高中数学复习学案(第42讲)圆的方程
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题目 第七章直线和圆的方程圆的方程
高考要求
1掌握圆的标准方程和一般方程
2了解参数方程的概念 理解圆的参数方程
3掌握圆的方程的两种形式并会根据具体情况选择其中的一种解题;
4掌握圆系方程并会运用它解决有关问题;
5灵活运用圆的几何性质解决问题
知识点归纳
1．圆的定义
平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫圆．
2圆的标准方程
圆心为（a，b），半径为r的圆的标准方程为222)()(rbyax
方程中有三个参量a、b、r，因此三个独立条件可以确定一个圆
3圆的一般方程
二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（*）配方得
（x+2D）2+（y+2E）2=4422FED
把方程)04(02222FEDFEyDxyx
其中，半径是2422FEDr，圆心坐标是22ED，叫做圆的一般方程
（1）圆的一般方程体现了圆方程的代数特点：x2、y2项系数相等且不为零 没有xy项
（2）当D2+E2－4F=0时，方程（*）表示点（－2D，－2E）；
当D2+E2－4F＜0时，方程（*）不表示任何图形
（3）根据条件列出关于D、E、F的三元一次方程组，可确定圆的一般方程
4圆的参数方程
①圆心在O（0，0），半径为r的圆的参数方程是：
cos()sinxryr是参数
②圆心在点)(baC，，半径为r的圆的参数方程是：
)(sincos是参数rbyrax
在①中消去θ得x2+y2=r2，在②中消去θ得（x－a）2+（y－b）2=r2，把这两个方程相对于它们各自的参数方程又叫做普通方程
5二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件
若二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆，则有A=C≠0，B=0，这仅是二元二次方程表示圆的必要条件，不充分 在A=C≠0，B=0时，二元二次方程化为x2+y2+ADx+AEy+AF=0，
仅当D2+E2－4AF＞0时表示圆
故Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是：
①A=C≠0，②B=0，③D2+E2－4AF＞0
6 线段AB为直径的圆的方程： 若),(),(2211yxByxA，，则以线段AB为直径的圆的方程是0))(())((2121yyyyxxxx
7经过两个圆交点的圆系方程：经过011122FyExDyx，022222FyExDyx的交点的圆系方程是：
0)(2222211122FyExDyxFyExDyx
在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程
8 经过直线与圆交点的圆系方程： 经过直线0CByAxl：与圆022FEyDxyx的交点的圆系方程是：
0)(22CByAxFEyDxyx
9确定圆需三个独立的条件
（1）标准方程： 222)()(rbyax， 半径圆心，rba),(
（2）一般方程：022FEyDxyx，（)0422FED
,)2,2(圆心ED 2422FEDr
题型讲解
例1 (1)求经过点A(5,2),B(3,2),圆心在直线2x─y─3=0上的圆的方程;
(2)求以O(0,0),A(2,0),B(0,4)为顶点的三角形OAB外接圆的方程
解：(1)设圆心P(x0,y0),则有2020202000)2()3()2()5(032yxyxyx,
解得 x0=4, y0=5,
∴半径r=10,
∴所求圆的方程为(x─4)2+(y─5)2=10
(2)采用一般式,设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将三个已知点的坐标代入列方程组解得：D=─2, E=─4, F=0
点评：第(1),(2)两小题根据情况选择了不同形式 例2 设A（－c，0）、B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹
分析：给曲线建立方程是解析几何的两个主要问题之一，其基本方法就是把几何条件代数化；主要问题之二是根据方程研究曲线的形状、性质，即用代数的方法研究几何问题
解：设动点P的坐标为（x，y），
由||||PBPA=a（a>0）得2222)()(ycxycx=a，
化简，得
（1－a2）x2+2c（1+a2）x+c2（1－a2）+（1－a2）y2=0
当a=1时，方程化为x=0
当a≠1时，方程化为22221()1axcya =222()1aca
所以当a=1时，点P的轨迹为y轴；
当a≠1时，点P的轨迹是以点（1122aac，0）为圆心，|122aac|为半径的圆
点评：本题主要考查直线、圆、曲线和方程等基本知识，考查运用解析几何的方法解决问题的能力，对代数式的运算化简能力有较高要求同时也考查了分类讨论这一数学思想
例3 一圆与y轴相切，圆心在直线x－3y=0上，且直线y=x截圆所得弦长为27，求此圆的方程
分析： 利用圆的性质：半弦、半径和弦心距构成的直角三角形
解：因圆与y轴相切，且圆心在直线x－3y=0上，
故设圆方程为222(3)()9xbybb
又因为直线y=x截圆得弦长为27，
则有2|3|()2bb+2(7)=9b2，
解得b=±1故所求圆方程为
22(3)(1)9xy或22(3)(1)9xy
点评：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得a、b、r或D、E、F；（3）待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数
例4 已知⊙O的半径为3，直线l与⊙O相切，一动圆与l相切，并与⊙O相交的公共弦恰为⊙O的直径，求动圆圆心的轨迹方程
分析：问题中的几何性质十分突出，切线、直径、垂直、圆心，如何利用这些几何性质呢？
解：取过O点且与l平行的直线为x轴，过O点且垂直于l的直线为y轴，建立直角坐标系 MCBAoyx设动圆圆心为M（x，y），
⊙O与⊙M的公共弦为AB，⊙M与l切于点C，则|MA|=|MC|
∵AB为⊙O的直径，
∴MO垂直平分AB于O
由勾股定理得|MA|2=|MO|2+|AO|2=x2+y2+9，
而|MC|=|y+3|，
∴922yx=|y+3|
化简得x2=6y，这就是动圆圆心的轨迹方程
点评：求轨迹的步骤是“建系，设点，找关系式，除瑕点”
例5 已知y轴右侧一动圆1C与一定圆4)2(:222yxC外切，也与y轴相切
（1）求动圆1C圆心M的轨迹C；
（2）过点T（－2，0）作直线l与轨迹C交于A、B两点，求一点)0,(0xE，使得AEB 是以点E为直角顶点的等腰直角三角形
解（1）由题意知动点M到定点（2,0）与到定直线2x的距离相等，则动点M的轨迹是以定点（2,0）为焦点，定直线2x为准线的抛物线所以点M的轨迹方程为.82xy
又点M在原点时，圆并不存在，所以，动点M的轨迹C是以（0，0）为顶点，以（2，0）为焦点的抛物线，除去原点
（2）设直线22:2,8,8160lxmyyxymy代入得 ①
).(11,064642mmm或解之得
设112212(,),(,),,AxyBxyyy则是方程①的两个实数根，由韦达定理得
16,82121yymyy，
所以，线段AB的中点坐标为),4,24(2mmF
而,1184)(1||22212212mmyyyymAB
x轴上存在一点E，使△AEB为以点E为直角顶点的等腰直角三角形，
∴ABEF，且ABEF
直线EF的方程为：)24(42mxmmy
令0y得E点坐标为)0,24(2m，则14||2mEF
所以 .1182114222mmm
解之得2m ，则E点坐标为（10,0） 例6 已知圆C的圆心在直线x─y─4=0上,并且通过两圆C1:x2+y2─4x─3=0和C2:x2+y2─4y─3=0的交点,(1)求圆C的方程; (2)求两圆C1和C2相交弦的方程
解：(1)因为所求的圆过两已知圆的交点,故设此圆的方程为：x2+y2─4x─3+λ(x2+y2─4y─3)=0,
即 (1+λ)(x2+y2)─4x─4λy─3λ─3=0,
即 3141422yxyx=0,
圆心为 (12,12),
由于圆心在直线x─y─4=0上,
∴12─12─4=0, 解得 λ=─1/3
所求圆的方程为：x2+y2─6x+2y─3=0
(2)将圆C1和圆C2的方程相减得：x+y=0,此即相交弦的方程
点评：学会利用圆系的方程解题
例7 求过直线2x+y+4=0和圆x2+y2+2x─4y+1=0的交点,且面积最小的圆的方程
解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是
解方程组014204222yxyxyx
得交点A(─11/5,2/5), B(─3,2),利用圆的直径式方程得:
(x+11/5)(x+3) +(y─2/5)(y─2)=0,
化简整理得 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5
解法二: (运用曲线系方程)设过直线与用圆的交点的圆的方程为
x2+y2+2x─4y+1+λ(2x+y+4)=0,
即 (x+λ+1)2+(y+24)2=44452
要使圆面积最小，必须半径最小，
由于r=44452=516)58(5251621=552,
当且仅当=8/5时，r最小
故所求圆的方程是 (x+13/5)2+(y─6/5)2=4/5
例8 求圆22412390xyxy关于直线3450xy的对称圆方程
解：圆方程可化为22261xy, 圆心O(-2,6),半径为1
设对称圆圆心为'(,)Oab，则O‘与O关于直线3450xy对称，
因此有2634502263124abba解得325265ab
