π
π--
是函数()F x 的单调递增区间，将()F x 的图
像按向量(,0)a π=
平移得到一个新的函数G(x)的图像，则G(x)的单调递减区间必定是
（ ）A.[,0]2π
-
B.[,]2ππ
C.3[,]2
π
π D.3[,2]2ππ 9.函数 2
13
log (34)y x x =-+的单调递增区间是 .
10.若函数()f x =2
lg(3)x ax --在(,1)-∞-上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.a>2 B.a<2 C.a ≥2 D.a ≤2 11.给出下面四个条件： ①010a x <
a x <? ③10a x >????>? 能使是函数
2
l o g a y x -=为单调减函数的是 .
12. （2006，重庆）已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） Ａ．（０，１） Ｂ．（１，２） Ｃ．（０，２） Ｄ．［２，＋∞)
13.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增，则a 的取值范 围是（ ） (A))1,41[ (B) )1,43[ (C)),49(+∞ (D))49
,1(
14.若函数)1,0( )2(log )(2
≠>+=a a x x x f a 在区间
)21,0(内恒有f (x )>0，则f (x )的单 调递增区间为( ) (A))41,(--∞ (B) ),41(+∞- (C) (0, +∞) (D) )2
1
,(--∞
15.（０６天津）如果函数()f x ＝2
(31)
(01)x x a a a a a -->≠且在区间[0,)+∞上是增
函数，那么实数ａ的取值范围是（ ）
Ａ．2(0,]3 Ｂ．3
[,1)3
Ｃ．（１，3]
Ｄ．3[,)2
+∞
16.（2011江苏）函数)12()(log
5
+=
x x f 的单增区间是： 。
17.已知函数3()1
ax
f x a -=-(1)a ≠。（1）若0a >，求()f x 的定义域。（2）若()f x 在区
间（0，1
]上是减函数，求a 的取值范围。
18.（2011，上海）已知函数()f x =32
x
x
b a ?+?
，其中常数a,b 满足ab 0≠。
(1) 若0>ab ，判断函数)(x f 的单调性；
(2) 若0+的x 的取值范围。
(2)证明函数的单调性与求函数的单调区间，均可用单调函数的定义，具体方法常用作差法
或作商比较法。
【考点专练】1.函数()f x 对任意,a b R ∈都有()f a b +=()()1f a f b +-，并且当x>0时
()f x >1, 求证：①()f x 在R 是增函数。②若(4)5f =，解不等式2
(32)3f m m --<。
2.已知函数()f x 的定义域（0，)+∞，且对任意的正实数,x y 都有()()()f xy f x f y =+， 且当1x >时()0,(4)1f x f >=（1）求证：(1)0;f = （2）求1
();16
f （3）解不等式1)3()(≤-+x f x f
3.（２００６，东北三校）设函数()f x 是定义在Ｒ上的函数，对任意实数ｍ，ｎ都有
()()f m f n ?＝(),f m n +且当ｘ＜０时，()f x ＞１。
（１）证明：①(0)1;f = ②当ｘ＞０时，０＜()f x ＜１；③()f x 是Ｒ上的减函数。 （２）如果对任意实数ｘ，ｙ，有)()()(
2
2
axy f f f y x
≤?恒成立，求实数ａ的取值范围。
4.（２００６，苏州）已知y=()f x 是奇函数，它在(0,)+∞上是增函数，且()f x ＜０，试 问()F x ＝
1
()
f x 在(,0)-∞上是增函数还是减函数？ 5.已知()f x 是定义在[]1,1-上的奇函数,若[],1,1a b ∈-且0.a b +≠有()()
0f a f b a b +>+
○
1 判断()f x 在[]1,1-上的单调性,并证明之.○2解不等式2
(51)(6)f x f x -<
（3）求函数的单调区间，除定义法外，还可以根据函数图像用数形结合法。 （4）利用导数也可以判断函数的单调性，其步骤： ①求定义域 ②求导数/
()f x ；
③令/
()f x >0得不等式的解集即为单调增区间. /
()f x <0的解集即为单调减区间。 注意：1.单调区间是定义域的子集。 2.反之,若已知函数在某个区间上具有单调性;则
/()f x 0(
0)≥≤在该区间上恒成立. 3.若单调区间在两个或两个以上,用”,” “及”,“和”，“与”表示。
（5）含参数的函数的单调性或单调区间求解方法是：“三问”
【考点专练】1.(07,四川)设函数()f x =3(0)ax bx c a ++≠为奇函数，其图像在点(1,(1))f
处的切线与直线670x y --=垂直，导函数/
()f x 的最小值为—12. ① 求a,b,c 的值。 ②求函数()f x 的单调递增区间，并求函数()f x 有[-1,3]上的最大值和最小值。
2设函数()f x ＝2x e x ax a
++，其中ａ为实数。①若()f x 的定义域为Ｒ，求ａ的取值范围；
②当()f x 的定义域为Ｒ时，求()f x 的单调区间。（０７，陕西） 3.（０７安徽）设函数()f x ＝—2
32cos 4sin cos 43422
x x
x t t t t -?++-+，x R ∈，其中 1t ≤，将()f x 的最小值记为()g t 。
①求()g t 的表达式。 ②讨论()g t 在（－１，１）内的单调性并求极值。
4.（04，全国）已知函数()f x =3
2
31ax x x +-+在R 上是减函数，求a 的取值范围。 5.（04，天津）已知函数()f x =3(0)ax cx d
a ++≠是R 上的奇函数，当x=1时()f x 取
得极值-2. （1）求()f x 的单调区间和极大值。 （2）证明对任意1,
2
(1,1)x x ∈-，不等式
12()()4f x f x -<恒成立。
6.已知()f x =
2
1
x a
x bx -++为奇函数。 ①求a,b 的值。 ②求()f x 单调区间，并加以证明。 ③求()f x 的值域。
7. (陕西09)已知函数1()ln(1),0,01x
f x ax x a x
-=++
≥>+. (1)若()f x 在1x =处取得极值,求a 的值.
(2)求()f x 的单调区间.（3）若()f x 的最小值为1，求a 的取值范围。 8.已知函数1()1ax
x f x x e
-+=
-。（1）设0a >，讨论()y f x =的单调性。（2）若对任意
(0,1)x ∈恒有()1f x >，求a 的取值范围。
9.已知函数2
2
21
()()1
ax f x x R a x -+=
∈+，其中a R ∈。（1）当1a =时，求曲线()y f x =
在（2，(2))f 处的切线方程。（2)当0a ≠时，求函数()f x 的单调区间与极值。 10。已知函数2
()ln f x a x x
=
-和()g x x a x =-。在1x =处的切线平行。（1）试求函
数()f x 和()g x 的单调增区间。（2）设13b <<，求证；ln .2b b b +< 11.（2011四川）已知函数x x h x x f =+=
)(,2
1
32)(。 （1）设函数)(x F ),()(x h x f -=求)(x F 的单调区间与极值。 （2）设R a ∈,解关于x 的方程
)4()(43)1(2
3
log log log 224x h x a h x f ---=??????--。 12.（2011天津）已知0>a ，函数,ln )(2
x a x x f -=
（1）求)(x f 单调区间；（2）当81=
a 时，证明：存在),,2(0+∞∈x 使)2
3
()(0f f x =； （3）若存在均属于区间[]3,1的βα,，且,1≥-αβ使),()(βαf f =证明：
3
2
ln 52ln 3ln ≤≤-a 13.（2011天津）已知函数,,1634
)(2
23
R x t x t x f t x x
∈-+-+=其中R t ∈。
（1）当1=t 时，求曲线)(x f y =在点))0(,0(f 处的切线方程； （2）当0≠t 时，求)(x f 的单调区间；
（3）证明：对任意),0(+∞∈t ，)(x f 在区间)1,0(内均存在零点。 14.（2011浙江）设函数ax x x f x a
+-=
2
2
ln )(，0>a 。
（1）求)(x f 的单调区间；(2)求所有的实数a ，使e
x f e 2
)(1≤
≤-对[]e x ,1∈恒成立。
15.（2011陕西）设函数)(x f 定义在),0(+∞上，0)1(=f ，导函数x
x f
1
)('
=
， )()()('
x x f x g f
+
=。
（1）求)(x g 的单调区间和最小值。 （2）讨论)(x g 与)1(x
g 的大小关系。 （3）是否存在
00>x ，使得x
g x g x 1
)()(0<
-对任意0>x 成立？若存在，求出x 0的取值范围；若不存在，请说明理由。 16.（2012陕西）设函数
c bx x x
f
n
n
++=
)( 。),,(R c b n N ∈∈+
(1)设,1,1,2-==≥c b n 证明：)(x f
n
区间??
?
??1,21内存在唯一零点； （2）设2=n ，若对任意
[]1,1,2
1
-∈x x ，有4)()(2
2
1
2
≤-x f x f ，求b 的取值范围；
（3）在（1）的条件下，设
x
n
是
)(x f
n
在区间??
?
??1,21内的零点，判断数列 x x x n
,,3
2
的增减性。
17.设函数c x c a a
x f x
++-=)(23)(2
。（),,0R c a a ∈>
（1）设0>>c a ，若a c x f c
+->
2)(2
对[)+∞∈,1x 恒成立，求c 的取值范围。
（2）函数)(x f 在区间)1,0(内是否有零点，有几个零点？为什么？
18.（06湖南卷）已知函数a
x ax x f 3
13)(2
3-
+-=.讨论函数)(x f 的单调性； 19.解不等式012
<++x ax
20、（2010年全国卷一21)已知函数f (x )=3a x 4-2(3a +1)x 2+4x . (Ⅰ)当a =
1
6
时，求f (x )的极值; (Ⅱ)若f (x )在(-1,1)上是增函数，求a 的取值范围. 21.若不等式x 2
+ax+1≥0对一切x ∈1
(0,]2成立，则a 的最小值为（ ） A.0 B .-2 C.5
2
-
D .-3 22．已知函数.ln )(2x a x x f +=
（1） 当2-=a 时，求函数f(x)的单调区间和极值。 （2） 若g(x)=f(x)+
x
2
在]1[∞+，上是单调增函数，求实数a 的取值范围。 23.（2009年重庆）不等式a a x x 3|1||3|2-≤--+对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A 、),4[]1,(+∞?--∞ B 、),5[]2,(+∞?--∞
C 、[1，2]
D 、),2[]1,(+∞?-∞
24、若不等式a x x >++-|3||2|，对于R x ∈均成立，那么实数a 的取值范围是（ ） A 、)5,(-∞ B 、[0，5） C 、)1,(-∞ D 、[0，1]
25.若存在实数x 满足53<-+-m x x ，则实数m 的取值范围为： 。 26.不等式
a x x >++-)54(log
3
对一切的R x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为：
。
27.已知函数f (x )＝a ln x －x 2＋1.
(1)若曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程为4x －y ＋b ＝0，求实数a 和b 的值；
(2)若a <0，且对任意x 1、x 2∈(0，＋∞)，都|f (x 1)－f (x 2)|≥|x 1－x 2|，求a 的取值范围．
28.已知函数()f x =3
(0)ax cx d
a ++≠是R 上的奇函数，当x=1时()f x 取得极值-2.
（1）求()f x 的单调区间和极大值。 （2）证明对任意
1,
2
(1,1)x x ∈-，不等式
12()()4f x f x -<恒成立。
29.（2014陕西文）设函数
()ln ,m
f x x m R x
=+
∈. （3）若对任意()()
0,
1f b f a b a b a
->><-恒成立，求m 的取值范围.
30. )(x f =x x 22
-，)0(2)(>+=a ax x g ，对[][]2,1,2,101-∈?-∈?x x ，使得
)()(01x f x g =，则a 的取值范围是（ ）
A.??? ?
?21,0 B.??
????3,2
1 C.[)+∞,3 D. (]3,0
31.已知函数2
1()1,()2
f x nx
g x x bx ==
-(b 为常数，1b >)，对于区间[]1,2上的任意两个不相等的实数12,x x ,都有1212()()()()f x f x g x g x ->-成立，求b 的取值范围。
函数对称性与周期性关系
函数 对称性与周期性关系 【知识梳理】 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。 如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即 点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，
反函数与函数的单调性
2005－2006学年度上学期 高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤--=x x y D ．)22(412 ≤≤---=x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数f x x ax ()=--2 23在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ．a ∈-∞(,]1 B ．a ∈+∞[,)2 C ．a ∈[,]12 D ．a ∈-∞?+∞(,][,)12 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,1 1 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ）
函数的对称性与周期性
函数的对称性与周期性 一、相关结论 1．关于x 轴、y 轴、原点、x y =对称 2．周期性（内同） ① 若)()(x f T x f =+(0≠T )，则)(x f 为周期函数，T 为一个周期。 ② 若)()(b x f a x f +=+(b a ≠)，则)(x f 为周期函数，||a b -为一个周期。 ③ 若)()(x f a x f -=+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 ④ 若) (1 )(x f a x f =+(0≠a )，则)(x f 为周期函数，a 2为一个周期。 3．自对称性（内反） ①若)()(x b f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线2 b a x += 对称；特别地，若)()(x a f x a f -=+，则)(x f 的图像关于直线a x =对称；0=a 为偶函数。 ②若)()(x b f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,2 ( b a +对称；特别地，若)()(x a f x a f --=+，则)(x f 的图像关于点)0,(a 对称；0=a 为奇函数。 ③若c x b f x a f =-++)()(，则)(x f 的图像关于点)2 ,2(c b a +对称。 4．互对称性 ①函数)(x a f y +=与函数)(x b f y -=的图像关于直线2a b x -=对称； ②函数)(x a f y +=与函数)(x b f y --=的图像关于点)0,2 (a b -对称； ③函数)(x a f y +=与函数)(x a f y -=的图像关于直线0=x 对称。 5． 对称性与周期性的关系 ①若)(x f 的图像有两条对称轴a x =和b x =(b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 ②若)(x f 的图像有两个对称中心)0,(a 和)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函数， ||2a b -为一个周期。 若)(x f 的图像有一条对称轴a x =和一个对称中心)0,(b (b a ≠)，则)(x f 为周期函 数，||4a b -为一个周期。
函数的周期性与对称性
第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x +=为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
反函数与函数的图像变换
反函数与函数的图像变换 一、反函数 当一个函数是一个一一映射时，可以把这个函数的因变量作为一个新函数的自变量，而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量，我们称这两个函数互为反函数。比如，指数函数2x y =与对数函数2log x 互为反函数。函数()y f x =的反函数用1()y f x -=表示。 设函数()y f x =()x A ∈的值域是C ，根据这个函数中,x y 的关系，我们可以用y 把x 表示出来，得到()x y ?=，若对于y 在C 中每一个值，都只有唯一的x A ∈与它对应，那么()x y ?=就表示以y 为自变量，x 为因变量的一个函数，这样的函数()x y ?=()y C ∈叫做函数()y f x =()x A ∈的反函数，记作1()x f y -=，习惯上改写成1()y f x -=。 1f -是对应法则，1()y f x -=是表示反函数的符号，是一个整体。 1f -表示的对应是f 的逆对应，11()() f x f x -≠。 ()y f x =也是1()y f x -=的反函数，()y f x =、1()y f x -=互为反函数。 只有当()y f x =是一一映射时，()f x 才有反函数。 特例：2x y =，2log x y →=，2log y x →=， 一般：()y f x =，1()x f y -→=，1()y f x -→=。 例1 求下列函数的反函数： （1）21x y -=+()0x >；（2）211,()11,x x f x x x ≤-?+=?>--+?。 二、互为反函数的两个函数的性质： 指数函数2x y =与对数函数2log x 的图像关于直线y x =对称。 根据反函数的定义，如果点(),a b 在函数()y f x =上，则点(),b a 在函数1()y f x -=上，从而可知函数()y f x =的图像与函数1()y f x -=的图像关于直线y x =对称。 指数函数2x y =与对数函数2log y x =都是增函数，一般的， ()y f x =与1()y f x -=的单调性一致。 例2 函数()y f x =反函数是自己本身，请写出一个这样的函数。 思考：若函数()y f x =是奇函数，且有反函数，那么1()y f x -=是奇函数吗？ 奇函数一定有反函数吗？ 偶函数呢？
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立）
反函数定义
反函数定义 一般地，设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C，根据这个函数中x,y 的关系，用y 把x表示出，得到x= g(y). 若对于y在C中的任何一个值，通过x= g(y)，x在A 中都有唯一的值和它对应，那么，x= g(y)就表示y是自变量，x是因变量y的函数，这样的函数x= g(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数，记作y=f^-1(x). 反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域. 反函数性质 （1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称； 函数及其反函数的图形关于直线y=x对称 （2）函数存在反函数的充要条件是，函数的定义域与值域是一一映射； （3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致； （4）大部分偶函数不存在反函数（唯一有反函数的偶函数是f(x)=a^x,x∈{0}，但是y=k（常数）无法通过水平线测试，所以没有反函数。）。奇函数不一定存在反函数。被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数。若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数。 (5)一切隐函数具有反函数；
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性； （7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】。 （8）反函数是相互的且具有唯一性 （9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反） (10)原函数一旦确定，反函数即确定（三定）(在有反函数的情况下，即满足（2）） 例：y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5 y=2^x的反函数是y=log2 x 例题：求函数3x-2的反函数 解：y=3x-2的定义域为R，值域为R. 由y=3x-2解得 x=1/3(y+2) 将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是 y=1/3(x+2)（x属于R） （11）反函数的导数关系：如果X=F(Y）在区间I上单调，可导，且F‘（Y）不等于0，那么他的反函数Y=F’（X）在区间S={X|X=F(Y),Y属于I }内也可导，且[F‘（X)]'=1\[F’（Y）]'。 反函数说明 ⑴在函数x=f’(y)中，y是自变量，x是函数，但习惯上，我们一般用x表示自变量，用y 表示函数，为此我们常常对调函数x=f‘(y)中的字母x,y，把它改写成y=f’(x)，今后凡无特别说明，函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
(完整版)常见函数对称性和周期性
（一）函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称 2、奇函数)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数 3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称 4、互为反函数)(x f y =与函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称
函数的单调性与曲线的凹凸性
§3.4 函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判别法 定理1 设 )(x f 在区间I 上可导，则)(x f 在I 上递增（减）的充要条件是 )()('00≤≥x f . 证 若 f 为增函数，则对每一I x ∈0，当0x x ≠时，有 ()() 00 0≥--x x x f x f 。 令0x x →，即得 00≥)('x f 。 反之，若 )(x f 在区间I 上恒有0≥)('x f ，则对任意I x x ∈21,（设21x x <） ，应用拉格朗日定理，存在，使得 ()()()01212≥-=-x x f x f x f ξ')(。 由此证得 f 在I 上为增函数。 定理2 若函数 f 在),(b a 内可导,则f 在),(b a 内严格递增(递减)的充要条件是: (1)),(b a x ∈?有)()('00≤≥x f ; (2) 在),(b a 内的任何子区间上0≠)('x f . 推论 设函数在区间I 上可微,若))('()('00<>x f x f , 则f 在I 上(严格)递增(递 减). 注1 若函数 f 在),(b a 内(严格)递增(递减),且在点a 右连续,则f 在),[b a 上亦为(严 格)递增(递减), 对右端点b 可类似讨论. 注2 如果函数 )(x f 在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外，导数存在且 连续，那么只要用方程0=)('x f 的根及)('x f 不存在的点来划分函数)(x f 的定义区间就 能保证 )('x f 在各个部分区间保持固定符号，因而函数)(x f 在每个部分区间上单调。 注意：如果函数 )(x f 在区间],[b a 上连续，在),(b a 内除个别点处一阶导数为零或 不存在外，在其余点上都有 0>)('x f （或0<)('x f ），那么由于连续性，)(x f 在区间 ],[b a 上仍然是单调增加（或单调减少）的。
高一数学函数的单调性和反函数人教版知识精讲
高一数学函数的单调性和反函数人教版 【同步教育信息】 一. 本周教学内容： 函数的单调性和反函数 二. 学习目标： 1. 理解函数的单调性和函数单调增、减区间的意义，理解增减性的几何意义，能应用定义证明函数的单调性。 2. 能判断一些简单函数在给定区间的单调性。 3. 理解反函数的概念。 4. 明确原函数与其反函数的定义域和值域间的关系。 5. 能熟练地求一些函数的反函数。 【例题讲解】 [例1] 证明函数x x x f 1)(2 -=在（0，∞+）上是增函数。 证明：设1x 、2x 是（0，∞+）上任意两个值，且21x x < )1(1)()(12122212x x x x x f x f ---=-2 1212211)(x x x x -+-= 2112 1212))((x x x x x x x x -++-=)1)((2 11212x x x x x x ++-= 由12x x >，012 112>++x x x x ，则0)()(12>-x f x f ，即)()(12x f x f > 故x x x f 1)(2-=在区间（0，∞+）上是增函数。 [例2] 讨论函数1 )(2-=x ax x f 的单调性，并加以证明，其中0>a 。 解：11)()(21122212---=-x ax x ax x f x f ) 1)(1()1)((21222121--+-=x x x x x x a （1）当121-<，即21u u >，且m u u n ≥>≥21 又由)(u f 在],[n m 上为增函数，故有)()(21u f u f > 即)]([)]([21x g f x g f >，所以函数)]([x g f 在],[b a 上为减函数 说明：已知)(u f 和)(x g u =，则)]([x g f 称为复合函数，复合函数单调性规律是： （1）)(u f 为增函数，)(x g 为增函数，则)]([x g f 为增函数。 （2）)(u f 为增函数，)(x g 为减函数，则)]([x g f 为减函数。
函数的对称性与周期性例题、习题(供参考)
函数的对称性与周期性 【知识梳理】 1. 周期的概念：设函数(),y f x x D =∈，如果存在非零常数T ，使得对任意x D ∈都有 ，则函数()y f x =为周期函数，T 为()y f x =的一个周期； 2. 周期函数的其它形式 ()()f x a f x b +=+? ；()()f x a f x +=-? ；()()1f x a f x +=? ； ()()1f x a f x +=-? ；)(1)(1)(x f x f a x f +-=+? ，)(1)(1)(x f x f a x f -+=+? )()()2(x f a x f a x f -+=+? 1 )(1)(+-=+x f a x f ? ， 3. 函数图像的对称性 1）.若()()f x f x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 2）.若()()0f x f x +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 3）若()()f a x f a x +=-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 4）若()()2f x f a x =-，则()y f x =的图像关于直线 对称； 5）若()()2f a x f a x b ++-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 6）若()()22f x f a x b +-=，则()y f x =的图像关于点 对称； 4. 常见函数的对称性 1）函数()()0ax b f x c cx d +=≠+的图像关于点 对称； 2）函数()()0f x ax b a =-≠的图像关于直线 对称； 3）函数()()20f x ax bx c a =++≠的图像关于直线 对称； 【例题选讲】 题型一 根据解析式判断函数图像的对称性 1. 函数()2331 x f x x +=-的图像关于 对称； 2. 函数()f x 的定义域为R ，且()()1f x f x -=，则()f x 的图像关于 对称； 3. 函数()23f x x =-的图像关于 对称； 4. 函数()3sin 23f x x π??=- ?? ?的图像关于直线 对称；关于点 对称； 题型二 平移变换后，函数图像的对称性 1.已知函数()y f x =是偶函数，()2f x -在[]0,2递减，则( ) 2.已知()2y f x =-是偶函数，则()y f x =的图像关于 对称； 3.已知()y f x =是奇函数，则()12y f x =+-的图像关于 对称； 题型三 函数图像的对称性求函数解析式
(完整版)函数的周期性与对称性总结
一:有关周期性的讨论 在已知条件()()f a x f b x +=-或 ()()f x a f x b +=-中， (1) 等式两端的两自变量部分相加得常数，如()()a x b x a b ++-=+，说明f x ()的图像具有对称性，其对称轴为2 b a x +=。 (2)等式两端的两自变量部分相减得常数，如()()x a x b a b +--=+，说明 f （x ）的图像具有周期性，其周期T=a +b 。 设a 为非零常数,若对于)(x f 定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立 周期性规律 对称性规律 (1))()(a x f a x f +=- a T 2=? (1))()(x a f x a f -=+ a x =? (2))()(a x f x f += a T =? (2))()(x b f x a f -=+ 2 b a x += ? (3))()(x f a x f -=+ a T 2=? (3) )()(x b f x a f +=- 2b a x +=? (4))(1)(x f a x f =+ a T 2=? (4) )()(x b f x a f --=+ 中心点)0,2 (b a +? (5))(1)(x f a x f - =+ a T 2=? (5) )()(x a f x a f --=+ 为对称中心点)0,(a ? (6)1 )(1)()(-+=+x f x f a x f a T 2=? (7) 1()()1() f x f x a f x -+=+ a T 2=? (8) 1()()1()f x f x a f x -+=- + a T 4=? (9) ) (1)(1)(x f x f a x f -+=+ a T 4=? (10) )()()(a x f a x f x f ++-=, 0>a a T 6=?
第四节函数单调性凹凸性与极值
第四节 函数单调性、凹凸性与极值 我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单调性和某些简单函数的性质，但这些方法使用范围狭小，并且有些需要借助某些特殊的技巧，因而不具有一般性. 本节将以导数为工具，介绍判断函数单调性和凹凸性的简便且具有一般性的方法. 分布图示 ★ 单调性的判别法 ★ 例1 ★ 单调区间的求法 ★ 例2 ★ 例3 ★ 例4 ★ 例5 ★ 例6 ★ 例7 ★ 例8 ★ 曲线凹凸的概念 ★ 例9 ★ 例 10 ★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13 ★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法 ★ 例14 ★ 例15 ★ 例16 ★第二充分条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19 ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-4 ★ 返回 内容要点 一、函数的单调性：设函数)(x f y =在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导. (1) 若在(a , b )内0)(>'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调增加; (2) 若在(a , b )内0)(<'x f , 则函数)(x f y =在[a , b ]上单调减少. 二、曲线的凹凸性：设)(x f 在[a , b ]上连续, 在(a , b )内具有一阶和二阶导数, 则 (1) 若在(a , b )内，,0)(>''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凹的; (2) 若在(a , b )内，,0)(<''x f 则)(x f 在[a , b ]上的图形是凸的. 三、连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的拐点 判定曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为： (1) 求函数的二阶导数)(x f ''； (2) 令0)(=''x f ，解出全部实根，并求出所有使二阶导数不存在的点； (3) 对步骤(2)中求出的每一个点，检查其邻近左、右两侧)(x f ''的符号，确定曲线的凹凸区间和拐点. 四、函数的极值 极值的概念； 极值的必要条件； 第一充分条件与第二充分条件； 求函数的极值点和极值的步骤： （1） 确定函数)(x f 的定义域，并求其导数)(x f '; （2） 解方程0)(='x f 求出)(x f 的全部驻点与不可导点; （3）讨论)(x f '在驻点和不可导点左、右两侧邻近符号变化的情况，确定函数的极值点; （4） 求出各极值点的函数值，就得到函数)(x f 的全部极值.
函数的周期性与对称性
函数的周期性与对称性 1、函数的周期性 若a 是非零常数，若对于函数y ＝f(x)定义域内的任一变量x 点有下列条件之一成立，则函数y ＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x －a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 2、函数的对称性与周期性 性质5 若函数y ＝f(x)同时关于直线x ＝a 与x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质6、若函数y ＝f(x)同时关于点（a ，0）与点（b ，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝2|a －b| 性质7、若函数y ＝f(x)既关于点（a ，0）中心对称，又关于直线x ＝b 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T ＝4|a －b| 3.函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。 1、)()(x b f x a f -=+ ?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x += -++= 对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论2、)2()(x a f x f -= ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 推论3、)2()(x a f x f +=- ?)(x f y =的图象关于直线a x =对称 2、c x b f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),2 ( c b a +对称 推论1、 b x a f x a f 2)()(=-++ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ?)(x f y =的图象关于点),(b a 对称 例题分析： 1．设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则 )5.47(f 等于 ( ) （A ）0.5 （B ）5.0- （C ）1.5 （D ）5.1- 2、（山东）已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足(2)()f x f x +=-，则(6)f 的值为（ ） A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 3．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，(1)2,(1)(6),f f x f x =+=+求(10).f 4．函数)(x f 对于任意实数x 满足条件1 (2)() f x f x += ，若(1)5f =-，则[(5)]f f =___
反函数与函数的单调性
高中学生学科素质训练 高一数学同步测试（5）—反函数与函数的单调性 说明：本试卷分第I 卷和第II 卷两部分，第I 卷60分，第II 卷90分，共150分；答题时间150分钟． 第Ⅰ卷（共60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1．函数)5(51 -≠+=x x y 的反函数是 （ ） A ．)0(51 ≠-=x x y B ．)(5R x x y ∈+= C ．)0(51 ≠+=x x y D ．)(5R x x y ∈-= 2．已知函数)(x f y =有反函数，且)1(+=x f y 的图象经过点)2,0(，则下列函数中可能 是)(x f y =的反函数的一个函数是 （ ） A ．)20(42 ≤≤-= x x y B ．)20(412≤≤-+=x x y C ．)20(422 ≤≤-- =x x y D ．)22(412 ≤≤--- =x x y 3．设函数))((R x x f ∈为奇函数，),2()()2(,2 1 )1(f x f x f f +=+= 则=)5(f （ ）A ．0 B ．1 C ．2 5 D ．5 4．函数在区间［1，2］上存在反函数的充分必要条件是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．若f(x)=-x 2+2ax 与1 )(+=x a x g 在区间[1,2]上都是减函数，则a 的值范围是 （ ） A ．)1,0()0,1(?- B ．]1,0()0,1(?- C ．（0，1） D ．]1,0( 6．函数),1(,11 ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为 （ ） A ．),0(,11+∞∈+-=x e e y x x B ．),0(,1 1 +∞∈-+=x e e y x x
函数的周期性和对称性(解析版)
专题二：函数的周期性和对称性 【高考地位】 函数的周期性和对称性是函数的两个基本性质。在高中数学中，研究一个函数，首看定义域、值域，然后就要研究对称性（中心对称、轴对称），并且在高考中也经常考查函数的对称性和周期性，以及它们之间的联系。因此，我们应该掌握一些简单常见的几类函数的周期性与对称性的基本方法。 【方法点评】 一、函数的周期性求法 使用情景：几类特殊函数类型 解题模板：第一步 合理利用已知函数关系并进行适当地变形； 第二步 准确求出函数的周期性； 第三步 运用函数的周期性求解实际问题. 例1 (1) 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件) (1 )2(x f x f = +，若5)1(-=f ，则=))5((f f （ ） A ．5- B ．5 C ．51 D ．5 1- 【答案】D 考点：函数的周期性． (2) 已知()x f 在R 上是奇函数，且满足()()x f x f -=+5，当()5,0∈x 时，()x x x f -=2 ，则()=2016f （ ） A 、-12 B 、-16 C 、-20 D 、0 【答案】A 试题分析：因为()()5f x f x +=-，所以()()()105f x f x f x +=-+=，()f x 的周期为10，因此 ()()()()20164416412f f f =-=-=--=-，故选A ． 考点：1、函数的奇偶性；2、函数的解析式及单调性． 【点评】(1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值．(2)求函数周期的方法 【变式演练1】已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=-，(3)()f x f x -=，则(2019)f =（ ） A ．3- B ．0 C ．1 D ．3 【答案】B
函数的性质反函数·函数的单调性
例1下列函数中，属于增函数的是 [ ] 解 D 例2若一次函数y=kx+b(k≠0)在(-∞，+∞)上是单调递减函数，则点(k，b)在直角坐标平面的 [ ] A．上半平 面 B．下半平面 C．左半平 面 D．右半平面 解 C 因为k＜0，b∈R． 例3函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是 [ ] A．a≥ 3 B．a≤-3 C．a≤ 5 D．a=-3 解 B 因抛物线开口向上，对称轴方程为x=1-a，所以1-a≥4，即a≤-3． 例4已知f(x)=8+2x-x2，如果g(x)=f(2-x2)，那么g(x) [ ] A．在区间(-1，0)内是减函数 B．在区间(0，1)内是减函数 C．在区间(-2，0)内是增函数
D．在区间(0，2)内是增函数 解 A g(x)=-(x2-1)2+9．画出草图可知g(x)在(-1，0)上是减函数． +bx在(0，+∞)上是______函数(选填“增”或“减”)． 解 [-2，1] 已知函数的定义域是-5≤x≤1．设 u=-x2-4x+5=-(x+2)2+9 可知当x∈[-5，-2]时，随x增大时，u也增大但y值减小；当x∈[-2，1]时，随x增大时，u减小，但y值增大，此时y是x的单调增函数，即 注在求函数单调区间时，应先求函数的定义域． 例7 y=f(x)在定义域上是单调递增函数，且f(x)＞0，那么在同 函数；y=[f(x)]2是单调______函数． 解递减；递减；递增． 例8 (1)证明函数f(x)=x2-1在(-∞，0)上是减函数； 解 (1)任取x1＜x2＜0，则
函数对称性与周期性几个重要结论赏析
函数对称性与周期性几个重要结论赏析 对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。 一、 几个重要的结论 （一）函数图象本身的对称性（自身对称） 1、函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 2、函数)(x f y =满足)2()(x T f x f -=（T 为常数）的充要条件是)(x f y =的图象关于直线T x =对称。 3、函数)(x f y =满足)()(x b f x a f -=+的充要条件是)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称。 4、如果函数 )(x f y =满足)()(11x T f x T f -=+且)()(22x T f x T f -=+，（1T 和2T 是不相等的常数），则)(x f y =是以为)(212T T -为周期的周期函数。 5、如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期的周期性函数。 6、如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。 （二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、曲线 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。 2、曲线)(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。 3、曲线)(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。 4、曲线0),(=y x f 关于直线b x =对称曲线为0)2,(=-y b x f 。 5、曲线0),(=y x f 关于直线0=++c y x 对称曲线为0),(=----c x c y f 。 6、曲线0),(=y x f 关于直线0=+-c y x 对称曲线为0),(=+-c x c y f 。 7、曲线0),(=y x f 关于点),(b a P 对称曲线为0)2,2(=--y b x a f 。 二、试试看，练练笔 1、定义在实数集上的奇函数 )(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ,则=)20(log 2f ________。 2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。 3、函数)1(-=x f y 与函数)1(x f y -=的图象关于关于__________对称。 4、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=-，则)(x f y =的图象关于__________ 对称。 5、设函数)(x f y =的定义域为R ，且满足)1()1(x f x f -=+，则)1(+=x f y 的图象关于__________对称。)(x f y =图象关于__________对称。 6、设)(x f y =的定义域为R ，且对任意R x ∈，有)2()21(x f x f =-，则)2(x f y =图象关于__________对称，)(x f y =关于__________对称。 7、已知函数)(x f y =对一切实数x 满足)4()2(x f x f +=-，且方程0)(=x f 有5个实根，则这5个实根之和为（ ） A 、5 B 、10 C 、15 D 、18 8、设函数 )(x f y =的定义域为R ，则下列命题中，①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象
抽象函数的对称性与周期性
抽象函数的对称性与周期性 一、 抽象函数的对称性 定理1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (b －x)，则函数y=f (x) 的图象 关于直线x= 2a b +对称。 推论1. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x) （或f (2a －x)= f (x) ),则函数y=f (x) 的图像关于直线x= a 对称。 推论2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)=f (a －x)， 又若方程f (x)=0有n 个根，则此n 个根的和为na 。 定理2. 若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (b －x)=c ，（a,b,c 为常数），则 函数y=f (x) 的图象关于点( ,)22a b c + 对称。 推论1.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件：f (a+x)+f (a －x)=0，（a 为常数），则函数 y=f (x) 的图象关于点（a ，0）对称。 定理3.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=f (b －x)两函数的图象关于直线x=2b a -对称。 定理4.若函数y=f (x) 定义域为R ，则函数y=f (a+x) 与y=c －f (b －x)两函数的图象关于点 (,)22b a c -对称。 性质1：对函数y=f(x),若f(a+x)= －f(b －x)成立，则y=f(x)的图象关于点（ 2b a +,0）对称。 性质2：函数y=f(x －a)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=a 对称。 性质3：函数y=f(a+x)与函数y=f(a －x)的图象关于直线x=0对称。 性质4：函数y=f(a+x)与函数y=－f(b －x)图象关于点（ 2a b -,0）对称。 二、抽象函数的周期性 定理5.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)=f (x －b)，则y=f (x) 是以T=a ＋b 为 周期的周期函数。 定理6.若函数y=f (x) 定义域为R ，且满足条件f (x ＋a)= －f (x －b)，则y=f (x) 是以T=2（a ＋b ）为周期的周期函数。 定理7.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 x=b （a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理8.若函数y=f (x)的图象关于点（a,0)与点(b,0) , (a ≠b)对称，则y=f (x) 是以T=2(b －a) 为周期的周期函数。 定理9.若函数y=f (x)的图象关于直线 x=a 与 点(b,0),(a ≠b)对称，则y=f (x) 是以 T=4(b －a)为周期的周期函数。 性质1：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)=f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0),则函数f(x)有周期2(a －b)； 性质2：若函数f(x)满足f(a －x)= － f(a ＋x)及f(b －x)=－ f(b ＋x)，(a ≠b,ab ≠0),则函数有周 期2(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是偶函数，则函数f(x)有周期2a. 性质3：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x)及f(b －x)= － f(b ＋x) (a ≠b,ab ≠0)，则函数有周期 4(a －b). 特别：若函数f(x)满足f(a －x)=f(a ＋x) （a ≠0）且f(x)是奇函数，则函数f(x)有周期4a 。
