北京理工大学数学专业高等代数期末试题MTH
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2009级数学类高等代数期末考试试题A 卷班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯表示域F 上的所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 1112212201101111,,,11110110F F F F ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
（4）当1402A -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求()Ker σ的一组基与维数。
二、（15分）设数域K 上3维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基123,,ααα下的矩阵为010440212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。
求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：（1）如果W 是A 的一维不变子空间，那么W 中任何一个非零向量都是A 的特征向量；反之，如果ξ是A 的一个特征向量，那么ξ生成的子空间ξ<>是A 的一维不变子空间。
（2）A 可以对角化的充分必要条件是V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设22()V M F ⨯=，在V 中取一个基11122122,,,E E E E 。
（1）求它的对偶基11122122,,,f f f f ，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（20分）证明：n 维酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换A 当且仅当在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
班级 学号 姓名 成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 123410111111,,,00001011αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
二、（15分）设数域F 上4维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基1234,,,αααα下的矩阵为3402452400320021A -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦。
求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）设33()V M ⨯=，在V 中取一个基(,1,2,3)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2,3)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（15分）证明：n 维欧几里得空间V 上的线性变换A 是斜对称变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是斜对称矩阵。
六、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，试写出你所知道的A 可以对角化的充要条件。
班级 学号 姓名 成绩一、（15分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上的线性空间。
取定()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义()X AX XA σ=-。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y X Y σσσ=+。
（3）当a b A c d ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 123401101111,,,11110110αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
二、（15分）设数域F 上4维线性空间V 的线性变换A 在V 的一个基1234,,,αααα下的矩阵为3100110030534131A -⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥--⎣⎦，求线性变换A 的Jordan 标准形。
三、（20分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当A 的最小多项式()m λ在[]F λ中能分解成不同的一次因式乘积。
四、（20分）设22()V M ⨯=，在V 中取一个基(,1,2)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
五、（15分）证明：n 维欧几里得空间V 上的线性变换A 是对称变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是对称矩阵。
六、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，试写出你所知道的A 可以对角化的充要条件。
班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上线性空间。
取定可逆矩阵()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义1()X AXA σ-=。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换,而且是一个同构映射。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）当2n =，取定2001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦时，求σ在给定基 123401101111,,,11110110αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
二、（20分）设22()V M ⨯=，在V 中取一个基(,1,2)ij E i j =。
（1）求它的对偶基(,1,2)ij f i j =，要求写出ij f 的表达式。
（2）求V 上任意一个线性函数f 的表达式。
三、（20分）设f 是实数域上的3维线性空间V 的一个双线性函数，且f 在V 的基123,,ααα下的度量矩阵为111125t A t s -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦（1）问,s t 取何值时，f 是内积？（2）当f 是内积时，求V 的一个标准正交基。
四、（15分）设U 是欧几里得空间V 的一个子空间，P 表示U 在V 上的正交投影，试证明：P 是对称变换。
五、（20分）已知矩阵55()A M ⨯∈的最小多项式为2()(3)(2)A m x x λ=--。
（1）求矩阵A 的全部互不相同的特征值。
（2）矩阵A 的Jordan 标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。
如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan 标准形。
班级 学号 姓名 成绩一、（25分）设()n n M F ⨯为数域F 上所有n 阶矩阵构成的F 上线性空间。
取定可逆矩阵()n n A M F ⨯∈，对于任意的()n n X M F ⨯∈，定义1()X AXA σ-=。
（1）证明：σ为()n n M F ⨯上的一个线性变换,而且是一个同构映射。
（2）证明：对于任意的,()n n X Y M F ⨯∈都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）特别地，当2n =，1001A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦时，求σ在给定基 123410010000,,,00001001αααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦下的矩阵表示。
二、（20分）设f是实数域上的3维线性空间V 的一个双线性函数，且f 在V 的基123,,ααα下的度量矩阵为114102t A t s ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1）问,s t 取何值时，f 是内积？（2）当f 是内积时，求V 的一个标准正交基。
三、（15分）设A 是数域F 上n 维线性空间V 上的一个线性变换，证明：A 可以对角化当且仅当V 可以分解成A 的一维不变子空间的直和。
四、（20分）对于任意的矩阵()n n A M ⨯∈,如果满足H A A =，我们称A 是一个Hermite 矩阵。
（1）证明：矩阵()n n A M ⨯∈是一个Hermite 矩阵当且仅当其关于主对角线对称位置的元素有如下特点，ij ji a a =。
（2）证明：酉空间V 上的线性变换A 是Hermite 变换当且仅当A 在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是Hermite 矩阵。
五、（20分）已知矩阵33()A M ⨯∈的最小多项式为()(6)(7)A m x x λ=--。
（1）求矩阵A 的全部互不相同的特征值。
（2）矩阵A 的Jordan 标准形是否唯一确定？如果唯一，请说明原因。
如果不唯一，请写出其所有可能的Jordan 标准形。
班级 学号 姓名 成绩一、（12分）已知多项式1615()1f x x x x =++++，证明：()f x在有理数域上不可约。
二、（18分）在线性空间22()M ⨯上定义映射 2222111-1()()0101M M X X σ⨯⨯⎡→⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦：，（1）证明：σ是22()M ⨯到其自身的一个同构映射。
（2）证明：对任意的22(),Y M X ⨯∈，都有()()()XY X Y σσσ=。
（3）求σ在基11122122,,,E E E E 下的矩阵表示。
三、（15分）设V 是数域K 上的线性空间，η是V 上的一个幂等线性变换（即2=ηη）。
证明：Im Ker V ηη⊕=。
四、（16分）（1）已知矩阵3400-4-5000-23224-2-1A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求A 的Jordan 标准形A J 。
（2）问以A J 为Jordan 标准形的矩阵只有矩阵A 吗？如果不是，你能再构造一个以A J 为Jordan 标准形的矩阵吗？五、（15分）对于任意的矩阵()n n A M ⨯∈,如果满足-H A A =，我们称A 是一个反Hermite 矩阵。
证明：酉空间V 上的线性变换ξ是反Hermite 变换当且仅当ξ在V 的任意一个标准正交基下的矩阵是反Hermite 矩阵。
六、（24分）（1）证明：相似矩阵具有相同的最小多项式。
（2）试举反例说明，具有相同最小多项式的矩阵不一定相似。
（3）证明：具有相同的特征多项式和最小多项式的矩阵一定相似。
（3）为错题，试举反例！班级 学号 姓名 成绩一、（12分）已知多项式192()191f x x x =++，证明：()f x在有理数域上不可约。
