课程编号：MTH17083 北京理工大学2015-2016学年第二学期
2013级一般拓扑学A 卷
一、选择题（15分）
1.已知{},,,,X a b c d e =，下列集族中，（ ）是X 上的拓扑。
①{}{}{}{},,,,,,,T X a a b a c e φ=
②{}{}{}{},,,,,,,,,,,T X a b c a b d a b c e φ=
③{}{}{},,,,T X a a b φ= ④{}{}{}{}{}{},,,,,,T X a b c d e φ= 2.下列拓扑学的性质中，不具有可遗传性的是（ ）
①平庸性 ②连通性 ③离散性 ④第一可数性公理
3.设{}{}{}1,2,3,,,1,3X T X φ==，则(),X T 是（ ）
①0T 空间 ②1T 空间 ③2T 空间 ④以上都不对
4.下列叙述中正确的个数为（ ） ①1 ②2 ③3 ④4
（Ⅰ）单位圆周1
S 是连通的 （Ⅱ）{}0- 是连通的 （Ⅲ）(){}20,0- 是连通的 （Ⅳ）2 和 同胚
5.拓扑空间X 的任何一个有限集都是（ ）①闭集 ②紧致子集 ③非紧致子集 ④开集
二、判断题（15分）
1.从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射。
2.包含不可数多个点的可数补空间中，任两个非空开集必相交。
3.设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭集A,B ，使得,A B A B X φ== 。
4.具有可数基的正则空间是正规空间。
5.在A 2且T 3的拓扑空间中，紧致子集都是有界闭集。
三、（30分）设X 为一个集合，a X ∈，令{}{},c X G G a G τφ=∉ 为有限集或。 试证明（1）(),X τ为一个拓扑空间；（2）(),X τ为T 2拓扑空间；
（3）(),X τ是否为A 1空间？试分别对X 是有限集，可数集情况进行讨论。
四、（10分）设X 是一个正则空间，A 是X 的一个紧致子集，Y X ⊆。证明：如果A Y A ⊇⊇，
则Y 也是X 的一个紧致子集。
五、（10分）设X 是Hausdorff 空间，:f X X →为一连续映射，
试证明其不动点集(){}Fixf x X f x x =∈=是一个闭集。
六、（10分）如果:f X Y →是一个闭的双射（即一一映射），而X 是Hausdorff 空间， 则Y 也是Hausdorff 空间。
七、（10分）设X 为拓扑空间，记(){}
F x F F x =是的闭邻域，
则X 为T 2空间当且仅当(){},F F x x X F x ∈∀∈= 。
