十二.概率及其计算

概率与统计如何计算事件的概率概率与统计是数学中重要的分支，用于研究随机事件的发生概率及其分布规律。

在实际应用中，我们经常需要计算事件的概率，以便做出合理决策和预测。

本文将介绍概率与统计如何计算事件的概率，并探讨一些常见的计算方法。

一、概率与统计基础概率是描述事件发生可能性的数值，通常用介于0和1之间的小数表示。

0表示事件不可能发生，1表示事件一定会发生。

统计则是通过收集、整理和分析数据，研究事件的规律性及其可能的结果。

二、事件的概率计算方法1. 古典概率古典概率是根据事件的基本样本空间和等可能性假设来计算概率。

基本样本空间是指所有可能结果的集合，等可能性假设是指每个结果发生的概率相等。

例如，抛一枚均匀的硬币，正面和反面出现的概率相等，都是1/2。

抛一颗六面骰子，每个面出现的概率也是1/6。

2. 几何概率几何概率是根据事件在样本空间中的几何位置来计算的。

例如，当一个实验的样本空间为一个正方形，事件发生的可能范围是一个矩形，那么事件发生的概率就是这个矩形的面积与正方形面积之比。

3. 统计概率统计概率是根据频率来计算的。

通过实验或观察，统计事件发生的次数，将其除以总试验次数，得到事件发生的频率，即事件的概率。

例如，投硬币100次，正面朝上的次数为55次，那么正面朝上的概率就是55/100=0.55。

4. 条件概率条件概率是指在某个条件下事件发生的概率。

它可以通过概率公式P(A|B) = P(A∩B)/P(B)来计算，其中P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。

5. 互斥事件与相互独立事件互斥事件指的是两个事件不能同时发生，其概率为P(A∪B) = P(A) + P(B)。

相互独立事件指的是两个事件的发生与否互不影响，其概率为P(A∩B) = P(A) × P(B)。

三、应用举例1. 抽样调查中事件发生概率的计算在抽样调查中，我们经常需要计算某个事件发生的概率。

概率的定义及其确定⽅法1.2 概率的定义及其确定⽅法本节包括概率的公理化定义、排列与组合公式、确定概率的频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法。

主要介绍概率的定义，在排列、组合公式的基础上，利⽤频率⽅法、古典⽅法、⼏何⽅法及主观⽅法计算事件的概率。

概率是对随机事件发⽣可能性⼤⼩的数值度量。

1.随机事件的发⽣是带有偶然性的，但随机事件的发⽣的可能性是有⼤⼩之分的；2. 随机事件的发⽣的可能性是可以度量的，犹如长度和⾯积⼀样；3.在⽇常⽣活中往往⽤百分⽐来表⽰。

这⾥也是如此在概率论的发展史上，曾经有过概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义。

1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫⾸次提出了概率的公⾥化定义。

⼀、概率的公理化定义1.定义设Ω为⼀样本空间， F 为Ω上的某些⼦集组成的⼀个事件域，如果对任意事件A ∈F ，定义在F 上的⼀个实值函数P （A ）满⾜：（1）⾮负性公理：()0;P A ≥（2）正则性公理：()1;P A =（3）可列可加性公理：若12,,,n A A A 两两互不相容，有11()();n n n n P A P A +∞+∞===∑则称P （A ）为事件A 的概率，称三元素(,,)P ΩF 为概率空间。

1.并没有告诉我们应如何确定概率。

但概率的古典定义、概率的⼏何定义、概率的频率（统计）定义和概率的主观定义都是在⼀定的场合下确定概率的⽅法。

由于计算概率要⽤到排列与组合的公式。

2.概率是关于事件的函数。

⼆、排列与组合公式1.两⼤计数原理（1）乘法原理：如果某件事需要经过k 步才能完成，做完第⼀步有1m 种⽅法，做完第⼆步有2m 种⽅法，…，做完第k 步有k m 种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m 种⽅法。

如某班共有45位同学，他们⽣⽇完全不相同的情况有365×364×363×…×321种。

（2）加法原理：如果某件事可由k 类不同的办法之⼀去完成，在第⼀类办法中有1m 种完成⽅法，在第⼆类办法中有2m 种⽅法，…，在第k 类办法中有k m种⽅法，那么完成这件事共有12n m m m +++ 种⽅法。

以频率估计概率得 P(A)＝1105000＝0.15，P(B)＝1102000＝0.12.
由于投保金额为2 800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为 3 000元和4 000元， 所以其概率为P(A)＋P(B)＝0.15＋0.12＝0.27.
②在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4 000元的样本车辆 中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4 000 元的概率. 解 设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4 000元”， 由已知，可得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1 000＝100(辆)， 而赔付金额为4 000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24(辆)， 所以样本车辆中新司机车主获赔金额为 4 000 元的频率为12040＝0.24， 由频率估计概率得P(C)＝0.24.
6.如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相 1
等，那么每一个基本事件的概率都是_n_；如果某个事件A包括的结果有m个， m
那么事件A的概率P(A)＝_n_.
7.古典概型的概率公式
A包含的基本事件的个数 P(A)＝_____基__本__事__件__的__总__数______.
最高气温 [10,15) [15,20) [20,25) [25,30) [30,35) [35,40]
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
Байду номын сангаас
解 这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格 数据知，
1234567

记作B A
易知：A B, 即事件A与B为互逆事件
高等数学
6. 事件的运算律
1、交换律：A B＝B A，AB＝BA 2、结合律：(A B) C＝A (B C)
(AB)C＝A(BC) 3、分配律：(A B)C＝(AC) (BC)，
(AB) C＝(A C)(B C) 4、对偶(De Morgan)律：
A U B A I B, AB A U B
推广：U Ak I Ak , I U Ak Ak .
k
k
k
k
高等数学
例 甲、乙两人各向目标射击一次，设：
A=甲击中目标，B 乙击中目标
试用A、B的运算关系表示下列事件 ：
A1 目标被击中： A U B A2 两人恰有一人击中目标： AB U AB A3 目标未被击中： AB A4 两人都击中目标： AB
P(A | B) 1 3
高等数学
条件概率计算
P( A | B) P( AB) P(B)
P(B | A) P( AB) P( A)
高等数学
概率的乘法公式
两个事件 ： P( AB) P( A)P(B | A) P(B)P( A | B)
三个事件 ：
P( A1 A2 A3 ) P( A1 )P( A2 | A1 )P( A3 | A2 A1 )
高等数学
概率的性质
1） 对于任一事件 A，有 0 剟P(A) 1
2） 0P() 1， P() 0
3） 若 0AB, 则Æ
0P(A U B) P(A) P(B)
推论： 对于任一事件 ，A有 0P(A) 1 P(A)
推广： n个事件A1，A2，L ，An是互不相容的事件组，有

mA → p 。则称 统计概率的定义： 足够大时， 统计概率的定义： n足够大时，f n ( A) = n
为事件A发生的统计概率， 该频率的稳定值p为事件A发生的统计概率，即P(A)=p。 实际应用中
mA P ( A) ≈ n
例4 某市卫生管理部门对该市60岁以上老人患高血压的 某市卫生管理部门对该市60 60岁以上老人患高血压的
其中至少两人的生日是在同一月的概率。 其中至少两人的生日是在同一月的概率。 表示至少两人生日同月， 用A 表示至少两人生日同月，k i 表示有 i 个人生日同月
4 至少两人生日同月有： 分析 基本事件总数 n = 12 = 20736 至少两人生日同月有：
2 3 ⑴ 两人生日同月： k 2 = C4 × A12 = 7920 两人生日同月：
简单概率的计算
50张考签 编号为1 张考签， 例 2 有50张考签，编号为1～50 。 ⑴ 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签"的概率 任抽一张考试，求事件"抽到前10号考签 号考签" ⑵ 任抽两张考试，求"抽到两张都是前10号考签"的概率 任抽两张考试， 抽到两张都是前10号考签 号考签" ⑶ 无放回地抽取2次，每次1张，求"抽到两张都是前10号 无放回地抽取2 每次1 抽到两张都是前10号 考签" 考签"的概率 ⑷ 无放回地抽取5次，每次1张，求事件"最后一次抽到的 无放回地抽取5 每次1 求事件" 是双号考签" 是双号考签"的概率 解 A 表示所发生的事件，则 表示所发生的事件， ⑴ n＝50，k＝10 ； 故 P(A)＝k / n＝1 / 5＝0. 2 50， P(A)＝ n＝ 5＝ ⑵ n = C 50 = 1225 ; k = C 10 = 45 ； P(A)＝k / n＝ 0. 037 P(A)＝ n＝

－1<m<4.
即 A＝{m|－1<m<4}．
由 lg m 有意义知 m>0， 即使 lg m 有意义的范围是(0,4)，
4－0 4 故所求概率为 P＝ ＝ . 4－－1 5
题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】
与长度有关的几何概型
思维启迪 解析
在集合 A＝{m|关于 x 的方 3 3 2 2 程 x ＋mx＋ m＋1＝0 无实根} 由 Δ＝m －44m＋1<0 得 4
(1) 为古典概型，利用列举法求 概率． (2)建立 a－b 平面直角坐标系， 将问题转化为与面积有关的几 何概型．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高
程 x2＋2ax＋b2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数， 求上述方程有实根 的概率； (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数， b 是从区间[0,2]任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】
与面积有关的几何概型
设有关于 x 的一元二次方
思维启迪 解析 探究提高
程 x2＋2ax＋b2＝0. (1)若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取 的一个数，b 是从 0,1,2 三个数中 任取的一个数， 求上述方程有实根 的概率； (2)若 a 是从区间[0,3]任取的一个 数， b 是从区间[0,2]任取的一个数， 求上述方程有实根的概率．
动范围在线段上时，用线段长度 比计算；当考察对象为线时，一 般用角度比计算．事实上，当半 径一定时，由于弧长之比等于其 所对应的圆心角的度数之比，所 以角度之比实际上是所对的弧长 (曲线长)之比．

事件概率的计算公式事件概率是概率论中的一个重要概念，用于衡量某个事件发生的可能性大小。

在概率论中，事件概率的计算公式是通过对事件的样本空间、样本点和事件的数量进行分析和计算得出的。

下面将介绍事件概率的计算公式及其应用。

一、事件概率的定义事件概率是指某个事件在所有可能事件中出现的可能性大小。

通常用P(A)表示事件A的概率，即事件A发生的可能性大小。

事件概率的取值范围在0到1之间，其中0表示不可能发生，1表示必然发生。

二、事件概率的计算公式1. 频率法频率法是通过统计实验中事件发生的次数与实验次数的比值来估计事件概率。

频率法的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A发生的次数，N表示实验的总次数。

频率法适用于大量实验的情况下，通过实验数据来近似估计事件概率。

2. 古典概型法古典概型法适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。

在古典概型法中，事件概率的计算公式为：P(A) = N(A)/N其中，N(A)表示事件A包含的样本点的数量，N表示样本空间中的样本点的总数。

古典概型法适用于样本空间中各个样本点的发生概率相等的情况，如掷骰子、抽牌等。

3. 组合法组合法适用于事件的样本空间中的样本点的发生概率不相等的情况。

在组合法中，事件概率的计算公式为：P(A) = ΣP(Ai)其中，P(Ai)表示事件A中的样本点Ai的发生概率，Σ表示对所有样本点的发生概率求和。

组合法适用于样本空间中各个样本点的发生概率不相等的情况，如抽奖、抽样等。

三、事件概率的应用事件概率的计算公式可以用于各种实际问题的分析与解决。

例如，在赌博游戏中，可以使用事件概率的计算公式来估计某个赌博事件的胜率。

在金融领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个投资项目的风险和收益。

在医学领域，可以使用事件概率的计算公式来评估某个疾病的发生率和治愈率。

事件概率的计算公式还可以用于决策分析和风险管理。

通过对各种可能事件的概率进行计算和比较，可以帮助人们做出合理的决策，并制定相应的风险管理策略。

概率与统计的基本概念和计算方法概率与统计是一门研究随机现象规律的数学学科，它在科学研究、工程技术和社会经济等领域起到重要的作用。

本文将介绍概率与统计的基本概念和计算方法，帮助读者更好地理解和应用这门学科。

一、概率的基本概念及其计算方法概率是描述随机事件发生可能性的数值，一般用百分比、分数或小数表示。

在概率理论中，有三种常见的概率计算方法：古典概率、几何概率和统计概率。

1. 古典概率古典概率又称为理论概率，是基于等可能性假设进行计算的概率。

当随机事件的样本空间中的所有基本事件等可能发生时，可以使用古典概率进行计算。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的基本事件数/样本空间中的基本事件总数。

2. 几何概率几何概率是根据几何形状和空间位置关系计算的概率。

它常用于描述连续随机变量的概率。

几何概率的计算方法是通过计算事件A在样本空间中的面积或体积与样本空间总面积或总体积之比得到。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = A的几何形状的面积或体积/样本空间的几何形状的面积或体积。

3. 统计概率统计概率是根据实际观察到的频率计算的概率。

当无法直接使用古典概率或几何概率进行计算时，可以通过实际观测数据进行统计概率的计算。

统计概率的计算方法是事件A的发生频数除以样本空间试验次数的比值。

计算公式为：事件A发生的概率P(A) = 频数A/n。

二、统计的基本概念及其计算方法统计是通过收集、整理、分析数据并进行推断和预测的一门学科。

在统计学中，有两种常见的统计算法：描述统计和推断统计。

1. 描述统计描述统计是通过对已有数据进行总结和描述来了解数据分布和变化规律的统计方法。

常用的描述统计指标包括均值、中位数、众数、标准差等。

计算描述统计指标时，需要先收集数据，然后对数据进行计算和分析。

2. 推断统计推断统计是通过对样本数据进行推断和预测来做出总体特征的统计方法。

推断统计的核心思想是基于样本数据对总体进行推断。

常用的推断统计方法包括假设检验、置信区间估计和回归分析等。

概率计算公式加例子职高概率计算公式及其应用在职业高中。

概率是数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们预测事情发生的可能性。

在职业高中的学习中，概率的计算公式和应用是非常重要的，它可以帮助学生更好地理解各种事件的发生可能性，并且在日常生活中也能够帮助他们做出更加合理的决策。

首先，让我们来了解一下概率的基本概念。

概率是指某一事件发生的可能性，通常用一个介于0到1之间的数值来表示，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。

在概率的计算中，最常用的公式就是事件发生的次数除以总的实验次数，即概率=事件发生的次数/总的实验次数。

例如，如果我们掷一枚硬币，想要知道正面朝上的概率，我们可以进行多次实验，记录正面朝上的次数，然后除以总的实验次数。

假设我们进行了100次实验，其中有55次是正面朝上，那么正面朝上的概率就是55/100=0.55。

在职业高中的数学课程中，概率的计算公式和应用是一个非常重要的内容。

通过学习概率，学生可以更好地理解随机事件的发生规律，提高他们的逻辑思维能力和数学分析能力。

同时，在职业高中的实践教学中，概率的应用也是非常广泛的。

比如在物理实验中，学生可以通过概率的计算来预测某一事件发生的可能性；在化学实验中，概率的计算可以帮助学生更好地理解化学反应的发生规律；在生物实验中，概率的计算可以帮助学生预测某一基因型的出现概率等等。

除了在学科实践中的应用，概率的计算公式和应用在职业高中的日常生活中也是非常有用的。

比如在学生社团活动中，通过概率的计算可以帮助学生更好地安排活动的时间和资源；在学生的职业规划中，概率的计算可以帮助他们更好地选择适合自己的职业方向；在学生的生活决策中，概率的计算可以帮助他们更好地权衡利弊，做出更加合理的选择。

总的来说，概率的计算公式和应用在职业高中的学习和生活中都是非常重要的。

通过学习概率，学生可以提高他们的数学分析能力和逻辑思维能力，更好地理解各种事件的发生规律，从而更好地适应未来的学习和生活。

概率的计算与分析概率是数学中的一个重要概念，在各个领域中都有广泛应用。

它可以帮助我们预测结果、解决问题以及进行决策。

在本文中，我们将探讨概率的计算与分析方法，以及其在实际生活中的应用。

一、基本概率计算方法1.1 频率概率频率概率是通过观察事件出现的频率来计算概率。

具体而言，我们统计事件发生的次数，并将其除以总试验次数来得到概率值。

例如，假设我们投掷一个均匀骰子，想要计算出现6的概率，我们可以进行多次实验，记录6出现的次数，并将其除以总实验次数。

1.2 古典概率古典概率是基于事件的可能性数量来计算概率。

当事件的所有可能结果是等可能且有限的时候，我们可以使用古典概率来计算。

例如，一枚均匀硬币的正反面概率为1/2。

1.3 条件概率条件概率是指当已知某些条件时，事件发生的概率。

它是通过条件概率公式来计算的，即P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。

其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。

二、概率分析方法2.1 加法法则加法法则用于计算两个事件任一发生的概率。

对于两个互斥事件A和B，即A和B不同时发生，我们可以使用加法法则计算它们的概率。

加法法则的公式为：P(A或B) = P(A) + P(B)。

2.2 乘法法则乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。

对于两个独立事件A和B，即A的发生不受B的发生影响，我们可以使用乘法法则计算它们的概率。

乘法法则的公式为：P(A和B) = P(A) * P(B)。

2.3 贝叶斯定理贝叶斯定理是计算条件概率的重要方法，它可以帮助我们用已知信息更新事件发生的概率。

贝叶斯定理的公式为：P(A|B) = P(A) * P(B|A) / P(B)。

其中，P(A|B)表示在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B|A)表示在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率。

三、概率在实际生活中的应用3.1 风险评估概率可以帮助我们评估和管理风险。

通过对可能事件和其发生概率进行分析，我们可以识别风险，并采取相应的措施来减少风险的发生。

• 探究2 等可能事件的概率，首先要弄清楚试验结果是不 是“等可能”，其次要正确求出基本事件总数和事件A所 包含的基本事件的个数．
• 思考题2 某汽车站每天均有3辆开往省城济南的分为上、 中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前 往济南办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺 序．为了尽可能乘上上等车，他采取如下策略：先放过 一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三 辆．那么他乘上上等车的概率为__________．
4．一个坛子里有编号 1,2，…，12 的 12 个大小相同
的球，其中 1 到 6 号球是红球，其余的是黑球，若从中
任取两个球，则取到的都是红球，且至少有 1 个球的号
码是偶数的概率为( )
1
1
A.22
B.11
3
2
C.22
D.11
解析 分类：一类是两球号均为偶数且为红球，有 C32 种取法；另一类是两球号码是一奇一偶有 C31C31 种取 法
• 思考题1 掷两颗均匀的普通骰子，两个点数和为x(其中 x∈N*)．
• ①记事件A：x＝5，写出事件A包含的基本事件，并求P(A)；
• ②求x≥10时的概率．
• 【分析】 每一次试验得到的是两颗骰子的点数，所以 每一个基本事件都对应着有序数对．
【解析】 ①每次试验两颗骰子出现的点数分别记为
m、n
最短路线的概率是( )
1
1
A.2
B.3
1
1
C.5
D.6
解析 基本事件，等可能事件的概率． • 答案n＝3D×2＝6，m＝1. ∴P(A)＝16.
• 3则．剩有下五两答个个案数数字字1130都、是2、奇3数、的4、概5率中是，_若__随__机__取__出__三_(个结数果字用， 数值表示解)析． 任取的三个数字中有 2 个偶数，1 个奇数，

概率的加减乘除运算
概率论是研究事件可能发生的结果及其发生程度的一门数学科学。

概率描述一类事件发生的机率，也就是说，这类事件发生的可能性有多大。

在进行概率计算时，概率可以通过加减乘除运算来综合运用。

加法是概率计算中最常见的运算。

两个概率相加，就是将其中一个概率的可能性叠加在另一个概率中来计算的总概率。

比如，A事件出现的概率为p，B事件出现的概率为q，则A 事件或B事件出现的概率就是p+q。

减法也是概率计算中常见的运算。

比如，A事件出现的概率为p，B事件出现的概率为q，则A事件不同时出现的概率就是p-q。

乘法也是概率计算中常用的运算，它用于表示某一事件发生或没有发生，与其他事件发生或没有发生之间的联系。

比如，A事件出现的概率为p，B事件出现的概率为q，则A与
B都发生的概率就是p×q。

除法也是概率计算中常见的运算，它用于计算某一事件发生的概率。

比如，A与B都发生的概率为p×q，A事件出现的概率为p，则B事件出现的概率就是p/q。

概率计算是一门有趣的科学，它可以帮助我们更好地理解事件及其可能性。

概率计算可以通过加减乘除运算加以求解，有效提升概率计算效率。

概率论是数学中的一个重要分支，研究随机事件发生的规律。

它是应用数学的一个重要工具，广泛应用于统计学、物理学、生物学等领域。

概率的基本概念概率是描述随机事件发生可能性的数值。

对于一个随机试验，试验的每一个结果都称为样本点。

样本空间是所有可能的样本点的集合。

而事件是样本空间的一个子集。

概率的基本公理有三个：非负性、规范性和可列加性。

非负性指概率必须是非负的数值，即大于等于0。

规范性指样本空间的概率为1，即必然事件的概率为1。

可列加性指如果两个事件互斥，则它们的概率可以相加。

概率的计算方法在概率论中，有三种常见的计算方法：古典概型、几何概型和统计概型。

古典概型适用于样本空间中的每个样本点发生的概率相等的情况。

例如，掷一枚公正的硬币，正面和反面出现的概率都是1/2。

几何概型适用于样本空间是一个连续的区间的情况。

例如，从一个范围为0到1的均匀分布随机选择一个数，落在某个子区间的概率可以用该子区间的长度表示。

统计概型适用于实际问题中，根据历史数据或样本数据进行估计的情况。

例如，根据过去的天气数据，预测明天下雨的概率。

条件概率和独立性条件概率是指在已知某个事件发生的前提下，另一个事件发生的概率。

条件概率可以用P(A|B)表示，读作“A在B发生的条件下的概率”。

独立性指两个事件的发生与否是相互独立的。

如果两个事件A和B是独立的，那么P(A|B) = P(A)，即B的发生对A的发生没有影响。

条件概率和独立性是概率论中的重要概念，它们在实际问题的建模和分析中有着广泛的应用。

例如，在医学诊断中，根据症状来计算各种疾病的概率，可以通过条件概率来实现。

期望值和方差期望值是随机变量的平均值，用E(X)表示。

对于离散型随机变量，期望值可以通过每个取值与其对应的概率相乘再求和来计算；对于连续型随机变量，期望值可以通过对密度函数进行积分来计算。

方差是随机变量偏离其期望值的程度的度量，用Var(X)表示。

它等于随机变量与其期望值之差的平方的均值。

高中数学知识点第十二章-概率与统计 考试内容：抽样方法.总体分布的估计． 总体期望值和方差的估计． 考试要求：（1）了解随机抽样了解分层抽样的意义，会用它们对简单实际问题进行抽样． （2）会用样本频率分布估计总体分布． （3）会用样本估计总体期望值和方差．§12. 概率与统计 知识要点一、随机变量.1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.它就被称为一个随机试验.2. 离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量，a ，b 是常数.则b a +=ξη也是一个随机变量.一般地，若ξ是随机变量，)(x f 是连续函数或单调函数，则)(ξf 也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量.设离散型随机变量ξ可能取的值为： ,,,,21i x x xξ取每一个值),2,1(1 =i x 的概率i i p x P ==)(ξ，则表称为随机变量ξ的概率分布，简称ξ的121i 注意：若随机变量可以取某一区间内的一切值，这样的变量叫做连续型随机变量.例如：]5,0[∈ξ即ξ可以取0～5之间的一切数，包括整数、小数、无理数.3. ⑴二项分布：如果在一次试验中某事件发生的概率是P ，那么在n 次独立重复试验中这个事件恰好发生k 次的概率是：kn k k n qp C k)P(ξ-==[其中p q n k -==1,,,1,0 ] 于是得到随机变量ξ的概率分布如下：我们称这样的随机变量ξ服从二项分布，记作ξ～B（n ·p ），其中n ，p 为参数，并记p)n b(k;qp C k n k k n ⋅=-. ⑵二项分布的判断与应用.①二项分布，实际是对n 次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n 次独立重复，且每次试验只有两种结果，如果不满足此两条件，随机变量就不服从二项分布. ②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小，而每次抽取时又只有两种试验结果，此时可以把它看作独立重复试验，利用二项分布求其分布列. 4. 几何分布：“k =ξ”表示在第k 次独立重复试验时，事件第一次发生，如果把k 次试验时事件A 发生记为k A ，事A 不发生记为q )P(A ,A k k =，那么)A A A A P(k)P(ξk 1k 21-== .根据相互独立事件的概率乘法分式：))P(A A P()A )P(A P(k)P(ξk 1k 21-== ),3,2,1(1 ==-k p q k 于是我们称ξ服从几何分布，并记p q p)g(k,1k -=，其中 3,2,1.1=-=k p q5. ⑴超几何分布：一批产品共有N 件，其中有M （M ＜N ）件次品，今抽取)N n n(1≤≤件，则其中的次品数ξ是一离散型随机变量，分布列为)M N k n M,0k (0CC C k)P(ξnNk n MN k M -≤-≤≤≤⋅⋅==--.〔分子是从M 件次品中取k 件，从N-M 件正品中取n-k 件的取法数，如果规定m ＜r 时0C rm=，则k 的范围可以写为k=0，1，…，n.〕 ⑵超几何分布的另一种形式：一批产品由 a 件次品、b 件正品组成，今抽取n 件（1≤n ≤a+b ），则次品数ξ的分布列为n.,0,1,k CC C k)P(ξnba kn bk a =⋅==+-.⑶超几何分布与二项分布的关系. 设一批产品由a 件次品、b 件正品组成，不放回抽取n 件时，其中次品数ξ服从超几何分布.若放回式抽取，则其中次品数η的分布列可如下求得：把b a +个产品编号，则抽取n 次共有n b a )(+个可能结果，等可能：k)(η=含kn k k n ba C -个结果，故n 0,1,2,k ,)ba a (1)b a a (C b)(a ba C k)P(ηkn k k n nkn k k n =+-+=+==--，即η～)(b a a n B +⋅.[我们先为k 个次品选定位置，共k n C 种选法；然后每个次品位置有a 种选法，每个正品位置有b 种选法] 可以证明：当产品总数很大而抽取个数不多时，k)P(ηk)P(ξ=≈=，因此二项分布可作为超几何分布的近似，无放回抽样可近似看作放回抽样.二、数学期望与方差.1. 期望的含义：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为n n 2211.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.2. ⑴随机变量b a +=ξη的数学期望：b aE b a E E +=+=ξξη)( ①当0=a 时，b b E =)(，即常数的数学期望就是这个常数本身.②当1=a 时，b E b E +=+ξξ)(，即随机变量ξ与常数之和的期望等于ξ的期望与这个常数的和.③当0=b 时，ξξaE a E =)(，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积.⑵单点分布：c c E =⨯=1ξ其分布列为：c P ==)1(ξ.⑶两点分布：p p q E =⨯+⨯=10ξ，其分布列为：（p +q = 1）⑷二项分布：∑=⋅-⋅=-np q pk n k n k E k n k)!(!!ξ 其分布列为ξ～),(p n B .（P 为发生ξ的概率）⑸几何分布：pE 1=ξ 其分布列为ξ～),(p k q .（P 为发生ξ的概率） 3.方差、标准差的定义：当已知随机变量ξ的分布列为),2,1()( ===k p x P k k ξ时，则称+-++-+-=n n p E x p E x p E x D 2222121)()()(ξξξξ为ξ的方差. 显然0≥ξD ，故σξξσξ.D =为ξ的根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动，集中与离散的程度.ξD 越小，稳定性越高，波动越小．．．．．．．．．．．．．.． 4.方差的性质.⑴随机变量b a +=ξη的方差ξξηD a b a D D 2)()(=+=.（a 、b 均为常数） ⑵单点分布：0=ξD 其分布列为p P ==)1(ξ ⑶两点分布：pq D =ξ 其分布列为：（p + q = 1）⑷二项分布：npq D =ξ ⑸几何分布：2p q D =ξ5. 期望与方差的关系.⑴如果ξE 和ηE 都存在，则ηξηξE E E ±=±)(⑵设ξ和η是互相独立的两个随机变量，则ηξηξηξξηD D D E E E +=+⋅=)(,)(⑶期望与方差的转化：22)(ξξξE E D -= ⑷)()()(ξξξξE E E E E -=-（因为ξE 为一常数）0=-=ξξE E .三、正态分布.（基本不列入考试范围）1.密度曲线与密度函数：对于连续型随机变量ξ，位于x 轴上方，ξ落在任一区间),[b a 内的概率等于它与x 轴.直线a x =与直线b x =（如图阴影部分）的曲线叫ξ的密度曲线，以其作为图像的函数)(x f 叫做ξ的密度函数，由于“),(+∞-∞∈x 是必然事件，故密度曲线与x 轴所夹部分面积等于1.2. ⑴正态分布与正态曲线：如果随机变量ξ的概率密度为：222)(21)(σμσπ--=x ex f .（σμ,,R x ∈为常数，且0 σ），称ξ服从参数为σμ,的正态分布，用ξ～),(2σμN 表示.)(x f 的表达式可简记为),(2σμN ，它的密度曲线简称为正态曲线.⑵正态分布的期望与方差：若ξ～),(2σμN ，则ξ的期望与方差分别为：2,σξμξ==D E . ⑶正态曲线的性质.①曲线在x 轴上方，与x 轴不相交. ②曲线关于直线μ=x 对称.③当μ=x 时曲线处于最高点，当x 向左、向右远离时，曲线不断地降低，呈现出“中间高、两边低”的钟形曲线.④当x ＜μ时，曲线上升；当x ＞μ时，曲线下降，并且当曲线向左、向右两边无限延伸时，以x 轴为渐近线，向x 轴无限的靠近.⑤当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中.3. ⑴标准正态分布：如果随机变量ξ的概率函数为)(21)(22+∞-∞=-x ex x πϕ，则称ξ服从标准正态分布. 即ξ～)1,0(N 有)()(x P x ≤=ξϕ，)(1)(x x --=ϕϕ求出，而P （a ＜ξ≤b ）的计算则是)()()(a b b a P ϕϕξ-=≤ .注意：当标准正态分布的)(x Φ的X 取0时，有5.0)(=Φx 当)(x Φ的X 取大于0的数时，有5.0)( x Φ.比如5.00793.0)5.0(=-Φσμ则σμ-5.0必然小于0，如图.⑵正态分布与标准正态分布间的关系：若ξ～),(2σμN 则ξ的分布函数通 常用)(x F 表示，且有)σμx (F(x)x)P(ξ-==≤ϕ.4.⑴“3σ”原则.假设检验是就正态总体而言的，进行假设检验可归结为如下三步：①提出统计假设，统计假设里的变量服从正态分布),(2σμN .②确定一次试验中的取值a 是否落入范围)3,3(σμσμ+-.③做出判断：如果)3,3(σμσμ+-∈a ，接受统计假设. 如果)3,3(σμσμ+-∉a ，由于这是小概率事件，就拒绝统计假设.⑵“3σ”原则的应用：若随机变量ξ服从正态分布),(2σμN 则 ξ落在)3,3(σμσμ+-内的概率为99.7％ 亦即落在)3,3(σμσμ+-之外的概率为0.3％，此为小概率事件，如果此事件发生了，就说明此种产品不合格（即ξ不服从正态分布）.S 阴=0.5S a =0.5+S。

概率的基本概念与性质概率是数学中一种重要的概念，用于描述事件发生的可能性大小。

它在统计学、自然科学、社会科学等领域得到广泛应用。

本文将介绍概率的基本概念、性质以及其在现实生活中的应用。

一、概率的基本概念概率是事件发生可能性的度量，其取值范围在0到1之间。

如果事件不可能发生，则概率为0；如果事件肯定发生，则概率为1。

对于某一随机事件E，其概率用P(E)表示。

二、概率的性质1. 非负性：概率值始终大于等于0，即P(E) ≥ 0。

2. 规范性：对于必然事件S（样本空间），其概率为1，即P(S) = 1。

3. 加法性：对于互不相容的事件E1、E2，它们的和事件E1∪E2的概率等于各事件概率的和，即P(E1∪E2) = P(E1) + P(E2)。

三、概率的计算方法1. 古典概型：当每个基本事件发生的可能性相等时，可以应用古典概率计算方法。

例如，投掷一个均匀的骰子，出现每个点数的概率都是1/6。

2. 几何概型：当事件的发生概率与空间的几何形状相关时，可以应用几何概率计算方法。

例如，在一个正方形面积为1的均匀分布区域中，某个事件发生的概率可以通过事件占据的面积计算。

3. 统计概型：当无法使用古典或几何概率计算方法时，可以应用统计概率计算方法。

通过实验或观察数据，统计概率通过频率计算事件发生的可能性。

四、概率的应用1. 风险评估：概率可以用于评估风险的大小，帮助人们做出决策。

例如，在投资时，可以利用概率计算预期收益和风险。

2. 假设检验：在统计学中，概率被用于验证假设的合理性。

通过比较观察到的数据与期望结果之间的差异，可以计算出概率值判断假设是否成立。

3. 数据预测：概率可以应用于预测模型，帮助预测未来事件的发生概率。

例如，天气预报就是通过统计概率模型进行天气预测的。

总结：概率作为数学中的基本概念，用于描述事件发生的可能性大小。

它具有非负性、规范性和加法性等性质。

在实践中，可以根据古典概型、几何概型或统计概型来计算概率。

高中数学概率知识点总结一、概率的基础概念1. 随机事件：在一定条件下可能发生，也可能不发生的事件。

2. 必然事件：在一定条件下一定会发生的事件。

3. 不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件。

4. 样本空间：随机试验所有可能出现的结果的集合。

5. 事件的关系：包括并事件、交事件、补事件、互斥事件等。

二、概率的计算1. 古典概型：当样本空间是有限的、等可能的，可以使用古典概型计算概率。

- 计算公式：P(A) = A的样本点数 / 样本空间的总样本点数2. 几何概型：当样本空间是无限的或样本点出现的可能性不等时，使用几何概型。

- 计算公式：P(A) = A所占的几何度量（长度、面积、体积等） / 全部样本空间的几何度量3. 条件概率：在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率。

- 计算公式：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4. 全概率公式：如果事件B1, B2, ..., Bn构成样本空间的一个划分，即它们两两互斥且并集为全集，那么任意事件A的概率可以表示为：- 计算公式：P(A) = ΣP(A|Bi) * P(Bi)，其中i从1到n三、概率的性质1. 非负性：对于任何事件A，有0 ≤ P(A) ≤ 12. 规范性：必然事件的概率为1，即P(S) = 13. 可加性：对于两两互斥的事件A1, A2, ..., An，有P(A1∪A2∪...∪An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)四、概率的独立性1. 事件的独立性：如果两个事件A和B的发生互不影响，则称A和B 是相互独立的。

2. 独立事件的概率：两个独立事件A和B同时发生的概率等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) * P(B)。

五、贝叶斯定理1. 贝叶斯公式：描述了在已知某事件发生的条件下，另一个事件发生概率的计算方法。

- 计算公式：P(A|B) = [P(B|A) * P(A)] / P(B)六、随机变量及其分布1. 随机变量：将随机试验的结果映射到实数上的函数。

关闭
A
解析
答案
-11知识梳理
1
双基自测
2
3
4
5
5.已知某批零件的长度误差(单位:毫米)服从正态分布N(0,32),从
中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6)内的概率
为
.
(附:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ<μ+σ)≈68.27%,
P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)≈95.45%)
个木质球;蓝球中有4个玻璃球,7个木质球.现从中任取一球,假设每
个球被取到的可能性相同.若取到的球是玻璃球,则它是蓝球的概
率为
.
关闭
记“取到蓝球”为事件 A,“取到玻璃球”为事件 B,则已知取到的球为玻
璃球,它是蓝球的概率就是在 B 发生的条件下 A 发生的条件概率,记
作 P(A|B).
4
1
因为 P(AB)= = ,
哪些常用的方法?
-18考点1
考点2
考点3
考点4
解：分别将甲、乙、丙第i次猜对歌名记为事件Ai,Bi,Ci(i=1,2,3),
则Ai,Bi,Ci相互独立.
(1)该小组未能进入第二轮的概率
P=P(1 )+P(A11 )+P(A1B11 )=P(1 )+P(A1)P(1 )+P(A1)P(B1)P(1 )
行统计,发现英语成绩的频率分布直方图形状与正态分布N(95,82)
的密度曲线非常拟合,据此估计在全市随机抽取的4名高三同学中,
恰有2名同学的英语成绩超过95分的概率是(
)
A.
1
6
B.
1
3
C.
1