狄利克雷函数（Dirichlet Function），在实数上处处不连续的证明(2006年10月25日修改版)声明：前天下午在与曲建勋的讨论中找到其证明方式
本证明过程，最关键的两个步骤，由我和曲建勋分别提出，在此对曲建勋表示感谢，并郑重声明，并非我一人完成此证明
√2代表根号2
证明过程我写得很啰嗦，尤其是前面三个命题，可能有些人会认为太显而易见了，但为了严谨我还是写出来了，高人可以略过其证明过程
前提：1、任何有理数均可写成既约分数p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2、任何无理数据不可写成这样的形式，且均可写成无限不循环小数
3、任何实数必定属于有理数或无理数中的一类，且不能同时属于两类数
命题1：任何有理数与无理数相加结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0)为任意有理数
X为任意无理数
则p/q+X=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=m/n-p/q=(mq-np)/(n*q)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题1成立
命题2：任何无理数除以非零有理数结果都是无理数
证明：假设命题不成立
设p/q (p,q∈Z 且q≠0,p≠0)为任意非零有理数
X为任意无理数
则X/(p/q)=m/n (m,n∈Z 且n≠0)
X=(p*m)/(q*n)
则根据前提1，X为有理数，与假设矛盾
故假设不成立，命题2成立
命题3：√2为无理数
证明：假设命题不成立
则√2为有理数，设√2=p/q (p,q∈Z 且q≠0)
2=(p*p)/(q*q)
则p必须是偶数
∵p/q是既约分数
∴q是奇数
∴设p=2n q=2m+1(m,n∈Z)
∵2*q*q=p*p
∴2*(2m+1)*(2m+1)=2n*2n ∴(2m+1)*(2m+1)=2n*n 而m,n∈Z时本式不能成立
故假设不成立，命题3成立
命题4：任何有限小数都是有理数
证明：显而易见~~
下面进入本证明的关键部分
首先介绍狄利克雷函数（Dirichlet Function）
f(x)= 1(x为有理数)
0(x为无理数)
命题5：任意两个有理数之间一定存在至少一个无理数证明：设p/q、m/n (p,q,m,n∈Z 且q≠0,n≠0)为任意两个有理数，不妨设p/q＜m/n
则m/n-p/q=(mq-np)/(nq)为有理数
设Q为正有理数，且满足√2＜Q(mq-np)/(nq)
则0＜√2/Q＜(mq-np)/(nq)
p/q＜√2/Q+p/q＜(mq-np)/(nq)+p/q=m/n
根据命题1、2、3,√2/Q+p/q为无理数
∴命题5成立
命题6：任意两个无理数之间一定存在至少一个有理数
证明：设X,Y为任意两个无理数，且X＜Y
将X,Y写成小数形式，从最高位开始比较两个数
直到找到一位X,Y不一样的位数，那一位上的数必然是X＜Y
去掉Y在那一位以后的所有位，得到一个有限小数，记为Z
显而易见X＜Z＜Y
Z为有理数，命题6成立
根据命题5、6，
任意有理数都不连续，
任意无理数也都不连续，
根据前提3，
则狄利克雷函数在全体实数上处处不连续
