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直线与平面平行的判定公开课

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直线与平面平行的判定公开课ppt课件

直线与平面平行的判定公开课ppt课件

AD
AE AF
上的点，若 EB ，FD则EF与平面BCD的位置关系是
_E_F_/_/_平_面__B_C_D____.
利用平行线定理 证线线平行.
A F
E D
B
C
2.如图，四棱锥A-DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的
中点. 求证: AB//平面DCF.
分析: 连结OF.
A F
一、知识回顾：
空间中直线与平面有几种位置关系？
a
直线在平面内 α
有无数个公共点
直线与平面相交 α
a
.P 有且只有一个公共点
a 直线与平面平行
α
没有公共点
二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？
a
三、实例感受
在门扇的旋转过程中: 直线AB在门框所在的平面外 直线CD在门框所在的平面内 直线AB与CD始终是平行的
因为E，F分别是AB，
E
F D
C
B
AD 的中点,所以EF//BD
因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD
由直线与平面平行的判断定理得:
EF//平面BCD.
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
变式练习
1. 如图，在空间四边形ABCD中，E、F 分别为AB、
AD的中点.
∴EH∥BD且EH= 1 BD
同理GF
2
∥BD且GF=
1 2
BD
EH ∥GF且EH＝GF
H E
D
B
G
∴E、F、G、H四点共面。
F C
（2） AC ∥平面EFGH

直线与平面平行的判定(公开课)

直线与平面平行的判定(公开课)

谢谢各位领导及老师 的 莅 临 ！ ！
1 1 中,底面 ABCD 为正方形,E,F 【例题 2】如图所示 ,在四棱锥 S ABCD
F G 分析:要证1EF∥平面 SAD,只需在平面 SAD 内找到一条平行于 EF 则 FG C 的直线即可 ,又 2 ECD ,F 分别为 AB,SC 的中点,故可以考虑作辅助线 ,构造平 D 行四边形,从而找到平行于 EF 1 并且在平面 SAD 内的直线. 又∵ CD AB, AE AB 【例题 2】如图所示,在四棱锥 ABCD 为正方形,E,F 2 S ABCD 中,底面A E B ∴ FG AE 分别为 AB,SC 的中点 .求证:EF∥平面 SAD.
证明：取SD中点G，连接GF、AG，
故四边形 AEFG 为平行四边形, 所以 EF∥AG. 故四边形 为平行四边形 , 所以SAD EF∥ AG. 分析:要证AEFG EF∥平面 SAD,只需在平面 内找到一条平行于 EF 的直线即可,又 E,F 分别为 AB,SC 的中点,故可以考虑作辅助线,构造平 又 AG ⫋ 平面 SAD, EF⊈ 平面 SAD,所以 EF ∥平面 .SAD. 行四边形 , 从而找到平行于 EF 并且在平面 SAD 内的直线 又 AG⫋ 平面 SAD, EF⊈ 平面 SAD,所以 EF∥平面 SAD.
E
F

B
C
∵ EF ⊈ 平面 BCD , BD 平面 BCD AD, EF 平面 SAD ,所以 EF ∥ 平面 S 又 AG ⫋ 平面 SAD, EF⊈ 平面 SAD ,所以 E
证明:如图所示,题型二 作 FG∥证明直线与平面平行 DC 交 SD 于点 G, 连接 AG, 则 G 为 SD 证明:如图所示, 作 FG∥DC 交 SD 于点 G, 连接 AG, 则 G 为 SD 的中点, FG������2CD. 又 CD������AB, AE=2AB, 所以 FG������AE. 1 1 S 的中点 , FG CD. 又 CD ������ AB , AE= AB , 所以 FG ������AE. 分别为 AB������ ,SC 的中点 . 求证 : EF ∥平面 SAD. 2 2

2024年度直线与平面平行的判定优质课一等奖ppt课件

2024年度直线与平面平行的判定优质课一等奖ppt课件

直线与平面平行的判定优质课一等奖ppt课件CATALOGUE 目录•引言•直线与平面平行的基本概念•直线与平面平行的判定定理•直线与平面平行的性质•直线与平面平行的应用举例•课程总结与拓展01引言课程背景与目标课程背景解析几何是高中数学的重要分支，直线与平面的位置关系是其中的核心内容。

掌握直线与平面平行的判定方法，对于理解空间几何的基本概念和解决相关问题具有重要意义。

课程目标通过本课的学习，使学生掌握直线与平面平行的判定定理及其证明方法，能够运用所学知识解决相关问题，提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。

教学内容直线与平面平行的定义及性质直线与平面平行的判定定理及其证明•运用直线与平面平行的判定定理解决相关问题教学安排引入新课，介绍课程背景与目标讲解直线与平面平行的定义及性质推导直线与平面平行的判定定理并证明通过例题和练习题，巩固所学知识课堂小结，回顾本课重点内容布置作业，要求学生完成相关练习0102030402直线与平面平行的基本概念一般式点斜式两点式斜截式直线的表示方法01020304Ax + By + C = 0（A 、B 不同时为0）y -y1 = k(x -x1)(y -y1) / (y2 -y1) = (x -x1)/ (x2 -x1)y = kx + bAx +By +Cz +D =0（A 、B 、C 不同时为0）一般式点法式三点式n ·(r -r0)=0，其中n 为平面法向量，r0为平面上一点通过不共线的三点确定一个平面030201平面的表示方法直线与平面无公共点直线上的任意一点到平面的距离都相等直线的方向向量与平面的法向量垂直直线与平面平行的定义03直线与平面平行的判定定理若一直线与一平面平行，则该直线与该平面内任意一条直线的斜率相等。

定义通过求解直线的斜率，并与平面内一条已知直线的斜率进行比较，若相等，则两直线平行。

判定方法已知直线$l$的斜率为$k$，平面$alpha$内一条直线$m$的斜率也为$k$，则直线$l$与平面$alpha$平行。

直线与平面平行的判定 公开课讲义教案

直线与平面平行的判定 公开课讲义教案

直线与平面平行的判定公开课讲义教案一、教案简介本公开课讲义教案旨在帮助学生正确判断直线与平面是否平行的方法。

通过本课的学习，学生将掌握基本的直线与平面的概念，并能够灵活运用这些概念来判断直线与平面的平行关系。

二、教学目标1. 了解直线与平面的基本概念；2. 掌握直线与平面平行的判定方法；3. 能够独立运用所学知识判断直线与平面的平行关系；4. 培养学生的逻辑思维和推理能力。

三、教学内容1. 直线与平面的定义及性质；2. 直线与平面平行的判定方法；3. 直线与平面平行关系的应用。

四、教学流程（一）引入1. 利用实物或图片，向学生展示一条直线和一个平面，并向学生提问：如何判断这条直线和平面是否平行？引发学生思考。

2. 学生回答后，教师逐步引导，最终引出本节课的主题：直线与平面的平行判定。

（二）示例讲解1. 教师通过实例向学生讲解如何判断直线与平面的平行关系。

2. 首先，教师引导学生回忆直线的定义，并解释直线的特点，如没有宽度、可以延伸无限等。

3. 其次，教师引导学生回忆平面的定义，并解释平面的特点，如无限延伸、没有边界等。

4. 接下来，教师将示例问题投射到黑板或PPT上，由学生与教师一同解决。

示例问题：判断直线AB是否与平面P平行。

英文提示：Line AB // Plane P5. 教师通过操纵图形或用笔在黑板上进行推导，展示判断直线与平面平行的步骤与方法。

6. 鼓励学生积极参与讨论与推理，以培养其逻辑思维和推理能力。

（三）知识点讲解1. 教师对直线与平面的平行关系进行详细讲解，包括直线与平面平行的定义和特点。

2. 教师通过图示和例题，帮助学生理解和掌握直线与平面平行的判定方法。

3. 教师强调直线与平面平行关系的重要性，并指出该知识在几何问题中的广泛应用。

（四）练习与巩固1. 教师出示若干道练习题，要求学生利用所学知识判断直线与平面的平行关系。

2. 学生独立完成练习，教师给予指导和点评。

3. 随机抽查学生回答，鼓励同学互相讨论与解答。

直线与平面平行的判定(公开课课件)

直线与平面平行的判定(公开课课件)
02
当直线不在平面内时，它与平面 平行；当直线在平面内时，它与 平面重合。
直线与平面平行的图形表示
在几何图形中，直线与平面平行通常 用平行线表示，即直线与平面内任意 一条直线不相交。
也可以通过斜线和平行四边形的形式 来表示直线与平面平行。
直线与平面平行的性质
直线与平面平行时， 直线与平面内的任意 一条直线都不相交。
已知直线$l$与平面$alpha$平行，判断 下列结论是否正确
1. 若直线$m$与直线$l$相交，则直线 $m$与平面$alpha$平行。
综合练习题
要点一
总结词
考察综合运用能力和推理能力
要点二
已知平面$beta$经过点 $P(1,2,3)$，且与…
x = -1, y = 2, z = 3$平行，求平面$beta$的方程。
在建筑设计、机械制造等领域中，可 以利用该定理进行空间位置关系的判 断，以确保结构的稳定性和安全性。
03
直线与平面平行判定定理 的证明
证明直线与平面平行的判定定理的思路
引入直线与平面平行的判定定理
如果一条直线与平面平行，那么这条直线上的任意一点到平面的距离都相等。
证明思路
通过反证法，假设直线与平面不平行，然后推导出矛盾，从而证明定理的正确 性。
应用实例三：判断某直线是否与某平面平行
总结词
根据已知直线和平面的方程，判断该 直线是否与平面平行。
详细描述
首先，确定已知直线和平面的方程， 然后通过联立方程组判断直线是否与 平面平行。如果联立方程组无解，则 直线与平面平行；如果有解，则直线 与平面相交。
05
练习题
基础练习题
总结词：考察基础概念和 性质的理解
04

直线与平面平行的判定公开课2024新版

直线与平面平行的判定公开课2024新版

空间向量的基本概念
掌握空间向量的基本概念，如向量的模、向量的 夹角等。
直线与平面位置关系的初步知识
了解直线与平面平行、相交和垂直等位置关系的 基本概念。
02
直线与平面平行定义及性质
直线与平面平行定义
直线与平面无公共点
若一直线与一平面没有交点，则称该 直线与该平面平行。
投影性质
直线在平面上的投影为一点或一条直 线，若投影为一点，则直线与平面平 行。
直接从方程出发，逻辑严密。
缺点
计算可能较为复杂，需要掌握方程联立求解的技巧。
两种方法比较与选择
80%
适用场景
向量法适用于空间思维较强、对 向量运算熟悉的学生；平面方程 法适用于对代数运算较为熟练的 学生。
100%
计算效率
向量法通常计算量较小，效率较 高；平面方程法可能涉及复杂的 代数运算，效率相对较低。
教师点评和总结
针对学生的自主练习情况，进 行及时的点评和反馈，指出学 生在解题过程中的优点和不足 ，并提供改进建议。
对学生的互动环节进行总结和 评价，肯定学生的积极参与和 合作精神，同时指出需要改进 的地方。
结合本节课的教学目标和学生 的实际情况，对直线与平面平 行的判定方法进行归纳和总结 ，帮助学生形成完整的知识体 系。
学生互动环节安排
分组讨论
将学生分成若干小组，每组围 绕一个与直线与平面平行判定 相关的问题或案例进行讨论， 分享各自的观点和解题思路。
互动问答
鼓励学生提出问题或发表观点 ，其他学生或老师可对其进行 回应或补充，形成积极的课堂 互动氛围。
学生展示
邀请学生上台展示他们的解题 过程或思路，其他同学可对其 进行点评或提问，以增强学生 的参与感和自信心。

直线与平面平行的判定定理公开课


01
03
如果$k_1 = k_2$，则$vec{AB} = vec{CD}$，即直线 $L$上的点$A$、$B$与平面$alpha$内的点$C$、
$D$构成平行四边形，因此直线$L$与平面$alpha$平 行。
04
由于$vec{n}$是非零向量，因此$vec{n}^2 neq 0$。 又因为$k_1$和$k_2$是实数，所以$(k_1 - k_2) vec{n}^2 = 0$当且仅当$k_1 = k_2$。
03
思维方式的转变与提升
通过学习直线与平面平行的判定定理，不仅掌握了相关知识和技能，更
重要的是转变了思维方式，提升了分析问题和解决问题的能力。
拓展思考方向
探究直线与平面平行与其他几何概念的联系
可以进一步探究直线与平面平行与垂直、相交等几何概念之间的联系和区别，加深对几 何知识的理解和应用。
拓展判定定理的应用范围
在直线$l$上任取一点$P$，作过点$P$的平面$gamma$与平面$alpha$ 交于直线$a$，与平面$beta$交于直线$b$。
由于$alpha parallel beta$，根据平面与平面平行的性质定理，可得$a parallel b$。
证明过程
因为$l parallel alpha$，所以点$P$到直线$a$的距离等于点$P$到平面$alpha$的 距离。同理，点$P$到直线$b$的距离等于点$P$到平面$beta$的距离。
。
利用已知条件
根据题目给出的已知条件，如直线 与平面的法线关系、直线与平面内 直线的位置关系等，进行推理和判 断。
应用判定定理
根据直线与平面平行的判定定理， 结合已知条件和观察结果，进行综 合应用，得出最终结论。
案例分析一

直线与平面平行的判定定理(公开课)ppt课件

若两向量的点积为零，则 它们垂直。
应用
通过计算直线方向向量与 平面法向量的点积，可以 判断直线与平面是否平行 。
判定定理三：法向量垂直
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的法向量与该平 面的法向量平行。
推论
若两向量平行，则它们的 分量成比例。
应用
通过比较直线法向量与平 面法向量的分量比例，可 以判断直线与平面是否平 行。
直线与平面平行的定义
阐述直线与平面平行的基本概念，为后续判定定理 的引入做铺垫。
判定定理的重要性
说明直线与平面平行判定定理在几何学中的地位和 作用，以及在实际应用中的价值。
教学目标
80%
知识与技能
掌握直线与平面平行的判定定理 及其证明方法，理解相关概念， 能够运用所学知识解决相关问题 。
100%
过程与方法
应用举例二：判断两平面是否平行
方法一
利用平行平面的性质，通过证明一个 平面内有两条相交直线分别与另一个 平面平行，从而判定两个平面平行。
方法二
利用向量法，通过计算两个平面的法 向量是否共线，从而判定两个平面是 否平行。
应用举例三：解决实际问题中的平行问题
1 2
实例一
在建筑设计中，利用直线与平面平行的性质，确 保建筑物的立面、地面等各部分保持平行，以达 到美观和稳定的效果。
定义
应用
若一直线与一平面平行，则该直线与 该平面内任意一条直线的斜率相等。
通过比较直线与平面内某一直线的斜 率，可以判断直线与平面是否平行。
推论
若两直线的斜率相等，则它们或者平 行或者重合。
判定定理二：方向向量平行
01
02
03
定义
若一直线与一平面平行， 则该直线的方向向量与该 平面的法向量垂直。

直线与平面平行的判定(公开课课件)

反证法
假设直线与平面不平行，则该直线与平面内至少有一条直线相交，这与已知条件 矛盾。
03
直线与平面平行判定定 理的应用
利用直线与平面平行判定定理求直线方程
已知平面内一条直线和平面外一条直线平行，求平面内这条 直线的方程。
解题思路：首先确定平面内直线的方向向量，然后利用直线 与平面平行的判定定理，将平面外直线的方向向量与平面内 直线的方向向量平行，从而得到平面内这条直线的方程。
利用直线与平面平行判定定理求平面方程
已知平面内两条平行直线和平面外一条直线，求平面的方 程。
解题思路：首先确定平面内两条平行直线的方向向量，然 后利用直线与平面平行的判定定理，将平面外直线的方向 向量与平面内两条平行直线的方向向量都平行，从而得到 平面的法向量，进一步得到平面的方程。
利用直线与平面平行判定定理解决实际问题
01
02
03
04
设直线l的方向向量为a，平面 α的法向量为b。
如果a与b不垂直，则l与α不 平行。
如果a与b垂直，则l与α平行 。
因此，利用向量法可以通过判 断直线l的方向向量与平面α的 法向量是否垂直来判断l与α是
否平行。
利用空间几何性质证明直线与平面平行
如果a与b不垂直，则l与α不平行。
因此，利用空间几何性质可以通过判断直线l的方向 向量与平面α的法向量是否垂直来判断l与α是否平行
例如：在建筑设计中，为了确保建筑物的采光和通风效果，需要确定建筑物的窗 户和通风口的朝向。这时可以利用直线与平面平行的判定定理，通过分析建筑物 墙面和平行光线的方向向量之间的关系，来确定窗户和通风口的最佳朝向。
另外，在机械设计中，为了确保机械零件的顺利运转，也需要利用直线与平面平 行的判定定理来分析机械零件的运转轨迹和润滑油平面的平行关系。

2023直线与平面平行的判定公开课标准课件


高维空间中的平行关系在数据分析、 机器学习等领域有着广泛的应用。例 如，在支持向量机（SVM）算法中， 寻找最优超平面进行分类时就需要考 虑高维空间中的平行关系。此外，在 数据降维、特征提取等方面也会涉及 到高维空间中的平行关系。
THANKS
谢谢
02
CHAPTER
直线与平面平行基本概念
直线与平面定义及性质
直线定义
直线是由无数个点构成，两点确 定一条直线，且直线是向两方无
限延伸的。
平面定义
平面是二维空间中，由三个不在同 一直线上的点确定的一个无限延展 的面。
直线与平面的性质
直线要么与平面相交于一点，要么 与平面平行，没有第三种情况。
平行直线与平面判定定理
解析
计算方向向量 a 和法 向量 n 的点积，a · n = 1*2 + 2*(-1) + 3*2 = 6 ≠ 0，因此直线 l 与平面 π 不平行。
例题2
已知直线 m 的方程为 (x - 1)/2 = (y - 2)/3 = (z - 3)/4，平面 σ 的方 程为 x + y + z = 0， 判断直线 m 与平面 σ
注意事项和易错点分析
注意事项
在使用综合法判定直线与平面平行时，需要注意观察图形的特点，正确选择和 使用平行线的性质进行证明。同时，在证明过程中要保持逻辑严密、推理准确 。
易错点分析
常见的错误包括未能正确理解平行线的性质、未能正确构造平行线或平行面以 及逻辑推理不严密等。为了避免这些错误，需要加强对平行线性质的理解和应 用能力，提高逻辑推理的准确性和严密性。
工程测量中平行关系应用
工程测量中的平行线
在工程测量中，经常需要测量两条直线之间的距离和角度，进而判断它们是否平 行。例如，在道路建设中，需要测量两条道路之间的距离和角度，以判断它们是 否平行。
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ABC D 中， （1）与AB平行的平面是 平面 ABCD 平面 CCDD ； （2）与 AA平行的平面是平面 BBCC 平面 CCDD ； （3）与AD平行的平面是 平面 ABCD 平面 BBCC ；
D A B
2.2.1直线和平面平行的判定
高一数学备课组
一、知识回顾：
空间中直线与平面有几种位置关系？
直线在平面内
α α
a
有无数个公共点 a
直线与平面相交
.P
a
有且只有一个公共点
直线与平面平行
α
没有公共点
二、引入新课
怎样判定直线与平面平行呢？
a

三、实例感受
C
D
A
B
在门扇的旋转过程中:
直线AB在门框所在的平面外 直线CD在门框所在的平面内 直线AB与CD始终是平行的
D1 C1 P D A B1 C
A1
B
知识小结
1．证明直线与平面平行的方法：
（1）利用定义.直线与平面没有公共点（反证法） （2）利用判定定理． 线线平行 线面平行
2．数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
求证： a∥α 证明：∵a∥b,
β a
α
b
∴经过a , b确定一个平面β ∵ a ，而 a ，
p
∴α与β是两个不同的平面 ∵b ，b 。∴ =b 下面用反证法证明a与α没有公共点.
假设a与α有公共点P，则P∈α，
α∩β=b，点P是a，b的公共点，这与 a∥b矛盾,∴ a∥α
将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面 边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置 关系？
A C B D
在封面翻动过程中: 直线AB在桌面所在的平面外
直线CD在桌面所在的平面内 直线AB与CD始终是平行的
四、操作确认
下图中的直线 a 与平面α平行吗？ a

b
如果平面 内有直线 b 与直线 a平行，那么直线 a 与平面 的位置关系如何？ 是否可以保证直线 a 与平面 平行？
A E B F H D G C
随堂练习
在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为平行四边 形，Ｎ为PB 的中点，E为AD中点。 P 求证：EN//平面PDC
M D E A N B C
思考交流：
如图，正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，P 是棱 A 1B 1 的中点，过点 P 画一条直线使之与截面 A1BCD1 平行.
注意：证明直线与平面平行，三个条件必须具备， 才能得到线面平行的结论． 直线与平面的平行关系 直线与直线平行关系
空间问题
平面问题
定理细究
（1）若a , a // b, 则a // （2）若a , b , 则a // （3）若b , a // b, 则a //
小结：在平面内找(作)一条直线与平面外的直线平行时可以通过 三角形的中位线、梯形的中位线、平行线的性质等来完成。
变式练习 1. 如图，在空间四边形ABCD中，E、F
EB FD
分别为AB、AD
上的点，若 AE AF ，则EF与平面BCD的位置关系是
EF//平面BCD ______________.
判断下列命题是否正确,为什么？
a a b a bb
α
直线与平面平行判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行．
a

b
a b a // a // b
聪明的你能对该定理给出自己的证明 吗？
已知：a , b ，a∥b
C
D A B
C
典型例题
例1 已知：空间四边形ABCD 中，E，F 分别是AB， AD 的中点。 A
求证：EF//平面BCD．
E D B
F C
分析：EF在面BCD外，要证明EF∥面BCD，只要 证明EF和面BCD内一条直线平行即可。EF和面 BCD哪一条直线平行呢？连接BD立刻就清楚了。
例1 已知：空间四边形ABCD 中，E，F分别是 A AB，AD 的中点． 求证：EF//平面BCD． E F D 证明：连接BD. C B 因为E，F分别是AB， AD 的中点,所以EF//BD 因为 EF 平面BCD, BD 平面BCD 由直线与平面平行的判断定理得: EF//平面BCD.
A
利用平行线定理 证线线平行.
E
F D
B
C
2.如图，四棱锥A-DBCE中，O为底面
正方形DBCE对角线的交点，F为AE的 中点. 求证: AB//平面DCF. A 分析: 连结OF. F
D
B
E
O
C
例2 如图，四面体ABCD中，E，F，G，H分别是AB， BC，CD，AD的中点. (1)E、F、G、H四点是否共面？ (2)试判断AC与平面EFGH的位置关系； (3)你能说出图中满足线面平行位置 关系的所有情况吗？ E H D A
平面 外有直线
a 平行于平面 内的直线 b ．
共面
（1）这两条直线共面吗？ （2）直线
a 与平面 相交吗？
a
b
不相交

五、规律总结 直线与平面平行判定定理
如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行， 那么该直线与此平面平行．（线线平行 线面平行）
a

b
a b a // a // b
B
F
G C
解：(1)E、F、G、H四点共面。 ∵在△ABD中，E、H分别是AB、AD 的中点.
1 EH= BD ∴EH∥BD且 2
A
E
H D
同理GF
1 GF= BD ∥BD且 2
EH ∥GF且EH＝GF ∴E、F、G、H四点共面。 （2） AC ∥平面EFGH
B F
G C
（3）由EF ∥HG ∥AC，得 EF ∥平面ACD AC ∥平面EFGH HG ∥平面ABC 由BD ∥EH ∥FG，得 BD∥平面EFGH EH ∥平面BCD FG ∥平面ABD