优选数学必修五基本不等式市公开课一等奖Ppt

第六章 不等式、推理与证明
[知识能否忆起] 1．实数大小顺序与运算性质之间旳关系 a－b＞0⇔ a＞b；a－b＝0⇔a＝b ；a－b＜0⇔ a＜b .
2．不等式旳基本性质
性质
性质内容
注意
对称性 a>b⇔ b<a
⇔
传递性 a>b，b>c⇒a>c
⇒
可加性 a>b⇒ a＋c>b＋c
⇒
可乘性
a>b⇒ ac>bc c>0 a>b⇒ ac<bc c<0
∴ad＜bc，故①错误． ∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，
∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，
∴a(－c)＞(－b)(－d)，
∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋cdbd＜0， 故②正确． ∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)， a－c＞b－d，故③正确． ∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)， 故④正确，故选C. [答案] (1)A (2)C
＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误；③中，因为b＜a＜0，即0
＞a＞b，又因为
1 a
＜ 1b ＜0，所以a－ 1a ＞b－
1 b
，故③正确；
④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为单调减函
数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域上为增函数，所以
ln b2＞ln a2，故④错误． [答案] C
答案： ②③
1.使用不等式性质时应注意旳问题： 在使用不等式时，一定要搞清它们成立旳前提条件．不 可强化或弱化成立旳条件．如“同向不等式”才可相加，“同 向且两边同正旳不等式”才可相乘；可乘性中“c旳符号”等也 需要注意． 2．作差法是比较两数(式)大小旳常用措施，也是证明 不等式旳基本措施．要注意强化化归意识，同步注意函数 性质在比较大小中旳作用．

(1)求 m 的值； (2)求证：an24＋pb42＋qc24≥2.
解析：(1)f(x)＝|x－2|＋|x－4|≥|(x－2)－(x－4)|＝2， 当且仅当 2≤x≤4 时，等号成立，故 m＝2. (2)证明：[(na2)2＋(pb2)2＋(qc2)2]·(a2＋b2＋c2)
≥(na2·a＋pb2·b＋qc2·c)2， 即(na42＋pb42＋qc24)×2≥(n2＋p2＋q2)2＝4， 故na42＋pb42＋qc24≥2.
值为 3 2.
探究六：应用柯西不等式证明不等式
例6 设 a1，a2，a3 均为正数，且 a1＋a2＋a3＝m，
求证：a11＋a12＋a13m9 .
【变式】 (2012·江苏省南京市、盐城市第一次模拟)已知 x， y，z 均为正数．求证：
33(1x＋1y＋1z)≤ x12＋y12＋z12. 证明：由柯西不等式得，
a2b＝ab， 即 a＝b＝4 2时取等号.
探究四：基本不等式的综合应用
[例 4] 已知 x>0、y>0，x、a、b、y 成等差数列，x、c、d、
y 成等比数列，则a＋cdb2的最小值是(
)
A．0
B．1
C．2
D．4
解析：由等差、等比数列的性质得 a＋cdb2＝x＋xyy2＝xy＋yx＋2 ≥2 yx·yx＋2＝4.仅当 x＝y 时取等号．
a2＋2 b2≥a＋2 b≥ ab≥1a＋2 1b(a、b∈R＋)．
3.柯西不等式
(1)二维形式的柯西不等式 (a2 b2 )(c2 d 2 ) (ac bd )2(a, b, c, d R) 当且仅当ad bc时,等号成立. (2) a2 b2 c2 d 2 ac bd (3) a2 b2 c2 d 2 ac bd

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讲授新课
例1. (1)用篱笆围成一个面积为100m2 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，所用篱笆最短，最短篱笆 是多少？
(2)一段长为36m篱笆围成一个 矩形菜园，问这个矩形长、宽各为 多少时，菜园面积最大.最大面积 是多少？
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讲授新课
例2. 某工厂要建造一个长方形无盖贮水 池，其容积为4800m3，深为3m.假如池 底每平方米造价为150元，池壁每平 方米造价为120元，怎样设计能使总 造价最低？最低总造价是多少？
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解法1：设流出的水中杂质的质量分数为y， 得y k (k 0), ab 又2 2b 2ab 2a 60(a 0, b 0),
k
k
y ab 30a a2
2a
又 30a a2 34 (a 2 64 ) 18.
2a
a2
由a 2 64 得a 6,则b 3. a2
积必须有一个为定值； (3)函数解析式中，含变数各项均相等，
取得最值. 即用均值不等式求一些函数最值时，
应具备三个条件：一正二定三取等.
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课后作业
1. 教材P101； 2.《导学案》
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值；
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讲授新课
归纳: 用均值不等式处理这类问题时，应按以下 步骤进行： (1)先了解题意，设变量，设变量时普通把
要求最大值或最小值变量定为函数； (2)建立对应函数关系式，把实际问题抽
象为函数最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数最大值或最小
值； (4)正确写出答案.
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讲授新课
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复习引入
小结:
1. 两个正数和为定值时，它们积有最 大值，即若a，b∈R＋，且a＋b＝M，M为 定值，则ab≤ ，等号当且仅当a＝b时 成立.

解：因为 2a2＋1>0，b2＋2>0，y＝(2a2＋1)(b2＋2)， 所以 12y＝ 32a2＋1·4b2＋2≤6a2＋3＋2 4b2＋8. 因为 3a2＋2b2＝5，所以 6a2＋4b2＝10. 所以 12y≤221，可得 y≤743 所以 y 的最大值为11467.
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方法点评：本题是根据约束条件 3a2＋2b2＝5 进 行凑配的，为了利用它，我们转化成求 12y的最大值， 并将根号内含有 a2 与 b2 的项的系数变为 6 与 4.
题型一 一元二次不等式解法
解一元二次不等式一定要注意，二次函数、二次 方程、二次不等式之间关系，二次函数图象与x轴交点 横坐标就是一元二次方程根，二次函数图象在x轴上方， 表示函数值大于0，这时x范围就是不等式ax2＋bx＋ c>0解集；二次函数图象在x轴下方，表示函数值小于0， 这时x范围就是ax2＋bx＋c<0解，解不等式是应该把二 次函数图象画出来，用数形结合思想方法解题．
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解：设 A、B 两种金属板各取 x 张、y 张，用料面
3x＋6y≥45， 积为 z 则约束条件为5x＋6y≥55，
x，y∈N.
目标函数 z＝2x
＋3y.作出以上不等式组表示的可行域，如图所示．
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作直线l：2x＋3y＝0，把直线向右上方平移， 当直线经过可行域上的点 M 时，z＝2x＋3y 取 得 最 小 值 ， 由53xx＋＋66yy＝＝5455 得 M 点 坐 标 为 (5,5)．此时，zmin＝2×5＋3×5＝25. 答：两种金属板各取5张时，用料面积最省．
应用基本不等式求最大(小)值，关键在于“一正 二定三相等”．也就是：(1)一正：各项必须为正．(2) 二定：要求积最大值，则其和必须是定值；要求和 最小值，则其积必须是定值．(3)三相等：必须验证 等号是否成立．