2017-2018年山西省晋中市榆社中学高二上学期期中数学试卷及参考答案(理科)

一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.两条直线1l ：20x y c ++=，2l ：420x y c ++=的位置关系是（ ）A ．平行B ．垂直C ．平行或重合D ．不能确定【答案】C【解析】试题分析：由两条直线1l ：20x y c ++=，2l ：420x y c ++=，可得122,2k k =-=-，当0c =时，两条直线重合；当0c ≠时，两条直线平行，故选C ．考点：两条直线的位置关系．2.一个空间几何体的正视图与侧视图都是边长为4的正方形，俯视图是一个圆，则这个几何体的 体积是（ ）A ．4πB ．8πC ．16πD ．64π 【答案】C【解析】考点：几何体的三视图及体积．3.直线2210x y -+=的倾斜角是（ ）A ．30︒B ．45︒C ．120︒D ．135︒【答案】B【解析】试题分析：由直线2210x y -+=，可得直线的斜率为1k =，设直线的倾斜角α，即tan 1α=，且(0,)απ∈，所以45α=︒，故选B ．考点：直线的斜率与倾斜角．4.已知α是平面，a 、b 是直线，且//a b ，//a 平面α，则b 与平面α的位置关系是（ ）A ．b ⊂平面αB ．b ⊥平面αC ．//b 平面α或b ⊂平面αD ．b 与平面α相交但不垂直【答案】C【解析】考点：直线与平面平行的判定定理．5.已知直线2()41x m m y m +-=-与直线250x y --=垂直，则m 的值为（ ）A ．1-B ．2C ．1-或2D ．1【答案】C【解析】试题分析：由直线2()41x m m y m +-=-与直线250x y --=垂直，则212()(1)0m m ⨯+-⨯-=，解得1m =-或2m =，故选C ．考点：两条直线垂直．6.已知圆M ：2220x y ay +-=（0a >）截直线0x y +=所得线段的长度是，则圆M 与 圆N ：22(1)(1)1x y -+-=的位置关系是（ ）A ．内切B ．相交C ．外切D ．相离【答案】B【解析】试题分析：圆的标准方程为M ：2220x y ay +-=（0a >），则圆心为(0,)a ，半径R a =，圆心到直线0x y +=的距离d =，因为圆2220x y ay +-=截得0x y +=所得线段的长度是，所以====即242a a =⇒=，则圆心为(0,2)，半径2R =，圆N ：22(1)(1)1x y -+-=的圆心为(1,1)N ，半径1r =，=,因为3,1R r R r +=-=，所以R r MN R r -<<+，即两个圆的相交，故选B ．考点：两个圆的位置关系的判定．【方法点晴】本题主要考查了两个圆的位置关系的判定，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标与半径、两点间的距离公式、以及两个圆的位置关系等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中确定两圆的圆心和半径，利用两圆的位置关系的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．7.在正方体1111ABCD A B C D -中，AB 的中点为M ，1DD 的中点为N ，则异面直线1B M 与CN 所成角为（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒【答案】C【解析】考点：异面直线所成的角．8.已知(2,4)A 关于直线10x y -+=对称的点为B ，则B 满足的直线方程为（ ）A ．0x y +=B ．20x y -+=C ．50x y +-=D ．0x y -= 【答案】D【解析】试题分析：由题意得，设点(,)B x y ， 因为点(2,4)A 关于直线10x y -+=对称的点为B ，所以412241022y x x y -⎧=-⎪⎪-⎨++⎪-+=⎪⎩，解得3,3x y ==，此时点B 满足直线0x y -=，故选D ． 考点：点关于直线的对称问题．9.下列四个结论：①两条直线和同一个平面垂直，则这两条直线平行；②两条直线没有公共点，则这两条直线平行；③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；④一条直线和一个平面内任意直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．其中正确的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】考点：直线与直线、直线与平面的位置关系．10.如图所以一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．12πC ．16πD ．24π【答案】B【解析】试题分析：由题意得，根给定的三视图可知，该几何体表示一个球和一个圆柱的组合体，其表面积为22412121412S ππππ=⨯+⨯+⨯⨯=，故选B ．考点：几何体的三视图及表面积的计算．11.圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++= ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中圆的标准方程及圆心坐标、半径，点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中得出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离是解答的关键，试题比较基础，属于基础题．12.平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，则m ，n 所成角的正弦值为（ ）A B C D ．13【答案】A【解析】试题分析：如图，//α平面11CB D ，α平面ABCD m =，α平面11ABB A n =，可知：11111/,//,n CD M B D CB D ∆是正三角形，,m n 所成的角就是01160CD B ∠=,则,m n 所成的角的正弦值为，故选A ．考点：异面直线所成的角．【方法点晴】本题主要考查了异面直线所成的角的求解，其中解答中涉及到空间几何体的结构特征、正方体的中线面位置关系、异面直线所成的角的求解等知识点的综合考查，着重考查学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中根据异面所成的角的概念，得到11CD B ∠是异面直线所成的角是解答的关键，试题有一定的难度，属于中档试题．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每题5分，满分20分．）13.若直线30x y a ++=把圆22240x y x y +--=分成面积相等的两部分，则a 的值为 ．【答案】5-【解析】考点：圆的标准方程及性质．14.已知正方体不在同一表面上的两顶点坐标为(1,2,1)--，(3,2,3)-，则正方体的体积为 ．【答案】64【解析】试题分析：因为正方体中不在同一表面上两顶点(1,2,1)A --，(3,2,3)B -，所以AB 是正方体的体对角线，AB ==，所以正方体的棱长为4，正方体的体积为64．考点：正方体的性质．15.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为 ．【答案】9【解析】考点：考点：几何体的三视图及表面积的计算．【方法点晴】本题主要考查了空间几何体的三视图的应用，着重考查了推理和运算能力及空间想象能力，属于中档试题，解答此类问题的关键是根据三视图的规则“长对正、宽相等、高平齐”的原则，还原出原几何体的形状，本题的解答中根据几何体的三视图，得到该几何体为一个三棱锥是解答的难点．16.已知直线l：60x +=与圆2212x y +=交于A 、B 两点，过A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，则||CD = ．【答案】4【解析】试题分析：由题意得，圆心到直线的距离为3d ==，所以AB ==，因为直线:60l x -+=，所以直线l 的倾斜角为30，因为过点A 、B 分别作l 的垂线与x 轴交于C 、D 两点，4=． 考点：直线与圆的位置关系．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的弦长公式，点到直线的距离公式、直线的斜率与直线的倾斜角等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化互化归思想，本题的解答中根据点到直线的距离求得圆心到直线的距离和两点间距离公式得到AB 是解得关键，试题比较基础，属于基础题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.如图，已知E 、F 两点分别是正方形ABCD 边AD 、AB 的中点，EF 交AC 于点M ，GC 垂直于ABCD 所在平面．求证：EF ⊥平面GMC ．【答案】证明见解析．【解析】∵AC GC C =，∴EF ⊥GMC ．考点：直线与平面垂直的判定与证明．18.已知直线l 经过直线3420x y +-=与直线220x y ++=的交点P ，且垂直于直线210x y --=．（1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积S ．【答案】（1）220x y ++=；（2）1．【解析】（2）由直线l 的方程知它在x 轴、y 轴上的截距分别是1-、2-，所以直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积11212S =⨯⨯=． 考点：直线方程的求解及应用．19.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱垂直底面，90ACB ∠=︒，1122AC BC AA ===，点D 是棱1AA 的中点．（1）证明：平面1BDC ⊥平面1BDC ；（2）求三棱锥1C BDC -的体积．【答案】（1）证明见解析；（2）83． 【解析】试题解析：（1）证明：由题设知BC ⊥1CC ，BC ⊥AC ，1ACCC C =，所以BC ⊥平面11ACC A ， 又因为1DC ⊂平面11ACC A ，所以1DC ⊥BC ．因为1145ADC A DC ∠=∠=︒，所以190CDC ∠=︒，即1C D DC ⊥．因为DC BC C =，所以1DC ⊥平面BDC ，又因为1DC ⊂平面1BDC ，所以平面1BDC ⊥平面BDC ．（2）由1122AC BC AA ===，得14AA =，所以2AD =，所以CD ===，所以1Rt CDC ∆的面积142S =⨯=， 所以11111842333C BDC B CDC V V S BC --==⋅=⨯⨯=． 考点：平面与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的计算．20.求与y 轴相切，圆心在直线30x y -=上，且被直线y x =截得的弦长为的圆的方程．【答案】22(3)(1)9x y -+-=或22(3)(1)9x y +++=．【解析】试题分析：设所求圆的方程为222()()x a y b r -+-=（0r >），根据题设条件，列出方程组，求得的,,a b r 的值，即可得到圆的方程．考点：圆的标准方程．21.如图所示，在五面体ABCD EF -中，点O 是矩形ABCD 的对角线的焦点，而△CDE 是等边 三角形，棱//EF BC ，12EF BC =． （1）求证：//FO 平面CDE ；（2）设BC =CD ，求证：EO ⊥平面CDF ．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】试题分析：（1）要证明//FO 平面CDE ，在平面CDE 中，确CD 的中点M ，连接OM ，即可证得//FO EM ，再利用线面平行的判定定理，即可证明结论；（2）证明EO ⊥平面CDF ，只需证明,EO FM CD EO ⊥⊥，即可证明结论．试题解析：证明：（1）取CD 的中点M ，连接OM 、EM ，在矩形ABCD 中，//OM BC ，12OM BC =， 又//EF BC ，12EF BC =，所以//EF OM ，EF OM =， 所以四边形EFOM 为平行四边形，所以//FO EM ．因为FO ⊄平面CDE ，EM ⊂平面CDE ，所以FO //平面CDE ．考点：直线与平面平行的证明；直线与平面垂直的判定与证明．【方法点晴】本题主要考查了直线与平面的位置关系关系的判定与证明，其中解答中涉及到直线与平面平行的判定定理、直线与平面垂直的判定定理，以及平行四边形的性质等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及学生的空间想象能力，其中熟记线面位置关系的判定定理与性质定理是解答此类问题的关键，属于中档试题．22.已知圆22222240x y ax ay a a ++-+-=（04a <≤）的圆心为点C ，直线l ：y x m =+．（1）若4m =，求直线l 被圆C 所截得弦长的最大值；（2）若直线l 是圆心C 下方的切线，当a 在(0,4]上变化时，求m 的取值范围．【答案】（1）；（2）1,8m ⎡∈--⎣． 【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，求的圆心坐标和半径，再求得圆心到直线的距离，由圆的弦长、圆心距和圆的半径之间，利用弦长的关系式，再利用二次函数的性质，即可求解弦长的最大值；（2）由直线与圆相切，建立m 和a=，在由点圆心C 在直线l 的下方，将m 转化为关于a 的二次函数，即可求解m 的取值范围．试题解析：（1）∵22222240x y ax ay a a ++-+-=，∴22()()4x a y a a ++-=，∴圆心为(,)C a a -，半径为r =，设直线l 被圆C 所截得弦长为2t （0t >），圆心C 到直线l 的距离为d ，4m =时，直线l ：40x y -+=，圆心C 到直线l 的距离d =2|a =-，2222(2)t a =--2221282(3)10a a a =-+-=--+，又04a <≤，所以当3a =时，直线l 被圆C 所截得弦长的值最大，其最大值为．考点：直线和圆的方程的应用．【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系及其方程的应用，其中解答中涉及到直线与圆相切构建函数的模型，利用二次函数的性质求解参数的取值范围，以及直线与圆相交，由圆心距、半径和圆的弦长构成成的直角三角形的应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化思想的应用，其中熟记圆的性质和直线与圆的位置关系是解答的关键，试题涉及知识点多，需灵活运用，属于中档试题．：。

山西省晋中市高二上学期数学期中考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）在中，，其面积为，则c等于（）A . 5B .C . 4D . 32. （2分） (2019高二上·上杭期中) 数列的通项公式为，则的第5项是（）A . 13B .C .D . 153. （2分）(2017·北京) 若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A . 1B . 3C . 5D . 94. （2分）设函数是定义在R上的奇函数，且当x0时，单调递减，若数列是等差数列，且，则的值（）A . 恒为负数B . 恒为0C . 恒为正数D . 可正可负5. （2分）在等比数列{an}中，a1 ， a4是方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则a2•a3=（）A . 2B . ﹣2C . 3D . ﹣36. （2分）某高速公路对行驶的各种车辆的速度v的最大限速为120km/h，行驶过程中，同一车道上的车间距d不得小于10m，则可用不等式表示为（）A .B . v≤120（km/h）或d≥10（m）C . v≤120（km/h）D . d≥10（m）7. （2分）已知数列{an}，对任意的n∈N* ，点Pn（n，an）都在直线y=2x+1上，则{an}为（）A . 公差为2的等差数列B . 公差为1的等差数列C . 公差为﹣2的等差数列D . 非等差数列8. （2分）椭圆上一点P到两焦点的距离之积为m，则m取最大值时P点坐标是（）A . (0，3)或(0，－3)B . 或C . (5，0)或(－5，0)D . 或9. （2分） (2016高二上·宁远期中) 在△ABC中，若a2+b2﹣c2＜0，则△ABC是（）A . 钝角三角形B . 直角三角形C . 锐角三角形D . 都有可能10. （2分）已知等比数列{an}的前n项和为Sn ，若S2n=4（a1+a3+a5+…+a2n-1）,a1a2a3=27,则a6=（）A . 27B . 81C . 243D . 72911. （2分）若,则△ABC是（）A . 等腰三角形B . 等腰直角三角形C . 直角三角形D . 等边三角形12. （2分）已知正整数a,b满足4a+b=30，使得取最小值时，则实数对（a,b)是（）A . (5，10）B . （6，6）C . （10，5）D . （7，2）二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分）现有10个数，它们能构成一个以l为首项，﹣3为公比的等比数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则这个数大于8的概率是________．14. （1分）若A={x|x2﹣2x﹣3＞0}，B={x|2x2+（5+2k）x+5k＜0}，且A∩B所含元素中有且只有一个整数﹣2，则实数k的取值范围是________．15. （1分） (2017高二下·高淳期末) 如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50m，∠ACB=45°，∠CAB=105°后，则A，B两点的距离为________ m．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分）(2017·盐城模拟) 设x，y满足，则z=x+y的最大值为________．17. （5分）(2017·辽宁模拟) 在△ABC中，已知内角，边．设内角B=x，△ABC的面积为y．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式和定义域；（Ⅱ）当角B为何值时，△ABC的面积最大．18. （10分）、设0＜a＜1，，（1）求f（x）的表达式，并指出其奇偶性、单调性（不必写出证明过程）；（2）解关于x的不等式：f（ax）+f（﹣2）＞f（2）+f（﹣ax）19. （10分）(2016·淮南模拟) 数列{an}满足a1=1，nan+1=（n+1）an+n（n+1），n∈N* ．（Ⅰ）证明：数列{ }是等差数列；（Ⅱ）设bn=3n• ，求数列{bn}的前n项和Sn ．20. （10分）(2018·吉林模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c ，面积为S ，已知．（Ⅰ）求证：a、b、c成等差数列；（Ⅱ）若，求b ．21. （10分） m为何值时，关于x的方程8x2﹣（m﹣1）x+（m﹣7）=0的两根，（1）为正数；（2）一根大于2，一根小于2．22. （5分）(2017·渝中模拟) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角B的大小；（2）若动点D在△ABC的外接圆上，且点D，B不在AC的同一侧，AC=7，试求△ACD面积的最大值．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共51分) 16-1、17-1、18-1、18-2、19-1、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、。

2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（0，2]B．[0，1]C．（0，1]D．[0，2]2．（5分）若直线与直线l 2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（）A．m⊂β，m⊥αB．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥βD．m∥α，m⊥β4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（）A．0或3 B．3 C．0 D．25．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．17．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．36 B．48 C．288 D．5768．（5分）将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则θ=（）A． B．C．D．9．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．10．（5分）已知f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，则f（x）的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．811．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．54 B．45 C．27 D．8112．（5分）如图，在矩形ABCD中，点G，H分别在边AD，CD上，AG=GD=DH=DC=8，沿直线GH将△DGH翻折成△D1GH，使二面角D1﹣GH﹣D为直角，点E，F分别在线段AB，CH上，沿直线EF将四边形EFCB向上折起，使B与D1重合，则线段CF=（）A．B．C．1 D．2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是．15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=．16．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．18．（12分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．（1）当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上（1）证明：平面BEF⊥平面PAD（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinB=4asinB+5asinA．（1）若，求角C的大小；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．21．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的棱形，且∠DAB=60°，PB=PC，PD=4，E，F分别是AD，PA的中点．（1）证明：AD⊥平面BEF；（2）若二面角P﹣AD﹣B的大小为30°，求点D到平面PBC的距离．2017-2018学年山西省晋中市榆社中学高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合，则A∩B=（）A．（0，2]B．[0，1]C．（0，1]D．[0，2]【解答】解：集合，可得A={x|﹣2≤2x≤2}={x|﹣1≤x≤1}，B={x|2x﹣x2＞0}={x|0＜x＜2}，则A∩B={x|0＜x≤1}=（0，1]．故选：C．2．（5分）若直线与直线l 2的斜率互为相反数，则l2的倾斜角为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【解答】解：直线的斜率为，∵直线与直线l 2的斜率互为相反数，∴直线l 2的斜率．设l2的倾斜角为α（0°≤α＜180°），则tan，得α=60°．故选：B．3．（5分）设m是一条直线，α，β是两个不同的平面，给出下列条件，不能得到α⊥β的是（）A．m⊂β，m⊥αB．m⊂α，m⊥βC．m⊥α，m⊥βD．m∥α，m⊥β【解答】解：对于A，∵m⊥α，m⊂β，∴α⊥β；对于B，∵m⊂α，m⊥β，∴α⊥β；对于C，∵m⊥α，m⊥β，∴α∥β；对于D，∵m∥α，∴存在直线n⊂α，使得m∥n，∵m⊥β，∴n⊥β，又n⊂α，∴α⊥β．故选：C．4．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S5=20，且a2，a3，a7成等比数列，则公差d=（）A．0或3 B．3 C．0 D．2【解答】解：根据题意，等差数列{a n}中，若S5=20，即=5a3=20，则a3=4，又由a2，a3，a7成等比数列，则（a3）2=（a3﹣d）（a3+4d），即16=（4﹣d）（4+4d），解可得d=3或0，故选：A．5．（5分）某高校调查了400名大学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]．则从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：由频率分布直方图得：每周自习时间少于20小时的频率为：0.02×2.5=0.05．∴从这400名大学生中抽出1人，每周自习时间少于20小时的概率为：p=0.05=．故选：D．6．（5分）两圆x2+y2﹣2my+m2﹣1=0和x2+y2﹣4nx+4n2﹣9=0恰有一条公切线，若m∈R，n∈R，且mn≠0，则的最小值为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：由题意可得两圆相内切，两圆的标准方程分别为x2+（y﹣m）2=1，（x﹣2n）2+y2=9，圆心分别为（0，m），（2n，0），半径分别为1和3，故有=2，∴m2+4n2=4，则=（m2+4n2）（）=（8++）≥×（8+2）=4，当且仅当=时，等号成立，∴的最小值为4．故选：A．7．（5分）执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（）A．36 B．48 C．288 D．576【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=1，S=1不满足条件k≥5，S=1，k=2不满足条件k≥5，S=4，k=3不满足条件k≥5，S=36，k=4不满足条件k≥5，S=576，k=5满足条件k≥5，退出循环，输出S的值为576．故选：D．8．（5分）将函数（）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则θ=（）A． B．C．D．【解答】解：将函数（）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）=cos（2x﹣+θ）的图象，若g（x）的图象关于直线对称，则﹣+θ=kπ，k∈Z，即θ=kπ+，k∈Z，令k=﹣1，可得θ=﹣，故选：D．9．（5分）将半径为4 的半圆围成一个圆锥，则该圆锥的内切球的表面积为（）A．B．C．D．【解答】解：半径为4 的半圆围成一个圆锥，如图所示；则该圆锥底面圆的半径r满足2πr=π•4，解得r=2；设圆锥内切球的半径为x，则=tan30°，解得x=rtan30°=2×=，∴内切球的表面积为S=4π•=．故选：B．10．（5分）已知f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，且对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，则f（x）的最大值为（）A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：对∀x，y∈[﹣3，3]满足f（x+y）=f（x）+f（y），若f（1）=﹣2，可得f（1+1）=2f（1）=﹣4，即f（2）=﹣4，f（1）＞f（2），又f（x）是区间[﹣3，3]上的单调函数，即为递减函数，由f（1+2）=f（1）+f（2）=﹣6，即f（3）=﹣6，又f（0+0）=2f（0），可得f（0）=0，则f（3﹣3）=f（3）+f（﹣3）=0，则f（﹣3）=6，可得f（x）在[﹣3，3]的最大值为6．故选：C．11．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．54 B．45 C．27 D．81【解答】解：根据三视图可得该几何体是四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，截取一个三棱锥B﹣A 1B1C1，则该几何体的体积为V==3×3×6﹣=45．故选：B．12．（5分）如图，在矩形ABCD中，点G，H分别在边AD，CD上，AG=GD=DH=DC=8，沿直线GH将△DGH翻折成△D1GH，使二面角D1﹣GH﹣D为直角，点E，F分别在线段AB，CH上，沿直线EF将四边形EFCB向上折起，使B与D1重合，则线段CF=（）A．B．C．1 D．2【解答】解：设CF=x，∵翻折后，B与D′重合，∴BF=D′F，∵AG=GD=DH=DC=8，∠D=90°，∴GH=8，DC=20，HC=12，取GH的中点O，连接OF，∵二面角D1﹣GH﹣D为直角，D′H=D′G，∴D′O⊥GH，∴D′O⊥平面ABCD，在△FHO中，∠OHF=135°，FH=12﹣x，OH=4，由余弦定理可得OF2=OH2+FH2﹣2OH•FH•cos135°=32+（12﹣x）2+8（12﹣x）=x2﹣32x+272，∴D′F2=OF2+D′O2=x2﹣32x+272+32=x2﹣32x+304，∵BF2=BC2+CF2=162+x2=256+x2，∴x2﹣32x+304=256+x2，∴32x=48，解得x=，故选：A．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）点M（0，0，a）到点A（1，0，2）到点B（2，﹣2，1）的距离相等，则a=﹣2．【解答】解：根据题意，|MA|=|MB|，∴=，化简得﹣2a=4，解得a=﹣2．故答案为：﹣2．14．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值是4．【解答】解：作出x，y满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：由于z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则﹣z表示目标函数在y轴上的截距，截距越大，z 越小作直线L：y=2x，然后把直线l向平域平移，由题意可得，直线平移到A时，z 最大由可得A（2，0），此时z=4．故答案为：4．15．（5分）设向量，均为单位向量且夹角为120°，且（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，则λ=2．【解答】解：∵向量，均为单位向量且夹角为120°，∴||=||=1，•=||•||cos120°=1×1×（﹣）=﹣，∵（+2）•（λ﹣λ）=﹣3，∴λ﹣2λ+λ•=λ﹣2λ﹣λ=﹣3，解得λ=2，故答案为：216．（5分）过点A（a，0）作圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=4的一条切线，切点为B，若a∈[﹣8，9]，则△ABC的面积S满足的概率为．【解答】解：如图所示，AB⊥BC，BC=2，AB==，∴△ABC的面积为S=AB×BC=××2=；又，∴≤≤，即，解得，∴﹣1≤a≤0或6≤a≤7；∴所求的概率为P==．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）某公司2016年前三个月的利润（单位：百万元）如表：（1）求利润y关于月份x的线性回归方程；（2）试用（1）中求得的回归方程预测4月和5月的利润；（3）试用（1）中求得的回归方程预测该公司2016年从几月份开始利润超过1000万？相关公式：b=，=﹣．【解答】解：（1）根据题意得，==2，==3.8，，，故利润y关于月份x的线性回归方程是；（2）当x=4时，，故可预测4月的利润为730万；当x=5时，，故可预测5月的利润为905万；（3）由1.75x+0.3=10，解得x≈5.5，故公司2016年从6月份开始利润超过1000万．18．（12分）已知直线m：（a﹣1）x+（2a+3）y﹣a+6=0，n：x﹣2y+3=0．（1）当a=0时，直线l过m与n的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；（2）若坐标原点O到直线m的距离为，判断m与n的位置关系．【解答】解：（1）a=0时，直线m的方程化为：﹣x+3y+6=0，联立，解得，即m与n的交点为（﹣21，﹣9）．当直线l过原点时，直线l的方程为3x﹣7y=0；当直线l不过原点时，设l的方程为，将（﹣21，﹣9）代入得b=﹣12，所以直线l的方程为x﹣y+12=0，故满足条件的直线l方程为3x﹣7y=0或x﹣y+12=0．（2）设原点O到直线m的距离为d，则，解得：或，当时，直线m的方程为x﹣2y﹣5=0，此时m∥n；当时，直线m的方程为2x+y﹣5=0，此时m⊥n．19．（12分）已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，又PD⊥平面ABCD，点E是棱AD的中点，F在棱PC上（1）证明：平面BEF⊥平面PAD（2）试探究F在棱PC何处时使得PA∥平面BEF．【解答】（1）证明：∵底面ABCD是菱形，∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形，∵E是AD的中点，∴BE⊥AD．∵PD⊥平面ABCD，BE⊂平面ABCD，∴PD⊥BE．又AD∩PD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，∴BE⊥平面PAD，又BE⊂平面BEF，∴平面BEF⊥平面PAD．（2）解：连结AC交BE于M，连结FM．∵PA∥平面BEF，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BEF=FM，∴PA∥FM．∴，又△AME∽△CMB，∴．∴．∴F在棱PC靠近P的三等分点时，PA∥平面BEF．20．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知bsinB=4asinB+5asinA．（1）若，求角C的大小；（2）若a=2，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．【解答】解：（1）∵bsinB=4asinB+5asinA，∴5a2+4ab﹣b2=0，∴b=5a．∵，∴．∵C∈（0，π），∴．（2）∵a=2，∴b=10，∴，∴．当C为锐角时，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴，此时△ABC的周长为．当C为钝角时，由余弦定理得，c2=a2+b2﹣2abcosC=，∴，此时△ABC的周长为．21．（12分）已知圆与直线3x﹣4y+15=0相切．（1）若直线l2y=﹣2x+5与圆O交于M，N两点，求|MN|；（2）设圆O与x轴的负半轴的交点为A，过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交圆O于B，C两点，且k1，k2=﹣3，试证明直线BC恒过一定点，并求出该定点的坐标．【解答】解：（1）由题意知，圆心O到直线3x﹣4y+15=0的距离，所以圆O：x2+y2=9．又圆心O到直线l：y=﹣2x+5的距离，所以．证明：（2）由题意A（﹣3，0），设B（x1，y1），C（x2，y2），则直线AB：y=k1（x+3），由，得，所以，即，所以．由k1k2=﹣3得，将代替上面的k1，同理可得，所以，从而直线．即，化简得．所以直线BC恒过一定点，该定点为．22．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是边长为2的棱形，且∠DAB=60°，PB=PC，PD=4，E，F分别是AD，PA的中点．（1）证明：AD⊥平面BEF；（2）若二面角P﹣AD﹣B的大小为30°，求点D到平面PBC的距离．【解答】（1）证明：取BC中点G，连接GD，GP，BD．在△BCD中，BC=CD，∠DCB=∠DAB=60°，所以△BCD为正三角形．又G为BC中点，BC⊥DG．因为PB=PC，所以BC⊥PG．又DG∩PG=G，故BC⊥平面DGP．因为E，F分别是AD，PA的中点，所以EF∥PD，BE∥DG．又BE∩EF=E，所以平面BEF∥平面PDG又AD∥BC，故AD⊥平面BEF．（2）解：因为AD⊥平面BEF，所以AD⊥EF，AD⊥BE，则∠FEB为二面角P﹣AD﹣B的平面角，即∠FEB=30°．因为PD=4，所以EF=2．因为AB=2AE=2，且∠DAB=60°，所以．所以BF=1，且BF⊥BE．因为AD⊥平面BEF，所以AD⊥BF．所以BF⊥平面ABCD，所以三棱锥P﹣BCD的高为2．于是三棱锥P﹣BCD的体积．在△ABF中，BF=1，AB=2，BF⊥AB，所以．则在△ABP中，．所以，于是△PBC的面积．设点D到平面PBC的距离为d，三棱锥P﹣BCD的体积与三棱锥D﹣PBC的体积相等．所以，故．。

山西省晋中市榆社中学2024-2025学年高二上学期11月期中质量检测数学试题一、单选题1．直线:2310l x y -+=和直线:3210m x y +-=的位置关系为（）A ．平行B ．垂直C ．重合D ．相交但不垂直2．已知向量()2,1,3a =- ，()4,2,b x =- ，且a b ⊥，则x 的值为（）A ．103x =B ．12x =C ．103x =-D ．1,x =3．已知点()0,1-在圆22220x y x my +--+=的外部，则实数m 的取值范围为（）A ．()3,-+∞B ．()3,2-C ．()()3,22,--+∞ D ．()2,2-4．两平行直线12240240l x y l x y --=-+=,::之间的距离为（）AB ．3CD ．5．设椭圆2222122:1(1),:14x x C y a C y a +=>=的离心率分别为12,e e ．若21e =，则a =（）AB C D 6．已知向量(2,3,0)a =-，(0,3,4)b =，则向量a在向量b上的投影向量的坐标为（）A ．1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1827,,01313⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．27360,,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．27360,,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭7．经过椭圆2212x y +=的左焦点1F 作倾斜角为60︒的直线l ，直线l 与椭圆相交于A ，B 两点，则线段AB 的长为（）A ．47B C ．2D 8．已知圆22:(6)(7)49C x y ++-=和点(0,4),(0,2)A B -，若点M 在圆C 上，且2||AM +22||BM m =，则实数m 的最小值是（）A ．B ．6C ．-6D ．-二、多选题9．已知直线l ：2310x y -+=，则（）A ．l 不过原点B ．l 的横截距为12C ．l 的斜率为23D ．l 与坐标轴围成的三角形的面积为310．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若1AA ，BC 的中点分别为M ，N ，则（）A ．1MN CC ⊥B ．平面11//A BC 平面1AD CC ．11B ND M⊥D ．点D 到平面1D MN 11．已知椭圆221:195x y C +=，将1C 绕原点O 沿逆时针方向旋转π2得到椭圆2C ，将1C 上所有点的横坐标沿着x 轴方向、纵坐标沿着y 轴方向分别伸长到原来的2倍得到椭圆3C ，动点P ，Q 在1C 上且直线PQ 的斜率为12-，则（）A ．顺次连接12,C C 的四个焦点构成一个正方形B ．3C 的面积为1C 的4倍C ．3C 的方程为2244195x y+=D ．线段PQ 的中点R 始终在直线109y x =上三、填空题12．若方程22164x y m m +=--表示椭圆，则m 的取值范围是．13．写出与圆221x y +=和22(3)(4)16x y -+-=都相切的一条直线的方程．14．已知正四面体ABCD 中，1AB =，M 是BC 的中点，延长DA 至1D ，使得1DA AD =，点N 在线段1AD 上(不包含端点)，则直线AM 与CN 夹角的余弦值的取值范围为.四、解答题15．已知(1,1),(2,2),(5,1)A B C --.(1)求直线BC 的方程;(2)求ABC V 的外接圆的方程.16．已知直线()():231730,l a x a y a a ++-++=∈R .(1)求l 恒过的定点的坐标;(2)若l 经过第一、二、三象限，求实数a 的取值范围.17．如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,4AB AA ==．点2222,,,A B C D 分别在棱111,,AA BB CC ,1DD 上，22221,2,3AA BB DD CC ====．(1)证明：2222B C A D ∥；(2)点P 在棱1BB 上，当二面角222P A C D --为150︒时，求2B P ．18．已知圆()()221225C x y -+-=：，直线()()211740l m x m y m +++--=：.(1)求证：直线l 恒过定点；(2)直线l 被圆C 截得的弦何时最长？何时最短？并求截得的弦长最短时m 的值以及最短弦长.19．给定椭圆E :222210x y a b a b+=>>（），我们称椭圆222222x y a a b b +=为椭圆E 的“伴随椭圆”.已知A ，B 分别是椭圆E 的左、右顶点，C 为椭圆E 的上顶点，等腰ABC V的面积为，且顶角的余弦值为13-(1)椭圆E 的方程；(2)P 是椭圆E 上一点（非顶点），直线AP 与椭圆E 的“伴随椭圆”交于G ，H 两点，直线BP 与椭圆E 的“伴随椭圆”交于M ，N 两点，证明:GH MN +为定值．。