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卡诺图化简法

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知识点3.卡诺图化简法

知识点3.卡诺图化简法

相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。

逻辑函数的卡诺图表示和卡诺图化简法省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件

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01 0 0 1 0
11 0 0 1 1 10 0 1 1 1
例：将F(A、B、C、D) ACD AB BCD ABC AC
化为最简与非—与非式。 CD
解：
ACD
AB
00 01 11 10
00 01
1 1
1 0
0 m104,m15 1 两1次填1
AB
11 1 1 1 1
10 0 1 1 1
B CD AC
ABC
1．卡诺图化简逻辑函数旳原理 : 具有相邻性旳最小项能够合并，并消去不同旳因子，
合并旳成果为这些项旳公因子．
（1）2个相邻旳最小项结合，２项能够而合并为１项， 并消去1个不同旳变量。
（2）4个相邻旳最小项结合， ４项能够而合并为１项， 并消去2个不同旳变量。
（3）8个相邻旳最小项结合， ８项能够而合并为１项， 并消去3个不同旳变量。
解： 写成简化形式： F m0 m3 m6 m7 然后填入卡诺图：
例3 画出 Y ABC D ACD AC 旳卡诺图
解:直接填入
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
01 0 0 1 0
11 0 0 1 1
10 0 1 1 1
CD 00 01 11 10
AB
00 0 0 1 0
总之， 2n 个相邻旳最小项结合，2n 项能够而合并为１
项，能够消去n个不同旳变量。
化简根据
2n项相邻，并构成一种矩形组， 2n项能够而合并为 １项，消去n个因子，合并旳成果为这些项旳公因子。
利用卡诺图化简旳规则
相邻单元格旳个数必须是2n个，并构成矩 形组时才能够合并。
CD 00 01 11 10
诺图

卡诺图化简法一全文

卡诺图化简法一全文

m0
0
m1如何根据输入1变量组 m2合写出相应最2小项？
m3
3
m4
4
m5
5
m6
6
m7
7
例如 ABC 101 5 m5
m4 4 100 ABC
2. 最小项的基本性质
(1) 对任意一最小项，只有一组变量取值使它的值为1，而
其余各种变量取值均使其值为0。 (2) 不同的最小项，使它的值为1的那组变量取值也不同。 (3) 对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。 (4) 对于变量的任一组取值，全体最小项的和为1。
每一个与项都是最小项的与或逻辑式称为标 准与或式，又称最小项表达式。
任何形式的逻辑式都可以转化为标准与或式， 而且逻辑函数的标准与或式是唯一的。
[例] 将逻辑式 Y ABC AB C D 化为标准与或式。
解：(1) 利用摩根定律和分配律把逻辑函数式展开为与或式。
Y ABC AB C D ABC AB (C D) ABC ABC ABD 普通与或式，非标准与或式
CD
AB
C D CD CD C D
同一行最 左与最右 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
方格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D 卡诺图特点： 循环相邻性 AB ABC D ABCD ABCD ABC D
同一列最 上与最下 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ格相邻
AB ABC D ABCD ABCD ABC D
(2) 找出真值表中Y=1 对应的最小项，在 卡诺图相应方格中 填1，其余不填。
BC A 00 01 11 10
0 10 1 3 12
1 14 5 7 16
已 [例] 已知 Y AD AB(C BD)，试画出Y的卡诺图。 知 解：(1) 将逻辑式转化为与或式

逻辑函数的卡诺图法化简

逻辑函数的卡诺图法化简

精品课件
26
输入变量ABC取值为001、010、100时，
逻辑函数Y有确定的值，根据题意，有任一命令（正 转、反转和停止）时为1，否则为0。
反变 函换 数为
CD BD
CD
AB
00 01 11 10
Y AB AC BD CD AB
00 1
0
1
1
01 1
0
0
1
11 0
0
0
0
10 0
0
1
1
AC
精品课件
13
4、卡诺图的性质
（1）任何两个（21个）标1的相邻最小项，可以合并为一项， 并消去一个变量（消去互为反变量的因子，保留公因子）。
AB C
但是，若 F= ABCD+ABC+BC+ABC ，显然，该函数式
难于找到相邻项。
精品课件
1
2.4.2 逻辑函数的标准式——最小项表达 式
问题的提出：逻辑函数 F= ABC+ABC ，之所以易于看出它们 的乘积项是逻辑相邻项，是因为它们的每一个乘积项中都包 含了所有的变量。而F= ABCD+ABC+BC+ABC，每个乘积项没有 包含所有的变量，所以逻辑相邻关系不直观。于是引入了最 小项的概念。
15
AB CD
00 01 11 10
00 0
1
1
0
01 1 0 0 1
11 1
0
0
1 ＡＤ
10 0 1 1 0
ＢＤ
AB CD
00 01 11 10
00 1
0
0
1
01 0
1
1
0
11 0

卡诺图法化简

卡诺图法化简
函数F的真值表
计算机科学与技术学院
A
0
0 0 0
B
0
0 1 1
C
0
1 0 1
F
1 0 0 1
A
1
1 1 1
B
0
0 1 1
C
0
1 0 1
F
1 0 1
0
由表可知：
F ( A, B, C )
m0+m3+m4+m6

m(0,3,4,6)
16
计算机科学与技术学院
A
0 0 0 0
B
0 0 1 1
C
0 1 0 1
11
）最大项之积的标准形式
计算机科学与技术学院
由最大项的逻辑与的形式所构成的逻辑函数表达式称之 为逻辑函数的最大项之积的标准形式。如：
F ( A, B, C ) ( A B C )( A B C )( A B C ) =M1M3M4
又记为：F ( A, B, C ) 是一个三变量逻辑函数，其变量按（A，B，C） 排列，函数本身由3个最大项构成。上述表达式 即为逻辑函数的最大项之积的标准形式。
AB
AB
AB
AB
对于n个变量的全部最小项共有2n个。
5
计算机科学与技术学院

例如，在三变量的逻辑函数F（A、B、C）中，它们 组成的八个乘积项 即 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 、 ABC 都符合最小项的定义。因 此，我们把这八个与项称为三变量逻辑函数F（A、 B、C）的最小项。


基本表达式形式不是唯一的 例如
F ( A, B) A AB

卡诺图化简

卡诺图化简

卡诺图化简法卡诺图化简法又称为图形化简法。

该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。

一卡诺图的构成卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。

1．结构特点卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。

图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。

各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。

在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。

图2. 5 2～5变量卡诺图从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。

具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。

以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。

而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。

这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。

同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。

通常把这种相邻称为相对相邻。

除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。

对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。

归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。

卡诺图化简法


26
(7) 由最大项表达式求最简与或式
例2.6.18 已知函数 F ( A, B,C, D) M (5,7,13,15)
求最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 1 1 1 01 1 0 0 1 11 1 0 0 1 10 1 1 1 1
F(A,B,C,D) = B + D
图 2.6.18
16
(4) 合并的规律 ① 圈2格，可消去1个变量；
BC A 00 01 11 10
0 1 1 00 1 0 0 00
BC
A
00 01 11 10
0 1 0 01
1 0 0 00
F=AB
F=AC
17
② 圈4格，可消去2个变量；
ห้องสมุดไป่ตู้
BC
A
00 01 11 10
0 1 1 00
1 1 1 00
BC A 00 01 11 10
例2.6.16 化简函数
F( A, B,C, D) m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)
为最简与或式。
CD AB 00 01 11 10
00 1 0 0 1 01 0 1 1 1 11 0 0 1 1 10 1 1 1 1
图 2.6.15
F(A,B,C,D) = A B D + BD+AB+BC
BC A 00 01 11 10 ⊕0 0 1 1 0
1 0 0 00
BC A 00 01 11 10 ﹦ 0 0 0 10
1 0 1 00
11
(4) 反演 BC
A 00 01 11 10
0 0 1 00 1 0 1 00

逻辑函数的卡诺图化简法

首先讨论三变量（A、B、C）函数卡诺图的画 法。
① 3变量的卡诺图 有23个小方块；
相邻 相邻
② 几何相邻的必须
逻辑相邻：变量的 取值按00、01、11、 10的顺序（循环码 ） 排列 。
图1-11 三变量卡诺图的画法
2021/8/13
11
不 相邻
相邻
相邻
图1-12 四变量卡诺图的画法
正确认识卡诺 图的“逻辑相邻”： 上下相邻，左右相 邻，并呈现“循环 相邻”的特性，它 类似于一个封闭的 球面，如同展开了 的世界地图一样。
A因BB此C是N个三变变量量共函有数2的N个最最小小项项吗。？
2021/8/13
4
最小项的定义:对于N个变量，如果P是一个含有N 个因子的乘积项，而且每一个变量都以原变量或者反 变量的形式，作为一个因子在P中出现且仅出现一次， 那么就称P是这N个变量的一个最小项。
表1-17 三变量最小项真值表
2021/8/13
5
（2）最小项的性质
①对于任意一个最小项，只有一组变量取值使它 的值为1，而变量取其余各组值时，该最小项均为0；
②任意两个不同的最小项之积恒为0； ③变量全部最小项之和恒为1。
2021/8/13
6
最小项也可用“mi” 表示，下标“i”即最小 项的编号。编号方法：把最小项取值为1所对应的 那一组变量取值组合当成二进制数，与其相应的十 进制数，就是该最小项的编号。
ABC ABC AC
(A B)C ABC AC
AC BC ABC AC
（2） 根据与或表达式画出卡诺图，如下
图所示。
2021/8/13
17
BC
A
00 01 11 10
0
11 1

卡诺图化简法


1 1
1
1 1
1
mi
例：将逻辑式
P = B C + ABD 填入卡诺图
D
CD 00 AB 00 01 11 01
C
11
1
10
1
填 BC 填 ABD
B AB
BC
1
1
1
1
10
ABD
mi
例：将逻辑式 P = CD + D 填入卡诺图
CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 1 1 1 1 10 CD 00 AB 00 01 11 10 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10
ABC D + ABC D = ABC ( D + D ) = ABC
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合， 所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
7
11 11 10
1
13
1
15
所以ABD处于第三行和第二、第 处于第三行和第二、 所以 处于第三行和第二 三列的交点上（一行二列）。 三列的交点上（一行二列）。
mi
例：将逻辑式P= BC + B D 填入卡诺图
CD 0 0 00 1 00 AB 00 1 01 11 10
11
10 0
1
这是B， 先填 BC ， 这是 ， 这是 C ； 这一与项处于第二、 BC 这一与项处于第二、 第三行和第一、 第三行和第一、第二列的交 点处（二行二列）。 点处（二行二列）。 再填 B D ， 这是 B ， 这是 D 。 这一与项处于第一、 B D 这一与项处于第一、 第四行和第一、 第四行和第一、第四列的交点 二行二列）。 处（二行二列）。

18. 卡诺图化简法


二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
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L( A, B, C ) AB AC
解： L( A, B, C ) AB AC AB(C C ) AC ( B B)
ABC ABC ABC ABC
= m7+m6+m3+m1
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
例： 将逻辑函数转换成最小项表达式： F ABC AB AB AB C 解： F ABC AB AB AB C
(b)
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
（3）四变量卡诺图 L(A,B,C,D)
C m0 m1 m3 m2 ABCD ABCD ABCD ABCD m4 m5 m7 m6 ABCD ABCD ABCD ABCD m 12 m13 m 15 m 14 ABCD ABCD ABCD ABCD m8 m9 m11 m 10 ABCD ABCD ABCD ABCD D (a) (b) B 11 10 12 8 13 9 15 11 14 10 CD 00 AB 00 01 0 4 01 1 5 11 3 7 10 2 6
A
画卡诺图原则：每每两个几何上相邻的方格图所表示的最小项 在逻辑上也相邻。 几何上相邻：相连、对称。
逻辑上相邻：最小项中只有一个因子不同。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.逻辑函数的卡诺图 步骤：①得出逻辑函数最小项形式 ②画出逻辑变量卡诺图 ③在函数包含的最小项对应的方格图中写1，其余写0 由真值表画卡诺图 例
AB AB AB C AB ( A B)( A B)C
AB ABC ABC AB(C C ) ABC ABC
ABC ABC ABC ABC
= m7+m6+m3+m5 =∑m（3,5,6,7） • 最小项是组成逻辑函数的基本单元。 • 逻辑函数的最小项形式是唯一的。 • 逻辑函数所包含最小项对应的变量取值使逻辑函数为1。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
一、 最小项的定义与性质

最小项的定义: n个变量的逻辑函数中，包含全部变量的与项 称为最小项。n变量逻辑函数的全部最小项共有2n个。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
最小项性质： 最小项与变量取值有唯一对应关系。 全体最小项之逻辑和为1
二.逻辑函数的最小项形式（标准与或式） 任何一个逻辑函数表达式都可以转换为一组最小项之和， 称为最小项表达式 例：将逻辑函数转换为最小项形式
（2）圈的个数最少，每个包围圈中至少有 1个最小项未在别 的包围圈中。
（3）所有写1的最小项必须被画在包围圈中。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
例：用卡诺图化简逻辑函数 解：（1）由表达式画出卡诺图。 （2）画包围圈合并最小项， A 例： 解：（1）由表达式画出卡诺图。 L
L（A,B,C,D）=∑m（0,2,3,4,6,7,10,11,13,14,15）
C



D
B
（2）画包围圈合并最小项，
得简化的与—或表达式:
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
例 逻辑函数的真值表如表所示，用卡诺图化简该逻辑函数。 解：（1）由真值表画出卡诺图。 （2）画包围圈合并最小项。 有两种画圈的方法： （a）：写出表达式：
（b）：写出表达式：
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
由最小项表达式画卡诺图
例：一逻辑函数式 F A, B, C ABC ABC ABC ABC 解 F A, B, C m0 m3 m6 m7 由一般逻辑表达式画卡诺图 例 G A, B, C, D AB BCD
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
(2)．具有无关项的逻辑函数的化简——卡诺图化简
化简具有无关项的逻辑函数时，要充分利用无关项可以当 0 也可以当1的特点，尽量扩大卡诺圈，使逻辑函数更简。
不考虑无关项时，表达式为：
考虑无关项时，表达式为:
例: 已知逻辑函数的卡诺图如图，分别用“圈1法”和“圈0法” 写出其最简与—或式。 解：（1）用圈1法画包围圈，得：
（2）用圈0法画包围圈，得：
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
3、具有无关项的逻辑函数的化简 (1)．无关项：在有些逻辑函数中，输入变量的某些取值组合不 会出现，或者一旦出现，逻辑值可以是任意的。这样的取 值组合所对应的最小项，称为无关项、任意项或约束项。 例：在十字路口有红绿黄三色交通信号灯，规定红灯亮停，绿 灯亮行，黄灯亮等一等，试分析车行与三色信号灯之间逻 辑关系。 解：设红、绿、黄灯分别用ABC表示，且灯亮为1，灯灭为0。 车用L表示，车行L=1，车停L=0。列出该函数的真值表。 带有无关项的逻辑函数的最小项表达式为： L=∑m（ ）+∑d（ ） 如本例函数可写成L=∑m（2）+∑d（0,3,5,6,7）
G AB C D CD C D CD A A BCD



ABC D ABCD ABC D ABCD ABCD ABCD

m8,9,10,11,13,5
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
四.用卡诺图化简逻辑函数 1．卡诺图化简逻辑函数的原理 : （1）2个相邻的最小项结合，可以消去1个变量而合成1项。 （2）4个相邻的最小项结合，可以消去2个变量而合并为l项。 （3）8个相邻的最小项结合，可以消去3个变量而合并为l项。
卡诺图是用小方格图表示最小项，一个小方格代表一个最小项， 然后将这些最小项按照相邻性排列起来。 即用小方格几何位置上的相邻性来表示最小项逻辑上的相邻性。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
（1）二变量卡诺图 L(A,B)
（2）三变量卡诺图 L(A,B,C)
B m0 ABC A m4 ABC m1 ABC m5 ABC C (a) m3 ABC m7 ABC m2 ABC m6 ABC A 0 1 0 4 1 5 3 7 2 6 BC 00 01 11 10
总之， 2n个相邻的最小项结合，可以消去 n个取值不同的变量 而合并为l项。
2.2 逻辑函数的卡诺图化Fra bibliotek法2．用卡诺图化简逻辑函数的步骤：
（1）画出逻辑函数的卡诺图。
（2）合并相邻的最小项，即根据前述原则画圈。 （3）写出最简与或表达式。规则是，每一个圈写一个最简与 项，等于圈中各最小项的公因子，然后将所有与项进行逻 辑加，即得最简与—或式。 画包围圈原则 （1）画最大圈，但每个圈内只能含有2n 个相邻项。
2.2 逻辑函数的卡诺图化简法
三、逻辑函数的卡诺图
1.逻辑变量的卡诺图
相邻最小项：如果两个最小项中只有一个变量互为反变量， 其余变量均相同，则称这两个最小项为逻辑相邻，简称 相邻项。
如果两个相邻最小项出现在同一个逻辑函数中，可以合并
为一项，同时消去互为反变量的那个量。如
ABC ABC AC ( B B) AC