【满分150分，考试时间为120分钟】
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}{}
22,1,0,2,3,|1,A B y y x x A =--==-∈，则A B I 中元素的个数是 A.2
B.3
C.4
D.5
2．i 是虚数单位，复数()z a i a R =+∈满足i z z 312
-=+，则z = A.2或5 B.2或5 C.5 D.5
3．设向量a 与b 的夹角为θ，且)1,2(-=a ，)3,2(2=+b a ，则θcos ＝ A. 3
5- B.35 C.55 D.255
- 4．已知1tan 2θ=
，则tan 24πθ⎛⎫
-= ⎪⎝⎭
A.7
B.7-
C.
1
7
D.17
-
5．《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 A. 4
B. 642+
C. 442+
D. 2
6．已知数列{}{},n n a b 满足1n n n b a a +=+，则“数列{}n a 为等差数列”是“数列{}n b 为等差数列”的
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.即不充分也不必要条件
7．执行如图所示的程序框图，则输出的a = A.1 B.1- C. 4- D.5
2
-
8．在()10
2x -展开式中，二项式系数的最大值为a ，含7x 项的系数
为b ，则
b a
= A.
80
21 B.
21
80
C.21
80
-
D.8021
-
9．设实数,x y 满足约束条件250403100x y x y x y --≤⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
，则22
z x y =+的最小值为
B.10
C.8
D.5
10．现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为
A.
3π
B.
6π
C.8π
D.4π
11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22:10,0x y a b a b
Γ-=>>的左焦点，B A ,分别为Γ
的左、右顶点，P 为Γ上一点，且x PF ⊥轴， 过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与
y 轴交于点E ，直线BM 与y 轴交于点N ，若2OE ON =，则Γ的离心率为
A.3
B.2
C.
32 D.4
3
12．已知函数 ()()
2ln x x f x e e x -=++，则使得()()23f x f x >+ 成立的x 的取值范围是
A.()1,3-
B.()(),33,-∞-+∞U
C.()3,3-
D.()(),13,-∞-+∞U
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13．曲线3y x =
与y =
所围成的封闭图形的面积为 .
14．已知{}n a 是等比数列，5371
,422
a a a =
+=，则7a = . 15．设21,F F 为椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的左、右焦点，经过1F 的直线交椭圆C 于
B A ,两点，若AB F 2∆是面积为34的等边三角形，则椭圆
C 的方程为 .
16．已知12,x x 是函数()2sin 2cos2f x x x m =+-在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
内的两个零点，则
()12sin x x += .
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60分。
17.（12分）在ABC ∆中,角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. 已知B b A c A b B A a cos 2cos sin cos cos 2
=--.
（I ）求B ； （II ）若a b 7=
，ABC ∆的面积为32，求a .
18.（12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为1:3，且成绩分布在[]40,100，分数在80以上（含80）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.
（I ）在答题卡上填写下面的22⨯列联表，能否有超过0095的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生
理科生
合计 获奖 5
不获奖
合计
200
（II ）将上述调査所得的频率视为概率，现从该校参与竞赛的学生中，任意抽取3名学生，记“获奖”学生人数为X ，求X 的分布列及数学期望.
附表及公式：)
)()()(()(2
2
d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=
()2P K k >
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k
2.072 2.706
3.841 5.024
6.635
7.879
19.（12分）在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ABC ∠=︒，
PB PC PD ==.
（I ）证明：⊥PA 平面ABCD ；
（II ）若2=PA ，求二面角A PD B --的余弦值.
20.（12分）已知抛物线()2:20C x py p =>，圆22:1O x y +=.
（I ）若抛物线C 的焦点F 在圆O 上，且A 为C 和圆O 的一个交点，求AF ； （II ）若直线l 与抛物线C 和圆O 分别相切于点N M ,，求MN 的最小值及相应p 的值.
21.（12分）已知函数x x x f ln )(=
，)12
(ln )(--=ax
x x x g . （I ）求函数)(x f 的最大值；
（II ）当10,a e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，函数)],0(()(e x x g y ∈=有最小值，记()g x 的最小值为()h a ，
求函数()h a 的值域.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。 22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线1:4C x y +=，曲线21cos :(sin x C y θ
θθ=+⎧⎨=⎩
为参数）
， 以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （I ）求曲线12,C C 的极坐标方程；
（II ）若射线)0(≥=ραθ与曲线12,C C 的公共点分别为,A B ，求
OB
OA
的最大值．
