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【内封面】南通大学毕业论文摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，它的应用极其广泛。
本文讨论了数学归纳法的原理，以数学归纳法原理为基础，在不同条件下对数学归纳法原理进行变易，扩大数学归纳法的应用范围。
并对数学归纳法的分类、应用进行总结，给出数学归纳法在初等代数、高等代数中的应用典例。
关键字：数学归纳法、原理、变易、应用。
ABSTRACTMathematical induction is a common method of proof, and its applications is very broad. This article discusses the principle of mathematical induction, promotes the principle of mathematical induction under different conditions, and expands the range of applications induction on the basis of the principle. It summarizes the classification and application of mathematical induction. Typical examples of applications of mathematical induction are given in elementary algebra and advanced algebra.Key words: Mathematical induction,Principle,Variation,Application目录摘要 (I)ABSTRACT.................................................................................................... I I1.引言 (1)2.数学归纳法原理及变易 (1)2.1数学归纳法的本原 (3)2.2数学归纳法原理 (3)2.3数学归纳法原理变易 (4)3．数学归纳法的表现形式 (6)3.1 第一数学归纳法 (6)3.2 第二数学归纳法 (6)3.3 跳跃归纳法 (7)3.4 双向归纳法 (8)3.5 反向归纳法 (8)4.数学归纳法的应用 (10)4.1数学归纳法在初等代数中的典型应用 (10)4.1.1 证明恒等式 (10)4.1.2 证明不等式 (12)4.1.3 证明整除问题 (12)4.1.4 证明几何问题 (12)4.2 数学归纳法在高等数学中的应用 (13)4.2.1 数学归纳法证明德摩根定律推广式 (13)4.2.2 数学归纳法证明行列式 (14)5.结论 (16)参考文献 (17)致谢......................................................................... 错误!未定义书签。
数学归纳法的发展及其在数学中的应用摘要：在数学论证中，数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，对于某些结论是自然数的函数命题，往往都可以通过数学归纳法来加以证明。
本文叙述了数学归纳法名称的发展，数学归纳法内容的发展，并分别从良序原理、数学归纳法、第二数学归纳法、数学归纳法的有效性这四个方面对数学归纳法的原理做了介绍，都有相关的例子，能帮助读者深入的理解数学归纳法的原理。
本文也列举了几种常见的数学归纳法的形式，如第一数学归纳法、第二数学归纳法、倒推归纳法、螺旋式归纳法。
在了解数学归纳在数学中的应用后，本文重点叙述了数学归纳法在证明恒等式、证明不等式、证明整除问题、证明几何问题、探索与正整数有关的问题中的具体应用过程。
通过本文，能使读者更加深入的了解数学归纳法，并且能更好的运用数学归纳法解决数学学科中的一些问题。
关键词：数学归纳法发展原理应用一、数学归纳法的发展（一）数学归纳法名称的发展“数学归纳法”名称是由英国数学家创立, 并由英国教科书作者普遍采用推广。
在名称上迈出重要一步的是英国数学家德摩根。
1838年在伦敦出版的《小百科全书》中，德摩根在他的条目“归纳法里建议使用“逐收归纳法”。
但在该条目的最后他偶然地使用了术语数学归纳法，这是我们所能看到这一术语的最早使用。
无论是毛罗利科还是帕斯卡，也无论是伯努利还是其后的数学家们，虽然都在不断地使用数学归纳法，但在很长的时期内并授有给他们的方法以任何名称。
只是由于沃利斯以及雅各布·伯努利的工作，才引进了“归纳法”这一名称。
并在两种截然不同的意义上应用于数学：(1)以特此获得一般结论的沃利斯方式(2)指定的步骤论证，并且影响了其后的数学家们，使这种混用状态大约持续了140年。
到l9世纪上半叶，英国的数学家皮科克在他的《代数学》的排列与组合部分，谈到梅成的规律用归纳法延伸到任意数，是从预攫 f 意义上以沃利斯方式使用归纳法的。
后来，他又将从“到R+1的论证称之为证明归纳法。
数学归纳法的应用数学归纳法是一种证明数学命题的重要方法，通过数学归纳法可以从一个基础情形开始，逐步推导出所有情形成立的结论。
它在许多数学领域中都有广泛的应用，包括代数、数论、组合数学等等。
本文将详细探讨数学归纳法在各个领域中的应用。
一、代数中的数学归纳法应用在代数中，数学归纳法可以用来证明各类等式和不等式的成立。
以证明等差数列的和公式为例，首先我们可以选取一个基础情形，例如当n=1时，等差数列的和为首项本身。
接着我们假设当n=k时，等差数列的和成立，即1+2+...+k=k(k+1)/2。
然后我们通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，等差数列的和也成立。
具体的证明步骤可以通过化简等式得到。
这样，我们就可以得出等差数列和公式的普遍成立性。
二、数论中的数学归纳法应用在数论中，数学归纳法常被用来证明自然数的一些性质。
例如，我们可以用数学归纳法证明任意自然数的平方和公式。
首先我们取n=1时，平方和为1。
然后我们假设当n=k时，平方和公式成立，即1²+2²+...+k²=k(k+1)(2k+1)/6。
接着我们通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，平方和公式也成立。
具体的证明过程可以通过算术运算得到，最终得到平方和公式的普遍成立性。
三、组合数学中的数学归纳法应用在组合数学中，数学归纳法被广泛应用于证明一些组合恒等式和性质。
以证明组合恒等式的成立为例，我们可以选取一个基础情形，例如当n=1时，组合恒等式左右两边相等。
接着我们假设当n=k时，组合恒等式成立。
然后通过数学归纳法的步骤，证明当n=k+1时，组合恒等式也成立。
具体的证明过程可以通过组合恒等式的性质得到，最终得到组合恒等式的普遍成立性。
综上所述，数学归纳法作为一种重要的数学证明方法，在代数、数论、组合数学等领域中都有广泛的应用。
通过选取基础情形，并假设递推情形成立，再通过数学归纳法的步骤推导出结论，我们可以得出很多数学命题的成立性。
+14 28 4 · ·高二第二次阶段测试化学试卷12、21班级 姓名 学号可能用到的相对原子质量：H —1 O —16 Na-23 Cl —35.5Mn-55 Ag-108一、选择题（每题只有1个选项符合题意。
本大题共23题，每题3分,共69分)1．现代社会提倡低碳生活。
下列燃料能实现二氧化碳零排放的是 A ．氢气 B ．天然气 C ．石油 D ．煤炭2．下列化学用语正确的是A ．硅的原子结构示意图:B ．乙烯分子比例模型：C ．次氯酸分子的电子式：D ．乙酸分子的结构简式：C 2H 4O 23．下列气体中，有颜色且具有刺激性气味的是A ．SO 2B ．NOC ．NH 3D ．Cl 2 4．胶体区别于其它分散系的本质特征是A ．胶体稳定B ．胶体有丁达尔效应C ．胶体能净水D ．胶粒直径在1—100nm 之间5．下列物质中只含有离子键的是A ．NaOHB ．CO 2C ．MgCl 2D ．HClH H H HC ＝CH ∶Cl ∶O ∶6．运输乙醇或汽油的车辆，贴有的危险化学品标志是A B C D 7．下列物质中，属于纯净物的是A．氯水B．聚乙烯C．蔗糖．D、加碘食盐8．下列物质不．需．经过化学变化就能从海水中获得的是A．烧碱B．食盐C．单质镁D．单质溴9．下列物质互为同分异构体的一组是A．35Cl和37Cl B．O2和O3C．CH3CH2OH和CH3OCH3D．甲烷和丁烷10．下列物质间的转化，通过一步反应不能完成的是A、FeCl3→FeCl2B、NO2→HNO3C、Al2O3→NaAlO2D、SiO2→H2SiO311．某溶液中存在大量的OHˉ、Clˉ、CO32ˉ，该溶液中还可能大量存在的离子是A．NH4+B．Ca2+C．HCO3ˉD．SO42ˉ12．N2+3H22NH3是工业制氮肥的重要反应。
下列关于该反应的说法正确的是A ．增加N 2的浓度能加快反应速率B ．降低体系温度能加快反应速率C ．使用催化剂不影响反应速率D ．若反应在密闭容器中进行,通过改变条件可以使N 2和H 2能完全转化为NH 313．下列反应中生成物总能量高于反应物总能量的是 A ．氧化钙溶于水 B ．乙醇燃烧C ．铝粉与氧化铁粉末反应D ．断开1mol 氮气分子中的氮氮叁键14．下列图示装置的实验中,操作正确的是A ．图1分离碘酒中的碘和酒精B ．图2稀释浓硫酸C ．图3从食盐水中获得食盐晶体D ．图4除去HCl 中的Cl 2并副产漂白粉15．下列反应中，与其它三个反应不属于同一类型的反应是A ．B ．C ．D ．图1 图2 图3 图4碘酒HCl(Cl 2)石灰水溶液浓硫酸 H 2O16．食品的主要成分大都是有机化合物。
知识文库 第20期197数学归纳法在初等数论教学中的应用杨全会数学归纳法是数学中一种极为重要的数学方法，它在数学各个分支中都有着举足轻重的作用.本文通过举例说明它在数论中的一些应用.数学归纳法是数学中极为重要的一种方法，它又分为第一数学归纳法，第二数学归纳法，跳跃数学归纳法，反向归纳法，螺旋归纳法，加强数学归纳法等. 合理的运用好数学归纳法并不是一件容易的事情. 下面我们以初等数论的例题教学为例，简单介绍一下何时用数学归纳法.证明过程中条件不够的情形.我们在证明结论时，发现题目并没有条件，或者根据现有的条件不能直接推出结论. 在这种情况下，我们要证明出结论必须要增加新的条件，此时我们可以想到用数学归纳法，它可以增加“归纳假设”这一新的条件，让解题柳暗花明又一村. 下面我们看这个例子.例1. 对于正整数,210n a a a a <<<< 证明：.211],[1],[1],[112110n n n a a a a a a -≤+++-证明：当1=n 时，由于21≥a ，故命题显然成立. 假设命题对)2(1≥-=m m n 成立，下证命题对m n =成立.情形1:m m a 2≤. 由于对m k ,,2,1 =均有,11),(],[1111111k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a -=-≤=------ 故.211111111],[101111m m m mk k k mk k k a a a a a a a -≤-≤-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤∑∑=-=- 情形2: .2m m a >由归纳假设知，1111211],[1--=--≤∑m m k k k a a 因此.21121211],[1211],[111111m m m m m m mk k k a a a a -=+-<+-≤---=-∑ 综上可得命题对m n =也成立. 因此命题得证.1.命题可等价转化到变量较小的情形.当证明关于n 的命题)(n P 时，若)(n P 与)(m P 等价，其中n m <，则此时我们可用数学归纳法. 下面我们看如下例子.例2. 对于任意的整数1≥n ，证明数列 ,2,2,2222自某项起, 各项对模n 同余.证明：显然当1=n时结论成立. 假设)2(1≥-≤m m n 时结论成立，下证命题对m n=也成立. 设12m m k =，其中1m 为奇数, 则只要证明自某项起, 各项分别对模k2和模1m 同余. 显然自某项起，各项对模k2同余. 当mm <1时, 由归纳假设知，自某项起模1m 同余. 下面不妨设m m =1. 用i a 表示该数列的第i 项. 要证存在s ，当s i ≥时, )(mod 11m a a s i ++≡, 即)(mod 22m sia a ≡.这等价于)()(mod 12s i m s i a a ≥≡-.设δ为最小的正整数使得)(mod 12m ≡δ，则s i a a -|δ,即)(mod δs i a a ≡. 由欧拉定理知，m m <≤)(ϕδ. 因此，由归纳假设可得，存在s 使得当s i ≥时，).(mod δs i a a ≡因此，命题对m n =成立, 故命题得证.2.小结我们一般在解题过程中没有招时可想一想数学归纳法是否可行，它本质上反应了问题的继承关系，能够降低问题的难度。
数学归纳法及其应用与证明数学归纳法是数学中一种常用的证明方法，被广泛应用于各个领域，从初等数学到高等数学，都能看到数学归纳法的身影。
本文将介绍数学归纳法的基本原理、应用场景以及证明过程，以帮助读者更好地理解和运用数学归纳法。
数学归纳法的基本原理是：如果我们能够证明某个命题在两个条件下成立，即当n=1时成立（称为基础步骤），以及当n=k成立时能推导出n=k+1也成立（称为归纳步骤），那么我们就可以得出结论：该命题对于所有正整数n都成立。
首先，我们来看一个简单的例子。
假设我们要证明一个命题：对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
我们可以使用数学归纳法来证明这个命题。
首先，我们验证基础步骤，即当n=1时，等式左边为1，右边为1(1+1)/2=1，两边相等，基础步骤成立。
接下来，我们假设当n=k时，等式成立，即1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
然后我们来证明当n=k+1时，等式也成立。
根据归纳步骤的假设，我们有1+2+3+...+k = k(k+1)/2。
我们将等式两边加上k+1，得到1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1)/2 + (k+1)。
我们可以对等式右边进行简单的运算，得到(k(k+1)+2(k+1))/2 = (k+1)(k+2)/2。
这正是等式右边的形式。
因此，我们证明了当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论：对于任意正整数n，1+2+3+...+n = n(n+1)/2。
这个例子展示了数学归纳法的基本思路和证明过程。
在实际应用中，数学归纳法可以帮助我们证明各种数学命题，例如等式、不等式、性质等等。
除了基本的数学命题外，数学归纳法还可以应用于数列和集合等概念。
例如，我们可以使用数学归纳法证明斐波那契数列的性质，即每个数都等于前两个数之和。
另外，数学归纳法还可以用于证明一些数学定理。
例如，我们可以使用数学归纳法证明二项式定理，即(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b + ... + C(n,n)b^n，其中C(n,k)表示组合数。
数学归纳法的原理与应用数学归纳法是一种重要的证明方法，常用于证明整数集上的命题。
它的基本思想是，通过证明命题在第一个整数上成立，并假设命题在某个正整数k上成立，推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
这样，通过无限次的迭代，我们可以推导出该命题在所有正整数上都成立。
在本文中，我将介绍数学归纳法的原理，并举例说明其应用。
一、数学归纳法的原理数学归纳法的原理可以分为两个步骤：基础步骤和归纳步骤。
1. 基础步骤基础步骤是证明命题在第一个整数上成立。
通常，这一步骤可以通过具体计算或逻辑推理来完成。
假设我们要证明一个关于正整数n的命题P(n)，我们需要证明P(1)成立。
2. 归纳步骤归纳步骤是假设命题在某个正整数k上成立，然后通过这个假设推导出它在下一个正整数k+1上也成立。
具体地，我们需要证明当P(k)成立时，P(k+1)也成立。
这一步骤通常需要运用数学归纳法的假设和相应的数学性质来进行推导。
通过这两个步骤，我们可以得出结论：若基础步骤成立，并且归纳步骤成立，那么命题P(n)对任何正整数n都成立。
二、数学归纳法的应用数学归纳法在数学中有着广泛的应用。
下面，我将举两个例子来说明它的应用。
1. 证明等差数列的求和公式我们知道，等差数列中相邻两项之差是常数d。
现在，我们希望证明等差数列的前n项和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示前n项的和，a表示第一项，d表示公差。
首先，我们需要通过数学归纳法的基础步骤证明当n=1时，公式成立。
可以发现，此时等式右边的表达式为a，恰好等于等差数列的第一项。
然后，我们假设当n=k时，公式也成立。
也就是假设Sn = (k/2)(2a + (k-1)d)成立。
接下来，我们通过归纳步骤证明当n=k+1时，公式也成立。
我们将Sn在等式两边加上等差数列的第k+1项an+1，得到Sn + an+1 =(k/2)(2a + (k-1)d) + an+1。
根据等差数列的性质，an+1 = a + kd。
数学归纳法在问题求解中的应用作者：管国策指导老师：张胜摘要数学归纳法是一种常用的证明方法，在不少数学问题的证明中，它都有着其他方法所不能替代的作用.甚至在物理、生物等方面都有着广泛的前景，本文首先阐述数学归纳法的理论依据以及表现形式，然后通过一些具有代表性的典型例题重点讨论数学归纳法在初等数学、高等数学、离散数学以及中学数学竞赛中的应用，最后详细叙述对数学归纳法的认识和使用中应该注意的问题.关键词数学归纳法数列行列式离散数学树数学竞赛1、数学归纳法的理论依据归纳法和演绎法都是重要的数学方法.归纳法中的完全归纳法和演绎法都是逻辑方法；不完全归纳法是非逻辑方法，只适用于数学发现规律，不适用于数学严谨证明.数学归纳法既不是归纳法，也不是演绎法，是一种递归推理，其理论依据是下列归纳公理：（1）存在一个自然数0∈N.（2）每一个自然数a有一个后继元素'a，如果'a是a的后继元素，则a叫做'a的生成元素.（3）自然数0无生成元素.（4）如果'a='b，则a=b.（5）（归纳公理）自然数N的每个子集M，如果M含有0，并且含有M内每个元素的后继元素，则M=N.自然数就是满足上述公理的集合N中的元素，关于自然数的所有性质都是这些公理的直接理论.由以上公理可知，0是自然数关于“后继”的起始元素.如果记'0=1，'1=2，'2=3，…，'n=n+1，…，则N={0,1,2，…，n，…}.由以上公理所定义的自然数与前面由集合所定义的自然数在本质上是一致的.20世纪90年代以前的中学数学教材将自然数的起始元素视作1，则自然数集即为正整数集.现在已统一采用上面的证法，即将0作为第1个自然数.为了阐述数学归纳法，我们首先介绍一下正整数集的最小数原理.最小数原理：正整数集中≤，的任意一个非空子集必含有一个最小数.也就是说，存在数a∈S，对于∀x∈S都有a x最小数原理也就是数学归纳法的理论依据.2、数学归纳法的表现形式2.1.第一数学归纳法在教科书里我们常见到的就是第一数学归纳法，介绍如下：原理：设有一个与正整数n有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k +1时命题也成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令S 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么S ≠∅.于是由最小数原理，S 中有最小数a .因为命题对于n =1时成立，所以1a ≠， a >1.从而a -1是个正整数.又由于条件（3），当n =a 时命题也成立.因此a S ∉，导致矛盾.因此该命题对于一切正整数都成立.定理证毕.在应用数学归纳法时，有些命题不一定从c 开始的，这时在叙述上只要将n =1换成n =c 即可.第一数学归纳法主要可概括为以下三步：（1）归纳基础：证明c 时命题成立（2）归纳假设：假设n =k 时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.2.2.第二数学归纳法第二数学归纳法与第一归纳法是等价的.在有些情况下，由归纳法“假设n =k 时命题成立”还不够，而需要更强的假定.也就是说，对于命题()P n ，在证明(1)P k +成立，不仅依赖()P k 成立，而且依赖于前面各步成立，这时一般要选用第二数学归纳法.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）当n =1时命题成立（2）在假设命题对于一切正整数n k ≤成立时（3）若能证明n =k +1时命题也成立.则这个命题对于一切正整数n 都成立.其证明方法与上述证明方法类似，在这个地方不再赘述.第二数学归纳法可概括为一下几个三步：（1）归纳基础：证明n =1时命题成立（2）归纳假设：假设n k ≤时命题成立（3）归纳递推：由归纳假设推出n =k +1时命题也成立.第二数学归纳法与第一数学归纳法基本形式的区别在于归纳假设.2.3.反向归纳法反向数学归纳法是数学家柯西最先使用的，下面我们就来介绍一下.原理：设有一个与正整数n 有关的命题()P n .如果：（1）命题()P n 对于无限多个正整数n 成立（2）假设n =k 时命题成立（3）若能证明n =k -1时命题也成立，则这个命题对一切正整数n 都成立.证明：反证法.假设该命题不是对于一切正整数都成立.令A 表示使该命题不成立的正整数作成的集合，那么A ≠∅.任取a A ∈，由条件（1）知必有正整数b >a ,使()P b 成立.令这样的正整数b 组成的集合为B .因为集合B ≠∅，故必有最小数，设这个最小数为m ，显然m >1,由条件（3）知：(1)P m -成立，由a 的取法知：3、数学归纳法的应用数学归纳法作为一种证明方法有着广泛的应用，它不仅可以用来证明与自然数n 有关的初等代数问题，在高等数学、几何学、离散数学、概率论甚至物理、生物、计算机等方面的应用也相当突出.在用数学归纳法解决以上问题时，不仅思路清晰、大大降低了问题的复杂性，又能找出相应的递推关系，非常有效.下面重点谈谈它在初等代数、高等数学、离散数学以及数学竞赛中的应用. 3.1.数学归纳法在初等代数中的应用数学归纳法在恒等式问题、整除问题、三角函数问题、数列问题以及不等式问题中均有着广泛的应用.例1.求证：3n +5n （n N +∈）能被6整除证明：（1）当n =1时，31+51⨯=6能被6整除，命题成立（2）假设n =k 时，命题成立，即3k +5k 能被6整除当n =k +1时，有3(1)k ++5(1)k +=（3k +32k +3k +1）+（5k +5） =（35k k +）+3(1)k k ++6 因为两个连续的正整数的乘积(1)k k +是偶数，所以3(1)k k +能被6整除 则（35k k +）+3(1)k k ++6能被6整除，即当n =k +1时命题也成立 综上所述，对一切正整数n 命题都成立.例2.已知在各项均为正整数的数列{}n a 中，它的前n 项和n S 满足n S =11()2n na a +，试猜想数列{}n a 的通项公式，并有数学归纳法证明你的猜想. 解：1S =1111()2a a + 21a ∴=1n a >0 1a ∴=12S =1a +2a =2211()2a a +即22a +22a -1=0又n a >0 ∴2a-13S =1a +2a +3a=1+(1+3a =331()a a +即23a+3a -1=0 又n a >0 ∴3a…猜想：n an N +∈）下面用数学归纳法证明这个猜想（1）当n =1时，1a=1，命题成立（2）假设n k =（1k ≥）时，k a1n k =+时，有：1k a +=1k S +-k S =1111()2k k a a +++-11()2k ka a +，即1k a +=1111()2k k a a +++-12=1111()2k k a a +++21k a +∴1k a +-1=0又n a >0 1k a +∴∴当1n k =+时，命题也成立.由(1)(2)可知：当n N +∈时，n a 例3：已知数列{}n b 是等差数列， 1b =1，1b +2b +…10b =145 （1）求数列{}n b 的通项公式n b （2）设数列{}n a 的通项n a =1log(1)nb +(a >0且1a ≠)，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，试比较n S 与11log 3a nb +的大小并证明你的结论. 解：（1）设数列{}n b 的公差为d 由题意知：1b =1；1b +10(101)2d -=145 解得：d =3 ∴n b =3n -2（2）由n b =3n -2知：n S =log (11)a ++1log (1)4a ++ (1)log (1)32a n +- =1log [(11)(1)4a ++ (1)(1)]32n +-而11log 3a nb +=log an S 与11log 3a nb +的大小，就是要比较1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-的大小取n =1，有（1+1）取n =2，有1(11)(1)4++推测：1(11)(1)4++ (1)(1)32n +-()* （1）当n =1时，已验证()*式成立（2）假设n k =（k >1且k N +∈）时()*式成立.即1(11)(1)4++ (1)(1)32k +-则当1n k =+时，1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)3(1)2k ++-1(1)31k ++=3231k k +-33332(31k k +-+=322(32)(34)(31)(31)k k k k +-+++=294(31)k k ++>0从而1(11)(1)4++…1(1)32k +-1(1)31k ++即当n =1k +时()*式也成立由(1)(2)知：()*式对任意正整数n 都成立于是当a >1时，n S >11log 3a n b +；当0<a <1时，n S <11log 3a nb +3.2.数学归纳法在高等数学中的应用证明是高等数学的一个重要的组成部分，它的重要性，不仅表现在数学命题需要严格的推理证明，才能确定其真实性，更重要的还在于通过数学证明有助于学生弄清命题的条件与结论之间的本质联系，加强对数学问题的认识，有助于学生深刻理解数学本质，养成严谨的思考问题的习惯，从而自觉掌握数学规律，从根本上提高分析问题和解决问题的能力.例4：如果对一切实数x 和y ，等式()f x y +=()f x +()f y 成立，试证对一切有理数r ，有()f rx =()rf x证：令x =y ，则由已知条件有： (2)f x =()f x +()f x =2()f x (3)f x =()f x +(2)f x =3()f x用数学归纳法可证，对一切自然数n 有()f nx =()nf x另外，对正分数p q （,p q 互质且q >1）有：()pf x =()f px =()p f q x q =()p qf x q()p f x q ∴=()()pf x q令x =y =0，有(0)f =2(0)f ∴(0)f =0接着令y =x -，有()f x +()f x -=0 ∴()f x -=-()f x 同理，对负数p q -（,p q 互质且p >0, q >1）有：()p f x q-=pq -()f x因此，可知对一切有理数r 命题成立. 例5.证明211arctan2n n ∞=⋅∑收敛 证：令n a =21arctan2n ⋅ 求出该数列的部分和n S 1S =1arctan22S =1arctan 2+21arctan 22⋅=2211222arctan111222+⋅-⋅⋅=2arctan 3 3S =1a +2a +3a =2S +3a =2arctan 3+21arctan 23⋅=3arctan 4猜想：n S =arctan 1nn +下面用数学归纳法证明： 假设1k S -=1arctank k-，将上式两边同时加上k a ，得： k S =1k S -+k a =1arctan k k -+21arctan 2k ⋅=23(221)arctan 21k k k k k -+-+=arctan 1k k + 证出等式在n =k 时成立. 因此n S =arctan1nn + 又lim 1n n n →∞+=1，arctan1=4π，证得级数211arctan 2n n ∞=⋅∑收敛 S =4π例6：证明：n D =cos 10012cos 100012cos 012cos aa aa=cos na证：对n 施第二数学归纳法 （1）当n =2时，cos 112cos a a=22cos a -1=cos2a（2）假设<n 时结论成立，则当n 时n D =cos 1012cos 10012cos 001aa a -+21cos n aD - =2n D --+12cos n aD -=cos(2)n a --+2cos cos(1)a n a ⋅- =cos(2)n a --+2cos[(2)]cos n a a a -+⋅=cos(2)n a --+2[cos(2)cos sin(2)sin ]cos n a a n a a a -⋅--⋅ =cos(2)n a --+22cos(2)cos 2sin(2)cos sin n a a n a a a -⋅--⋅⋅=2cos(2)(2cos 1)sin(2)sin 2n a a n a -⋅---⋅ =cos(2)cos 2sin(2)sin 2n a a n a a -⋅--⋅ =cos[(2)2]n a a -+=cos na3.3.数学归纳法在离散数学中的应用随着计算机科学的发展，离散数学在计算机的研究中的作用越来越大，而离散数学中（特别是图论中）的许多命题的论证，数学归纳法不失为一种行之有效的方法.例7.设R 是集合X 上的关系，则()t R =1i i R ∞==R ⋃2R ⋃3R ⋃…证明：用第一归纳法先证明1i i R ∞=⊆()t R ；（1）当n =1时，根据传递闭包定义R ⊆()t R ； （2）假设1n ≥时，nR ⊆()t R .设(,)x y ⊆1n R+，因为1n R+⊆n R ⋃R ，故必有某个c x ∈，使(,)x c ∈n R ，(,)c y ∈R由归纳假设，有(,)x c ∈()t R ，(,)c y ∈()t R ，即(,)x y ∈()t R 1n R+∴⊆()t R故对任意的自然数n ，有nR ⊆()t R ，因而1i i R ∞=⊆()t R再证()t R ⊆1i i R ∞=设(,)x y ∈1ii R ∞=，(,)y z ∈1i i R ∞=，则必存在整数,s t ，使得(,)x y ∈s R ，(,)y z ∈t R这样(,)x z ∈s R ⋃tR ，即(,)x z ∈1i i R ∞=∴1i i R ∞=是传递的由传递闭包的定义可知：()t R =1i i R ∞=例8：设T 为任意一颗完全二元树，m 为边数，t 为树叶数，试证明m =22t -，这里2t ≥证明：对树叶数t 进行证明当t =2时，结点树为3，边数m =2，故m =22t -成立假设t =k (2)k ≥时，结论成立，下面证明t =1k +时结论也成立由于T 为二元数，因此T 中一定存在都是兄弟结点12,v v ，设v 是12,v v 的父亲，在T中删除12,v v ，得到'T ,'T 仍为二元完全树，这时结点v 成为树叶，树叶数't =21t -+=11k +-=k ，边数'm =2m -由归纳假设知：'m ='22t -所以2m -=2(21)2t -+-，故m =22t -3.4.数学归纳法在中学竞赛中的应用我们知道中学数学竞赛里有的知识解决需要用的数学归纳法，它方便了我们的解题，下面举几个例子看看它在数学竞赛里是如何运用的.例9.数列{}n a 中有1a =2a =1，1n a +=1n a -+n a (2)n ≥，请你证明：n a =]n n -（这个数列叫做斐波那契数列，它的前12项是1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144）证明：（1）当1n =时，11522--=5(1)T ∴成立当2n =时，2211(]522+-=33(544+--=5(2)T ∴成立（2）假设n k =和1n k =+时，()T k ，(1)T k +都成立即k a ]k k -且1k a +11]k k ++- 则当2n k =+时，2k a +=k a +1k a +]k k -11]k k ++-(1(1k k +-+k k=221111[(()((]52222k k ⋅-⋅=2211[()(]522k k ++- (2)T k ∴+也成立.由(1)(2)可知：对一切正整数，n a =11()]522n n--恒成立. 例10.设x +1x =2cos θ（其中x 为复数），请用θ的三角函数式表示nx +1n x（n 是正整数），并用数学归纳法证明你的结论.解：（1）当1n =时，x +1x=2cos θ 当2n =时，2x +21x=21()2x x +-=22(2cos 1)θ-∴2x +21x=2cos2θ当3n =时，3x +31x =22111()()()x x x x x x++-+=2cos 2cos22cos θθθ⋅-=2cos32cos 2cos θθθ+- =2cos3θ 猜想：nx +1n x=2cos n θ （2）假设1n k =-时，1k x -+11k x -=2cos(1)k θ-n k =时，kx +1k x=2cos (2)k k θ≥ 那么1n k =+时，1k x ++11k x+=11111()()()k k k k x x x x x x --++-+=2cos 2cos 2cos(1)k k θθθ⋅--=2cos(1)2cos(1)2cos(1)k k k θθθ++--- =2cos(1)k θ+ (1)T k ∴+成立由(1)(2)知，对一切n 恒有nx +1n x=2cos n θ（其中n 为正整数） 4、对数学归纳法的认识数学归纳法有时也叫逐次归纳法或者完全归纳法.前面两种叫法最早见于英国数学家德摩根1838年所写的《小百科全书》的引言中.因为在使用这个方法论证的时候，有一个形式上的归纳步骤，即确证命题对于第一项为真时，并由此归纳得出命题对于第n 项为真，“这个和通常的归纳程序有极其相似之处”.所以德摩根赋予它“逐次归纳法”的名称.也许是由于这种方法主要被用来数学中的证明的缘故.在《引言》的结尾处，德摩根又提出“数学归纳法”这个名称.比起逐次归纳法，人们似乎更喜欢数学归纳法，因为后者更能表明它论证的可靠性.此后，1887年，德国数学家戴德金又称此法为“完全归纳法”.有一个时期，这个叫法在德国很流行，后来由于逻辑学上完全归纳法专指“从列举对应的一切特殊的前提中，推出关于全部对象的一般结论的一种推理方法”，所以与“数学归纳法”不完全等价了.虽然数学归纳法和普通归纳法有着相似之处，但本质是完全不同的.归纳法常常是通过简单的枚举而没有碰到矛盾事实出发的.在这种方法里，它的前提只是已被考察过的部分对象的属性，而结论却是关于同类对象全体的.因此，由归纳所得出的结论并不一定是可靠的.比如，从1到40个自然数中，归纳出素数公式是“n 2-n+41”，这个公式对于n=1,2,…,40是正确的，可是当n=41时，得出的412确不是素数，看来归纳法不能用来作为严格的、科学的证明，仅能帮助我们从需要情况的考察中揭露并找出一般的规律性.然而，数学归纳法则不同，它的基础是递归推理原理，隐含着推向无穷的可能.由于数学归纳法包括着一串有穷多个三段论，每一个三段论自身都是一致的，所以从一定意义上说它又是古典演绎逻辑的一种发展了的形式，其严密性与演绎推理相同.庞加莱很彻底地指出了普通归纳法和数学归纳法的本质区别.他说：“我们必须承认，这（数学归纳法）和通常的归纳法程序有极其相似的不同，归纳法，当其应用于自然科学时，常是不确定的，因为它的基础是相信宇宙中有一种普通顺序，一种在我们之外的顺序.相反，数学归纳法，即递归证法，把自身视为一种必然，因为它不过是心灵本身的一种性质……”庞加莱十分推崇数学归纳法，称它“是数学中全部优点的根源”，“我们只能循着数学归纳法前进，只有它能交给我们新的东西.如果没有这种与自然（普通）归纳法不同但却同样极为有用的归纳法的帮助，演绎法是无法去创造出一种科学来的."应该说数学归纳法早就被明确提出并广泛应用了，它在数学中的地位已经完全确立.其实不然，仔细想来，数学归纳法的逻辑基础仍然是不明确的.数学归纳法是说“一个对1真的命题，如果它对任一数为真的，对其后继数也为真，则这个命题对于一切数都是真的.”人们不禁要问，何以断定每一个数都有后继数呢？这个问题不解决，自然也就谈不到数学归纳法的可靠性，所以归纳法的逻辑基础问题，与自然数理论密切联系.有趣的是，数的推展是由自然数向着有理数、实数、复数的方向进行的；然而，数的逻辑基础的奠定却循着一个相反的方向.自然数理论建立以后，与有理数数论一起建立起来的.1889年，意大利数学家皮亚诺发表《算数原理新方法》，他从不经定义的“集合”、“后继者”以及“属于”等概念出发，建立起关于自然数的五条公理，即：（1）1是自然数;（2）1不是任何自然数的后继者;（3）每一个自然数a 都是一个后继者;（4）若a 和b 的后继者相等，则a 和b 也相等;（5）（归纳公理）若有一个由自然数组成的集合S 含有1，又若当S 中含有一个数a 时，它一定也含有a 的后继者，则S 就含有全部自然数.这样，皮亚诺不仅以公理的形式保证了一个数的后继者的存在，而且为用数学归纳法推证的结果对全体自然数的有效性作了保证.皮亚诺把数学归纳法原理奠基在下述事实的基础上：在任一整数a 之后接着便有下一个a+1，从而从整数1出发，通过有限次这种步骤，便能达到选定的整数n.自然数理论的简历，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定，也是严格意义下的数学归纳法的进一步明确.对于数学归纳法的深入研究，重在运用它去解决或证明一些问题，在社会生活和自然科学中有着极其广泛的应用.例如在中学数学中的许多重要定理或结论都可以用数学归纳法来证明.比如等差数列、等比数列的通项公式以及二项式定理.当然，我们在重视它的应用的同时，也不要忘记它的审美价值和哲学价值.数学是自然界中所有美的集合，也是哲学辩证思维和逻辑思维的重要组成部分.5.数学归纳法在应用中要注意的问题5.1在应用第一数学归纳法时，只有第2步而无第1步的证明可能导致错误.例11.设n =k ，等式2+4+…+2n =2n +n +1成立，即：2+4+…+2k =2k +k +1（1）两边同时加上2(1)k +，则有：2+4+…+2(1)k +=2(1)k ++(1)k ++1成立，即：如果n =k 时，等式（1）成立，则n =k +1时，等式也成立.由此得出结论：对于一切自然数n ，等式（1）是成立，这是错误的.因为n =1时，有2=3的错误. 5.2在应用第一数学归纳法时，只第1步骤而无第2步骤的归纳证明可能导致错误的结论.例12.在函数()f n =2n +n +17中，由(1)f =19，(2)f =23，(3)f =29，…，(15)f =257等都是质数，便说：“n 为任何自然数时()f n =2n +n +17的值都是质数”便是错误的.因为：(16)f =216+16+17=16（16+1）+17=17（16+1）=217=289就不是质数如果缺少了第2步，则不论对于多少个自然数来验证命题()T n 的正确性，都不能肯定命题对所有自然数都正确.例如：歌德巴赫猜想“对于不小于6的偶数都可以表示成两个质数之和”，虽然对大量偶数进行了具体验证，但因缺少第2步归纳递推，所以仍只停留在归纳的第1步，至今只是个猜想而已.第2步在证明(1)T n +为真时，一定要用到归纳假设，即要由()T n 为真，推出(1)T n +为真；或由“0()T n ，0(1)T n +，…，(1)T k -为真，推出()T k 为真”的实质蕴含真正体现出来，否则不是数学归纳法证明.5.3并不是凡与自然数相关的命题()T n 都要用数学归纳法来证明，而且也不是所有这类命题都能用数学归纳法给以证明的.结 束 语数学归纳法是一种常用的不可缺少的推理论证方法，第一数学归纳法与第二数学归纳法在数学的证明中经常用到，而反向归纳法在数学的证明中不是很常见.通过数学归纳法去证明与自然数有关的命题，可降低证明过程中的复杂性，使推理过程简单、清晰、也保证了推理的严谨性.正如华罗庚先生在《数学归纳法》一书中提到的：“数学归纳法整数体现了人的认识从有限到无限的飞跃.”参考文献[1]吉米多维奇,数学分析习题集题解[M],济南,山东科学技术出版社,1983.[2]王仁发,代数与解析几何[M],长春,东北师范大学出版社,1999年9月第一版.[3]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组编,《高等代数》（第三版）.高等教育出版社.[4]左孝凌等《离散数学》[M],上海科学技术文献出版社,1982.[5]卢开澄,卢明华,图论及其应用[M],北京,清华大学出版社1995.[6]KAWAHIGASHIY.Generalized Longo-Rehren subfactors and A-induction[J],Comm Math Phys,2002,26(2),269-287[7]苏淳《数学奥赛辅导丛书,漫谈数学归纳法》[M],中国科学技术大学出版社,2009.4Mathematical induction application in problem solvingAuthor: Guan guoce Supervisor: Zhang ShengAbstract Mathematical induction is a kind of common methods of proof.In the proof of many mathematics problems ,it has the function which cannot be replaced by other methods,it has broad prospects even in physics,biology and so on.This paper firstly state the theoretical basis of Mathematical induction and its form of expression,then mainly discuss the Mathematical induction in elementary mathematics,higher mathematics,discrete mathematics and the application of mathematical contest through some representatively typical examples.Finally give an account of the cognition to Mathematicalinduction in detail and the problem when using it.Keywords Mathematical induction sequence determinant discrete mathematics tree mathematical contest。
LUOYANG NORMAL UNIVERSITY 2013届本科毕业论文数学归纳法及其在初等数论中的应用院（系）名称数学科学学院专业名称数学与应用数学学生姓名孙xx学号110412016指导教师xx 讲师完成时间2013.5数学归纳法及其在初等数论的应用孙xx数学科学学院数学与应用数学学号：110412016指导教师：xx摘要：数学归纳法是一种非常重要的数学证明方法,典型的用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷数列是成立的.本文通过直接证法引入数学归纳法,并介绍了数学归纳法的两个基本步骤及原理.初等数论研究的是关于整数的问题,故应用数学归纳法证明初等数论中的有关的命题是重要的途径.关键词：数学归纳法;初等数论;不定方程;整除;同余1 引论1.1 直接证法众所周知,数学上的许多命题都与自然数有关.这里所指的n,往往是指任意的一个自然数.因此,这样的一个命题实际上也就是一个整列命题.要证明这样一整列命题成立,当然可以有多种不同的方法.其中常用的方法是置n的任何具体值而不顾,而把它看成是一个任意的自然数,也就是说,假定它只是任何自然数都具备的共同性质,并且在这样的基础上进行推导、运算.如果我们在推导运算中没有遇到什么难以克服的困难,那么我们就有可能用这种方法来完成命题的证明了.这种方法就是习惯上所说的直接证法.如下例：例1 已知）（2;,,2,1≥⋅⋅⋅=∈n n i R x i ,满足121=+++n x x x ,021=+++n x x x .证明nn x x x n 2121221-≤+++ . 证 由条件121=+++n x x x 知1x ,2x , ,n x 不全为零;由条件021=+++n x x x 知这n 个实数中既有正数也有负数.记{}0:1≥=i x i A ,{}0:2<=i x i A .则1A 和2A 都不是空集,它们互不相交,且1A ⋃2A ={1,2,3, ,n }.若再记1S =∑∈1A i i x ,2S =∑∈2A i i x , 就有1S +2S =0,1S -2S =1.因此知1S =-2S =21.采用所引入的符号,就有 ∑∑∈∈+=+++21221A i i A i i n i x i x n x x x .由1A 和2A 的定义和性质知∑∈1A i i i x 是若干非负数之和,∑∈2A i i i x 是若干负数之和,因此就有 ∑∑∑∑∑∈∈∈∈=+≤+=222111A i i A i i A i i A i i n i i x n x i x i x i x =nS S 21+=n 2121-=n 2121-. 可见命题的结论是成立的. 在这个证明中,我们没有考虑n 究竟是几的问题,只是把精力花费在对命题条件的推敲和剖析上.这种证法就是直接证法．1.2 数学归纳法有时,我们也会碰到一些与n 有关的命题,对于它们很难从任意的n 入手,那么我们就只能另辟蹊径,也就是所谓的数学归纳法.如下例：例2 证明对于每个不小于3的自然数n ,都可以找到一个正整数n a ,使它可以表示为自身的n 个互不相同的正约数之和．分析 显然,我们很难对任意一个不小于3的自然数n ,直接去找到出相应的n a 来.面对这样的情形,较为稳妥的做法只能是先从3a ,4a , 找起.经过不多的几步探索,就可以发现,有3216++=.而且1,2,3恰好是6的3个互不相同的正约数,因此可将3a 取作6.在此基础上,又可发现有632112+++=.而且1,2,3,6恰好又是12的4个互不相同的正约数,因此又可取124=a ．循环下去,便知可依次取24,48, ．这也就告诉我们：如果取定了k a ,那么接下去就只要再取k k a a 21=+就行了.证 当3=n 时, 3216++=.假设当k n =时成立,即k a 可以表示成自身的k 个互不相同的正约数k b b b <<< 21之和,即k k b b b a +++= 21.取定k k a a 21=+,则：k k k a b b b a ++++=+ 211.若记k k a b =+1,则显然有121+<<<<k k b b b b ,即互不相同且是1+k b 的正约数. 故由第一类数学归纳法得此命题正确.由上所述,数学归纳法可以处理像例2那样不宜于采用直接证法的问题,也可以处理一些可以通过直接证法来解决的问题.如下例:例3 证明:对任何自然数n ,数15231n n -+⋅+能被8整除.若用直接证法,则如下：证 按照n 的奇偶性,可以将上式表示两种不同的形式.当n 为奇数时,有()()15331n n n -+--.当n 为偶数时,有()()1155331n n n --+--.于是上述两式中,第一个括号内的指数都是奇数,第二个括号内的指数都是偶数. 而当k 为奇数,则有))((121---++-+=+k k k k k b b a a b a b a .当k 为偶数,则12-c 可整除1-k c .当5=a ,3=b ,3=c ,可根据上式得出两式是8的倍数.从而命题得证.若用数学归纳法,则如下：证 当1n =时,152318n n -+⋅+=能被8整除.假设k n =时,k A 能被8整除.则当1+=k n 时,我们有=+1k A 15231k k ++⋅+=-155631k k ⋅+⋅+.所以就有)35(411-++=-k k k k A A .由于对任何自然数k ,数k 5和13-k 都是奇数,所以其和135-+k k 恒为偶数. 从而)35(41-+k k 一定是8的整数.即)35(411-+++=k k k k A A 可被8整除.由第一类数学归纳法,对任何自然数n ,数n A 都可被8整除.1.3 初等数论初等数论是数的规律,特别是整数性质的数学分支,它是数论中的最古老的分支.其它的组合数论、解析数论、代数数论、几何数论、超越数论都是在初等数论的基础发展起来的.初等数论是一门十分重要的数学基础课,小学阶段就有初等数论的影子.初等数论不仅是师范院校数学专业,大学数学各专业的必修课,也是计算科学,密码学等许多相关专业所需的课程.2 数学归纳法的原理2.1 第一类数学归纳法定理1 设)(n p 是关于自然数n 的命题,如果)(n p 满足:(1))(0n p 成立;(2)假设当k n =时,命题)(k p 成立,可以推出)1(+k p 成立,则命题)(n p 对一切自然数n 都成立.证 假设命题)(n p 仍不能对一切自然数n ≥0n 成立,那么如果记{}不成立，)(:01n p n n n A ≥=.{}成立，)(:02n p n n n A ≥=.则有Φ≠1A .但因已证)(0n p 成立,知0n ∉1A ,即有20A n ∈. 由于1A 是非空的自然数集合,所以由自然数的最小数原理,1A 有最小数1n . 由于10A n ∉,所以01n n >,即有011n n ≥-.由于1n 是1A 中最小的数,所以111A n ∉-,从而211A n ∈-. 故当11-=n n 时)(n p 成立.记11-=n k ,则由条件(2)知11n k =+时)(1n p 成立,则与11A n ∈矛盾. 故1A 为空集.也就是说,有)(n p 对一切自然数n 都成立.例4 设()nk n n k S 12531-++++= ,2mod 0≡n ,*∈N k ,试证： 1>k 时,k k S 12-.证 当1=k 时,结论显然成立.假设1-=k n 时结论成立,即当()nk n n k S 1253111-++++=-- ,2mod 0≡n ,1>k 时, 122--k k S .现证等于k 时结论成立.由于()()()n k n k nk k k S S 123212111-+++++=---- ()[]()[]()nk n k k n k k 1232212211-++--+--=-- ()[]1)32()12(111++-+--≡-- n k n k n 又因2mod 0≡n ，故上式：k k S 2mod 1-≡.即k k k S S 2mod 21-≡,但122--k k S ,故推得k k S 12-.由第一数学归纳法知,命题对一切正整数k 都成立.2.2 第二类数学归纳法定理2 设)(n p 是关于自然n 的命题,如果)(n p 满足:(1))1(p 成立;(2)假设)(n p 对于所有满足k a <的自然数a 成立时,则)(k p 也成立,那么,命题)(n p 对一切自然数n 都成立.证 设(){}N n n p n M ∈=成立，|,又设M N A -=,假设A 不空, 由自然数的最小数原理,A 有最小数0a ,又由条件(1)M ∈1,故10≠a ,因此1,2,M a ∈-1,0 .又由条件(2)知M a ∈0,这与A a ∈0矛盾,故A 为空集,从而N M =,则命题)(n p 对一切自然数n 都成立.例5 设数列1p ,2p , ,n p , 是由小到大的顺序排列的素数序列.试证n n p 22<. 证 当1=n 时,第一个素数是2,有12122<=p ,命题成立.假设当k n ≤≤１时,命题成立.即1212<p ,2222<p ,…, k k p 22<. 则有kk p p p 2222122221 <,所以 1121222222212221++<=≤+-+++k k k k p p p .上式左边1p 2p …k p +1本身即小于122+k ,其素因数当然更小于122+k ,但它的素因数不可能为1p ,2p ,…,k p ,所以它的素因数必大于或等于1+k p ,因此有1212+<+k k p .所以,由第二数学归纳法知,对一切正整数n p 命题都成立.2.3 跳跃数学归纳法定理3 设)(n p 是一个表示与正整数n 有关的命题,如果)(n p 满足(1)当2,1=n 时,)1(p 和)2(p 都成立;(2)假设当k n =时,命题)(k p 成立,则当2+=k n 时,命题)2(+k p 也成立,那么)(n p 对于一切自然数n 都成立. 证 (用反证法)设)(n p 不是对所有自然数都成立,那么使)(n p 不成立的自然数集为(){}N n n p n M ∈=不成立，|,根据最小数原理,M 中一定存在一个最小的自然数k . 由条件(1)可知1≠k 和2≠k 于是2>k ,令21+=k k ,则1k 满足)(1k p 成立.由条件(2)可知)(1k p 成立,则)2(1+k p 也成立,即)(k p 成立.此与假设)(k p 不成立相矛盾. 故)(n p 必对一切自然数n 都成立.上述结论可以推广到一般情形,即:设)(n p 是一个表示与正整数n 有关的命题,t 为某一自然数()2≥t .如果(1)当t n ,,2,1 =时,命题)1(p ,)2(p , ,)(t p 都成立;(2)假设当k n =时,命题)(t p 成立，则当时t k n +=命题)(t k p +也成立,那么命题)(n p 对一切的自然数n 都成立.例6 证明对一切自然数n ,都存在自然数n x 和n y 使得n n n y x 199322=+. 证 当1=n 时,取431=x ,121=y 即可,因此19931441849124322=+=+. 当2=n 时,注意到1993124322=+,因此只要令17051243222=-=x ,1032124322=⋅⋅=y ,那么就有22222210321705+=+y x =21993.故当1=n ,2=n 也成立.假设当k n =时存在自然数k x 和k y ,使得k k k y x 199322=+, 那么显然就有2221993)1993()1993(+=+k k k y x , 可取k k x x 19932=+,k k y y 19932=+.即只要k n =时断言成立,即可推得2+=k n 断言也成立． 综上所述,知对一切自然数n 断言都成立.2.4 反向数学归纳法定理4 设)(n p 表示一个与自然数有关n 的命题,若(1))(n p 对无数多个自然数n 都成立;(2)假设)(k p 成立,可推出)1(-k p 也成立;那么)(n p 对一切自然数n 都成立.证 (用反证法)设所有使命题)(n p 成立的自然数集合为A ，所有使命题)(n p 不成立的自然数集合为B .如果B 不是空集,可在B 中任取一个数0b ,因A 时无穷集，所以在A 中总能可以找到一个数00b a >.所以由条件(2),)(0a p 为真可得)1(0-a p 为真又得)11(0--a p 为真等等,经过有限步之后,总可使)(0b p 也为真,这与假设矛盾，即B 是空集，故命题)(n p 对所有的自然数n 都成立.例7 设p 是素数,而正整数m 与p 互素,试证:p m p mod 11≡-. 证 问题等价与要证:如果p 是素数,那么对任意正整数m ,有p m m p mod ≡. 令()*N L Lp m ∈=,则()p Lp Lp pmod ≡,即有无穷多个正整数()*N L Lp ∈使得 p m m p mod ≡,假设1+=k m 时, ()()p k k pmod 11+≡+.则由 ()1112-2++++=+-k C k C k k p p p p p p ,()())11(mod 0!11-≤≤≡+--p i p i i p p p , 知()p k k k p pmod 111+≡+≡+. 故p k k p mod ≡.从而根据反向归纳法,对任意正整数m ,有p m m p mod ≡.2.5 二重数学归纳法定理5 设),(j i p 为与自然数i 和j 相关联的命题函数.如果(1)当0i i =,0j j =时,命题),(00j i p 成立.(2)对任一0i k ≥,任一0j l ≥,假定),(l k p 成立,则),1(l k p +和)1,(+l k p 都成立,那么),(j i p 对一切的0i i ≥和0j j ≥都成立.证 i ,j 两次运用第二数学归纳法.当0i i =时,命题()j i p ,0对0j j ≥都成立.事实上,由条件(1),有0j j =时),(00j i p 成立.由条件(2),假设对任意0j l ≥,()j i p ,0成立,则()1,0+j i p 也成立. 由第二数学归纳法,命题()j i p ,0对任意0j j ≥都成立.假设对任一0i k ≥,命题()j k p ,对0j j ≥时成立,),1(j k p +对0j j ≥也成立. 事实上,由条件(2),对任意的0i k ≥,0j j ≥,假定()j k p ,成立则),1(j k p +也成立. 根据第二数学归纳法，命题),1(j k p +对一切0i i ≥和0j j ≥都成立.证毕.例8 试证),(2为自然数n m m n mn >.证 设),(n m p 是与自然数n m ,相关的命题函数. 当1==n m ,有1112>,显然)1,1(p .假设对任一1≥k ,1≥l ,),(l k p 为真,即l kl k >2成立. 下面证明),1(l k p +和)1,(+l k p 都成立.()()()ll l l kl l kl l k k k k 12222221+≥≥⋅>⋅==++. 即有),1(l k p +成立.()1122222+++≥⋅>⋅>⋅==l l k l k kl k kl l k k k k k .即有)1,(+l k p 成立.由二重归纳法可知,对任意的1,1≥≥n m ,),(2为自然数n m m n mn >.2.6 第一类数学归纳法和第二类数学归纳法之间的关系 定理6 第一类数学归纳法和第二类数学归纳法等价.证 假设性质)(n p 在1=n 时成立.则可以转化为：“由数学归纳法及其应用,假设当k n =时,命题)(k p 成立,则可以推出)1(+k p 成立”的充分必要条件为“由)(n p （其中k n ≤）成立,可以推出)1(+k p 成立”.[必要性] 由已知“由)(k p 成立,则可以推出)1(+k p 成立”. 假设k n ≤时)(n p 成立,特别)(k p 成立,所以)1(+k p 成立.得证.[充分性] 由已知k n ≤时)(n p 成立,可以推出)1(+k p 成立. 于是,由)(0k p 成立推不出)1(0+k p 成立的所有自然数0k 构成一非空子集,记m 为该子集的最小自然数.所以,对任一自然数n ,只要m n <,那么由)(n p 成立可以推出)1(+n p 成立. 特别,由)1(p 成立可知)2(p 成立,…,由)1(-m p 成立可知)(m p . 已知)1(p 成立,因此)1(p 、)2(p 、…、)(m p 都成立,然而由此可知)1(+m p 成立,所以从)(m p 成立推出了)1(+m p 成立；另一方面,由m 的选取可知,由)(m p 成立推不出)1(+m p 成立,这就导出矛盾,得证.3 数学归纳法原理在初等数论中的应用初等数论是研究整数性质的一门理论,大致分为整数理论、整除理论、同余理论、不定方程,而数学归纳法就是关于解决自然数的数学方法,故初等数论的多数定理,习题都是通过数学归纳法证明,例如最基本的算术基本定理就是用第二数学归纳法证明.3.1 整除性整除性理论是初等数论的基础.利用数学归纳法解决初等数论中有关整除问题,可以解决众多问题.例9 设集合()n a a a ,,,21 为n 元正整数集N n ∈,2=n .证明()∏≤<≤-n k l l k a a 1能被()∏≤<≤-n k l l k 1整除.证 当2=n 时, 1=l ,2=k .易证结论成立.假设命题对于)3(1≥-n n 的情形成立.即对任意1-n 元整数集合()121,,,-k a a a ,满足 ()∏-≤<≤-11n k l l k a a 被()∏-≤<≤-11n k l l k 整除.下面证命题关于n 的情形也成立. 令()()N p p p p l k i i l n k l l ∈=-∏-≤<≤αααα为质数， 212111,若设()ii r n p =-)!1(,则n 元正整数集()n a a a ,,,21 中存在一个整数(不妨记为n a )使得)())((121----n n n n ri a a a a a a p i .若()'=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏-≤<≤i n k l i r l k p 11,则由归纳假设,得 ()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏-≤<≤'11n k l l k r i a a p i . 即可得：∏≤<≤'+-n k l l k r r i a a p i i 1)(.因为()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∏≤<≤n k l l k i i a a p 1α ()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∏≤<≤n k l l k i a a n p 1!1()()().!11'+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∏≤<≤i i n k l l k i i r r a a p n p所以()() ,3,2,11'=-∏≤<≤+i a a p n k l l k r r i i .又因11αp ,22αp , ,l l p α两两互质,所以()∏≤<≤-n k l l k l a a p p p l12121ααα .又()l l n k l p p p l k ααα 212111=-∏-≤<≤.故 ()()∏∏≤<≤≤<≤--n k l l k n k l a a l k 11.由第一类数学归纳法结论成立.例10 证明存在正整数m ,使得()()9372+⋅+=n n n f 对任意自然数n 都能被m 整除?若存在,求出最大的m 值,并证明你的结论.证 当1=n 时有()()3693721=+⋅+=f ,当2=n 时有()()363108937422⨯==+⋅+=f ,当3=n 时有()()3610360937633⨯==+⋅+=f ,由此推想存在正整数m ,且m 的最大值为36,即对任意的自然数n ，)(n f 都能被36整除.当1=n 时明显有命题成立；假设当k n =时有命题成立,即()()9372+⋅+=k k k f 能被36整除.那么当1+=k n 时有()()[]9371211+⋅++=++k k k f()183********-⋅⋅+⋅+⋅+=k k k()()131********-+⋅+⋅+=-k k k .由于131--k ()2≥k 是2的倍数,故有()13181--k 是36的倍数.即()13181--k 能被36整除,由假设得()1+k f 能被36整除.即命题成立,故存在最大的正整数m ,且m 的值为36.3.2 不定方程不定方程是指未知数的个数多于方程的个数的式子,是数论的一个分支,它有着悠久的历史与丰富的内容.早在公元3世纪古希腊的丢番图就开始研究不定方程.著名费马大定理,就是关于不定方程的问题.他在阅读丢番图《算术》时写到:将一个立方数分成两个立方数之和,或一个四次幂分成两个四次幂之和,或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次幂之和,这是不可能的.关于此,我确信已发现了一种美妙的证法 ,可惜这里空白的地方太小,写不下.也就是:当3≥n 时,不定方程n n n z y x =+ 没有正整数解.这个问题困扰了数学家几百年,至到英国数学家安德鲁⋅怀尔斯的出现.可见,不定方程是数论的重要一部分.不定方程一般要解决三个问题:一是判断何时有解,二是决定解的个数,三是求出所有的解.我们就可以利用数学归纳法解决问题.如下例:例11 证明对一切自然数n ,不定方程n z y x =+22都有正整数解.证 当1n =时,取1==y x ,2=z .当2=n ,取3=x ,4=y ,5=z .即满足方程,故知命题1=n 和2时成立.假定当k n =时,0x x =,0y y =,0z z =是方程的一组正数解;那么当2+=k n ,只要取00z x x =,00z y y =,0z z =,则有()()()20202020200200+=+=+k z z x z z y z x .知它们恰为方程的一组正整数解,所以当2+=k n 时,命题成立.由于采用了两个起点,所以可以用两个跳跃,这表明对一切自然数n ,不定方程都有正整数解,证毕.3.3同余在日常生活中,我们所要注意的常常不是某些整数,而是这些数用某一固定的数去除所得的余数.例如问现在是星期几,就是问用7去除某一个总的天数所得的余数.这样,就在数学中产生了同余概念.同余理论是初等数论的重要组成部分,是研究整数问题的重要工具之一,利用同余来论证某些整除性的问题是很简便的.同样,我们可以数学归纳法来研究同余问题.如下所示:例12 已知11=a ,22=a ,而当3≥n 时有⎩⎨⎧⋅-⋅-=--------为奇数若为偶数若21212121,,,35n n n n n n n n n a a a a a a a a a 证明对一切自然数n ,都有0≠n a .分析 在这里显然有01≠a ,02≠a .但若假设01≠-k a ,0≠k a ,却很难有所给的递推关系式断言01≠+k a .可见就原命题证明原命题也很难奏效.我们可以多演算几项,最初的一些项依次是：1,2,7,29,22,23,49,26, .它们显然都是不为零,不过其中既有奇数,也有偶数.但是,我们求同余,可以得出依次是被4除的余数是1,2,3,1,2,3, ,有着非常明显的规律.这就启发我们猜测,可能对一切n ,都会有4mod 123≡-n a ,4mod 213≡-n a ,4mod 33≡n a .如果这一猜测真能成立,那么数列中的一切项当然也就不可能成为零了.证 显然4m od 11≡a ,4m od 22≡a ,4mod 33≡a ,故在1=n 时成立.假设当k n =时,我们的猜测也成立,即有：4mod 123≡-k a ,4mod 213≡-k a ,4mod 33≡k a .那么当1+=k n 时,由递推公式可知4m od 196153513313≡≡-≡-≡-+k k k a a a ；4m od 223131323≡-≡-≡-≡++k k k a a a ；4m od 3731035132333≡≡-≡-≡+++k k k a a a .这就表明,当1+=k n 时,我们的猜测也正确.故知对一切n ,0≠n a .3.4 初等数论中的不等式例13 若x 是一个正实数,n 是一个正整数,证明：[][][][][]nnx x x x nx ++++≥ 33221. 证 设[][][][]k kx x x x x k ++++= 33221,则[]kkx x x k k +=-1.当1=n 时,显然有[][]11x x x =≥.假设不等式1-≤k n 时都成立,即[]()1,,2,1-=≤k i ix x i .考虑k n =时的情形.由于()[]kx x x k kx k k k ++-=--111,()()()[]x k x x k x k k k k 121221-++-=----,[]x x x x 323223++=,[]x x x x 22112++=,将以上各式两边分别相加,得[][][]x x kx x x x x x kx k k k 2311221+++++++++=-- ,由归纳假设,[]()1,,2,1-=≤k i ix x i ,则()[]()[][][][][][][]x x kx x x x x k x k kx k 23221++++++++-+-≤()[][]()()[][]()[]()[]()[]kx x k x x x k x x k +-++++-++-=1221 .由[][][]b a b a +≤+,则[][][][]kx k kx kx kx kx k =+++≤ .故[]kx x k ≤.即k n =时不等式成立,从而对任意的自然数n ,都有[][][][][]nnx x x x nx ++++≥ 33221. 4 数学归纳法在初等数论中注意的问题数学归纳法的两个步骤中,我们通常将验证)(0n p 成立称作起步;将假设条件成为归纳假设,而将由归纳假设推出)1(+k p 也成立的过程叫做归纳过渡.这几步缺一不可.如果使用不当就可能导致错误.4.1 起步错误在数学归纳法的基本形式之下,第一步通常总是由验证)(0n p 成立开始,但是往往容易忽略,觉得无关紧要,可有可无,不去认真的验证这一步,或者根本没有这一步,都可能陷入错误之中,推出看似正确的答案.如下例：例14 试讨论n 2与2n 的大小.错解 由1=n 时,2112>;2=n 时,2222=.假设当k n =时,22k k >成立.则当1+=k n 时,()()()21122122221-->+-⋅=+-+k k k k k . 而当3≥n 时,02)1(2>--k 恒成立.故当1+=k n 时,()2112+>+k k 也成立. 由第一类数学归纳法知:22n n ≥.分析 当3=n 时,2332<.显然上式结论不正确,但是为什么得出正确的结果. 就是在起步时错误.当1=n 时成立,并非正确的选择.正确的证法如下:证 由1=n 时,2112>;当2=n 时,2222=;当3=n 时,2332<.当4=n 时,2442=;当5=n 时,2552>;当6=n 时,2662>.由此可得,当5≥n 时,22n n ≥.当5=n 时,2552>.假设当)5(≥=k k n 时,22k k >成立.则当1+=k n 时,()()()021122122221>-->+-⋅=+-+k k k k k . 故当1+=k n 时,()2112+>+k k 也成立. 由第一类数学归纳法知:22n n ≥.4.2 机械套用数学归纳法的两个步骤致误在用数学归纳法时,一般k n =时推出1+=k n 时成立.当时有时,并非如此,但有时往往不注意.如下:例14 当n 为正奇数时,17+n 能否被8整除？若能,用数学归纳法证明;若不能,请举出反例.错证 当1=n 时,817=+能被8整除,命题成立.假设当k n =时命题成立,即17+k 能被8整除.当1+=k n 时,6)17(7171-+=++k k 不能被8整除.分析 如果1+=k n 时,n 就是所有的正整数，而不是所有的正奇数.故上述是错误的证法.机械套用数学归纳法中的两个步骤致误.证 当1=n 时,817=+能被8整除,命题成立.假设当k n =时命题成立,即17+k 能被8整除.当2+=k n 时,48)17(4971)17(717222-+=-++=++k k k因17+k 能被8整除且48能被8整除,即当2+=k n 时,命题也成立.故当n 为正奇数时,17+n 能被8整除.4.3 混淆概念所致不完全归纳法是从一类对象中部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法.而有时往往把数学归纳法误认为是数学归纳法导致错误.费马是17世纪法国著名的数学家,他认为,当N n ∈时,n22+1一定都是质数,这是他对0=n ,1,2,3,4作了验证后得到的．因为当0=n ,1,2,3,4时,它的值分别等于3,5,17,257,65537．这五个数都是素数.后来,18世纪伟大的瑞士科学家欧拉证明了641670041742949672971252⨯==+. 从而否定了费马的推测.没想到当5=n 这一结论便不成立.后来,有人还证明了当6=n ,7,8,9时候,式子的值也都不是素数.由此可见,只是验证有限个n ,也就是不完全归纳法,严格按数学归纳法证才能正确.4.4 归纳递推的必要性例15 求证:22221123(1)(21)6n n n n ++++=++.错证 当1n =时,得21112316=⨯⨯⨯=,这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立；当1n k =+时, 222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6k k k k k ++++++=+++++ 而11(1)[(1)1][2(1)1](1)(2)(23)66k k k k k k +++++=+++. 所以222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++. 故当1n k =+时,这个等式也是成立的.归纳步骤完成,结论成立.分析 上面的证明似乎也用到了数学归纳法的两个步骤,但事实上,在证明等式222221123(1)(1)(2)(23)6k k k k k ++++++=+++ 的过程中根本没有用到22221123(1)(21)6k k k k ++++=++这个式子. 即从“k ”到“1k +”的过程.证 当1n =时,得21112316=⨯⨯⨯=,这时等式成立. 假设n k =时, 这个等式成立；在n k =时,这个等式两边都加上2(1)k +,得2222221123(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=+++ 1(1)(2)(23)6k k k =+++ 这就是说, 当1n k =+时, 这个等式是成立的.归纳步骤完成,就可以断定,对于任何自然数n ,这个等式都能成立.上面举的几类错误地应用数学归纳法的例子,实际上通过这些例子说明了应用数学归纳法应当注意的地方.让大家明白数学归纳法的两个步骤是密切联系、缺一不可的.5 总结由上述的论证过程,我们可以看到,在用数学归纳法证明与自然数有关的命题时,两个基本步骤是不可缺少的,否则命题不一定成立.用数学归纳法证明命题可以降低过程的复杂性,使推理过程简单,清晰,也保证了推理的严谨性,特别是在初等数论中的众多命题的证明时,使得证明过程简洁明了,而不失严密性,数学归纳法是一种行之有效的证明方法.尽管数学归纳法是一种证明方法,但实质是递推思想,只要把握住“递推”,巧妙的进行命题转换,以递推分析为主,这样就可以理解其实质,掌握证题技巧,真正提高分析问题解决问题的能力.致谢本论文的完成要特别感谢我的指导老师薛琳为我指导,耐心的帮助我分析问题,理顺思路,使我将书本上的知识加以灵活运用,最终确定了论文的研究思路与研究方向.同时,愿借此机会,感谢洛阳师范学院对我的培养,感谢各位授课老师的辛勤劳动,另外还要感谢同学们互帮互学的情谊,感谢参考文献的作者.这一切是本人完成学业,并取得研究成果的重要前提.感谢各位同学,在平时的学习、本论文写作过程中给予的指导与帮助.参考文献[1]闵嗣鹤.初等数论[J].高等教育出版社,2003.[2]苏淳.漫话数学归纳法[M].中国科学技术大学出版社,2001.[3]吕孝亮.关于数学归纳法的基础研究[J].学术论坛前沿,2008,12(1)：291.[4]华罗庚.数学归纳法[M].科学出版社,2002.[5]洪波.怎样应用数学归纳法[M].上海教育出版社,1979.[6]单樽.初等数论[M].南京大学出版社,2000.[7]邓元春.数学归纳法在数论中的运用举隅[J].江西师范大学数学与信息科学学院,2010,10(1)：47-48.Mathematical Induction and Application in ElementaryNumber TheorySUN Yan-yanCollege of Mathematics Science No：110412016Tutor：XUE LinAbstract:Mathematical induction is a method of mathematical proof which is very important, typically using for determining an expression in the context of all natural numbers is set up or an infinite series is established.This article introduces the mathematical induction by drect proof methods,and descibes two basic steps and principles of mathematical induction.Elementary number theory is the study of the problem of integer,so it is a very important way that applying mathematical induction prove theories of elementary number theory.Key Words:mathematical induction; elementary number theory;integer division; indeterminate equation;congruence。
