一颗为1点的概率为________． 解：两颗骰子的点数之和为6共有5种可能情况：()()()()()1,5,2,4,3,3,4,2,5,1，而其中有一颗为1点有两种可能：()()1,5,5,1，因此所求概率（条件概率）为52． 应填：52． 2．设二维随机变量()Y X ,的联合密度函数为()()⎩⎨⎧<<<<--=其它042,206,y x y x k y x f 则=k ________． 解：由()1,=⎰⎰+∞∞-+∞∞-dxdy y x f ，得()()()⎰⎰⎰⎰⎰---=--==+∞∞-+∞∞-422024220626,1dy y x k dx y x k dy dxdy y x f()()[]k dy y y k 84624222=---=⎰所以，81=k ． 应填：813．设总体()2,~σμNX ，()1021,,,X X X 是从X 中抽取的一个样本，样本量为10，则()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()=1021,,,x x x g _________________________．解：由于总体()2,~σμNX ，所以总体X 的概率密度函数为()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=222exp 21σμσπx x f ()+∞<<∞-x ， 并且()1021,,,X X X 是从中抽取的一个样本，即()1021,,,X X X 是简单随机样本，所以样本中的n 个分量n X X X ,,,21 是独立同分布的随机变量，而且其分布与总体分布相同．因此样本()1021,,,X X X 的联合概率密度函数()()()()10211021,,,x f x f x f x x x g =()()()⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧--⎭⎬⎫⎩⎨⎧--⋅⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=22102222212exp 212exp 212exp 21σμσπσμσπσμσπx x x ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=10122210221exp 21i i x μσπσ ()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=∑=101225221exp 21i i x μσπσ 应填：()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧--∑=101225221exp 21i i x μσπσ． 4．设总体X其中10<<θ是未知参数，()n X X X ,,,21 是从中抽取的一个样本，则参数θ的矩估计量=θˆ__________________．解：()()()()θθθθθθθθθθ232134413122122222-=+-+-+=-⨯+-⨯+⨯=X E所以，()()X E -=321θ．将()X E 替换成样本均值X ，得参数θ的矩估计量为 ()X -=321ˆθ． 应填：()X -321．5．显著性检验是指____________________________________． 解：显著性检验是指只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验． 应填：只控制犯第Ⅰ类错误的概率，而不考虑犯第Ⅱ类错误的概率的检验．二、选择题（本题共5小题，每小题3分，满分15分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内） 1．设随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，令Y aX U +=，bY X V +=，且U 与V 也不相关，则有()A .0==b a ； ()B .0≠=b a ； ()C .0=+b a ； ()D .0=ab ．【 】解：()()bY X Y aX V U ++=,cov ,cov()()()()()()()()Y bD Y X ab X aD Y Y b Y X ab X X a +++=+++=,cov 1,cov ,cov 1,cov再由于随机变量()2,1~-N X ，()2,1~N Y ，而且X 与Y 不相关，所以()2=X D ，()2=Y D ，()0,cov =Y X ． 因此，()()b a V U +=2,cov ．这表明：随机变量U 与V 不相关，当且仅当()()02,cov =+=b a V U ，当且仅当0=+b a ． 应选：()C ．2．对两台仪器进行独立测试，已知第一台仪器发生故障的概率为1p ，第二台仪器发生故障的概率为2p ．令X 表示测试中发生故障的仪器数，则()=X E()A .21p p +； ()B .()()122111p p p p -+-； ()C .()211p p -+； ()D .21p p ．【 】解：由于X 表示测试中发生故障的仪器数，所以X 的取值为2,1,0，并且X 的分布律为所以()()()()()21211221212111110p p p p p p p p p p X E +=⨯+-+-⨯+--⨯=． 应选：()A ．3．若Y X ,ρ表示二维随机变量()Y X ,的相关系数，则“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P ”的()A .必要条件，但非充分条件； ()B .充分条件，但非必要条件； ()C .充分必要条件； ()D .既非充分条件，也非必要条件．【 】解：由相关系数的性质，可知“1,=Y X ρ”是“存在常数a 、b 使得{}1=+=bX a Y P 的充分必要条件． 应选：()C ．4．根据辛钦大数定律，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的()A .矩估计量； ()B .最大似然估计量； ()C .无偏估计量； ()D .相合估计量．【 】解：辛钦大数定律指出：设{}n X 是独立同分布的随机变量序列，且()μ=n X E 存在，则对任意给定的0>ε，有01lim 1=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-∑=∞→εμn i i n X n P ， 即{}0lim =≥-∞→εμX P n这表明，样本均值X 是总体期望()μ=X E 的相合估计量． 应选：()D ．5．设总体X 服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，现从该总体中随机选出容量为20一个样本，则该样本的样本均值的方差为()A . 1； ()B . 5.0； ()C . 5； ()D . 50．【 】解：由于总体服从参数10=λ的泊松（Poisson ）分布，所以()10==λX D ．又从该总体中随机选出容量为20一个样本，则若令X 是其样本均值，则()()5.02010===n X D X D ． 应选：()B ．三．（本题满分10分）某学生接连参加同一课程的两次考试．第一次考试及格的概率为p ，如果他第一次及格，则第二次及格的概率也为p ，如果他第一次不及格，则第二次及格的概率为2p． ⑴ 求他第一次与第二次考试都及格的概率． ⑵ 求他第二次考试及格的概率．⑶ 若在这两次考试中至少有一次及格，他便可以取得某种证书，求该学生取得这种证书的概率． ⑷ 若已知第二次考试他及格了，求他第一次考试及格的概率． 解：设{}该学生第一次考试及格=A ，{}该学生第二次考试及格=B ． 则由题设，()p A P =，()p A B P =，()2p B A P =． ⑴ ()()()2p A B P A P AB P ==．⑵ ()()()()()()()21212p p p p p A B P A P A B P A P B P +=-+=+=． ⑶ ()()()()()()23212p p p p p p AB P B P A P B A P -=-++=-+=⋃． ⑷ ()()()()p pp p p B P AB P B A P +=+==12212．四．（本题满分10分）设顾客在某银行等待服务的时间X （单位：分钟）是服从5=θ的指数分布．某顾客在窗口等待服务，若等待时间超过10分钟，他便离开．⑴ 求某次该顾客因等待时间超过10分钟而离开的概率．⑵ 若在某月中，该顾客来到该银行7次，但有3次顾客的等待时间都超过10分钟，该顾客是否有理由推断该银行的服务十分繁忙． 解：由于随机变量X 服从5=θ的指数分布，所以X 的概率密度函数为()⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-00515x x ex f x． ⑴ {}{}135335283.05110102105105==-==≥=-+∞-∞+-⎰e e dx e X P P x x分钟顾客等待时间超过 ⑵ 设Y 表示该顾客在一个月内等待时间超过10分钟的次数，则()2,7~-e b Y ．所以，()()()048494457.013423237=-==--e eC Y P ．这表明，()3=Y 是一个小概率事件，由于小概率事件在一次试验中是几乎不可能发生的，现在发生了．因此该顾客有理由推断该银行的服务十分繁忙． 五．（本题满分10分）一射手进行射击，击中目标的概率为p ()10<<p ，射击直至击中2次目标时为止．令X 表示首次击中目标所需要的射击次数，Y 表示总共所需要的射击次数． ⑴ 求二维随机变量()Y X ,的联合分布律．⑵ 求随机变量Y 的边缘分布律．⑶ 求在n Y =时，X 的条件分布律．并解释此分布律的意义． 解：⑴ 随机变量Y 的取值为 ,4,3,2；而随机变量X 的取值为1,,2,1-n ，并且(){}次第次，第二次命中目标在第一次命中目标在第n m P n Y m X P ===, 2211p q p q p q n m n m ----=⋅=， （其中p q -=1） ()1,,2,1;,4,3,2-==n m n ．⑵ ()()()221122111,p q n p q n Y m X P n Y P n n m n n m --=--=-======∑∑，() ,4,3,2=n ． 即随机变量Y 的边缘分布律为()()221p q n n Y P n --== () ,4,3,2=n ．⑶ 由于()()()()111,2222-=-=======--n p q n p q n Y P n Y m X P n Y m X P n n 因此在n Y =时，X 的条件分布律为 ()11-===n n Y m X P ()1,,2,1-=n m 这表明，在n Y =的条件下，X 的条件分布是一个“均匀”分布．它等可能地取值1,,2,1-n ．六．（本题满分10分）一食品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的，因而一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1元、2.1元、5.1元各个值的概率分别为3.0、2.0、5.0．某天该食品店出售了300只蛋糕．试用中心极限定理计算，这天的收入至少为395元的概率． （附表：标准正态分布()x Φ的数值表：解：设k X 表示该食品店出售的第k 只蛋糕的价格()300,,2,1 =k ，则k X 的分布律为所以，()29.15.05.12.02.13.01=⨯+⨯+⨯=k X E ，()713.15.05.12.02.13.012222=⨯+⨯+⨯=k X E ， 所以，()()()[]0489.029.1713.1222=-=-=k k k X E X E X D ．因此，30021,,,X X X 是独立同分布的随机变量，故()()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<--=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥∑∑∑∑∑∑======3001300130013001300130013951395k k k k k k k k k k k k X D X E X D X E X P X P ⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯-<⨯⨯--=∑=0489.030029.130********.030029.130013001k k X P ()0183.09817.0109.2109.20489.030029.130013001=-=Φ-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<⨯⨯--=∑=k k X P ．七．（本题满分10分） 设总体X 的密度函数为()()⎩⎨⎧≤>=+-cx cx x c x f 01θθθ． 其中0>c 是已知常数，而1>θ是未知参数．()m X X X ,,,21 是从该总体中抽取的一个样本，试求参数θ的最大似然估计量． 解：似然函数为()()()()()121111+-=+-====∏∏θθθθθθθn n n ni i n i i x x x c x c x f L所以，()()∑=+-+=ni ixc n n L 1ln 1ln ln ln θθθθ．所以，()∑=-+=ni i x c n nL d d 1ln ln ln θθθ．令：()0ln =θθL d d ，即0ln ln 1=-+∑=n i i x c n nθ， 得到似然函数的唯一驻点cxnni iln ln 1-=∑=θ．所以参数θ的最大似然估计量为cXnni iln ln ˆ1-=∑=θ．八．（本题满分10分） 设总体()21,~σμNX ，总体()22,~σμN Y ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本．并且随机变量n m Y Y Y X X X ,,,,,,,2121相互独立．记21S 是样本()m X X X ,,,21 的样本方差，22S 是样本()n Y Y Y ,,,21 的样本方差．再设()()21122212-+-+-=n m S n S m S W证明：2W S 是2σ的无偏估计．解：由于总体()21,~σμNX ，()m X X X ,,,21 是从总体X 中抽取的一个样本，所以()()1~12221--m S m χσ．又由于总体()22,~σμNY ，()n Y Y Y ,,,21 是从总体Y 中抽取的一个样本，所以()()1~12222--n S n χσ．所以，()()()()()222122212211111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-m S m E S m E Sm E ， ()()()()()222222222221111σσσσσ-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=-n S n E S n E S n E ． 所以， ()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-=21122212n m S n S m E S E W()[]()[]22211121S n E S m E n m -+--+=()()[]2221121σσσ=-+--+=n m n m 所以，()()21122212-+-+-=n m S n S m SW是2σ的无偏估计．九．（本题满分10分）检验某批矿砂中的含镍量，随机抽取7份样品，测得含镍量百分比分别为：67.2 33.3 69.3 01.3 98.3 15.3 69.3假设这批矿砂中的含镍量的百分比服从正态分布，试在05.0=α下检验这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．（附表：t 分布的分位点表：()9432.1605.0=t ()4469.26025.0=t ()8946.1705.0=t ()3646.27025.0=t解：设X 表示这批矿砂中的含镍量的百分比，则()2,~σμNX ．25.3:0=μH ()25.3:1≠μH由于总体方差未知，故用检验统计量n SX T 25.3-=当0H 成立时，()1~25.3--=n t n SX T ．由于显著性水平05.0=α，7=n ，所以()4469.26025.0=t ．因此检验的拒绝域为()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≥-=4469.225.3:,,,7211n sx x x x W由样本观测值，得36.3=x ，455668007.0=s 所以，4469.2638694486.0745*******.025.336.325.3<=-=-n sx 所以，不拒绝0H ，可以认为这批矿砂中的含镍量的百分比为25.3．。

武汉理工大学考试试题纸（A 卷）课程名称概率论与数理统计专业班级全校本科2008级备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、填空题、)4283('=⨯'1. 已知()0.3P A =，()0.4P B =，()0.25P AB =，则=)(B A P . 2. 设二维随机变量),(Y X 满足{}30,07P X Y ≥≥=，且{}{}3007P X P Y <=<=，则{}max(,)0P X Y ≥=.3. 设二维随机变量),(Y X 的概率密度(2)2,0,0,(,)0,.x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它则{}P Y X ≤=.4. 已知随机变量X 服从参数为1的泊松分布，则{}2()P X E X ==.5. 已知~(0,36)X N ,~(Y U ,相关系数0.5XY ρ=-，则ov(,)C X Y =.6. 1234,,,X X X X 是来自总体),(~2σμN X 的样本，2343X X X Y ++=，()422*212i i S X Y ==-∑，则1*X S μ-服从的分布是. 7. 设12,,,n X X X 为总体X 的一个随机样本，2(),()E X D X μσ==,要使()12211ˆn i i i a X X σ-+==-∑是2σ的无偏估计,则常数=a .8. 设921,,,X X X 为正态总体),(~2σμN X 的样本,其中29σ=,样本均值8.52x =,则总体均值μ的置信度为%95的置信区间为.(小数点后保留两位)二、)01('已知甲乙两箱中装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中装有2件合格品和1件次品，现从甲箱中任取2件放入乙箱，然后再从乙箱中任取一件产品，求该产品为次品的概率及该次品是在从甲箱中没取到次品的情况下取得的概率（结果用分数形式表示）.三、)01('一箱子装有6个球，其中红，白，黑球的个数分别为1，2，3个；现从箱中随机的取出2个球，设X 为取出的红球个数，Y 为取出的白球个数.试求随机变量),(Y X 的联合分布律及Y X ,的边缘分布律(要求画出分布律表格且结果用分数形式表示)，并判断,X Y 是否相互独立.四、)01('设连续型随机变量X 的分布函数为：0,1,()ln ,1,1,.x F x A x x e x e <⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩试求：①常数A；②概率{0P X <≤；③X 的概率密度函数()f x .五、)01('设随机变量X 的概率密度为()14,1112,120,X x f x x -<<⎧⎪=≤<⎨⎪⎩其他，令2Y X =，求Y 的分布函数()Y F y .六、)01('某高校图书馆阅览室共有940个座位，该校共10000名学生，已知每天晚上每个学生到阅览室去自习的概率为10%.试估算阅览室晚上座位不够用的概率（小数点后保留三位）.七、)01('设总体X 的概率密度函数为11()0,1x x f x x θθ--⎧>=⎨≤⎩，，其中1θ>是未知参数，12n,...,X X X 为来自该总体的一个样本，该样本取值为12,...,n x x x .求θ的矩估计量和极大似然估计量.八、)01('假定某车间生产的电子元件的寿命（小时h ）服从正态分布2(,)N μσ，已知技术改变前的平均寿命为1000h ，现在随机测试9个革新以后的电子元件的寿命，计算得样本均值1124x =h ，样本标准差152S h =. 请问在显著性水平05.0=α下, 是否有理由认为技术革新改变了产品质量？九、)6('设连续型随机变量(0,1)X N ，Y 表示对X 的5次观测中事件{}||1X >发生的次数，试判断Y 的分布，并求Y 的方差（小数点后保留三位）.查表数据：(1.00)0.8413Φ=975.0)96.1(=Φ95.0)645.1(=Φ9332.0)50.1(=Φ8595.1)8(05.0=t 3060.2)8(025.0=t 8331.1)9(05.0=t 2622.2)9(025.0=t2009~2010学年第一学期《概率论与数理统计》期末试卷（A 卷）参考答案一、填空题：(每空5分,共25分)(1)、0.4 (2)、57 (3)、1/3 (4)、1e- (5)、-3(6)、(2)t (7)、12(1)n - (8)、(6.56， 10.48)二、(共10分)解:设i A 表示“从甲箱中取了i 件次品放入乙箱”，0,1,2i =； B 表示“从乙箱中取到的是次品”。

湖州师范学院 2010 — 2011 学年第 一 学期 《概率论与数理统计》期末考试试卷（A 卷）适用班级 090126 090127 考试时间 120 分钟学院 班级 学号 姓名 成绩题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分一、填空题 （本题共20分，每空格2分）1．设A 、B 、C 表示三个随机事件，则事件“A 、B 、C 中恰有一个发生”可表示为C B A C B A C B A ++，事件“A 、B 、C 中至少发生二个”可表示为AC BC AB ++。

2．把5本书任意地放在书架上，其中指定的3本书放在一起的概率为103。

3．进行独立重复试验，每次试验成功的概率为p ,则在首次试验成功时共进行了m 次试验的概率为()11--m p p 。

4．若随机变量X 服从正态分布)21,1(N ，则X 的密度函数为=)(x ϕ2)1(1--x e π。

5．一批为产品共20个，其中3个次品，从中任取的3个中次品数不多于一个的概率为32013217317C C C C +。

6．设事件A 、B 、A ⋃B 的概率分别为p 、q 、r ,则=)(AB P r q p -+，=)(B A P q r -。

7．若随机变量X 服从泊松分布，)2()1(===X P X P ，则=≤)1(X P 23-e8．进行独立重复试验，每次试验事件A 发生的概率为p ，则在n 次试验中事得分件A 恰好发生()n k k ≤≤0次的概率为()kn kk np p C --1。

9．已知随机变量X 服从标准正态分布)1,0(N ，=≤)96.1(X P 0.975, 则=<)96.1(X P 0.95 。

10.加工在全产品要经过三道工序，第一、二、三道工序不出废品的概率分别为0.9、0.95、0.8，若假定各工序是否出废品是相互独立的，则经过三道工序生产出的产品是废品的概率是 0.316 。

11.设随机变量X 服从参数为p n ,的二项分布，则=EX np ，DX =()p np -1。

广州大学2009---2010 学年第一学期考试卷一.填空题（每小题3分，共计15分）1．设A与B为两事件, P(A)=P(B)=0.6, 且P(A∪B)=0.9, 则P(AB)= 0.32．设A与B为两事件, P(A)=1-P(B)=0.6, 且P(A∪B)=0.8, 则P(A|B)= 0.53．口袋中有4个白球3个黑球, 从中任取两个, 则取到同颜色球的概率为3/74．设X服从正态分布, P(X ≥0)=0.5, P(X≤2)=0.85,则P(|X|≤2)= 0.75．设X与Y相互独立, D(X)=1, D(Y)=2，则协方差cov(2X+Y, X-2Y)= -2二．单项选择题（每小题3分，共计15分）1．设A表示事件“明天和后天都下雨”，则其对立事件A表示【 B 】(A)“明天和后天都不下雨”(B)“明天或者后天不下雨”(C)“明天和后天正好有一天不下雨”(D)“明天或者后天下雨”2．设事件A与B独立且0<P(A)≤P(B)<1，则下列等式中有可能成立的是【C】(A) P(A)+P(B)=P(A∪B) (B) P(A)=P(A∩B)(C) P(A)+P(B)=1 (D) P(B)=P(A∪B)3．设连续随机变量X的分布函数为F(x), a为正数,则P(|X|>a) 等于【D】(A) F(a) + F(-a) (B) F(a) + F(-a) -1(C) F(a) -F(-a) (D) 1- F(a) + F(-a)4．设X与Y为两个随机变量，则下列选项中能说明X与Y独立的是【D】(A) E(X+Y) = E(X) + E(Y) (B) E(XY) = E(X)E(Y)(C) D(X+Y) =D(X) + D(Y) (D) 对∀a, b有P(X ≤a,Y ≤b)=P(X ≤a) P(Y ≤b)5. 设二维随机变量(X, Y) 服从某个圆形区域上的均匀分布, 则一定有【A】(A) X与Y不相关(B) X与Y相互独立(C) X与Y同分布(D) X与Y都服从均匀分布三．解答下列各题（每小题8分，共计32分）1. 学生在做一道单项选择题时，若他知道正确答案则一定答对，否则就从4个选项中随机选择一项作答. 设学生知道正确答案的概率是0.5, 求他答对题目的概率.解: 设A表示学生答对题目, B表示学生知道正确答案.BAPPBPP+A=⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分APB)(B)(|)(|()()= 0.5⨯1+ 0.5⨯0.25= 0.625 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分2. 某人投篮的命中率为0.7. 求他投篮3次当中至少投中2次的概率.解: 以X表示3次投篮投中的次数, 则X ~ b(3, 0.7).⎪⎩⎪⎨⎧<≥=1,01,1)(2x x x x f 311)(1)(14122===⎰⎰∞∞dx x dx x f x Y E P (X ≥ 2) = P (X =2) + P (X = 3) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分= 0.784 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分3．设有200台机器同时独立工作, 每台机器出现故障的概率为0.01, 求至少有2台机器出现故障的概率. 解: 以X 表示出现故障的机器台数, 则X ~ b (200, 0.01).则 X 近似服从泊松分布, 参数λ =200⨯0.01=2. ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2分 P (X ≥ 2) = 1 - P (X =0) - P (X = 1) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分 ≈ 1 -e -2 -2e -2 = 1 -3e -2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分4．设随机变量X 的密度函数为 , 求Y =1/X 的数学期望和方差.解:211)(1)(131===⎰⎰∞∞dx xdx x f x Y E ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分D (Y ) =E (Y 2) - E (Y ) 2 = 1/12 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分四.(本题12分) 有4个外观完全相同的盒子, 其中2个装有气球. 随机打开一个盒子, 若没有气球则从其余的盒子中随机选择一个打开, 如此继续, 直到发现气球为止. (1) 求打开第3个盒子才找到气球的概率.(2) 以X 表示找到气球时打开的盒子数, 写出X 的分布律. (3) 计算X 的数学期望和方差.解: (1) 设A 1, A 2分别表示第1次和第2次打开空盒子. 所求概率为613121)|()()(12121=⨯==A A P A P A A P ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分(2) X 的分布律为⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 8分(3) E (X ) =1⨯ 1/2+2⨯ 1/3+3⨯ 1/6 =5/3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10分32237.03.07.0+⨯=CE (X 2) =12⨯ 1/2+22⨯ 1/3+32⨯ 1/6 =10/3D (X ) =E (X 2) - E (X ) 2 =10/3 -(5/3) 2=5/9 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 五．(本题12分) 某种型号元件的寿命X (单位:年)服从指数分布, 其参数λ =ln2. (1) 求单个元件在使用1年后仍然有效的概率.(2) 购买这种元件400个, 求使用1年后有效的元件数在180-220之间的概率. 【提示: 利用中心极限定理】2z解: (1) 所求概率为5.0)1(2ln 1====>--∞-⎰e e dx e X P x λλλ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 4分(2) 以Y 表示购买的400个元件使用1年后有效的元件数, 则Y ~ b (400, 0.5). E (Y ) =400⨯ 0.5 =200,D (Y ) =400⨯ 0.5⨯ (1- 0.5) =100 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分 由中心极限定理,)(*Y D EY Y Y -=近似服从标准正态分布. 故)(102002201020010200180)220180(-≤-≤-=≤≤Y P Y P= P (- 2 ≤ Y *≤ 2)= Φ(2) - Φ(- 2) ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分 = 2 Φ(2) - 1 = 2⨯ 0.977 - 1= 0.954 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 12分 六．(本题14分) 已知 (X ,Y )服从平面区域D ={(x ,y ): x +y ≤1, x >0, y >0} 上的均匀分布. (1) 写出(X ,Y )的联合密度函数f (x ,y ). (2)分别求1-X 和Z =X +Y 的分布函数. (3) 计算X 与Y 的相关系数.【提示: 2cov(X , Y ) =D (X +Y )-D (X )-D (Y )】解: (1)⎩⎨⎧≤+>>=其它,0;1,0,0,2),(y x y x y x f ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3分 (2) F 1-X (t ) = P (1-X ≤ t ) = P (X ≥ 1- t ) =dxdy t x D ⎰⎰-≥⋂}1{2.当0< t ≤ 1时, D ∩{(x ,y ): x ≥ 1- t }的面积= t 2/2, 故⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=-.1,1;10,;0,0)(21t t t t t F X ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6分F Z (t ) = P (X +Y ≤ t ) =dxdy t y x D ⎰⎰≤+⋂}{2. 即⎪⎩⎪⎨⎧>≤<≤=.1,1;10,;0,0)(2t t t t t F Z ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 9分(3) 由前面知1-X 与Z =X +Y 同分布, 且易知X 与Y 同分布, 故D (X +Y ) =D (1-X ) =D (X ) =D (Y ),2cov(X , Y ) =D (X +Y )-D (X )-D (Y ) = -D (X )21)(),(cov )()(),(cov -===X D Y X Y D X D Y X XY ρ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 14分。