中小学数学能力心理学

数学能力与心理学代钦内蒙古师范大学数学科学学院摘要：1.数学能力和个性：1.1 兴趣爱好对数学学习的影响；1.2良好个性与数学教育之间的关系；1.3 情感、美感对数学学习的影响；1.4坚强的意志与数学学习。

2 数学能力结构。

3.数学能力的特殊性。

4.关于数学能力本质的某些见解。

1.数学能力和个性1.1 兴趣爱好对数学学习的影响应当指出，“爱好和能力在发展中的统一性”是有才能的数学家的特征，也是在数学方面卓有成效的活动所不可缺少的特征。

它表现在对数学的肯定的选择态度，对数学有深厚的和有效的兴趣。

有学习、钻研数学的意愿和需要，酷爱数学。

一个人对数学没有热情，他就不可能在数学方面成为有创造性的学者，因为只有热爱这项工作，才能使人奋发研究，动员人的学习积极性。

没有对数学的爱好，就不可能对它有真正的能力。

如果一个学生对数学感觉不到有任何爱好，即使有很好的能力，也未必保证有成效地掌握数学。

爱好、兴趣在这里所起的作用是使对数学有兴趣的人专心致志学习数学，从而也就精神饱满地锻炼和发展自己的能力。

数学家本人也经常指出这一点，他们的整个经历和创造活动也证实了这一点。

对有天资的学生的描述明显地证实，能力只是在有爱好或数学活动有特殊需要时，才能有效地发展。

我们所观察到的儿童，毫无例外地对数学都有一种强烈的兴趣和从事数学活动的爱好，都有努力获得数学知识和解题的愿望。

但是，尽管通常情况下能力与爱好有联系，但这不是一个普遍的规律。

譬如说，根据对相应活动有无爱好和爱好表现的明显程度来诊断有无能力，那就错了。

在个别场合下，这种断定甚至可能与事实完全不同。

在学校往往遇到这样的情况：对数学有能力的学生却对数学很少有兴趣，在学习这门课程上也没有取得突出的成绩。

不过，如果教师善于启发他对数学的兴趣和爱好，那么这个学生就会被数学迷住，就会很快地取得优异的成绩类似的情况，在一些著名的数学家的生平中也发生过（罗巴切夫斯基、奥斯特罗格拉特茨基、鲁金等）。

1.2良好个性与数学教育之间的关系1.2.1个性对数学学习的作用以上是对数学家来说的，对一般的学生来说也有类似的情况。

良好的个性品质对数学学习有着重要的促进作用。

所谓健康的个性，是指学生在体力与智力、知识与道德、性格与才能、理性与直觉、美的体验与表现等方面获得高度和谐发展的个性品质。

换言之，良好的个性就是一种和谐发展的个性、一种富有高度效能的具有创造性的个性、是人道主义者（人性化）的个性。

这是在数学的教学活动中不可缺少的个性品质。

然而在当今的教学实践中不少数学教师仅仅注重知识的传授和考试成绩，而忽视了培养学生学数学的兴趣、动机以及良好的个性品质及其在数学学习中的重要作用。

在一定意义上说，这种现象导致了不少学生对数学学科不感兴趣，甚至厌恶数学，成绩平平，这就是我们所面临的重要课题。

学生的良好的个性品质与数学学科的本质特征之间具有内在的联系。

首先，从数学学科内容上来讲，它是一种极抽象的学科，换句话说，它是把一个名称给予不同事物的高级艺术。

所以学习数学，钻研数学，必须有个脚踏实地、顽强攀登、创新开拓的精神。

而那种投机取巧、不干实事的人是难以踏入数学王国的。

其次，从数学学科结构上来看，数学是一门经过严格逻辑论证的精确而严谨的学科，其系统是完美和谐的。

所以，学数学时，必须有一丝不苟的严肃态度，而绝不容许那滥竽充数，弄虚作假，蒙混过关的态度。

所以有人说，将化圆为方要比说服数学家容易。

这颇有普遍性意义。

再次数学也是一门应用性广泛的学科。

这是确定中小学数学教学目的的主要依据之一。

这与学生的远大理想有着很大关系。

1.2.2 数学教育对良好个性品质的作用今天的数学教育，只重视数学知识的传授和数学能力的培养，而忽视了数学学科中蕴藏着的人格的因素。

尚未充分认识到数学教育对培养良好数学思维习惯的作用。

任何一个有教养和素质的人之所以有力量，并不在于仿效别人，而是找到了自己对待事物的正确态度。

在学生身上逐渐地树立这种正确态度的过程中，数学教育能起到重要作用。

就象苏联数学家、数学教育家辛钦所指出的那样：“钻研数学学科必然会在青年人身上循序渐近地培养出许多道德色彩明显，并进而能够成为其主要品德因素的特点”。

青少年，学习数学，钻研数学首先必须树立尊重事实，服从真理的态度，才能理解它，会运用它。

因为由数学学科的特征来看，数学是一门严肃的学科，它不仅仅使人受到智慧的美的熏陶，还能使人懂得如何做真诚、正真、坚韧和聪敏勇敢的人。

世界上每所学校必修的唯一的学科是数学，它被作为学生进入多种职业的筛选手段，其主要原因并不是借助数学的运算寻求答案，而是借助数学培养人在错综复杂的境遇中，能够进行有条理的分析，能够很好地作出正确决策的能力。

美国前总统尼克松的回忆录在某种程度上表明了这一点：“我觉得数学难学，但是，多亏代数老师米亚诺先生和几何老师厄恩斯伯格小姐循循善诱，数学成了我成绩最好的科目之一。

我清楚地记得，在富勤顿中学读二年级的时候，厄恩斯伯格小姐在几何课上出了一道难题，对我们说，谁能把这道题解了，这门课的学期成绩就给他‘优’。

我晚上九点钟伏在厨房的桌子上开始解这道题。

（第二天）清早四点钟……我找到了答案”。

他从数学中得到了启示，数学对他的成长和事业上的成功所起到的作用是巨大的。

当然，有时候只能意会数学学科的这种威力，而难以言传。

相比之下，从数学教育角度而言，爱迪生的数学老师给他带来了灾难性的后果。

（请参阅爱迪生的生平材料）1.3 情感、美感对数学学习的影响人所体验的情感是任何活动能力，包括数学能力的发展的一个重要因素。

创造的快乐，对紧张的脑力劳动的满足感，以及在这个过程中得到的情感享受，都能提高一个人的智力状态，调动他的力量，迫使他去战胜困难。

一个冷漠无情的人可能成为一个创造者。

调查显示，有天资的儿童的特点是，数学学习活动具有深厚的情感，体验到每一个成就所带来的真正的快乐。

特殊的美感对数学的创造力来说有很大的价值。

著名的法国数学家A·彭加勒描写过数学家体验的真正美感——数学的美感，数和形式的和谐感，几何图形的优美感。

雷韦斯兹写到：“数学家之所以去创造是因为思维构成物的美给他带来了快乐。

”对解题的优美的体验是能力强的学生（我们所调查到的）所特有的。

他们说：“多么漂亮的解答！这种方法象一场精彩的棋局激起我的满足感。

”他们的面部表情和举止也说明了他们所体验到的美感——他们的眼睛流露出高兴的神色，他们满意地搓着双手，险上呈现出笑容，互相邀请来欣赏敏锐的思路、特别漂亮的解法。

如同所有的能力一样，数学能力的全面高度发展的可能性，完全取决于性格特征。

1.4坚强的意志与数学学习人的能力无论怎样出色，如果他没有勤奋而顽强工作的习惯，他未必能在活动中取得巨大的成就，充其量，他也只不过是具有潜在的能力。

天资高的学生在数学活动中经常表现出坚韧不拔的精神，有工作能力和勤奋。

不过，也有例外，有些具有数学能力的学生错误地认为，他不需要在数学领域特别用功，凭他的能力就可以取得好的成绩。

教师和父母应当经常说服他们，即使在有能力的情况下，学习数学也要勤奋、顽强和刻苦，应当耐心地培养这些品质，激励学生在解数学题时不要在困难面前退却，而要坚持到底。

当然，应当这样来理解数学家的上述性格特征，这些特征是有选择地表现的，只表现在数学活动中，并不说明他的生活和活动的其他方面。

科瓦列夫和米亚西谢夫正确指出，一个科学家其中包括数学家，可能意志薄弱、工作能力差、容易疲劳，但是，在数学活动中他却能表现出另一种特征：高度的组织力、坚持不懈和有工作能力。

例如，著名数学家陈景润、华罗庚等人物的生平实际。

真正的科学家还需要具备一个性格特征，就是对自己、自己的潜力、自己的成就持批判的态度，谦虚，正确地对待自己的能力。

应当指出，不正确地对待能力强的学生．例如夸奖他，夸大他的成绩，夸耀他的能力，强调他比别人优越，就非常容易使他形成一种比别人高明，地位超群，这就是用“顽固的骄傲自满的病毒”来毒害他。

最后一点是，不提高一个人的一般文化水平，他在数学上就不可能有发展。

应当全面地、和谐地发展人的个性。

除了数学以外，对其他一切采取“虚无主义”的态度，极端片面地发展能力是不可能促使数学活动取得成就。

2 数学能力结构的一般问题——一般结构：成分的相互关系学龄期数学能力有如下一般结构：2.1．获得数学信息对数学材料形式化知觉的能力，掌握习题的形式结构的能力。

2.2 加工数学信息（这极其重要！）（1）在数量和空间关系、数和字母符号方面进行逻辑思维的能力；用数学符号进行思维的能力。

（2）对数学的对象、关系和运算迅速而广泛的概括能力。

（3）简缩数学推理过程和相应的运算系统的能力；用简缩结构进行思维的能力。

（4）数学活动中思维过程的灵活性。

（5）力求使解法清晰、简明、经济、合理的意图。

（6）迅速而自由地转换思维过程的指向性的能力，从正向思维进程转到逆向思维进程的能力（数学推理中思维过程的可逆性）。

2.3 保持数学信息数学记忆（对数学关系、类型特征、论证和证明的模式、解题方法以及探索原则等的概括记忆。

）2.4 一般的综合性成分上述组成部分是密切联系、互相影响的，它们集合起来形成一个统一的系统、完整的结构、数学天资的禀赋特征症群，智慧的数学风格。

没列入数学天资结构的组成部分是那些在这个结构中不是必需存在的部分（虽然也有益处）。

对数学天资来说，它们是中性的。

但是，它们在结构中的有或无（确切地说，发展程度）却决定着智慧的数学风格的类型。

在数学天资结构中下列组成部分是可有可无的：（1）作为暂时特征的思维过程的敏捷性．个人的工作速度不起决定作用。

数学家可以从容不迫地思考，甚至思考得很慢，但是非常透彻、深刻。

（2）计算能力（迅速而精确的计算能力，常指心算）。

大家知道，有些人能在心里进行复杂的数学计算（几乎能立即求出三位数的平方和立方，求出六位数的立方根），但是，却不能解较复杂的习题。

过去和现在都有一些非凡的‘计算员”，而他们在数学上却没有什么作为。

著名的法国数学家彭加勒自己写道，他甚至在做加法时也不能避免出错。

（3）对符号、数字、公式的记忆。

正如H．科尔莫戈罗夫院士所指出的，很多卓越的数学家却没有这种卓越的记忆力。

（4）空间表象的能力。

（5）把抽象的数学关系和依赖关系直观表象出来的能力。

必须强调，数学能力结构的轮廓是指中学生数学能力的。

在尚未专门研究之前，我们不能预先讲，要达到什么程度可以认为这个结构是数学能力结构的一般轮廓，即达到什么程度才能被认为是完全成熟的有天资的数学家。

当然，能力结构的具体内容在很大程度上依赖于教学法，因为结构是在教学过程中逐渐形成的。

我们所确定的成分应不受任何条件的限制而包括在这个结构之内。

比如说，不能设想，在哪一种教学系统下，概括能力或数学记忆力不包括在数学能力结构之中。