平面向量基本定理
[学习目标] 1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．
知识点一 平面向量基本定理
(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.
(2)基底：把不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
思考 如图所示，e 1，e 2是两个不共线的向量，试用e 1，e 2表示向量AB →，CD →，EF →，GH →，HG →，a .
答案 通过观察，可得：
AB →＝2e 1＋3e 2，CD →＝－e 1＋4e 2，EF →
＝4e 1－4e 2， GH →＝－2e 1＋5e 2，HG →
＝2e 1－5e 2，a ＝－2e 1. 知识点二 两向量的夹角与垂直
(1)夹角：已知两个非零向量a 和b ，如图，作OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a 与b 的夹角．
①范围：向量a 与b 的夹角的范围是[0°，180°]． ②当θ＝0°时，a 与b 同向． ③当θ＝180°时，a 与b 反向．
(2)垂直：如果a 与b 的夹角是90°，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b . 思考 在等边三角形ABC 中，试写出下面向量的夹角． ①AB →、AC →；②AB →、CA →；③BA →、CA →；④AB →、BA →. 答案 ①AB →与AC →
的夹角为60°；
②AB →与CA →
的夹角为120°； ③BA →与CA →
的夹角为60°； ④AB →与BA →
的夹角为180°.
题型一 对向量的基底认识
例1 如果e 1，e 2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是________． ①λe 1＋μe 2(λ、μ∈R )可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a ，使a ＝λe 1＋μe 2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e 1＋μ1e 2与λ2e 1＋μ2e 2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e 1＋μ1e 2＝λ(λ2e 1＋μ2e 2)； ④若存在实数λ，μ使得λe 1＋μe 2＝0，则λ＝μ＝0. 答案 ②③
解析 由平面向量基本定理可知，①④是正确的．
对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的．
对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个．
跟踪训练1 设e 1、e 2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e 1与e 1＋e 2；②e 1－2e 2与e 2－2e 1；③e 1－2e 2与4e 2－2e 1；④e 1＋e 2与e 1－e 2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是______．(写出所有满足条件的序号) 答案 ①②④
解析 对于③4e 2－2e 1＝－2e 1＋4e 2 ＝－2(e 1－2e 2)，
∴e 1－2e 2与4e 2－2e 1共线，不能作为基底． 题型二 用基底表示向量
例2 如图所示，已知▱ABCD 中，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点，若AB →＝a ，AD →＝b ，试以a 、b 为基底表示DE →、BF →.
解 ∵四边形ABCD 是平行四边形，E 、F 分别是BC 、DC 边上的中点， ∴AD →＝BC →＝2BE →，BA →＝CD →＝2CF →， ∴BE →＝12AD →＝12b ，CF →＝12BA →
＝－12AB →＝－12a .
∴DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝－AD →＋AB →＋BE →
＝－b ＋a ＋12b ＝a －1
2b ，
BF →＝BC →＋CF →＝AD →＋CF →
＝b －12
a .
跟踪训练2 如图，已知△ABC 中，D 为BC 的中点，E ，F 为BC 的三等分点，若AB →
＝a ，AC →＝b ，用a 、b 表示AD →、AE →、AF →. 解 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋12BC →
＝a ＋12(b －a )＝12a ＋12b ；
AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13BC →
＝a ＋13(b －a )＝23a ＋13b ；
AF →＝AB →＋BF →＝AB →＋23BC →
＝a ＋23(b －a )＝13a ＋23b .
题型三 向量夹角问题
例3 已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，设a ＋b 与a 的夹角为α，a －b 与a 的夹角是β，求α＋β.
解 如图，作OA →＝a ，OB →
＝b ，且∠AOB ＝60°， 以OA 、OB 为邻边作▱OACB ， 则OC →＝a ＋b ，BA →＝OA →－OB →
＝a －b ， BC →＝OA →
＝a .
因为|a |＝|b |＝2，所以△OAB 为正三角形， 所以∠OAB ＝60°＝∠ABC ， 即a －b 与a 的夹角β＝60°.
因为|a |＝|b |，所以平行四边形OACB 为菱形， 所以OC ⊥AB ，所以∠COA ＝90°－60°＝30°， 即a ＋b 与a 的夹角α＝30°， 所以α＋β＝90°.
跟踪训练3 若a ≠0，b ≠0，且|a |＝|b |＝|a －b |，求a 与a ＋b 的夹角． 解 由向量运算的几何意义知a ＋b ，a －b 是以a 、b 为邻边的平行四边形两条对角线．
如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |， ∴∠BOA ＝60°.
又∵OC →
＝a ＋b ，且在菱形OACB 中， 对角线OC 平分∠BOA ， ∴a 与a ＋b 的夹角是30°. 题型四 平面向量基本定理的应用
例4 如图所示，在△OAB 中，OA →＝a ，OB →
＝b ，点M 是AB 上靠近B 的一个三等分点，点N 是OA 上靠近A 的一个四等分点．若OM 与BN 相交于点P ，求OP →
. 解 OM →＝OA →＋AM →＝OA →＋23AB →＝OA →＋23(OB →－OA →)＝13a ＋23b ，
因为OP →与OM →共线，故可设OP →＝tOM →＝t
3a ＋2t 3b .
又NP →与NB →共线，可设NP →＝sNB →，OP →＝ON →＋sNB →
＝34OA →＋s (OB →－ON →
)＝34
(1－s )a ＋s b ， 所以⎩⎨⎧
34(1－s )＝t 3
，s ＝2
3t ，
解得⎩⎨⎧
t ＝
9
10
，s ＝3
5.
所以OP →＝3
10a ＋35
b .
跟踪训练4 如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →
，
BN 与CM 相交于E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用基底a ，b 表示向量AE →
. 解 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝1
2
a ，
由N ，E ，B 三点共线，设存在实数m ，满足AE →＝mAN →＋(1－m )AB →＝1
3m b ＋(1－m )a .
由C ，E ，M 三点共线，设存在实数n 满足：AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝1
2n a ＋(1－n )b .
所以13m b ＋(1－m )a ＝1
2
n a ＋(1－n )b ，
