高考数学考点练习第八章概率与统计52古典概型试题文
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考点测试52 古典概型一、基础小题1．甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是( ) A.16 B.12 C.13 D.23答案 C解析 甲、乙、丙三名同学站成一排共有6种站法，甲在中间共有2种站法，故甲站在中间的概率为13.2．从集合A ＝{－1,1,2}中随机选取一个数记为k ，从集合B ＝{－2,1,2}中随机选取一个数记为b ，则直线y ＝kx ＋b 不经过第三象限的概率为( )A.29B.13C.49D.59 答案 A解析 一共有3×3＝9个基本事件，只有k ＝－1，b ＝1,2，直线才不经过第三象限．所以概率为29.3．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从到会教师中随机挑选一人表演节目．如果每位教师被选中的概率相等，而且选中男教师的概率为920，那么参加这次联欢会的教师共有( )A ．360人B ．240人C ．144人D ．120人答案 D解析 设男教师有x 人，则女教师有(x ＋12)人，因为选中男教师的概率为920，所以x x ＋x ＋12＝920，解得x ＝54，所以男教师为54人，女教师为66人，故参加这次联欢会的教师共有120人．4．一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )A.15B.310C.25D.12答案 C解析 基本事件有(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(红1，红2)，(黑1，红1)，(黑1，红2)，(黑2，红1)，(黑2，红2)，(黑3，红1)，(黑3，红2)，共10个，其中为同色球的有4个，故所求概率为410＝25.5．某天下课以后，教室里还剩下2位男同学和2位女同学．如果他们依次走出教室，则第2位走出的是男同学的概率为( )A.12B.13C.14D.15 答案 A解析 已知2位女同学和2位男同学走出教室的所有可能顺序有(女，女，男，男)，(女，男，女，男)，(女，男，男，女)，(男，男，女，女)，(男，女，男，女)，(男，女，女，男)，所以第2位走出的是男同学的概率P ＝36＝12.6．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率为( )A.13B.23C.14D.34答案 B解析 由题意知，此人从小区A 前往小区H 的所有最短路径为：A →B →C →E →H ，A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，A →D →F →G →H ，共6条．记“此人经过市中心O ”为事件M ，则M 包含的基本事件为：A →B →O →E →H ，A →B →O →G →H ，A →D →O →E →H ，A →D →O →G →H ，共4个，所以P (M )＝46＝23，即他经过市中心O 的概率为23.7．一个正方体，它的表面涂满了红色，切割为27个同样大小的小正方体，从中任取一个，它恰有一个面涂有红色的概率是________．答案 29解析 研究涂红后的正方体的六个面，发现每个面中仅最中间那块只有一个面涂有红色，故所求概率为627＝29.8．连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量a ＝(m ，n )与向量b ＝(1，－1)的夹角为θ，则θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的概率是________．答案712解析 ∵m 、n 均为不大于6的正整数，∴当点A (m ，n )位于直线y ＝x 上及其下方第一象限的部分时，满足 θ∈⎝⎛⎦⎥⎤0，π2的点A (m ，n )有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21个，列举可知点A (m ，n )的基本事件总数为36，故所求概率为2136＝712.二、高考小题9．[2016·全国卷Ⅰ]为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )A.13B.12C.23D.56答案 C解析 从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种有以下选法：(红，黄)、(红，白)、(红，紫)、(黄，白)、(黄，紫)、(白，紫)，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛(亦即黄色和白色的花不在同一花坛)的选法有4种，所以所求事件的概率P ＝46＝23，故选C.10．[2016·全国卷Ⅲ]小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M ，I ，N 中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是( )A.815B.18C.115D.130答案 C解析 小敏输入密码的所有可能情况如下：(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)，共15种．而能开机的密码只有一种，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概率为115.11．[2016·北京高考]从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为( ) A.15 B.25 C.825 D.925 答案 B解析 设这5名学生为甲、乙、丙、丁、戊，从中任选2人的所有情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，(乙，丙)，(乙，丁)，(乙，戊)，(丙，丁)，(丙，戊)，(丁，戊)，共10种．其中甲被选中的情况有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(甲，戊)，共4种， 故甲被选中的概率为410＝25.故选B.12．[2014·湖北高考]随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )A ．p 1<p 2<p 3B ．p 2<p 1<p 3C ．p 1<p 3<p 2D ．p 3<p 1<p 2 答案 C解析 随机抛掷两枚骰子，它们向上的点数之和的结果如图，则p 1＝1036，p 2＝2636，p 3＝1836，∴p 1<p 3<p 2，故选C.13．[2016·四川高考]从2,3,8,9中任取两个不同的数字，分别记为a ，b ，则log a b 为整数的概率是________．答案 16解析 所有的基本事件有(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,2)，(3,8)，(3,9)，(8,2)，(8,3)，(8,9)，(9,2)，(9,3)，(9,8)，共12个．记“log a b 为整数”为事件A ，则事件A 包含的基本事件有(2,8)，(3,9)，共2个．∴P (A )＝212＝16.三、模拟小题14．[2017·江西九校联考]甲、乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为( )A.13B.23C.16D.56答案 A解析 甲、乙两人参加三个不同的学习小组共有9个基本事件，其中两人参加同一个小组有3个基本事件，因此所求概率为39＝13，故选A.15．[2016·太原一模]某袋中有编号为1,2,3,4,5,6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )A.15B.16C.56D.3536 答案 C解析 记(a ，b )为甲、乙摸球的编号，由题意得，所有的基本事件共有36个，满足a ≠b的基本事件共有30个，∴所求概率为3036＝56.16．[2017·河南模拟]有一个奇数列，1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组，第一组有1个数为1，第二组有2个数为3、5，第三组有3个数为7、9、11，…，依此类推，则从第十组中随机抽取一个数恰为3的倍数的概率为( )A.110B.310C.15D.35答案 B解析 将数列1,3,5,7,9…记为{a n }，则前九组共有1＋2＋3＋…＋9＝45个奇数，故第十组中第一个数字为a 46＝2×46－1＝91，第十组共有10个奇数，分别是91,93,95,97,99,101,103,105,107,109这10个数字，其中为3的倍数的数有93,99,105三个，故所求概率为P ＝310.17．[2016·湖北黄冈中学调研]甲、乙两位同学各拿出4本书，用作投骰子的奖品．两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积3分者获胜，将获得所有8本书，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这8本书分配合理的是( )A ．甲得6本，乙得2本B ．甲得5本，乙得3本C ．甲得4本，乙得4本D ．甲得7本，乙得1本 答案 A解析 由题意知，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜，于是这两局有四种可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)．其中甲获胜有3种，而乙获胜只有1种，所以甲获胜的概率是34，乙获胜的概率是14.所以甲得到的书的本数为8×34＝6，乙得到的书的本数为8×14＝2.故选A. 18．[2016·河南洛阳诊断]设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，若事件C n 的概率最大，则n 的所有可能值为( )A ．3B ．4C ．2和5D ．3和4答案 D解析 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)． 当n ＝2时，P 点可能是(1,1)； 当n ＝3时，P 点可能是(1,2)，(2,1)； 当n ＝4时，P 点可能是(1,3)，(2,2)； 当n ＝5时，P 点可能是(2,3)． 即事件C 3，C 4的概率最大，故选D.一、高考大题1．[2016·山东高考]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．解用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以基本事件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝516，即小亮获得玩具的概率为516.(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C，则事件B包含的基本事件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)．所以P(B)＝616＝38.事件C包含的基本事件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝516.因为38>516，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．2．[2015·福建高考]全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指标．根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数的数据，对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计，结果如表所示．(1)现从融合指数在2家进行调研，求至少有1家的融合指数在[7,8]内的概率；(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数．解(1)解法一：融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，共9个．所以所求的概率P＝9 10 .解法二：融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1，A2，A3；融合指数在[4,5)内的“省级卫视新闻台”记为B1，B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的所有的基本事件是：{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，共10个．其中，没有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是：{B1，B2}，共1个．所以所求的概率P＝1－110＝9 10.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4．5×220＋5.5×820＋6.5×720＋7.5×320＝6.05.二、模拟大题3．[2016·山东枣庄模拟]根据我国颁布的《环境空气质量指数(AQI)技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300六级，对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显．专家建议：当空气质量指数小于150时，可以进行户外运动；空气质量指数为151及以上时，不适合进行旅游等户外活动，下表是济南市2015年12月中旬的空气质量指数情况：(2)一外地游客在12月中旬来济南旅游，想连续游玩两天，求适合连续旅游两天的概率． 解 (1)该试验的基本事件空间Ω＝{11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，基本事件总数n ＝10.设事件A 为“市民不适合进行户外活动”，则A ＝{13,14,19,20}，包含基本事件数m ＝4.所以P (A )＝410＝25，即12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25.(2)该试验的基本事件空间Ω＝{(11,12)，(12,13)，(13,14)，(14,15)，(15,16)，(16,17)，(17,18)，(18,19)，(19,20)}，基本事件总数n ＝9，设事件B 为“适合连续旅游两天的日期”，则B ＝{(11,12)，(15,16)，(16,17)，(17,18)}，包含基本事件数m ＝4，所以P (B )＝49，所以适合连续旅游两天的概率为49.4．[2016·襄阳调研]已知A ，B ，C 三个箱子中各装有2个完全相同的球，每个箱子里的球，一个球标着号码1，另一个球标着号码2，现从A ，B ，C 三个箱子中各摸出1个球．(1)若用数组(x ，y ，z )中的x ，y ，z 分别表示从A ，B ，C 三个箱子中摸出的球的号码，请写出数组(x ，y ，z )的所有情形，并回答一共有多少种；(2)如果请您猜测摸出的这三个球的号码之和，猜中有奖，那么猜什么数获奖的可能性最大？请说明理由．解 (1)数组(x ，y ，z )的所有情形为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,2,1)，(1,2,2)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,2,1)，(2,2,2)，共8种．(2)摸出的三个球号码的和可能为3,4,5,6，故记“所摸出的三个球号码之和为i ”为事件A i (i ＝3,4,5,6)，易知，事件A 3包含1个基本事件，事件A 4包含3个基本事件，事件A 5包含3个基本事件，事件A 6包含1个基本事件，∴P (A 3)＝18，P (A 4)＝38，P (A 5)＝38，P (A 6)＝18.故所摸出的三个球号码之和为4或5的概率相等且最大．即猜4或5获奖的可能性最大． 5．[2017·哈尔滨模拟]某市甲、乙两社区联合举行“五一”文艺汇演，甲、乙两社区各有跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目，其中甲社区表演队中表演跳舞的有1人，表演笛子演奏的有2人，表演唱歌的有3人．(1)若从甲、乙社区各选一个表演项目，求选出的两个表演项目相同的概率； (2)若从甲社区表演队中选2人表演节目，求至少有一位表演笛子演奏的概率． 解 (1)记甲社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 1、B 1、C 1，乙社区跳舞、笛子演奏、唱歌三个表演项目分别为A 2、B 2、C 2，则从甲、乙社区各选一个表演项目的所有基本事件有(A 1，A 2)，(A 1，B 2)，(A 1，C 2)，(B 1，A 2)，(B 1，B 2)，(B 1，C 2)，(C 1，A 2)，(C 1，B 2)，(C 1，C 2)，共9个．其中选出的两个表演项目相同这一事件包含的基本事件有(A 1，A 2)，(B 1，B 2)，(C 1，C 2)，共3个，所以所求概率P 1＝39＝13.(2)记甲社区表演队中表演跳舞的1人为a 1，表演笛子演奏的2人分别为b 1、b 2，表演唱歌的3人分别为c 1、c 2、c 3，则从甲社区表演队中选2人的所有基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(a 1，c 3)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，(c 1，c 2)，(c 1，c 3)，(c 2，c 3)，共15个．其中至少有一位表演笛子演奏这一事件包含的基本事件有(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(b 1，b 2)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 1，c 3)，(b 2，c 1)，(b 2，c 2)，(b 2，c 3)，共9个，所以所求概率P 2＝915＝35.。
