初中数学53展开与折叠1

北师大版七年级上册初中数学《展开与折叠》教案一、教材分析：本节课是北师大版初中数学七年级上册第一章丰富的图形世界第2节《展开与折叠》，主要介绍了图形的展开与折叠的概念。

学生在这一节课中将学习如何将一个图形展开成平面图形，以及如何根据平面图形折叠成立体图形。

通过这一节的学习，学生可以培养对图形的观察力和空间想象力，提高他们的几何思维能力。

二、教学目标：1. 理解图形的展开与折叠的概念。

2. 能够将一个图形展开成平面图形。

3. 能够根据平面图形折叠成立体图形。

4. 培养学生的观察力和空间想象力。

5. 提高学生的几何思维能力。

三、教学重点和教学难点：教学重点：图形的展开与折叠的概念，展开与折叠的操作方法。

教学难点：根据平面图形折叠成立体图形的操作方法。

四、学情分析：学生已经学习了图形的基本知识，对于图形的名称和性质有一定的了解。

但是对于图形的展开与折叠的概念和操作方法可能还不太熟悉。

部分学生可能存在空间想象能力较弱的问题，需要通过具体的实例来帮助他们理解和掌握。

五、教学过程：第一环节：导入新知老师：同学们，回顾一下上节课我们学习的图形的基本知识，例如图形的名称和性质。

现在我有一个问题想问问你们，你们有没有想过如何将一个图形展开成平面图形？如何根据平面图形折叠成立体图形呢？请思考一下并且和你的同桌分享一下你的想法。

第二环节：引入展开与折叠的概念老师：好，现在请大家停止讨论，我来给大家介绍一下展开与折叠的概念。

请看这个立方体（出示一个立方体模型），我们知道立方体是一个有六个面的立体图形。

那么，如果我们将这个立方体展开成平面图形，你们觉得会是什么样子呢？（鼓励学生积极参与回答）学生：老师，我觉得展开后应该是六个正方形连在一起。

老师：很好，你的回答非常接近。

事实上，当我们将立方体展开时，会得到六个正方形，它们是立方体的六个面。

这个过程就是展开。

同样的，如果我们有这六个正方形，我们可以按照一定的方式折叠它们，重新组合成一个立方体，这个过程就是折叠。

初中数学七年级上册
《展开与折叠》知识点解读
知识点1正方体的展开与折叠
正方体的平面展开的11种情况：
“一四一”型
“二三一”型：
“三三”型：
“二二二”型：
①数：小正方形的个数（6个）
②看：小正方形的排列方式（一四一式二三一式三三式二二二式）
③想一想：在心里折一折，发展学生的空间观念。

例1骰子是一种特别的数字立方体（如图所示），它符合规则：相对两面的点数之和总是7.下面四幅图中可以折成符合规则的骰子的是（）
分析：正方体相对两面需间隔一个面，因此只有C符合条件。

解：C
知识点2棱柱、圆柱和圆锥的展开与折叠（重点）
1、棱柱的表面展开图
棱柱的表面展开图是由两个相同的多边形和一些长方形组成，沿棱柱表面不同的棱剪开，可得到不同组合方式的平面展开图。

2、圆柱的表面展开图
圆柱的表面展开图是由两个相同的圆形和一个长方形组成的。

3、圆锥的表面展开图
圆锥的表面展开图是由一个圆形和一个扇形组成的。

例2如图所示，甲图经过折叠后能否形成乙图的棱柱？如果不能形成，简要说明理由；如果能形成，回答下列问题：
（1）这个棱柱有几个侧面？侧面个数与底面边数有什么关系？
（2）哪些面的形状与大小一定完全相同？
分析：
解：只需将甲图中上、下两个六边形折叠到所在长方形的后方，然后将长方形向后一一折去，就会围成乙图中的六棱柱。

（1）六棱柱有6个侧面，其个数与底面六边形的边数相同。

（2）六棱柱的上、下两个底面的形状与大小一定完全相同，其侧面都是长方形，但不一定完全相同。

（3）
（4）
（5）。

TB:小初高题库
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5.3　展开与折叠
教学目标
1．学生通过动手实验、展开讨论等方法，认识多面体与它们展开图的关系；
2．让学生经历几何体的展开与折叠等实验活动，丰富空间观念，发展空间想象能力，养成研究性学习的良好习惯；
3．获得研究问题的方法和经验；
4．通过克服困难的经历和获得成功的体验，培养对数学的兴趣．
教学重点
1. 通过正方体表面的展开与折叠活动，认识多面体与它们展开图的关系，积累数学活动的经验；
2. 丰富空间观念，发展空间想象能力.
教学难点
建立空间观念，想象几何体的展开与折叠过程． 教学过程（教师）
学生活动
设计思路 问题的引入：
拿出圆柱和圆锥实物，想一想，你会将圆柱和圆锥展开成平面图形吗？试试并画出示意图．
积极思考并动笔画.
圆柱的表面展开图是： 圆锥的表面展开图是： 两个圆(作底面)和一个长方形(作侧面) ． 一个圆(作底面)和一个
扇形(作侧面) ．
用学生生活中常见
的实物不显空洞，学生有这些实物的形象概念，学习过程容易深入．
学补画的情况（图中阴影部
由立体图到平面图的空间想象能
TB:小初高题库
一个小正方形到新的位置使它能折叠成正方体？
以不能围成棱柱．
教师不光要传授知识，还要告诉学生学会生活。

数学思维可以让他们更理性地看待人生
TB:小初高题库。

解密初中数学解题技巧之立体形的展开与折叠数学是一门既有逻辑又有创造性的学科，其中立体几何是初中数学的重要内容之一。

在立体几何中，展开与折叠是解题的重要技巧之一。

本文将围绕这一主题展开。

一、展开的概念及方法在解决立体几何问题时，有时需要将立体形体展开成平面图形来进行分析与计算。

展开就是将一个立体形体在平面上按照一定规则展开，使之成为一个平面图形的过程。

展开后，我们可以更好地观察各个面的结构和关系，进而解决问题。

展开的方法主要有以下几种：1. 表面展开法：通过边沿的共边共点将立体形体展开。

2. 断口展开法：在立体形体上选择适当位置，然后将其切割成若干个部分，使得每个部分能够展开。

3. 考虑对称性：对于具有对称性的立体形体，可以利用对称性将其展开。

二、折叠的概念及技巧与展开相反，折叠是将一个平面图形折叠成一个立体形体的过程。

折叠可以将平面上的关系转化为空间中的关系，从而解决立体几何问题。

折叠的技巧主要有以下几点：1. 边线对折：将图形的边线按照一定关系对折，可以得到立体形体的边。

2. 角点对折：将图形的角点按照一定关系对折，可以得到立体形体的顶点。

3. 面对折：将图形的面按照一定关系对折，可以得到立体形体的面。

三、展开与折叠的应用举例为了更好地理解展开与折叠的技巧，我们来看几个具体的例子。

例1：展开与折叠的应用 - 正方体展开为平面图形假设有一个边长为a的正方体，我们将其展开为平面图形。

首先，我们将正方体的各个面按照一定规则展开，最后将展开后的各个面的边线进行连接，就可以得到一个包含正方形的平面图形。

例2：展开与折叠的应用 - 圆锥展开为扇形考虑一个圆锥，我们可以将其展开为扇形。

将圆锥绕着底面上的一条边旋转，就可以得到一个扇形。

在解题时，我们可以利用扇形的性质来解决问题。

例3：展开与折叠的应用 - 矩形展开为长方体将一个矩形的两个相对边折叠，使其形成一条立体的边，然后将其余两边折叠，可以得到一个长方体。

展开和折叠（一）
设计反思：
本课的设计中，有梯度的先安排了“做一做”，“想一想”、“议一议”、“试一试”，充分让学生动手操作、自主探索、合作交流，以积累有关图形的经验和数学活动经验，发展空间观念。

其中，动手操作是学习过程中的重要一环——在学习的开始阶段，它可以帮助学生认识图形、发展空间观念，以后，它可以用来验证学生对图形的空间想像。

因此，学习之初，先鼓励学生先动手、后思考，而后，则鼓励学生先想像，再动手。

本课的“想一想，折一折”以及课堂练习中很好的体现了这点，使学生的空间想象能力得到较大程度的提高。

最后的“想一想，试一试”这一开放性问题的设计让学生在编题中巩固知识，运用知识，并为学生提供了展示自我的机会，这样有意识地满足学生多样化的学习需求，发展学生的个性，不仅更好的激发学生的学习兴趣，更重要的是培养了学生的创新意识和创造力。

在本课的设计中两点还有待改进，其一是选择教具时和教学内容时应该更多的注意和现实生活相联系，“学习有价值的数学”的新课程精神有待更深刻的体现；其二是在拓展训练时在放手让学生发散上设计不够大胆。

展开与折叠教学设计各位评委，大家好！本节课的课题是《展开与折叠（第一课时）》，选自鲁教版义务教育教科书（五四学制）数学六年级上册（第一章第二节），下面我将从新课标解读、教材分析、教学目标、学情分析、评价分析、教学过程分析这六个方面来对本节课的教学设计进行说明:f 课标解读2011数学课程标准中，本节课的目标定位是：了解直棱柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作实物模型.通过实例，了解上述视图与展开图在现实生活中的应用.对于本节中的正方体的侧面展开图，不要求学生记住有多少种可能的图形，但要抓规律：抓规律，就是要抓住两个表面的位置关系规律.二、教材分析本节课是安排在《生活中的立体图形》之后，《截一个几何体》之前的一个学习内容，在本章教材的编排顺序中起着承前启后的作用, 在知识的链条结构中也起着重要的作用.通过学生不断展开与折叠的操作活动，认识了正方体的平面展开图，从而加深对正方体的特征的认识，进一步发展学生的空间观念，也为后面学习《从三个方向看物体的形状》等知识作好铺垫.三、教学目标基于对新课标和教材的分析和理解，我确定本节课的教学目标为:1、把正方体剪成平面图形，认识正方体的不同的展开图，加深对正方体的认识，体会由“体”转化到“面”的过程.2、总结正方体中相对的面和相邻的面在平面展开图中的关系.3、利用目标2中总结的关系解决实际问题.4、把平面图形折叠成正方体，体会从“面”转化到“体”的过程，验证相对的面和相邻的面在展开图中的关系.四、学情分析1.学生在学习本课之前，已经在第一节直观地认识了长方体和正方体等几何体，在这个基础上又进一步认识了正方体的特征，但对立体图形与平面图形之间的关系还不能有机地联系起来，因此，在教学中要通过操作和想象，让学生亲身经历和充分体验立体图形与平面图形之间的相互转化过程，建立展开图中的面与正方体的面的对应关系.2.初一学生具有好奇好动、敢于质疑、大胆实践的性格特征，分析、思考、归纳、推理、判断等思维能力也达到了一定的水平，质疑、探究、讨论、合作的意识比较强，开展小组合作交流活动也有一定的经验，因此，学生都非常愿意在老师的指导下，通过操作和想象，通过合作与交流，自主探索和研究知识，充分体现学生是学习的主人, 教师是教学活动的组织者、引导者和参与者.鉴于此，我将本节课的教学方法确立为：①学法：学生在观察、自主探究、合作交流、归纳总结等活动中真正成为学习的主体，从被动会学到主动学会.②教法：通过创设问题情境，让学生经历先做后想再先想后做然后归纳概括等活动，让学生在实践中思考，在思考中实践，帮助学生突破重难点.五、评价设计1、通过模块一的学习完成第一、二、三个学习目标的检测；2、通过模块二的学习完成第四个学习目标的检测；3、拓展提升是对学生学习的提升.4、通过模块一的探索激发学生对几何学习的好奇心、促进其观察、分析、归纳、概括等一般能力的发展.六、教学过程分析本节课由下面六个教学环节组成情境导入 -------- 复习旧知，铺路架桥------- 模块一正方体的展开（动手实践、归纳总结、巩固练习）----------- 模块二正方体的折叠一------ 拓展提升一一畅谈收获.下面我就具体针对这六个环节对教学过程进行说明._、情境导入以周华健的《盒子世界》引入课题，意在引发学生的学习兴趣，激发学生去主动探索正方体的展开与折叠的相关知识.二、复习旧知，铺路架桥通过下面的问题串来引导学生复习旧知：正方体有几个顶点？几个面？几条棱？有几组相对的面？相邻的面有什么特点？【设计意图】一是为后面的教学活动做好知识上的铺垫：正方体的展开图一定是六个面，沿着不同的棱剪开正方体，得到的平面展开图也不同；二是为后面的教学活动作好方法上的铺垫，只要在平面展开图中找到三组相对的面就能围成正方体.三、模块正方体的展开根据新课程标准以及该内容自身的特征，我设计了一系列学生自主探究的活动.（一）动手实践：探索正方体展开图形的特征.学生通过自己剪一剪，比一比，说一说，归纳与总结正方体展开图形的相关知识：1、揭示展开图的概念：像这样由正方体展开后得到的平面图形就叫做正方体的展开图.2、探究正方体展开的特征：观察黑板上正方体的展开图思考：（1）展开图中相对的面有什么关系？（2）相邻的面有什么关系？引导学生感悟：①正方体展开图各小图形的特点（正方体的六个面大小都相当）②正方体展开图的不唯一的特点（剪开的方法不同，得到的展开图形也不相同）③正方体展开图中相对面和相邻的面的位置特点.【设计意图】让学生初步感知正方体沿着棱剪开可以转化成一个平面展开图，初步认识正方体的平面展开图；同时，因为学生会沿着不同的棱剪开，所以剪出来的平面展开图会不一样，这样学生自然就产生对新知的疑惑，激起学生进一步探究新知的愿望和兴趣，使学生从认知和情感两方面积极主动投入到后面的学习活动中去.3、归纳总结这里，尽量鼓励引导学生进行归纳，最终让学生理解：展开图中我们发现要使相对的面在展开图中不被分离，就必须中间有面做桥梁；要使相邻的面不被分离，如果是两个面就必须有公共的棱，如果是三个面就必须有公共顶点.4、巩固练习（1）笑笑制作了一个如下图所示的正方体礼品盒，其对面图案都相同，那么这个正方体的平面展开图可能是（）.（电脑出示题目）（2）课本第十页问题解决2【设计意图】本组练习意在引导学生能够合理运用“归纳总结”中的规律解决实际问题，让学生进一步理解并掌握找相对面的方法.四、模块二：正方体的折叠活动一：同桌之间互相交换正方体的平面展开图进行折叠.【设计意图】这一过程是让学生经历从“面”转化成“体”的过程，进一步了解立体图形与其展开图之间的关系，知道了立体图形是由平面图形围成的，运用立体图形中的面与展开图中的面的对应关系，发展学生的空间观念.活动二：探索怎样的平面图形才能够折叠成一个正方体.向学生出示下面的问题：下面哪些图形沿虚线对折后能围成正方体？【设计意图】在这个过程中充分体现了新课标中“学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”，大胆放手让学生自主探索，引导学生独立思考，发挥想象，合作交流，实践操作等, 让学生经历探究、解决问题的过程，感受到探究、解决数学问题的乐趣和成功的喜悦，同时对学生解决问题的方法又不仅仅停留在实践操作上，而是引导学生更深一层次去思考解决问题的方法，找到展开图上的面与正方体上的面的对应关系，这正是进一步培养和提高学生的空间观念的一个绝好时机.五、拓展提升1、课本11页第三题.2、有一正方体木块，它的六个面分别标上数字1——6,这是这个正方体木块从不同面所观察到的数字情况.请问数字1和5对面的数字各是多少？（电脑出示题目）【设计意图】这两题都是非常有吸引力，又具有一定的挑战性，目的在于激起学生学习的兴趣和探究的愿望，运用找相邻的面的方法来解决问题，进一步体会“面”与“体”在转化过程中的对应关系，对有困难的学生可借助学具操作.六、畅谈收获让学生畅谈在这节数学课上学到的知识、收获与感受.结合学生的回答，教师给予不同的评价.【设计意图】一方面，让学生养成及时归纳的学习习惯;另一方面，通过师生评价，激励学生热爱数学，会学数学.板书设计1.2展开与折叠（一）正方体平面展开图的展示•归纳总结：1、相对的面在平面展开图中就必须满足中间有面做桥梁2、相邻的面如果是两个面就必须有公共的棱，如果是三个面必须有公共顶点以上就是我对这节课的教学设计说明，敬请各位评委多提宝贵意见，谢谢!学情分析1.学生在学习本课之前，已经在第一节直观地认识了长方体和正方体等几何体，在这个基础上又进一步认识了正方体的特征，但对立体图形与平面图形之间的关系还不能有机地联系起来，因此，在教学中要通过操作和想象，让学生亲身经历和充分体验立体图形与平面图形之间的相互转化过程，建立展开图中的面与正方体的面的对应关系。

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白： 1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x ，然后根据轴对称的性质用含x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC ，BD 为折痕，折叠后BG 和BH 在同一条直线上，∠CBD= 度．折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC 折叠，顶点A 落在点A ′处，再过点A ′折叠使折痕DE ∥BC ，若AB=4，AC=3，则△ADE 的面积是 ．对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可GA'C D4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（ ）注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积．重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状 三角形．对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF8．如图，正方形纸片ABCD 的边长为8，将其沿EF 折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为折叠前后对应边相等321FEDCBA54132G D‘FC‘DBCAE9．如图，将边长为4的正方形ABCD 沿着折痕EF 折叠，使点B 落在边AD 的中点G 处，求四边形BCFE 的面积注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD 折叠，使点B 落在边AD 上 不与A 、D 重合．MN 为折痕，折叠后B’C’与DN 交于P ．(1)连接BB’，那么BB’与MN 的长度相等吗？为什么？ (2)设BM=y ，AB’=x ，求y 与x 的函数关系式；(3)猜想当B 点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．PC'NB CADMB'QPH C'N BCADM B'二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ的长是注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQa2130°BEFACD14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（ ）本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC -∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（ ）16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长图c 图b图aCDGFEAC GDFEAFDBCAEB BGE F D A EF D B C AB C60c m三、三角形中的折叠17．如图，把Rt△ABC（∠C=90°），使A，B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，则CE：AE=（3）如图（3）把△CDE沿DE斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE，∠2=180°-2∠CED，再根据三角形内角和定理比可求20．观察与发现：将三角形纸片ABC（AB＞AC）沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展开纸片（如图①）；在第一次折叠的基础上第二次折叠该三角形纸片，使点A和点D重合，折痕为EF，展平纸片后得到△AEF（如图②）．小明认为△AEF是等腰三角形，你同意吗？请说明理由．实践与运用：(1)将矩形纸片ABCD沿过点B的直线折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE（如图③）；再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE上的点D’处，折痕为EG（如图④）；再展平纸片（如图⑤）．求图⑤中∠α的大小．在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

《展开与折叠》教学反思《展开与折叠》教学反思《展开与折叠》教学反思1《展开与折叠》这部分内容对学生空间观念要求比较高，部分学生会感到很困难，但同时有一部分学生已经具有一定知识基础与分析和解决问题的能力，有较强的自我发展意识和挑战意识，对有挑战性的任务很感兴趣。

为了二者兼顾，我特设计了以上教学环节，而且效果非常理想，为我以后上数学课提供了新的方向。

一、师生共同做好课前准备在学习《展开与折叠》内容一周前，我就提前了解本单元的内容，备好课。

把正方体的11种展开图让学生在作业本上画下来，回去利用卡纸剪好（展开图正方形的边长为5厘米）。

当我在上本节课前一天进行检查的时候，发现每个同学都做了，而且做的非常好，令老师十分满意。

有的还做好了正方体，这样为新课的学习做了很好的铺垫，以免在上课的时候措手不及。

二、充分相信、培养学生的动手操作能力在教学让学生自己把手中的正方体沿着一条棱剪开得到一个正方体的展开图，然后到前面老师准备的教具中找到和自己一样的展开图把它贴在黑板上这个环节时，当时真有点提心吊胆，害怕学生做不好。

但为了真正让学生理解平面图形与立体图形之间的转换关系，能亲身经历这个过程，经历即经验，我毅然放手让学生去剪。

“奇迹”出现了，同学们在很短的时间内就剪出了我想要的11种正方体展开图。

这对我的触动很大，教学中要充分相信学生，不时摒弃自己的思维枷锁，松开孩子们的手脚，让他们在课堂中不断地释放自己。

三、放飞学生的思维面对黑板上杂乱摆着的11种正方体展开图，让学生找出其中的规律还真不简单，可如果不找到其中的规律，学生以后就会很迷惘。

于是，我决定让学生经过独立思考，小组交流，试着给它们归类。

刚开始，只有一个同学发表自己的意见，而且分类也不成熟。

随后，我继续组织同学们观察，比较，在你一言、我一语中，同学们把正方体展开图的规律找的淋漓尽致。

与其千万遍地描述花儿的美丽，还不如让它一瓣一瓣地开放，让我们的学生也每天在课堂上尽情地绽放吧。

七年级上展开与折叠知识点在初中数学学习过程中，展开与折叠是一个比较基础的知识点，它们是我们学习面积和体积等相关知识的必备内容。

本文将分为三大部分，分别介绍展开与折叠的定义、应用以及相关练习题。

一、什么是展开与折叠？在数学上，我们把将一个三维物体沿着一些特定的线形状（比如直线、折线）剪开使其变成一个平面图形的过程称为“展开”。

相对的，我们把将一个平面图形按照特定模式叠折起来变成一个三维物体的过程称为“折叠”。

比如：一个盒子的展开图就是一个长方形，而将这个长方形沿着特定的线剪开并打平展开，就得到了这个盒子的展开图。

另一个例子，将一张矩形纸张按照特定模式叠折，可以得到一个立体的长方体。

二、展开与折叠的应用了解展开与折叠不仅有助于我们理解几何形体的各种性质，在日常生活中也有着广泛的应用。

比如说，公司生产各种纸盒产品时，需要对这些产品的展开图进行计算，以确定量身定制的原材料的数量。

在包装生产中，展开图成为了设计师的基础和生产成本的首要考量。

另外，展开与折叠也在其他领域有着广泛应用。

在制造复杂机器设备的过程中，设计师们也需要首先设计出设备的展开图，并在此基础上制造出完整的机器。

展开与折叠的理论在计算机图像学等领域中也扮演着重要的角色。

三、练习题1.对于一个侧棱长分别为3cm、4cm和5cm的直角三棱锥，它的侧壁是一个三角形，高度为5cm。

请画出这个三棱锥的展开图。

2.一个矩形房间的长度为6.5米，宽度为4.2米，屋顶是一个等腰直角三角形，两条直角边的长度为5米，请画出这个房间的展开图。

3.一个生产纸盒的公司，想要生产一个底面积为40平方厘米，高度为30厘米的长方体盒子。

请计算这个盒子需要的纸张面积。

总结：展开与折叠是初中数学必须要掌握的基础知识点，我们在学习面积、体积等相关知识时都需要用到这些知识点。

展开与折叠在日常生活中也有着广泛的应用，比如纸盒包装、机器制造、图形制作等领域都需要用到展开与折叠的理论知识。

初中数学正方体的表面展开图精讲精练【考点精讲】把正方体的表面展开成平面图形，有很多种，如果经过平移、翻折、旋转可以重合的图形看成是同一个图形的话，那么，正方体的表面展开图一共有11种。

“一四一”型：四个连成一排，余下两个，上下各一个，位置可以任意组合；“三三”型：三个连成一排，有两排“二三一”型：三个连成一排，其余三个中，有两个连成一排并且位置确定，最后一个位于另一侧的任意位置；“二二二”型：两个连成一排，有三排（不妨形象地记忆为楼梯型）【典例精析】例题1 下面四个图形中，经过折叠能围成如图只有三个面上印有图案（图案位于外表面）的正方体纸盒的是（）A. B. C. D.思路导航：A选项，折叠成正方体以后，三角形图案与正方形图案是相对的（位于相对的两个表面上），同样，C选项也具有这样的特点；而D选项，折叠成正方体以后，三角形图案与圆形图案是相对的，经过排除法，这道题应该选B。

答案：B点评：本题是研究正方体的表面展开图中，哪些面是相对的，哪些面是相邻的，实质是由展开图复原几何体，根据正方体的表面展开图的规律来进行判断：正方体相对的两个面展开以后不存在公共顶点或相邻的边。

对于空间想象力较强的同学，可以这样来思考、想象：以B选项为例，折叠成正方体以后，圆形图案在上方，则三角形图案应该在前面（正对观察者的面），正方形图案应该在右边的面（相对于观察者而言），左边空白的面正好位于左边，上面空白的面应该位于与三角形图案相对的面，最右边空白的面应该位于与圆形图案相对的面。

例题2 如图，小明为了制作一个正方体模型，他借助于方格纸来进行，在方格纸上画出几个小正方形（图上阴影部分），但是一不小心，少画了一个，请你给他补上一个，使之可以组合成正方体，你有几种画法，在图上用阴影表示出来。

备用图：思路导航：借助于正方体的11种表面展开图分析，因为小明画的图中有三个正方形在同一条直线上，所以排除“一四一”型、“二二二”型，于是重点考虑“二三一”型和“三三”型。

数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的几何问题，涉及到对图形的折叠、展开或转化等操作。

以下是一些常见的折叠问题解题技巧:
1. 观察特殊图形法：直接观察题目所给出的目标图形中的特殊面，或者特殊图形连接的位置，然后对比选项，与之不符的直接排除。

2. 相对面不相邻法：空间折叠类题目要结合排除法解题，最常用的排除技巧是相对面不相邻原则。

即一定要抓住某两个相邻面或对立面的图形特征，从而可以利用排除法选择正确答案，违背这些特征的，便是错误选项。

3. 初中数学坐标系里折叠的问题：对于在平面直角坐标系中的折叠问题，可以通过建立直角坐标系来解决。

一般来说，需要根据折叠前后的形状及坐标变化关系，画出折叠后的图形，然后根据题意找到对应的坐标值。

4. 长方形折叠问题：对于长方形的折叠问题，可以通过对折将长方形变成长方体，然后根据长方体的面积公式及长方形的面积公式来求解。

另外，也可以利用折叠的性质：折叠后的图形与图形全等，来解决问题。

总结起来，对于折叠问题的解题技巧，需要结合具体的题目来进行理解和应用。

同时，需要学生具备一定的空间想象能力和逻辑思维能力，才能更好地解决折叠问题。