对数与对数运算(二)优秀导学案

2.2.1对数与对数运算（一）一【学习目标】 （一） 教学知识点1.对数的概念；2．对数式与指数式的互化． （二） 能力训练要求1.理解对数的概念；２．能够进行对数式与指数式的互化；３．培养学生数学应用意识． 二、教学重点：对数的定义． 三、教学难点：对数概念的理解． 四【新课讲授】(导学)假设2002年我国国民生产总值为a 亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产总值是2002年的2倍？列出表达式： （自学）知识点1 ： 对数的概念1.对数定义：一般地，如果 ，)1,0(≠>a a 且则数 b 叫做以a 为底 N 的对数， 记作 ，其中a 称为对数的底，N 称为真数. （b N N a a b =⇔=log ）（1）底数的取值范围 ；真数的取值范围（2）对数式和指数式关系式 子名称 a b N指数式 对数式思考1．将下列指数式写成对数式： （1）62554= （2）64126=- （3）273=a(4)73.531=m ）（知识点2 两种重要对数1.常用对数：以10为底的对数叫做常用对数N 10log 简记作 ． 思考2：5log 10简记作； 5.3log 10简记作2.自然对数：用以无理数e=2.71828……为底的对数叫自然对数， N e log 简记作思考3：3log e 简记作 10log e 简记作 思考4． 将下列对数式写成指数式：（1）416log 21-=； （2）7128log 2=； （3）201.0lg -=； （4）303.210ln =．知识点三 : 重要公式：⑴负数与零没有对数； ⑵01log =a ， 1log =a a ⑶对数恒等式N aNa =log五【典例欣赏】（互学） 1对数概念应用例1.求下列各式中x 的取值范围：(1)log 2(x －10)；(2)log (x －1)(x ＋2)；(3)log (x ＋1)(x －1)2.2对数基本运算例2求下列各式中的x 的值：（1）32log 64-=x ；（2）68log =x ；（3）x =100lg ；（4）x e =-2ln 。

§2.7 对数与对数函数课时:2课时 主备课人：马富强导学目标1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用.2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝ax 与对数函数y ＝logax 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型1.对数的概念 (1)对数的定义如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作__________，其中______叫做对数的底数，______叫做真数. (2)几种常见对数对数形式 特点 记法一般对数 底数为a (a >0且a ≠1)常用对数 底数为______自然对数 底数为____2.(1)对数的运算法则如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么①log a (MN )＝____________；②log a MN＝__________；③log a M n＝__________ (n ∈R )；④log a m M n ＝__________. (2)对数的性质①log a Na ＝______；②log a a N ＝______(a >0且a ≠1). (3)对数的重要公式①换底公式：____________ (a ，b 均大于零且不等于1)；②log a b ＝1log b a，推广log a b ·log b c ·log c d ＝________.3.对数函数的图象与性质a >10<a <1图象性质(1)定义域：________(2)值域：______(3)过点__________，即x ＝______时，y ＝______(4)当x >1时，________ 当0<x <1时，________ (5)当x >1时，________当0<x <1时，________ (6)在(0，＋∞)上是_____(7)在(0，＋∞)上是_____4.反函数x __________互为反函数，它们的图象关于直线________对称.从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. 2.对数函数的定义域及单调性在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为{x |x >0}.对数函数的单调性和a 的值有关，因而，在研究对数函数的单调性时，要按0<a <1和a >1进行分类讨论. 3.关于对数值的大小比较(1)化同底后利用函数的单调性； (2)作差或作商法； (3)利用中间量(0或1)； (4)化同真数后利用图象比较.1.写出下列各式的值：(1)log 26－log 23＝________；(2)lg 5＋lg 20＝________；(3)log 53＋log 513＝______；(4)log 35－log 315＝________.2.(2011·江苏)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是__________.3.已知函数f (x )＝log a (x ＋b ) (a >0且a ≠1)的图象过两点(－1,0)和(0,1)，则a ＝________，b ＝________.4.函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上(其中mn >0)，则1m ＋2n 的最小值为________. 5.(2011·安徽)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是( )A.⎝⎛⎭⎫1a ，bB.(10a,1－b )C.⎝⎛⎭⎫10a ，b ＋1 D.(a 2,2b )题型一 对数式的化简与求值例1 计算下列各式. (1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2；(2)(lg 3)2－lg 9＋1·(lg 27＋lg 8－lg 1 000)lg 0.3·lg 1.2；(3)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83).探究提高 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化. (2)熟练地运用对数的三个运算性质并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧.(1)化简lg 37＋lg 70－lg 3－lg 23－lg 9＋1；(2)已知f (3x)＝4x log 23＋233，求f (2)＋f (4)＋f (8)＋…＋f (28)的值.题型二 对数函数的图象与性质例2 作出函数y ＝log 2|x ＋1|的图象，由图象指出函数的单调区间，并说明它的图象可由函数y ＝log 2x 的图象经过怎样的变换而得到. 探究提高 作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来.一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象.(2010·课标全国)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |， 0<x ≤10，－12x ＋6， x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是 ( )A.(1,10)B.(5,6)C.(10,12)D.(20,24)题型三 对数函数的综合应用例3 已知函数f (x )＝log a (8－2x ) (a >0且a ≠1). (1)若f (2)＝2，求a 的值；(2)当a >1时，求函数y ＝f (x )＋f (－x )的最大值.探究提高 本题的求解体现了方程思想和函数思想的应用，主要涉及对数式的求值，对数函数的图象和性质的综合运用以及与其他知识的结合(如不等式、指数函数等).已知函数f (x )＝log a (x ＋1) (a >1)，若函数y ＝g (x )图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象. (1)写出函数g (x )的解析式；(2)当x ∈[0,1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围.4.数形结合思想在对数函数中的应用试题：(12分)已知函数f (x )＝log a (a x －1) (a >0且a ≠1). 求证：(1)函数f (x )的图象总在y 轴的一侧；(2)函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0.审题视角 (1)要证明f (x )的图象总在y 轴的一侧，说明f (x )的自变量只能在(0，＋∞)或(－∞，0)内取值.(2)可以在f (x )上任取两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，证明k ＝y 2－y 1x 2－x 1>0即可.规范解答证明 (1)由a x －1>0，得a x >1， [1分] ∴当a >1时，x >0，即函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 此时函数f (x )的图象在y 轴的右侧；[3分] 当0<a <1时，x <0，即函数f (x )的定义域为(－∞，0)， 此时函数f (x )的图象总在y 轴的左侧. [5分] ∴函数f (x )的图象总在y 轴的一侧.[6分](2)设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)是函数f (x )图象上的任意两点，且x 1<x 2，则直线AB 的斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2.[7分] y 1－y 2＝log a (a x 1－1)－log a (a x 2－1)＝log a 1211x x a a --，[8分]当a >1时，由(1)知0<x 1<x 2，∴1<a x 1<a x 2，∴0<a x 1－1<a x 2－1.∴0<1211x x a a --<1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0. [9分] 当0<a <1时，由(1)知x 1<x 2<0，∴a x 1>a x 2>1，∴a x 1－1>a x 2－1>0.[10分]∴1211x x a a -->1，∴y 1－y 2<0.又x 1－x 2<0，∴k >0.∴函数f (x )图象上任意两点连线的斜率都大于0. [12分] 批阅笔记 说到数形结合思想，我们更多的会想到以“形”助“数”来解决问题.事实上，本题是以“数”来说明“形”的问题，同样体现着数形结合的思想.本题的易错点是：①找不到证明问题的切入口.如第(1)问，很多考生不知道求其定义域.②不能正确进行分类讨论.若对数或指数的底数中含有参数，一般要进行分类讨论.方法与技巧1.指数式a b ＝N 与对数式log a N ＝b 的关系以及这两种形式的互化是对数运算法则的关键.2.指数运算的实质是指数式的积、商、幂的运算，对于指数式的和、差应充分运用恒等变形和乘法公式；对数运算的实质是把积、商、幂的对数转化为对数的和、差、积.3.注意对数恒等式、对数换底公式及等式log am b n ＝n m ·log a b ，log a b ＝1log b a在解题中的灵活应用.失误与防范1.在运算性质log a M n ＝n log a M 时，要特别注意条件，在无M ＞0的条件下应为log a M n ＝n log a |M |(n ∈N *，且n 为偶数).2.指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，应从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别.3.明确函数图象的位置和形状要通过研究函数的性质，要记忆函数的性质可借助于函数的图象.因此要掌握指数函数和对数函数的性质首先要熟记指数函数和对数函数的图象.A 组 专项基础训练题组一、选择题1.(2011·天津)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则 ( ) A.a >b >c B.a >c >b C.b >a >cD.c >a >b2.(2010·天津)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log (－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A.(－1,0)∪(0,1)B.(－∞，－1)∪(1，＋∞)C.(－1,0)∪(1，＋∞)D.(－∞，－1)∪(0,1)3.设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有 ( ) A.f (13)<f (2)<f (12)B.f (12)<f (2)<f (13)C.f (12)<f (13)<f (2)D.f (2)<f (12)<f (13)二、填空题4.(lg 2)2＋lg 2·lg 5＋lg 5＝________.5.若函数f (x )＝log a (x 2－ax ＋3) (a >0且a ≠1)满足对任意的x 1、x 2，当x 1<x 2≤a2时，f (x 1)－f (x 2)>0，则实数a 的取值范围为__________.6.函数f (x )＝12log (x 2－2x －3)的单调递增区间是__________.三、解答题7.已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a >0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)若a >1时，求使f (x )>0的x 的解集. 8.已知函数f (x )＝12log (a 2－3a ＋3)x .(1)判断函数的奇偶性； (2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围.12B 组 专项能力提升题组一、选择题1.已知函数f (x )＝a x ＋log a x (a >0，a ≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为log a 2＋6，则a 的值为( )A.12B.14C.2D.42.已知函数f (x )＝||lg x ，若a ≠b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋b 的取值范围是 ( ) A.(1，＋∞) B.[)1，＋∞ C.(2，＋∞)D.[)2，＋∞3.设函数f (x )＝log 2x 的反函数为y ＝g (x )，若g ⎝⎛⎭⎫1a －1＝14，则a 等于( )A.－2B.－12C.12D.2二、填空题4.设函数的集合P ＝{f (x )＝log 2(x ＋a )＋b |a ＝－12，0，12，1；b ＝－1,0,1}，平面上点的集合Q ＝{(x ，y )|x ＝－12，0，12，1；y ＝－1,0,1}，则在同一直角坐标系中，P 中函数f (x )的图象恰好经过Q 中两个点的函数的个数是________.5.若log 2a 1＋a 21＋a<0，则a 的取值范围是____________.6.设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 013)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 013)＝________.7.(2011·山东)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a >0，且a ≠1).当2<a <3<b <4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________. 三、解答题8.已知函数f (x )＝lg(a x －b x )(a >1>b >0). (1)求y ＝f (x )的定义域；(2)在函数y ＝f (x )的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时，f (x )在(1，＋∞)上恒取正值.。

课题：2.2.1对数与对数运算（2）一、三维目标：知识与技能: 1．理解和掌握对数运算的性质； 2．掌握对数式与指数式的关系。

过程与方法: 通过对具体实例的学习,使学生了解知识源于生活，服务于生活。

情感态度与价值观: 1.通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；2.在学习过程中培养学生探究的意识，体会数学的应用价值。

二、学习重、难点：重点：对数运算的性质与对数知识的应用。

难点：正确使用对数的运算性质。

三、学法指导：学生自主推理、讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标。

四、知识链接：B ㈠ ⑴、x1.0822=, x 的值可以表示为___________。

⑵、3464=,对数形式记作_______________。

⑶、2384=,对数形式记作____________________。

⑷、2100.01-=,对数形式记作__________________。

A ㈡对数的定义及对数恒等式：log a N b =⇔ （a ＞0，且a ≠1，N ＞0）.A ㈢指数的运算性质：_______;_______m n m n a a a a ⋅=÷=；()________;__________m na ==。

五、学习过程：A 问题1：我们知道，对数式可看作指数运算的逆运算，你能从指数与对数的关系以及指数运算性质，得出相应的对数运算性质吗？例如:,,+⋅===mnm nm n a a aM a N a 设,于是,m n MN a += 由对数的定义得到log ,log m n a a M a m M N a n N =⇔==⇔= log m n a MN a m n MN +=⇔+= log log log a a a M N MN ∴+=即：同底对数相加，底数不变，真数相乘。

B 问题2:请根据指数的性质按照以上的方法推出对数的其它性质。

如果a ＞0且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么：（1）log log log a a a MN M N =+ （2）log log log aa a MM N N=- （3）log log ()n a a M n M n R =∈C 问题3:1. 在上面的式子中，为什么要规定a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0呢？2.你能用自己的语言分别表述出以上三个等式吗？B 例1.计算：① 01.0lg ； ② 42log (2； ③ 5lg 2lg +； ④lg1001/5⑤ 142log 2112log 487log 222--+； ⑥ 25lg 50lg 2lg )2(lg 2+⋅+；⑦2593⨯3（）㏒ ； ⑧3332726log log log 535+-.C 例2． 用a a a x , y , z ㏒㏒㏒表示下列各式：（1）2a x yz （）㏒ （2）a ㏒ yz x 2 （3）a ㏒zy x2C 例3．必修一66页例5、例6请同学们认真阅读例题内容及解法，要求每个人都可以在课堂上展示。

对数与对数运算导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN§2.2.1 对数与对数运算（1）1. 理解对数的概念；2. 能够说明对数与指数的关系；3. 掌握对数式与指数式的相互转化.6264，找出疑惑之处）复习1：庄子：一尺之棰，日取其半，万世不竭.（1）取4次，还有多长？（2）取多少次，还有0.125尺复习2：假设2002年我国国民生产总值为a亿元，如果每年平均增长8%，那么经过多少年国民生产是2002年的2倍（只列式）二、新课导学※学习探究探究任务：对数的概念问题：截止到1999年底，我国人口约13亿. 如果今后能将人口年平均增长率控制在1%，那么多少年后人口数可达到18亿，20亿，30亿？讨论：（1）问题具有怎样的共性？（2）已知底数和幂的值，求指数怎样求呢？例如：由1.01x m，求x.新知：一般地，如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做以a 为底 N 的对数（logarithm ）.记作 log a x N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数试试：将复习2及问题中的指数式化为对数式.新知：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数（common logarithm ），并把常用对数10log N 简记为lg N 在科学技术中常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e 为底的对数叫自然对数，并把自然对数log e N 简记作ln N试试：分别说说lg5 、lg3.5、ln10、ln3的意义.反思：（1）指数与对数间的关系？0,1a a >≠时，x a N =⇔ .（2）负数与零是否有对数为什么（3）log 1a = ， log a a = .※ 典型例题例1下列指数式化为对数式，对数式化为指数式.（1）35125= ；（2）712128-=；（3）327a =； （4） 2100.01-=； （5）12log 325=-；（6）lg0.001=3-； （7）ln100=4.606.变式：12log 32?= lg0.001=小结：注意对数符号的书写，与真数才能构成整体.例2求下列各式中x 的值：（1）642log 3x =； （2）log 86x =-； （3）lg 4x =； （4）3ln e x =.小结：应用指对互化求x .※ 动手试试练1. 求下列各式的值.（1）5log 25 ； （2）21log 16； （3）lg 10000.练2. 探究log ?n a a = log ?a N a =三、总结提升※ 学习小结①对数概念；②lg N 与ln N ；③指对互化；④如何求对数值※ 知识拓展对数是中学初等数学中的重要内容，那么当初是谁首创“对数”这种高级运算的呢？在数学史上，一般认为对数的发明者是十六世纪末到十七世纪初的苏格兰数学家——纳皮尔（Napier ，1550-1617年）男爵. 在纳皮尔所处的年代，哥白尼的“太阳中心说”刚刚开始流行，这导致天文学成为当时的热门学科. 可是由于当时常量数学的局限性，天文学家们不得不花费很大的精力去计算那些繁杂的“天文数字”，因此浪费了若干年甚至毕生的宝贵时间. 纳皮尔也是当时的一位天文爱好者，为了简化计算，他多年潜.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 若2log 3x =，则x =（ ）.A. 4B. 6C. 8D. 92.log = （ ）.A. 1B. －1C. 2D. －23. 对数式2log (5)a a b --=中，实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,5)-∞B ．(2,5)C ．(2,)+∞D ． (2,3)(3,5)4. 计算：1(3+= .5. 若log 1)1x =-，则x =________，若y =，则y =___________.1. 将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式.（1）53243=； （2）51232-=； （3）430a = （4）1() 1.032m =； （5）12log 164=-；（6）2log 1287=； （7）3log 27a =.2. 计算：（1）9log 27； （2）3log 243； （3）；（3）(2log (2； （4）.§§2.2.1 对数与对数运算（2）1. 掌握对数的运算性质，并能理解推导这些法则的依据和过程；2. 能较熟练地运用对数运算法则解决问题..一、课前准备（预习教材P 64~ P 66，找出疑惑之处）复习1：（1）对数定义：如果x a N =(0,1)a a >≠，那么数 x 叫做 ，记作 .（2）指数式与对数式的互化： x a N =⇔ .复习2：幂的运算性质.（1）m n a a = ；（2）()m n a = ；（3）()n ab = .复习3：根据对数的定义及对数与指数的关系解答：（1）设log 2a m =，log 3a n =，求m n a +；（2）设log a M m =，log a N n =，试利用m 、n 表示log (a M ·)N ．二、新课导学※ 学习探究探究任务：对数运算性质及推导问题：由p q p q a a a +=，如何探讨log a MN 和log a M 、log a N 之间的关系？问题：设log a M p =, log a N q =，由对数的定义可得：M =p a ，N =a∴MN =p a q a =p q a +，∴log a MN =p +q ，即得log a MN =log a M + log a N根据上面的证明，能否得出以下式子？如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()log log a a a MN M N =+；（2）log log log a a a M M N N=-； （3） log log ()n a a M n M n R =∈.反思：自然语言如何叙述三条性质 性质的证明思路（运用转化思想，先通过假设，将对数式化成指数式，并利用幂运算性质进行恒等变形；然后再根据对数定义将指数式化成对数式※ 典型例题例1用log a x , log a y , log a z 表示下列各式：（1）2log a xy z ； （2）log a .例2计算：（1）5log 25； （2）0.4log 1；（3）852log (42)⨯； （4）探究：根据对数的定义推导换底公式log log log c a c b b a=（0a >，且1a ≠；0c >，且1c ≠；0b >）．试试：2000年人口数13亿，年平均增长率1℅，多少年后可以达到18亿？※ 动手试试练1. 设lg2a =,lg3b =，试用a 、b 表示5log 12.变式：已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，求lg6、.练2. 运用换底公式推导下列结论.（1）log log m n a a n b b m=；（2）1log log a b b a =.练3. 计算：（1）7lg142lg lg7lg183-+-；（2）lg 243lg9.三、总结提升※ 学习小结①对数运算性质及推导；②运用对数运算性质；③换底公式.※ 知识拓展① 对数的换底公式log log log b a b N N a =； ② 对数的倒数公式1log log a b b a=. ③ 对数恒等式：log log n n a a N N =，log log m n a a n N N m=，log log log 1a b c b c a =.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 下列等式成立的是（ ）A ．222log (35)log 3log 5÷=-B ．222log (10)2log (10)-=-C ．222log (35)log 3log 5+=D ．3322log (5)log 5-=-2. 如果lgx =lga +3lgb －5lgc ，那么（ ）.A ．x =a +3b －cB ．35abx c =C ．35ab x c = D ．x =a +b 3－c 33. 若()2lg 2lg lg y x x y -=+，那么（ ）.A ．y x =B ．2y x =C ．3y x =D ．4y x =4. 计算：（1）99log 3log 27+= ； （2）2121log log 22+= .5.计算：15lg 23= .1. 计算：（1；（2）2lg 2lg 2lg5lg5+⋅+.2. 设a 、b 、c 为正数，且346a b c ==，求证：1112c a b -=.§2.2.1 对数与对数运算（3）1. 能较熟练地运用对数运算性质解决实践问题；2. 加强数学应用意识的训练，提高解决应用问题的能力.6669，找出疑惑之处）复习1：对数的运算性质及换底公式.如果 a > 0，a ≠ 1，M > 0， N > 0 ，则（1）log ()a MN = ；（2）log a M N= ； （3） log n a M = .换底公式log a b = .复习2：已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56.复习3：1995年我国人口总数是12亿，如果人口的年自然增长率控制在1.25℅，问哪一年我国人口总数将超过14亿（用式子表示）二、新课导学※ 典型例题例1 20世纪30年代，查尔斯.里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大. 这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为：0lg lg M A A =-，其中A 是被测地震的最大振幅，0A 是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中距离造成的偏差）.（1）假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001, 计算这次地震的震级（精确到0.1）；（2）5级地震给人的振感已比较明显，计算7.6级地震最大振幅是5级地震最大振幅的多少倍（精确到1）小结：读题摘要→寻找数量关系→利用对数计算.例2当生物死亡后，它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．根据些规律，人们获得了生物体碳14含量P与生物死亡年数t之间的关系．回答下列问题：（1）求生物死亡t年后它机体内的碳14的含量P，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（2）已知一生物体内碳14的残留量为P，试求该生物死亡的年数t，并用函数的观点来解释P和t之间的关系，指出是我们所学过的何种函数？（3）长沙马王墓女尸出土时碳14的余含量约占原始量的76.7%，试推算古墓的年代？反思：①P和t之间的对应关系是一一对应；②P关于t的指数函数(xP ，则t关于P的函数为 .※动手试试练1. 计算：（1）0.21log 35-； （2）4912log 3log 2log ⋅-练2. 我国的GDP 年平均增长率保持为7.3%，约多少年后我国的GDP 在2007年的基础上翻两番？三、总结提升※ 学习小结1. 应用建模思想（审题→设未知数→建立x 与y 之间的关系→求解→验证）；2. 用数学结果解释现象.※ 知识拓展在给定区间内，若函数()f x 的图象向上凸出，则函数()f x 在该区间上为凸函数，结合图象易得到1212()()()22x x f x f x f ++≥； 在给定区间内，若函数()f x 的图象向下凹进，则函数()f x 在该区间上为凹函数，结合图象易得到1212()()()x x f x f x f ++≤.※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：25()a-（a≠0）化简得结果是（）.A．－a B．a2C．｜a｜D．a 2. 若 log7［log3（log2x）］＝0，则12x=（）.A. 3B.3. 已知35a b m==，且112a b+=，则m之值为（）.A．15 B．．2254. 若3a＝2，则log38－2log36用a表示为 .5. 已知lg20.3010=，lg1.07180.0301=，则lg2.5=；1102=．1. 化简：（1）222lg5lg8lg5lg20(lg2)3+++；（2）()()24525log5+log0.2log2+log0.5.2. 若()()lg lg2lg2lg lgx y x y x y-++=++，求xy的值．。

《第四章 指数函数与对数函数》 《4.3.2对数的运算》教案【教材分析】学生已经学习了指数运算性质，有了这些知识作储备，教科书通过利用指数运算性质，推导对数的运算性质，再学习利用对数的运算性质化简求值。

【教学目标与核心素养】 课程目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算. 数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【教学重难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【教学方法】：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】 一、情景导入回顾指数性质：(1)a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q)．(2)(a r )s ＝(a ＞0，r ，s ∈Q)．(3)(ab )r ＝(a ＞0，b ＞0，r ∈Q)．那么对数有哪些性质？如要求：让学生自由发言，教师不做判断。

而是引导学生进一步观察.研探. 二、预习课本，引入新课阅读课本124-125页，思考并完成以下问题 1.对数具有哪三条运算性质？ 2. 换底公式是如何表述的？rs a r r a b log ()?a MN要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。

三、新知探究 1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (M ·N )＝log a M ＋log a N ， (2)log a MN＝log a M －log a N ， (3)log a M n ＝n log a M (n ∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c blog c a(a >0，且a ≠1，b >0)． 四、典例分析、举一反三 题型一对数运算性质的应用 例1计算下列各式的值: (1)log 2√796+log 224-12log 284; (2)lg52+23lg8+lg5·lg20+(lg2)2. 【答案】(1)-12(2)3【解析】(1)(方法一)原式=log 2√7×24√96×√84=log 2√2=-12. (方法二)原式=12log 2796+log 2(23×3)-12log 2(22×3×7)=12log 27-12log 2(25×3)+3+log 23-1-12log 23-12log 27 =-12×5-12log 23+2+12log 23=-52+2=-12. (2)原式=2lg5+2lg2+lg5×(1+lg2)+(lg2)2 =2(lg5+lg2)+lg5+lg2(lg5+lg2) =2+lg5+lg2=2+1=3.解题技巧：（对数运算性质的应用）1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是: (1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数; (2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg2+lg5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.跟踪训练一 1.计算下列各式的值 (1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0.(2)2log 32-log 3329+log 38-52log 53. 【答案】(1)5(2)-7【解析】(1)log 3√27+lg25+lg4+7log 712+(-9.8)0=log 3332+lg52+lg22+12+1 =32+2lg5+2lg2+32=3+2(lg5+lg2)题型二换底公式的应用 例2计算下列各式的值:(1); (2)lg2lg3.【答案】(1)(2)【解析】(1)原式=lg9lg8·lg32lg27=2lg33lg2·5lg23lg3=109.(2)原式=(lg3lg4+lg3lg8)lg2lg3=(lg32lg2+lg33lg2)·lg2lg3 =lg32lg2·lg2lg3+lg33lg2·lg2lg3=12+13=56.解题技巧：（换底公式的应用）827log 9log 3248(log 3log 3) 109561.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:跟踪训练二 1.化简:(1)log 23·log 36·log 68; (2)(log 23+log 43)(log 32+log 274). 【答案】(1)3(2)【解析】(1)原式=log 23·log 26log 23·log 28log 26=log 28=3.(2)原式=(log 23+12log 23)×(log 32+23log 32)=(32log 23)×(53log 32)=52log 23×log 32 =52log 23×1log23=52. 题型三对数的综合应用例3(1)若3x =4y =36,求2x +1y 的值; (2)已知3x =4y =6z ,求证:1x +12y =1z.【答案】(1)1(2)【解析】(1)∵3x=4y=36,∴x=log 336,y=log 436,∴2x =2log 336=2log 3636log 363=2log 363=log 369,1y=1log 436=1log 3636log 364=log 364.5212∴2x +1y=log369+log364=log3636=1.(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.所以1x =1log3m=logm3,1y=1log4m=logm4,1z=1log6m=logm6.故1x +12y=logm3+12log m4=log m3+log m412=log m3+log m2=logm (3×2)=log m6=1z.解题技巧：（对数的综合应用）对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.跟踪训练三1.已知3a=7b=M,且2a +1b=2,求M的值?【答案】3√7【解析】因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,所以2a +1b=2log3M+1log7M=2logM3+log M7=log M9+log M7=log M63=2,所以M2=63,因为M>0,所以M=√63=3√7.五、课堂小结让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧六、板书设计七、作业课本126页习题4.3【教学反思】本节通过运用对数性质公式解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养.《4.3.2 对数的运算》导学案【学习目标】知识目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.核心素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题. 【重点与难点】重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用；难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．【学习过程】一、预习导入阅读课本111-113页，填写。

《对数与对数运算2》导学案一、温故而知新：1、指数与对数间的关系 ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿,底数范围是 ＿＿＿, 真数范围是 ＿＿＿＿ 。

2、常用的对数等式： ㏒a a=＿＿＿ , ㏒a 1= ＿＿＿ .3、指数的运算性质：(1)＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (2) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ , (3) ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。

二、探究对数的运算性质：1.自主完成表格，并从对数值间关系的角度，分析表中各列数据，你有哪些发现？如果0>a ，且1≠a ，0>M ，0>N ，那么：M a (log =)N ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,=NMa log ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ,n a M log =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。

学生任选一组验证：log a M + log a N = ＿＿ ，M a (log =)N ＿＿ ,log a M - log a N = ＿＿ ， =NMalog ＿＿＿ ， n ·log a M = ＿＿ ， n a M log =＿＿＿＿ 。

（充分验证后填好前面的结论）2.运算性质的证明：① M a (log =)N M a log ＋N a log ；证明如下：NM MN n m MN a MN N n M m N a M a a a a a a a a n m a a n m n m n m log log )(log )(log log ,log ,,,+=+=======++，即，于是则令② =NMa log M a log －N a log ；证明一下？③ n a M log n =M a log )(R n ∈．证明一下？三、变式训练1.求值： （1）㏒（2）㏒31272.化简：㏒1014—2㏒1073+㏒107—㏒1018四、本节我学到了什么？（有总结才有提高噢！）＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 。

4.3.2 对数的运算导学案编辑人：孙言兆学习目标1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.教学重难点重点：对数的运算性质，换底公式，对数恒等式及其应用； 难点：正确使用对数的运算性质和换底公式．学习过程预习导入1．对数的运算性质若a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (M ·N )＝___________________，(2)log a M N ＝___________________，(3)log a M n ＝___________________(n ∈R)．[点睛] 对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时， 等式才成立．例如，log 2[(－3)·(－5)]＝log 2(－3)＋log 2(－5)是错误的．2．换底公式若c >0且c ≠1，则log a b ＝log c b log c a(a >0，且a ≠1，b >0)． 小试牛刀1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差． ( )(2)log a (xy ＝log a x ·log a y . ( )(3)log 2(－5)2＝2log 2(－5)． ( )(4)由换底公式得log a b ＝log (－2)b log (－2)a. ( ) 2．计算log 84＋log 82等于( )A ．log 86B ．8C ．6D ．.1 3．计算log 510－log 52等于( )A ．log 58B ．lg 5C ．1D ．.2 4．log 48＝________.自主探究题型一 对数运算性质的应用例1 计算下列各式的值:(1)log 2√796+log 224-12log 284;(2)lg 52+23lg 8+lg 5·lg 20+(lg 2)2.跟踪训练一1.计算下列各式的值(1)log 3√27+lg 25+lg 4+7log 712+(-9.8)0.(2)2log 32-log 3329+log 38-52log 53.题型二 换底公式的应用例2 计算下列各式的值:(1)827log 9log 32;(2)48(log 3log 3)lg2lg3.跟踪训练二1.化简:(1)log 23·log 36·log 68;(2)(log 23+log 43)(log 32+log 274).题型三 对数的综合应用例3 (1)若3x =4y =36,求2x +1y 的值;(2)已知3x =4y =6z ,求证:1x +12y =1z .跟踪训练三1.已知3a =7b =M ,且2a +1b =2,求M 的值?当堂检测1.log 29log 23＝( ) A.12 B ．2 C.32 D.922．2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．.43．设a ＝log 32，则log 38－2log 36用a 表示的形式是( )A ．a －2B ．3a －(1＋a )2C ．5a －2D ．－a 2＋3a －14．计算log 225·log 322·log 59的结果为( )A ．3B ．4C ．5D ．.65．已知a 2＝1681(a ＞0)，则log 23a ＝________. 6．lg 5＋lg 20的值是________．7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．8．求下列各式的值：(1)2log 525＋3log 264； (2)lg(3＋5＋3－5)；(3)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2.。

2.2.1 对数与对数运算导学案【学习目标】理解对数的含义及对数的运算.【教学重点】：（1）对数的定义；（2）指数式与对数式的互化【教学难点】：推导对数性质一、问题引入：（1）32= (2) 83=a ,则a = (3)2002年我国GDP 为a 亿元，如果每年平均增长8%,那么经过多少年GDP 是2002年的2倍？二、辅导自学阅读课本62页内容，完成下列内容：1、对数的概念：一般地，如果那么数x 叫做以 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做 。

注意：底数的限制： ;真数的限制：2、两个重要对数（1）常用对数：以 为底的对数，简记为 ；（2）自然对数：以 为底的对数，简记为 ；3、对数与指数的互化：三、例题分析例1：将下列对数式写成指数式。

（1）532log 2= （2）4811log 3-= （3）31000lg = （4）381log 2-=()10≠>=a a N a x 且N 10log N e log例2：将下列指数式写成对数数式。

（1）62554= （2）64126-= （3）73.531=m ）（例3：求下列各式x 的值：（1）32log 64-=x (2)68log =x (3)x =100lg四、探究活动（对数的性质））探究1：求下列各式的值：（1） （2） （3）探究2：求下列各式的值：（1） （2） （3）探究3：1、求下列各式的值：（1） （2）1log 33log 36.0log 772、求下列各式的值：（1）； （2）； （3）思考：你发现了什么？归纳：1、“1”的对数等于 ，即=1log a，类比 2、底数的对数等于“1”，即=a a log 3、对数恒等式：4、对数恒等式：5、 和 没有对数。

【巩固训练】1.把下列各题的指数式写成对数式:(1)42＝16; （2）30=1; （3）4x ＝2 （4）2x ＝0.5;(5)54=625 (6)3-2= (7)()-2=16. 2.把下列各题的对数式写成指数式:(1)x ＝log 527 (2)x ＝log 87 (3)x ＝log 43(4)x ＝log 7; (5)log 216=4; (6)log27=-3;433log 410lg 10=a 9141313.求下列各式中x的值:(1)log8x=(2)logx27=3(3)log2（log5x）=1 (4)log3（lgx）=0 32。

第二章 基本初等函数§2.2.1对数与对数运算一、【学习目标】1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互化；2. 熟练运用对数的运算性质，掌握化简,求值的技巧。

【重点、难点】对数的概念和指数式与对数式的互化，对数运算性质的应用；对数概念的理解，对数运算化简、求值技巧。

二、学习过程【情景创设】1. 通过与指数式的比较，引出对数定义与性质；2. 结合幂的运算性质，推导出对数的运算性质。

【导入新课】1. 对数的概念一般地，若 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作log a x N =，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

2. 指数式与对数式的互化 log x a a N N x =⇔=3. 两种特殊的对数（1） 对数10log lg N N 记为（2） 对数e log ln N N 记为(e=2.71828…)4. 结论（1） 没有对数（2）1的对数为 ，同底的对数为 ，即log 10,log 1.a a a ==5. 对数的运算性质（1）log log log a a a M N MN += （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠）（2）log log log a a a M M N N-= （0M > ， 0N > ， 0a >且1a ≠） （3）log log n a a n M M = （0M >， 0N > ， 0a >且1a ≠ ， n N +∈）三、典例分析例1 将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：（1）54=625 (2)61264-= (3)1() 5.733m =(4) 3log 92= (5)5log 1253= (6) 12log 164=-例2 用log a x ，log a y ，log a z 表示下列各式。

（1）log a xy z （2）log a例3 求下列各式的值。

（1）752log (42)⨯ （2）【变式拓展】1．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：2(1)416= 21(2)39-= 1(3)()53m =255(4)log 2= 412(5)log 2=- 11000(6)log 3=-2．计算下列各式的值（1）23log (279)⨯ （2）7log （3）7lg142lg lg 7lg183---（4）lg 243lg9 （5四、总结反思1. 理解对数的概念，掌握指数式与对数式的互。

3.2.1对数（2）编写人：吕 红 魏 丹 审核人：冯 峰 编号：16一、学习目标（1）理解对数的运算性质（2）掌握对数的运算法则二、学习重点、难点重点：对数的运算性质及应用难点：对数的运算性质的证明方法及过程三、学习过程：问题一：指数幂运算有那些性质？问题二：根据对数的定义可知 b N a =log ⇔ ba N =（a>0,a ≠1,n>0）,对数运算也有相应的运算性质吗？如果有，它们之间有什么样的联系呢？结论：1、对数的运算性质：如果,0,0,1,0>>≠>N M a a 那么（1） （2）(3)说明：（1）语言表达：“积的对数 = 对数的和”……（简易表达以帮助记忆）；（2）注意有时必须逆向运算：如 11025101010==+log log log ；（3）注意定义域 （4）利用对数使乘除运算变为加减运算2、探究证明性质性质1： 性质2 性质3：例1 求下列各式的值（1）)4*2(log 532 （2）25log 5例2 计算： （1）3log 6log 22- （2）lg14-21g18lg 7lg 37-+； （3）9lg 243lg ； （4）2.1lg 10lg 38lg 27lg -+说明：（1）本例体现了对数运算性质的灵活运用，运算性质常常逆用，应引起重视。

（2）本例体现对数运算性质的综合运用，应注意掌握变形技巧，如（4）题各部分变形要化到最简形式，同时注意分子、分母的联系；（3）题要避免错用对数运算性质。

例3 已知3010.02lg ≈，4771.03lg ≈，求下列各式的值（结果保留四位小数）（1）12lg （2）1627lg例4 试用常用对数表示5log 3结论：一般地，我们有=N a log （0,1,0,1,0>≠>≠>N m m a a ）这个公式称为对数的换底公式思考：=⨯x a a b log log =⨯b a a b log log例5 求32log 9log 38⨯的值。