苏教版数学高一苏教版必修1函数的单调性

2.2函数的简单性质2.2.1函数的单调性第1课时函数的单调性学习目标：1.理解并掌握单调增(减)函数的定义及其几何意义．(重点)2.会用单调性的定义证明函数的单调性．(重点、难点)3.会求函数的单调区间．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．单调增(减)函数的概念设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A.如果对于区间I内的任意两个值x1，x2.当x1<x2时，都有(1)f(x1)<f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调增函数．②I称为y＝f(x)的单调增区间．(2)f(x1)>f(x2)①称y＝f(x)在I上为单调减函数．②I称为y＝f(x)的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间如果函数y＝f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间I上具有单调性，单调增区间和单调减区间统称为单调区间．思考：在增、减函数定义中，能否把“任意两个值x1，x2”改为“存在两个值x1，x2”？[提示]不能．如图所示，虽是f(－1)<f(2)，但f(x)在[－1,2]上并不是单调的．[基础自测]1．思考辨析(1)所有函数在定义域上都具有单调性．()(2)增、减函数定义中的“任意x1，x2∈D”可以改为“存在x1，x2∈D”．()(3)若函数f(x)在实数集R上是减函数，则f(0)＞f(1)．()[解析](1)×.比如二次函数y＝x2在R上不具有单调性．(2)×.必须对所有的都成立才能说明单调．(3)√.减函数中自变量越小函数值越大．[答案](1)×(2)×(3)√2．函数f(x)的图象如图2-2-1所示，则函数的单调递增区间是____________________．图2-2-1[解析]在区间[－1,2]上，函数f(x)的图象由左至右“上升”，即在区间[－1,2]上，f(x)随着x的增大而增大，∴为增函数．[答案][－1,2]3．若函数f(x)在R上是减函数，且f(a)＞f(b)，则a与b的大小关系是__________.【导学号：48612078】[解析]由减函数的定义知a＜b.[答案]a＜b[合作探究·攻重难](1)y ＝x 2－4；(2)y ＝－2x ；(3)f (x )＝⎩⎨⎧(x －2)2，x ≥0，x ＋4，x <0.[思路探究] 在图象上看从左向右上升的部分即递增，从左向右下降的部分即递减．[解] 三个函数图象如图(1)(2)(3)．(1) (2) (3)(1)y ＝x 2－4的单调递减区间为(－∞，0)，递增区间为(0，＋∞)． (2)y ＝－2x 的单调增区间为(－∞，0)，(0，＋∞)，无递减区间． (3)f (x )的单调增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，递减区间为(0,2)．1．函数f (x )＝－x 2＋|x |(x ∈R )的单调递增区间为________.【导学号：48612079】[解析] (1)f (x )＝－x 2＋|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋x ，x >0，－x 2－x ，x ≤0，图象如图所示：∴f (x )的单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12，⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12用定义证明函数f (x )＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数． [思路探究] 解答本题可直接利用函数单调性的定义来判断．[解] 证明：设x 1，x 2是区间(－1，＋∞)上任意两个实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋2x 1＋1－x 2＋2x 2＋1＝x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1).∵－1＜x 1＜x 2，∴x 2－x 1＞0，x 1＋1＞0，x 2＋1＞0， ∴x 2－x 1(x 1＋1)(x 2＋1)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，∴y ＝x ＋2x ＋1在(－1，＋∞)上是减函数．2．证明函数f(x)＝x2＋1x在(1，＋∞)上单调递增．[证明]任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1<x2，f(x1)－f(x2)＝x21＋1x1－x22＋1x2＝⎝⎛⎭⎪⎫x1＋1x1－⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1x2＝(x1－x2)＋x2－x1x1x2＝(x1－x2)⎝⎛⎭⎪⎫x1x2－1x1x2.∵x1，x2>1，∴x1x2>1，∴x1x2－1>0.又x1<x2，∴x1－x2<0，∴f(x1)<f(x2)，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增．[1．如何利用函数的单调性比较两个函数值的大小？[提示]先判断函数f(x)在区间D上的单调性，如果函数f(x)在D上是增函数，当x1<x2时，则f(x1)<f(x2)，如果f(x)在D上是减函数，结论则相反．2．如果已知函数的单调性和函数值的大小，能否判断对应自变量的大小？[提示]能．利用函数单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系，即脱去f符号，转化为自变量的大小关系．已知函数f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )，则x的取值范围为________．[思路探究] 根据单调性可以去掉f ，还应考虑定义域． [解] ∵f (x )是定义在[－2,2]上的增函数，且f (x －2)<f (1－x )， ∴x －2<1－x ，∴x <32.又f (x )的定义域为[－2,2]，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x －2≤2，－2≤1－x ≤2，∴⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤4，－1≤x ≤3，∴0≤x ≤3，综上，0≤x <32. [答案] ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，323．已知f (x )在R 上为减函数且f (2m )≥f (9－m )，则m 的取值范围是________.【导学号：48612080】[解析] 由题意可得2m ≤9－m ， ∴m ≤3.[答案] m ≤3[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )的图象如图2-2-2所示，则f (x )的单调减区间为________.【导学号：48612081】图2-2-2[解析] 由题图知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2上图象呈下降趋势，∴单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，22．下列四个函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是________． (1)f (x )＝－1x ＋1；(2)f (x )＝x 2－3x ； (3)f (x )＝3－x ；(4)f (x )＝－|x |. [解析] 函数f (x )＝－1x ＋1的单调递增区间是(－∞，－1)，(－1，＋∞)，显然在(0，＋∞)上是增函数；函数f (x )＝x 2－3x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫32，＋∞上单调递增；函数f (x )＝3－x 在(0，＋∞)上是减函数；函数f (x )＝－|x |在(0，＋∞)上是减函数，故(2)(3)(4)错误．[答案] (1)3．若函数f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值范围为________.【导学号：48612082】[解析] ∵f (x )＝(k －2)x ＋b 在R 上是减函数， ∴k －2＜0，∴k ＜2. [答案] k ＜24．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x －5，x ≥1，－2x ，－1<x <1，x ＋2，x ≤－1，则f (x )的单调增区间为________．[解析] f (x )为分段函数，当x ≥1时，f (x )单调递增，当x ∈(－1,1)时，f (x )单调递减，当x ≤－1时，f (x )单调递增．[答案] [1，＋∞)，(－∞，－1]5．已知函数f (x )＝x ＋12x ＋2，x ∈[1，＋∞)． (1)判断函数f (x )在区间[1，＋∞)上的单调性； (2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008). 【导学号：48612083】[解] (1)设1≤x 1＜x 2， f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12x 1－x 2－12x 2＝(x 1－x 2)＋x 2－x 12x 1x 2＝(x 1－x 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12x 1x 2 ＝(x 1－x 2)·2x 1x 2－12x 1x 2.由1≤x 1＜x 2得 x 1－x 2＜0，x 1x 2＞1， ∴2x 1x 2－1＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0， 即f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在[1，＋∞)上为增函数． (2)∵f (x )在[1，＋∞)上为增函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12＜f (x ＋1 008) ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2x －12≥1，2x －12＜x ＋1 008，解得34≤x ＜2 0172，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ＜2 0172.。