人教版高中数学必修一空间几何体练习题及答案全

高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》单元练习题卷3（共22题）一、选择题（共10题）1.若正棱锥底面边长与侧棱长相等，则该棱锥一定不是( )A．三棱锥B．四棱锥C．五棱锥D．六棱锥2.两条直线a，b和直线l所成的角相等，则直线a，b( )A．相交B．异面C．平行D．可能相交，平行或异面3.已知在棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且PA=1，PB=2，PC=√3，则此三棱锥的外接球的表面积为( )A．8πB．8√2πC．16πD．32π4.若一个直三棱柱的所有棱长都为1，且其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A．πB．7π3C．11π3D．5π5.已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合的平面，下列四个命题中，正确命题的个数是( )① a∥c,b∥c}⇒a∥b；② a∥γ,b∥γ}⇒a∥b；③ a∥γ,α∥γ}⇒a∥α；④ a∥c,a⊄α}⇒a∥α．A．1B．2C．3D．46.在斜棱柱的侧面中，矩形最多有( )A．2个B．3个C．4个D．6个7.已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )A．23B．3+√3C．9+√32D．2√38.如图所示，圆柱形容器的底面直径等于球的直径2R，把球放在圆柱里，注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，此时容器中水的深度是( )A．2R B．4R3C．23R D．R39.将图（1）中的等腰直角三角形ABC沿斜边BC的中线AD折起得到空间四面体ABCD，如图（2），则在空间四面体ABCD中，AD与BC的位置关系是( )A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直10.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE:EB=AF:FD=1:4，又H，G分别为BC，CD的中点，则( )A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形二、填空题（共6题）11. 如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为 ．12. 如图所示，在四棱锥 P −ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA =AB =2，E为 PA 的中点．则下列四个命题： （1）PC ⊥BD ；（2）平面 BED 将四棱锥分为两部分，这两部分的体积之比为 1:2； （3）平面PAB ⊥平面PBC ；（4）四棱锥 P −ABCD 外接球的表面积等于 12π． 其中正确的是 （写出所有正确结论的序号）．13. 已知函数 f (x )={x,0≤x ≤12−x,1<x ≤2，将 f (x ) 的图象与 x 轴围成的封闭图形绕 x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为 ．14. 已知在三棱锥 A −BCD 中，AB ⊥平面BCD ，∠BDC =90∘，AB =BD =2，CD =1，则三棱锥的外接球体积为 ．15. 三条直线相交于一点，则它们最多能确定 个平面．16. 现有橡皮泥制作的底面半径为 5，高为 9 的圆锥和底面半径为 √3，高为 8 的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与各自的高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥与圆柱各一个，则新的底面半径为 ，若新圆锥的内接正三棱柱表面积取到最大值，则此正三棱柱的底面边长为 ．三、解答题（共6题）17. 如图，P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点，M 是 PC 的中点，在 DM 上取一点 G ，过点G 和 AP 作平面，交平面 BDM 于 GH ．求证：AP ∥GH ．18.一个圆锥的底面半径为R，高为√3R．(1) 求圆锥的表面积；(2) 求圆锥内接正四棱柱的表面积的最大值．19.如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示．(1) 证明：AD⊥平面PBC；(2) 求三棱锥D−ABC的体积；(3) 在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．20.已知正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，点M在线段CC1上．(1) 求异面直线A1B与AC所成角的大小（用反三角函数值表示）；，求多面体ABM−A1B1C1的体积．(2) 若直线AM、平面ABC所成角大小为π421.如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点Oʹ且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OOʹ和较小的棱锥POʹ．(1) 求大棱锥，小棱锥，棱台的侧面面积之比；(2) 若大棱锥的侧棱长为12cm，小棱锥的底面边长为4cm，求截得的棱台的侧面面积和表面积．22.如图，在棱长为2的正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点．(1) 求证：平面AB1E∥平面BD1F；(2) 求平面AB1E与平面BD1F之间的距离．答案一、选择题（共10题） 1. 【答案】D【解析】若正六棱锥底面边长与侧棱长相等，则正六棱锥的侧面都是等边三角形，侧面的六个顶角都为 60∘，六个顶角的和为 360∘，这样一来，六条侧棱在同一个平面内，这是不可能的． 【知识点】棱锥的结构特征2. 【答案】D【知识点】直线与直线的位置关系3. 【答案】A【知识点】组合体、球的表面积与体积4. 【答案】B【解析】画出其立体图形：因为直三棱柱的所有棱长都为 1，且每个顶点都在球 O 的球面上，设此直三棱柱两底面的中心分别为 O 1，O 2，则球心 O 为线段 O 1O 2 的中点， 设球 O 的半径为 R ，在 △A 1B 1C 1 中 A 1O 1 是其外接圆半径 r ， 由正弦定理可得：2r =1sin60∘，r =2√32=√33，即 A 1O 1=√33． 在 Rt △A 1O 1O 中，A 1O 2=A 1O 12+O 1O 2=(√33)2+(12)2=13+14=712．所以球 O 的表面积 S =4πR 2=4π×712=7π3．【知识点】球的表面积与体积5. 【答案】A【知识点】直线与平面平行关系的性质6. 【答案】D【知识点】棱柱的结构特征7. 【答案】B【解析】由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体ABCD−A1B1C1D1截去三棱锥D1−ACD 和三棱锥B−A1B1C1后的剩余部分．其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为√2的等边三角形，所以其表面积为6×12×12+2×√34×(√2)2=3+√3．【知识点】棱锥的表面积与体积8. 【答案】C【解析】由题意，水的体积=πR2⋅2R−43πR3=23πR3，所以容器中水的深度ℎ=23πR3πR2=23R．【知识点】球的表面积与体积9. 【答案】C【解析】折起前AD⊥BC，折起后有AD⊥BD，AD⊥DC，所以AD⊥平面BCD，所以AD⊥BC．又AD与BC不相交，故AD与BC异面且垂直．【知识点】直线与直线的位置关系10. 【答案】B【解析】如图所示，在平面ABD内，因为AE:EB=AF:FD=1:4，所以EF∥BD．又BD⊂平面BCD，EF⊄平面BCD，所以EF∥平面BCD．因为H，G分别是BC，CD的中点，所以HG∥BD，所以HG∥EF．又EFBD =AEAB=15，HGBD=CHBC=12，所以EF≠HG．在四边形EFGH中，EF∥HG且EF≠HG，所以四边形EFGH为梯形．【知识点】直线与平面平行关系的判定二、填空题（共6题）11. 【答案】1:47【解析】设长方体长宽高分别为2a，2b，2c，所以长方体体积V1=2a×2b×2c=8abc，三棱锥体积V2=13×12×a×b×c=16abc，所以棱锥的体积与剩下的几何体体积的之比为：V2V1−V2=16abc(8−16)abc=147．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积12. 【答案】（1），（3），（4）【解析】（1）如图所示，连接AC，因为四边形ABCD为正方形，所以AC⊥BD．所以PA⊥BD．而PA∩AC=A，所以BD⊥平面PAC．故BD⊥PC．（2）由已知，可得S正方形ABCD=22=4，又PA⊥底面ABCD，所以V P−ABCD=13S正方形ABCD×PA=83．而V E−ABD=13S△ABD×EA=13×12AB×AD×AE=23，所以V E−ABD:(V P−ABCD−V E−ABD)=23:(83−23)=1:3．（3）因为PA⊥平面ABCD，PA⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面ABCD．又平面PAB∩平面ABCD=AB，CB⊥AB，所以CB⊥平面PAB．又CB⊂平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC．（4）由（3），知CB⊥平面PAB，故CB⊥PB．同理CD⊥PD．取PC的中点O，连接OB，OA，OD，如图所示，则在Rt△PBC中，OB=12PC．同理，在Rt△PAC中，OA=12PC．在Rt△PDC中，OD=12PC．所以O为四棱锥P−ABCD的外接球的球心．故外接球的半径r=12PC=12×√22+(2√2)2=√3，其表面积为S=4πr2=12π．综上所述，正确的命题有（1），（3），（4）．【知识点】棱锥的表面积与体积、球的表面积与体积13. 【答案】2π3【解析】函数f(x)的图象是两条线段构成的折线，线段端点依次为(0,0)，(1,1)，(2,0)，所得旋转体是同底的两个圆锥拼在一起，其体积为 13π×12×(1+1)=2π3．【知识点】圆锥的表面积与体积14. 【答案】 92π【解析】如图所示，三棱锥可补形为一个长、宽、高分别为 2，1，2 的长方体， 则三棱锥的外接球与长方体的外接球相同，设外接球半径为 R ， 则：(2R )2=22+22+12，则 R 2=94，R =32， 外接球的体积：V =43πR 3=43π×278=92π．【知识点】组合体、球的表面积与体积15. 【答案】 3【知识点】平面的概念与基本性质16. 【答案】 3 ；9√35【解析】设新的底面半径为 r ， 由 V 旧圆锥+V 旧圆柱=V 新圆锥+V 新圆柱，13×9×π×52+8×π×(√3)2=13×9⋅πr 2+8πr 2， 解得 r 2=9，r =3， 如图正三棱柱 ABC −A 1B 1C 1 内接于该圆锥，设 △A 1B 1C 1 边长为 a ，外接圆半径 R =a2sin60∘=√33a ， 由比例知上半个圆锥高 ℎ1 满足ℎ1 9=R3，ℎ1=3R=√3a，AA1=9−ℎ1=9−√3a，正三棱柱ABC−A1B1C1的，S 表=2S△A1B1C1+3S A1ABB1,=2⋅√34a2+3⋅a(9−√3a),=−√52√3a2+27a,在a=−2⋅(−52√3)时取到最大值，即a=9√35．【知识点】圆柱的表面积与体积、圆锥的表面积与体积三、解答题（共6题）17. 【答案】如图，连接AC，交BD于点O，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，所以点O是AC的中点．又因为点M是PC的中点，所以OM∥AP．又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM．因为平面PAHG∩平面BDM=GH，AP⊂平面PAHG，所以AP∥GH．【知识点】直线与平面平行关系的判定18. 【答案】(1) 由题意可知，圆锥的母线l长为√R2+(√3R)2=2R，所以该圆锥的表面积为πR(R+l)=3πR2．(2) 如图所示，设正四棱柱的底面对角线的一半为x，易知△PBC∽△PAO，所以BCAO =PCPO，即xR =√3R−OC√3R，解得OC=√3(R−x)，正四棱柱的底面是一个正方形，其底面边长为√2x，底面积为2x2，所以正四棱柱的表面积为S=2×2x2+4×√2x×√3(R−x)=(4−4√6)x2+4√6Rx，由二次函数的基本性质可知，当x=√6R8(√6−1)=√6R2(√6−1)时，正四棱柱的表面积S有最大值，且S max=6(√6+1)R25．【知识点】圆锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积19. 【答案】(1) 因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，所以BC⊥AD．由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，所以AD⊥平面PBC．(2) 由三视图可得BC=4，由（1）知∠ADC=90∘，BC⊥平面PAC，又三棱锥D−ABC的体积即为三棱锥B−ADC的体积，所以所求三棱锥的体积V=13×12×4×12×4×4=163．(3) 取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，因为PQ⊄平面ABD，OD⊂平面ABD，所以PQ∥平面ABD，连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，所以ACBQ为平行四边形，所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，所以在直角△PAD中，PQ=√AP2+AQ2=4√2．【知识点】棱锥的表面积与体积、直线与平面垂直关系的判定、直线与平面平行关系的判定、空间线段的长度20. 【答案】(1) 连接BC1，则由于在正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AC∥A1C1，故异面直线A1B与AC所成角即为直线A1B与A1C1所成的角．因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，底面边长为2，AA1=4，所以BC1=2√5，A1B=2√5，A1C1=2√2．所以cos∠BA1C1=BA12+A1C12−BC122BA1A1C1=√1010．所以异面直线A1B与AC所成角即为arccos√1010．(2) 因为正四棱柱ABCD−A1B1C1D1中MC⊥面ABCD，直线AM与平面ABC所成角为π4，所以∠MAC=π4，因为BC=2，所以MC=2√2，因为V ABM−A1B1C1=V ABC−A1B1C1−V M−ABC，所以V ABM−A1B1C1=12×2×2×4−13×12×2×2×2√2=8−4√23，即多面体ABM−A1B1C1的体积为8−4√23．【知识点】异面直线所成的角、棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积21. 【答案】(1) 设小棱锥的底面边长为a，斜高为ℎ，则大棱锥的底面边长为2a，斜高为2ℎ，所以大棱锥的侧面面积为6×12×2a×2ℎ=12aℎ，小棱锥的侧面面积为6×12aℎ=3aℎ，所以棱台的侧面面积为9aℎ，所以大棱锥、小棱锥、棱台的侧面面积之比为4:1:3．(2) 因为小棱锥的底面边长为4cm，所以大棱锥的底面边长为8cm，因为大棱锥PO的侧棱长为12cm，所以斜高为√144−16=8√2，所以大棱锥的一个侧面面积为12×8×8√2=32√2，所以棱台的一个侧面面积为24√2，则棱台的侧面积为6×24√2=144√2，棱台的上底面积为6×√34×42=24√3，下底面积为6×√34×82=96√3，所以棱台的表面120√3+144√2cm2．【知识点】棱锥的表面积与体积、棱台的表面积与体积22. 【答案】(1) 因为在正方体ABCD−A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1，B1C1的中点，所以D1E∥B1F，D1E=B1F，所以四边形B1FD1E是平行四边形，所以B1E∥D1F，又B1E⊄平面BD1F，D1F⊂平面BD1F，所以B1E∥平面BD1F，连接EF，因为EF∥AB，EF=AB，所以四边形ABFE是平行四边形，所以AE∥BF，又AE⊄平面BD1F，BF⊂平面BD1F，所以AE∥平面BD1F，又因为AE∩B1E=E，AE,B1E⊂平面AB1E，所以平面AB1E∥平面BD1F．(2) 平面AB1E与平面BD1F之间的距离也就是点B到平面AB1E的距离，设为ℎ，因为正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为2，所以AE=B1E=√5，AB1=2√2，所以△AB1E的面积S△AB1E =12×2√2×√(√5)2−(√2)2=√6，所以三棱锥B−AB1E的体积V B−AB1E =13S△AB1E⋅ℎ=√63ℎ，易知三棱锥E−ABB1的体积V E−ABB1=13S△ABB1⋅A1E=13×12×2×2×1=23，由V B−AB1E =V E−ABB1可得，√63ℎ=23，解得ℎ=√63，所以平面AB1E与平面BD1F之间的距离为√63．【知识点】平面与平面平行关系的判定、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）。

第一篇热点、难点突破篇专题14空间几何体的结构、面积与体积（练）【对点演练】一、单选题1．（2022秋·北京·高三统考阶段练习）已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O，2O，过直O O的平面截该圆柱所得的截面是面积为12的正方形，则该圆柱的体积为（）线12A．B．12πC．D．则该圆台的体积为（）A．36πB．40πC．42πD．45πOO的长度===，1O为ABC的外接圆的圆心，球O的表面积为64π，则1AB BC AC为（）B．2C．D．3A【答案】C【分析】由已知求得球O的半径4r=，即可求R=，根据正弦定理求出ABC外接圆半径2出结果.O的半径为r，球O的半径为R.【详解】设圆1依题意得ABC 为等边三角形，则由正弦定理得O 的表面积为如图，根据球的截面性质得2d OA ==的扇形，则该圆锥的侧面积为（ ） A ．π B ．3π2C D ．点作球O 的截面，则最小截面的面积为（ ） A ．3π B ．4πC ．5πD ．6π子，其形状可以看成一个正四面体．广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A．4B．6C．8D．10实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底面圆的直径之比约为（）A．3：2B．5：4C．5：3D．4：3一卷中称轴截面为等腰直角三角形的圆锥为直角圆锥．若一个直角圆锥的侧面积为，则该圆锥的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．9π中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为h （轨道高度是指卫星到地球表面的距离）.将地球看作是一个球心为O ，半径r 为的球，其上点A 的纬度是指OA 与赤道平面所成角的度数.地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为α，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为22(1cos )S r πα=-（单位：2km ），若458h r =，则S 占地球表面积的百分比约为（ ） A ．26% B ．34% C ．42% D ．50%【答案】C【分析】设C 表示卫星，过CO 作截面，截地球得大圆O ，过C 作圆O 的切线,CA CB ，线段CO 交圆O 于E ，得AOC α∠=，在直角三角形中求出cos α后，可计算两者面积比．【详解】设C 表示卫星，过CO 作截面，截地球得大圆O ，过C 作圆O 的切线,CA CB ，线段CO 交圆O 于E ，如图，则AOC α∠=，r OE =，CE h =，OA CA ⊥，二、填空题10．（2022秋·江苏徐州·高三期末）已知圆柱的高为8，该圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为36π，则圆柱的体积为______．【答案】72π【分析】先分析半径最大的球不可能为圆柱的内切球，所以此球是与圆柱侧面与下底面相切的球，就能求出圆柱底面半径，然后根据圆柱的体积公式可得.【详解】圆柱内能容纳半径最大的球的表面积为36π，设此球半径为r，则24π36π3r r=⇒=如果圆柱有内切球，又因为圆柱的高为8，所以内切球半径为43>，说明这个圆柱内能容纳半径最大的球，与圆柱侧面和下底面相切，与上底面相离，易得圆柱底面半径为3，圆柱的体积为2π3872π⋅⨯=故答案为：72π【冲刺提升】一、单选题1．（2022秋·广东东莞·高三统考期末）已知一个装满水的圆台形容器的上底半径为6，下底半径为1，高为，若将一个铁球放入该容器中，使得铁球完全没入水中，则可放入的铁球的体积的最大值为（）A．B．C D．108π【答案】B【分析】作出体积最大时的剖面图，分析出此时圆与上底，两腰相切，建立合适直角坐标系，()53，05<<t=-533)32332=模拟预测）某工厂要生产容积为为侧面成本的2倍，为使成本最小，则圆柱的高与底面半径之比应为（）A．1B．1C．2D．4 2圆柱上下底的总面积为3.（2022·浙江·模拟预测）如图，正方体1111的棱长为1，,E F 分别为棱BC ，11的中点，则三棱锥1B AEF -的体积为（ ）A ．524B ．316C ．29D ．181AB ES =因为正方体ABCD A B C D -的棱长为1， 所以111(,1,0),(0,1,1),(1,22AE AB AF =-==-的法向量为(,,)n x y z =112n AE x n AB y z ⎧⋅=-⎪⎨⎪⋅=+⎩所以(2,1,1)n =-，F 平面1AB E 的距离为2AF n n-+⋅=又因为1AB =,121122AB EAB S⎫==⋅⎪⎭所以三棱锥故选：AF ，G ，H 分别是SA ，SB ，BC ，AC 的中点，则四边形EFGH 面积的取值范围是（ ） A ．()0,∞+ B ．⎫∞⎪⎪⎝⎭ C ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】画出图形，求出,EF HG ，说明EFHG 是矩形，结合图形，说明S 点在ABC 平面时，面积最小，求出即可得到范围 【详解】如图所示：由正三棱锥S ABC -的底面边长是2，因为E 、F 、G 、H 分别是SA 、SB 、BC 、AC 的中点，设ABC 的中心为SC OA >=所以EFGH 所以四边形且4BC =，6BD =，面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，则空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比为（ ）A B C D 【答案】C【分析】根据空间四边形ABCD 的线面关系可得DB ⊥平面ABC ，则空间四边形ABCD 可以内接于圆柱中，根据圆柱的外接球半径求得空间四边形ABCD 的外接球半径R ，又根据内切球的几何性质用等体积法可求得空间四边形ABCD 的内切球半径r ，即可得空间四边形ABCD 外接球与内切球的表面积之比.【详解】解：面ABC 与面BCD 夹角正弦值为1，∴面ABC ⊥面BCD ，又面ABC ⋂面BCD BC =,DB BC DB ⊥⊂面BCD ，DB ∴⊥平面ABC ，则空间四边形ABCD 可以内接于圆柱12O O 中，如下图所示：点在上底面圆周上，ABC三个顶点在下底面圆周上，则圆柱O O的外接球即空间四边连接OA，则球心为为正ABC4sin6032BC=︒1111333ABC ABD ADC BCDS r S r S r S r⋅+⋅+⋅+⋅，，所以()22142132832ADCS=⨯⨯-=，44612ABC ABD ADC BCDS S S S⨯⨯⨯=+++⨯外接球与内切球的表面积之比为6．（2022秋·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）三棱锥A BCD -中，AB BC AD CD BD AC ======，则三棱锥A BCD -的外接球的表面积为（ ）A ．20πB ．28πC ．32πD ．36π23AB AD ==且E 为BD 中点，AE BD ∴⊥，AE AB ∴=又AE CE =120， 过BCD △的外心作平面同理过ABD △l l O ''=，易知连接O E '，O 为BCD △又在OO E '中，603=，∴得27O C O O ''=，即外接球半径7=，故外接球表面积28π=.故选：B7．（2022秋·天津河东·高三统考期末）一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为）A．16πB．4πC．8πD．32π8．（2022秋·黑龙江牡丹江·高三牡丹江一中校考期末）如图截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体.如图，将棱长为3的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为1的截角四面体.则该截角四面体的表面积是______.正六边形每个内角均为2π111A B C 中，点P 在棱1BB 上，且1PA PC ⊥，当1APC 的面积取最小值时，三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为______．【答案】28π时，1APC 面积取得最小值，补形后三棱锥的外接球，求出外接球半径和表面积【详解】由勾股定理得：AB =，则16PA =(7x y ++1APC S =2169y +，即2x =其中长方体的外接球的直径为，平面PAB ⊥平面PCD ,则P ABCD -体积的最大值为__________.PO ⊥平面ABCD ,PE CD⊥CD平面POE∴⊥,CD OE底面ABCD是边长为∴⊥,CD BCOE⊂平面ABCD OE BC∴,同理可得:OF∥O E F三点共线故,,∥,且有EF BC设平面PAB⋂平面∥AB CD AB,∴∥∥l AB⊥PE CD平面PAB∴⊥平面PEPF⊂平面∴⊥PE PF不妨设PE22∴+x y且2OP=-即2y m11．（2023·广西梧州·统考一模）边长为1的正方形ABCD 中，点M ，N 分别是DC ，BC 的中点，现将ABN ，ADM △分别沿AN ，AM 折起，使得B ，D 两点重合于点P ，连接PC ，得到四棱锥P AMCN -.(1)证明：平面APN ⊥平面PMN ；(2)求四棱锥P AMCN -的体积. ，所以PMN 为直角三角形，即PMN S=111111222AMN ABN ADM CMN ABCD S S S S S =---=-⨯⨯⨯-⨯正方形设点P 到平面AMN 的距离为h ，由A PMN P V V --=1133PMN AMN S PA S h ⋅=⋅△△，即13188h ⨯=，得h =)AMN MCN S S h +=AMCN 的体积为全国·高三对口高考）如题图，是圆锥底面的圆心，ABC 是底面的内接正三角形．P 为DO 上一点，90APC ∠=︒.(1)求证：PC ⊥平面PAB ；(2)若DO =．求三棱锥-P ABC 的体积． 因为ABC 是底面的内接正三角形，CO AB ⊥，PO OC ⋂AB ⊥平面PC ⊂平面AB PC ⊥，PA AB A =，⊥平面PAB（2）解：设圆锥的母线为l，底面半径为r，则圆锥的侧面积为ππ，即，=603所以，在等腰直角三角形APC。

章末知识整合专题一图形的画法本章重点学习了立体几何图形的两种画法：一是三视图画法，二是斜二测画法．1．三视图画法：它包括正视图、侧视图、俯视图三种．画图时要遵循“高平齐、长对正、宽相等”的原则，同时还要注意被挡住的轮廓线画成虚线，尺寸线用细实线标出；D表示直径，R表示半径；单位不注明的按mm计．2．斜二测画法：主要用于水平放置的平面图画法或立体图形的画法．它的主要步骤：①画轴；②画平行于x，y，z轴的线段分别为平行于x′，y′，z′轴的线段；③截线段，平行于x，z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半．例1在下图中，图乙是图甲中实物的正视图和俯视图，你认为正确吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出它的侧视图．解析：图甲是由两个长方体组合而成的，正视图正确，俯视图错误，俯视图应该画出不可见轮廓线(用虚线表示)，侧视图轮廓是一个矩形，有一条可视的交线(用实线表示)．正确画法如下图所示．例2已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2B.38a2C.68a2D.616a2解析：先根据题意，画出直观图，然后根据直观图△A′B′C′的边长及夹角求解．图(1)、(2)所示为实际图形和直观图．由(2)可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝12OC＝34a，在图(2)中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝22O′C′＝6 8a.∴S△A′B′C′＝12A′B′·C′D′＝12×a×68a＝616a2.答案：D►跟踪训练1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________．答案：16π－16专题二有关空间几何体的体积与表面积的计算1．直接考查表面积与体积公式．2．组合体的表面积与体积，分割转化成柱、锥、台、球的表面积与体积．解决这类问题，要充分利用平面几何知识，把空间图形转化为平面图形，特别注意应用柱、锥、台体的侧面展开图．例3 正六棱锥PABCDEF 中，G 为PB 的中点，则三棱锥DGAC 与三棱锥PGAC 的体积之比为( )A ．1∶1B ．1∶2C ．2∶1D ．3∶2解析：如图设棱锥的高为h ，V DGAC ＝V GDAC ＝13S △ADC ·12h ， V PGAC ＝12V PABC ＝V GABC ＝13S △ABC ·h 2. 又S △ADC ∶S △ABC ＝2∶1，故V DGAC ∶V PGAC ＝2∶1.答案：C例4 右图是古希腊数学家阿基米德的基碑文，基碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等．相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这个伟大发现：圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积之比分别为( )A .32，1B .23，1 C .32，32 D .23，32解析：设球的半径为R ，则圆柱的底面半径为R ，高为2R ，∴V 圆柱＝πR 2×2R ＝2πR 3，V 球＝43πR 3，∴V 圆柱V 球＝2πR 343πR 3＝32， S 圆柱＝2πR ×2R ＋2×πR 2＝6πR 2，S 球＝4πR 2，∴S 圆柱S 球＝6πR 24πR 2＝32，故选C . 答案：C►跟踪训练2．如图所示，在上、下底面对应边的比为1∶2的三棱台中，过上底面一边作一个平行于对棱的平面A 1B 1EF ，这个平面分三棱台成两部分的体积之比为(C )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．4∶5解析：设棱台的高为h ，上底面面积为S ，则下底面面积为4S ，∴V 台＝13h(S ＋S ×4S ＋4S)＝73Sh.V 柱A 1B 1C 1FEC ＝Sh ，∴V 柱V 台－V 柱＝Sh 73Sh －Sh ＝34，故选C . 3．如图，在三棱柱A 1B 1C 1ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，AC ，AA 1的中点，设三棱锥FADE 的体积V 1，三棱柱A 1B 1C 1ABC 的体积为V 2，则V 1∶V 2＝________．答案：1∶24专题三 思想方法——转化思想与函数方程思想转化思想的核心在于把生疏和复杂的问题转化、归结为较为熟悉、简单的问题解决，在本章中体现在通过展开图求其表面积、利用截面图将立体几何问题转化成平面几何问题等．函数方程思想是用运动变化的观点研究具体问题中的数量关系，如表面积、体积及空间几何体表面上的距离等问题．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其中有一个高为x 的内接圆柱．(1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解析：(1)设圆柱的底面半径为r ，则它的侧面积为S ＝2πrx ，r R ＝H －x H ，解得：r ＝R －R Hx ， 所以S 圆柱＝2πRx －2πR Hx 2. (2)由(1)知：S 圆柱＝2πRx －2πR Hx 2，在此表达式中，S 为x 的二次函数，因此，当x ＝H 2时，圆柱的侧面积最大． ►跟踪训练4．在三棱锥ABCD 中，AB ＝CD ＝p ，AD ＝BC ＝q ，AC ＝BD ＝r ，则三棱锥ABCD 外接球的半径为多少？解析：以AB ，AC ，AD 为面对角线构造长方体，设长方体的三棱长分别为x ，y ，z.则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝p 2，y 2＋z 2＝q 2，z 2＋x 2＝r 2，所以x 2＋y 2＋z 2＝p 2＋q 2＋r 22.从而外接球的半径为R ＝x 2＋y 2＋z 22＝2（p 2＋q 2＋r 2）4.。

人教A版高一数学必修第二册第八章《立体几何初步》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.分别在两个平面内的两条直线间的位置关系是( )A．异面B．平行C．相交D．以上都有可能2.下列说法正确的是( )A．相等的角在直观图中仍然相等B．相等的线段在直观图中仍然相等C．正方形的直观图是正方形D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行3.截一个几何体，所得各截面都是圆面，则这个几何体一定是( )A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台4.下列图形中不一定是平面图形的是( )A．三角形B．菱形C．梯形D．四边相等的四边形5.如图的简单组合体是由组合而成.A．棱柱、棱台B．棱柱、棱锥C．棱锥、棱台D．棱柱、棱柱6.如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是( )A．是棱台B．是圆台C．不是棱柱D．是棱锥7.下面是一些命题的叙述语（A，B表示点，a表示直线α，β表示平面），其中命题和叙述方法都正确的是( )A．若A∈α，B∈α，则AB∈αB．若a∈α，a∈β，则α∩β=aC．若A∈α，a⫋α，则A∈αD．若A∉a，a⫋α，则A∉α8.下列四个命题中真命题是( )A．同垂直于一直线的两条直线互相平行B．底面各边相等，侧面都是矩形的四棱柱是正四棱柱C．过空间任一点与两条异面直线都垂直的直线有且只有一条D．过球面上任意两点的大圆有且只有一个9.两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为( )A．1B．2C．3D．410.用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是( )A．A∈l，l∉αB．A⊂l，l⊄αC．A⊂l，l∈αD．A∈l，l⊂α二、填空题（共6题）11.几何体体积说明棱柱V棱柱=SℎS为棱柱的 ,ℎ为棱柱的 棱锥V棱锥=13SℎS为棱锥的 ,ℎ为棱锥的 棱台V棱台=13(Sʹ+√SʹS+S)ℎSʹ,S分别为棱台的 ,ℎ为棱台的 12.如果两个球的体积之比为8:27，那么两个球的表面积之比为．13.思考辨析 判断正误棱锥的体积等于底面面积与高之积．14.已知正三棱柱ABC−A1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱BB1的中点，N是棱AB的中点，则∠NMC1的大小是．15.思考辨析，判断正误．如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行．16.思考辨析，判断正误在斜二测画法中，各条线段的长度都发生了改变．( )三、解答题（共6题）17.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，且AD<BC，当梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．18.如图是长方体的表面展开图，在这个长方体中：(1) 直线DM与平面ABQP的位置关系是怎样的？(2) 平面DCMN与平面ERFG的位置关系是怎样的？(3) 线段BC的长度是点C到平面APQB的距离吗？19.有4条长为2的线段和2条长为a的线段，用这6条线段作为棱，构成一个三棱锥．问a为何值时，可构成一个最大体积的三棱锥，最大值为多少？20.根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的位置关系．(1) 点P与直线AB；(2) 点C与直线AB；(3) 点M与平面AC；(4) 点A1与平面AC；(5) 直线AB与直线BC；(6) 直线AB与平面AC；(7) 平面A1B与平面AC．21.应用面面平行判断定理应具备哪些条件？22.观察（1），（2），（3）三个图形，说明它们的位置关系有什么不同，并用字母表示各个平面．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】D【解析】分别在两个平面的两条直线平行、相交、异面都可能，可将两条直线放在长方体里进行研究．【知识点】直线与直线的位置关系2. 【答案】D【解析】等腰三角形的两底角相等，但在直观图中不相等，故A错误；正方形的直观图是平行四边形，正方形的两邻边相等，但在直观图中不相等，故B，C错误．【知识点】直观图3. 【答案】C【解析】由球的结构特征知该几何体是球．【知识点】球的结构特征4. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质5. 【答案】B【解析】该简单组合体的上面是一个棱锥，下面是一个棱柱．【知识点】组合体6. 【答案】D【解析】对A，侧棱延长线不交于一点，不符合棱台的定义，所以A错误；对B，上下两个面不平行，不符合圆台的定义，所以B错误；对C，将几何体竖直起来看，符合棱柱的定义，所以C错误；对D，符合棱锥的定义，正确．【知识点】棱台的结构特征、棱锥的结构特征、棱柱的结构特征7. 【答案】C【知识点】平面的概念与基本性质8. 【答案】C【知识点】棱柱的结构特征、直线与直线的位置关系、球的结构特征9. 【答案】B【解析】设两球半径分别为R1，R2，且R1>R2，则4π(R12−R22)=48π，2π(R1+R2)=12π，所以R1−R2=2．【知识点】球的表面积与体积10. 【答案】D【解析】点A在直线l上，表示为A∈l，l在平面α内，表示为l⊂α．【知识点】平面的概念与基本性质二、填空题（共6题）11. 【答案】底面积；高；底面积；高；上、下底面面积；高【知识点】棱锥的表面积与体积、棱柱的表面积与体积、棱台的表面积与体积12. 【答案】4:9【解析】因为V1:V2=8:27=R13:R23，所以R1:R2=2:3，所以S1:S2=R12:R22=4:9．【知识点】球的表面积与体积13. 【答案】×【知识点】棱锥的表面积与体积14. 【答案】90°【解析】通过计算可知NC12=NM2+MC12，故∠NMC1=90∘．如图．【知识点】棱柱的结构特征15. 【答案】√【知识点】空间中直线与直线平行16. 【答案】×【知识点】直观图三、解答题（共6题）17. 【答案】如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．【知识点】组合体18. 【答案】(1) 根据展开图还原长方体，其示意图如图所示， 则 直线DM ∥平面ABQP ．(2) 平面 DCMN 垂直于平面 ERFG ．(3) 线段 BC 的长度是点 C 到平面 APQB 的距离．【知识点】平面与平面的位置关系、点面距离（线面距离、点线距离、面面距离）、直线与平面的位置关系19. 【答案】构成三棱锥，这 6 条线段作为棱有两种摆放方式．（1）2 条长为 a 的线段放在同一个三角形中．如图所示，不妨设底面 BCD 是一个边长为 2 的正三角形．欲使体积达到最大，必有 BA ⊥底面BCD ，且 BA =2，AC =AD =a =2√2， 此时 V =13×√34×22×2=23√3．（2）2 条长为 a 的线段不在同一个三角形中，此时长为 a 的两条线段必处在三棱锥的对棱，不妨设 AD =BC =a ，BD =CD =AB =AC =2． 取 BC 中点 E ，连接 AE ，DE （见下图）．则 AE ⊥BC,DE ⊥BC ⇒BC ⊥平面AED ，V =13S △AED ⋅BC ， 在 △AED 中，AE =DE =√4−a 24，AD =a ，S △AED =12a √4−a 24−a 24=12a √4−a 22，所以 V =16a 2√4−a 22=16√a 2a 2(16−2a 2)⋅14，由均值不等式 a 2a 2(16−2a 2)≤(163)3， 等号当且仅当 a 2=163时成立，即 a =43√3， 所以此时 V max =16√(163)3⋅14=1627√3．【知识点】棱锥的表面积与体积20. 【答案】(1) 点P∈直线AB．(2) 点C∉直线AB．(3) 点M∈平面AC．(4) 点A1∉平面AC．(5) 直线AB∩直线BC=点B．(6) 直线AB⊂平面AC．(7) 平面A1B∩平面AC=直线AB．【知识点】点、线、面的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系、直线与直线的位置关系21. 【答案】①平面α内两条相交直线a，b，即a⊂α，b⊂α，a∩b=P．②两条相交直线a，b都与β平行，即a∥β，b∥β．【知识点】平面与平面平行关系的判定22. 【答案】图（1）表示两个相交的半平面；图（2）表示开口向里的两个相交的半平面；图（3）表示开口向外的两个相交的半平面．【知识点】平面的概念与基本性质。