第十二章数项级数

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1 第十二章数项级数

一、单选题（每题2分）

1、设常数0k,则级数21(1)nnknn( )

A. 发散 B. 绝对收敛 C. 条件收敛 D. 收敛与发散与k有关

2、设a是常数，则级数21sin1nnann（）

A．绝对收敛 B.条件收敛 C. 发散 D.收敛性与a的取值有关

3、级数1(1)1cos0nnaan常数（）

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与a有关

4、设常数0，且级数21nna收敛，则级数21(1)nnnan（）

A. 发散 B. 条件收敛 C. 绝对收敛 D. 收敛性与有关

5、设0(1,2,3,)nan，且级数1nna收敛，常数0,2，

则级数21(1)tannnnnan（）

A. 绝对收敛 B. 条件收敛 C.发散 D. 敛散性与有关

6、设11ln1nnun，则级数（）

1nnu与21nnu都收敛 B.

1nnu与21nnu都发散

1nnu收敛而21nnu发散 D.

1nnu发散而21nnu收敛

7、设10(1,2,)nann，则下列级数中肯定收敛的是（）

1nna B. 11nnna C.

1nna D. 211nnna

8、下列各选项正确的是（）

A. 若21nnu和21nnv都收敛，则21nnnuv 收敛 2 B. 若1nnnuv 收敛，则21nnu和 21nnv都收敛

C. 若正项级数1nnu发散，则1nun

D. 若级数1nnu收敛，且1,2,nnuvn，则级数1nnv也收敛

9、若级数1nna和1nnb都发散，则（）

A. 1nnnab 发散 B.

1nnnab发散

C. 1nnnab发散 D. 221nnnab发散

10、na和nb符合（）条件，可由1nna发散推出1nnb发散。

A. nnab B. nnab C. nnab D. nnab

[答案]

CCCCA CDACD

二、判断题（每题2分）

1、若1nnu发散，则nu不趋于零（）

2、若1nnu的部分和数列有界，则1nnu收敛（）

3、

1nnu与1nnv满足1,2,nnuvn，且1nnv收敛，则1nnu收敛（）

4、

1nnb与1nnc均收敛，且,1,2,nnnbacn，则1nna收敛（）

5、 21kna与211kna都收敛，则1nna收敛（） 3 6、若给1nnu加括号后级数发散，则1nnu发散（）

7、若1nnu收敛，1nnv发散，则1nnnuv发散（）

8、

1nnu发散，1nnv发散，则1nnnuv发散（）

9、若1nnu收敛，且lim0nnnulv，则1nnv收敛（）

10、若1nnu收敛，则111nnu发散（）

11、若1nna绝对收敛，则121nnnaaaa收敛（）

12、若12nnaa，则1nna收敛（）

13、设级数1nnb收敛，且11nnnaa绝对收敛，则级数1nnnab也收敛（）

14、若级数1nna收敛,lim1nnb,则必有1nnnab收敛 ( )

15、若1nna收敛, lim1nnb,则1nnnab一定收敛 ( )

[答案]

×××√√ √√××√ √√√×√

三、填空题（每题2分）

1、等比级数naqaqaqa2(a0)当时收敛，当时发散；

2、1(1)npn当p________ 时绝对收敛；

3、若0limanann，则级数1nna ；

4、若12nna与12nnb都收敛，则12)(nnnba 4 5、若0limnna，则级数1nna

6、若12nna与12nnb都收敛，则1nnnba

7、正项级数nu的部分和数列nS有界是正项级数nu收敛的条件。

8、若数项级数1nna收敛, 则lim______.nna

[答案]

1、|q|<1,1||q 2、1 3、发散 4、收敛 5、发散 6、收敛

7、充分必要 8、0

四、判断下列级数的敛散性（每题5分）

1、111nnnnnnn

解：由于12limlim1111nnnnnnnnnnnnnnnn

即原级数的通项不趋于零，故原级数发散

2、21lnnnn

解：当3,1ln1nnnnn

则 1lim10lnnnn

故原级数发散

3、21!2!!2!nnn

解：因为!1!2!!112!2!21221212nnnnnnnnnn

而级数1112nnn收敛，则原级数收敛 5 4、ln21lnlnnnn

解：因为 lnlnln(lnln)ln(lnln)21111lnlnnnnnennn，当n充分大即2ene时成立

而211nn收敛，故原级数收敛

5、111lnnnnn

解：由于当1,0xx时，ln1xx

因此 111lnln1nnnn

同时 111lnlnln1111nnnnnn

于是有 111110ln1(1)nnnnnnn

又级数

11(1)nnn收敛，则原级数收敛

6、ln110nnaa

解：由于 lnlnlnlnlnlnnnanaaaeen

因此当ln1a，即0ae时，原级数发散；当ln1a，即ae时，原级数收敛

7、210111nnnxxxxx

解：111nnnaxax

当 01x时，1limnnnaxa，则原级数收敛

1x时，1lim0nnnaa，则原级数收敛 6 1x 时, 11lim2nnnaa,则原级数收敛

0x时,原级数显然收敛

8、11ln1nnnn

解：设 lnxfxx 则22ln02xfxxexx

则数列lnnn从9n开始递减，又lnlim0nnn，则原级数收敛

9、1212nnn

解：将此级数分为两个级数

11112111222nnnnnnnn，此二级数都收敛，故原级数收敛

10、11ln11nnnn

解：因为ln1111nnn，而

111nn发散，即11ln11nnnn不绝对收敛，但ln11nn是单调递减且 ln1lim01nnn，所以11ln11nnnn条件收敛

11、101nnnxxnx

解：数列1nnxx当0x时有011nnxx

同时当01x时有 1111nnnnxxxx，即1nnxx严格单调递减且有界；

当1x时，原级数即为12nn，满足莱布尼兹条件，即收敛

当1x时，有1111nnnnxxxx，即1nnxx严格单调递增且有界； 7 又由于1nn是收敛的，故由Abel判别法知原级数收敛

12、sin,0,20nxxn

解：由于当0,2x时，有11sinsin2kkxx

即sinnx的部分和数列有界，而数列10n单调减，且1lim0nn，

故由Dirichlet判别法知原级数收敛

五、证明题（每题5分）

1、设数列nna有界，证明21nna收敛；

证明：由于nna有界，则存在M，使得 nnaM，即nMan，222nMan

又 221nMn收敛，则21nna收敛

2、设1nna收敛，且lim0nnna，求证 11nnnnaa收敛且111nnnnnnaaa

证明：由于 11211nkknnkkaaaaana=11nknkkana

又1nna收敛，且lim0nnna，则1limnknka存在且1lim0nnna

故 111limlimnnkkknnkkkaaa 原题得证

3、若1nna与1nnc均收敛，且,1,2,nnnabcn，则1nnb收敛；

证明：由于 ,1,2,nnnabcn，则0nnnnbaca

又因为

1nna与1nnc均收敛，则1nnnca收敛，由比较判别法知1nnnba收敛，

高等数学第十二章级数

)1()(xf0xx)(00xfa!)(0)(kxfakk

ππππ11()cosd(0,1,2,),()sind(1,2,)ππnnafxnxxnbfxnxxn．

求收敛半径定理，幂级数展开定理，

为了叙述方便，称前者为有限加而无穷个数相加只是我们不可能用有限加法的方法来完成另外，有限加法中的结合律和交换律在

我们在研究无限累加时，是以有限加法(部一般情况下，这个和的数值不易求得，教科书

1 ，B．）级数的求和问题．

1111x

0)11()11(x

1)11()11(1x

xx1)1111(1，于是12x．

柯西指出：以上解法犯11)1(nn 2 2

1nnu

0limnnu1nnu

2 1π3sin4nnn

π303sinπ44nnn13π4nn1π3sin4nnn

11π3sin341π43sin4nnnn

1π3sin4nnn

3 1nnu 0limnnu0limnnu

1nnu1nnu1nnu1nnu1nnu0limnnu

3 11)11()1(nnnn

1111211)11()1(1nnnnnnnn 3 01111nnnn11)11()1(nnnn

0112limlimnnunnn

0)2)(11()1(2)12(2)2()11(1nnnnnnnnnnnnuunn

4 21111nnn

数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章资料讲解

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仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢2 第十二章数项级数

证明题

1．证明下列级数的收敛性,并求其和:

(1) 1)4)(5n(5n111.1616.1111.61;

(2) nn22312131213121;

(3) 2)1)(nn(n1;

(4) )n1n22n(;

(5) n212n.

2. 证明:若级数nu发散,则nCu也发散(c≠0).

3. 证明:若数列{an}收敛于a,则级数a-a)a(a11nn. 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢3 4．证明: 若数列{bn}有nnblim,则

(1)级数)b(bn1n发散;

(2)当bn≠0时,级数11nb1b1n1

5. 证明级数nu收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N总有

|uN+un+1+…+un|

6. 设nnv、u为正项级数,且存在正数N0,对一切n>N0,有

n1nn1nvvuu

7. 设正项级数na收敛,证明级数2na也收敛;试问反之是否成立? 精品资料

仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除谢谢4 8. 设an≥0,且数列{nan}有界，证明级数2na收敛.

9. 设正项级数nu收敛,证明级数1nnuu也收敛.

10. 证明下列极限:

(1) 0)(n!nlim2nn;

(2) 1)0(aa)(2n!limn!n.

11. 设{an}为递减正项数列,证明:级数1nna与0m2mma2同时收敛或同时发散.

12. 设an>0, bn>0, Cn=bn1nnaabn+1,证明:

(1) 若存在某自然数N0及常数K,当n>N0时,有Cn≥k>0,则级数1nna收敛; 精品资料

数学分析12.3一般项级数

第十二章数项级数

2 一般项级数

一、交错级数

概念：若级数各项符号正负相间，即

u1-u2+u3-u4+…+(-1)n+1un+…(un>0, n=1,2,…)，则称它为交错级数.

定理12.11：(莱布尼茨判别法)若交错级数1nn1nu(-1)满足：

(1)数列{un}单调递减；(2)∞nlimun=0，则该级数收敛.

证：交错级数的部分和数列{Sn}的奇数项和偶数项分别为：

S2m-1=u1-(u2-u3)-…-(u2m-2-u2m-1)，S2m=(u1-u2)+(u3-u4)…+(u2m-1-u2m).

由条件(1)知上述两式括号内的数皆非负，从而

数列{S2m-1}递减，数列{S2m}递增. 又由条件(2)知

由区间套定理，存在唯一的一个数S，使得∞mlimS2m-1=∞mlimS2m=S.

∴数列{Sn}收敛，即该交错级数收敛.

推论：若交错级数满足莱布尼茨判别法的条件，则该收敛级数的余项估计式为|Rn|≤un+1.

二、绝对收敛级数及其性质

概念：若级数各项绝对值所组成的级数|u1|+|u2|+…+|un|+…收敛，

则称它为绝对收敛级数. 若级数收敛，但不绝对收敛，则称该级数为条件收敛级数.

定理12.12：绝对收敛级数一定收敛.

证：若级数|u1|+|u2|+…+|un|+…收敛，由柯西收敛准则知，

对任意ε>0，总存在正数N，使得对n>N和任意正整数r，有

|un+1|+|un+2|+…+|un+r|

∴u1+u2+…+un+…收敛. 得证！

例1：证明：级数!nan收敛.

证：∵n1n∞nuulim=1nalim∞n=0<1,∴原级数绝对收敛.

性质1：级数的重排：正整数列{1,2,…,n,…}到它自身的一一映射

f:n→k(n)称为正整数列的重排，相应地对数列{un}按映射F:un→uk(n)所得到的数列{uk(n)}称原数列的重排；同样的，级数1nk(n)u也是级数1nnu的重排. 记vn=uk(n)，即1nk(n)u=v1+v2+…+vn+….