2020-2021学年南昌十中高一上学期期末数学试卷(含解析)

2020-2021学年南昌十中高一上学期期末数学试卷

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1. 若−𝜋8<𝜃<0，则𝑠𝑖𝑛𝜃，𝑐𝑜𝑠𝜃，𝑡𝑎𝑛𝜃的大小关系( )

A. 𝑠𝑖𝑛𝜃<𝑐𝑜𝑠𝜃<𝑡𝑎𝑛𝜃 B. 𝑠𝑖𝑛𝜃<𝑡𝑎𝑛𝜃<𝑐𝑜𝑠𝜃

C. 𝑡𝑎𝑛𝜃<𝑠𝑖𝑛𝜃<𝑐𝑜𝑠𝜃 D. 以上都不是

2. 已知向量𝑎⃗ =(1,1)，𝑏⃗ =(3,𝑚)，𝑎⃗ //(𝑎⃗ +𝑏⃗ )，则𝑚=( )

A. 2 B. −2 C. −3 D. 3

3. 已知函数𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥+𝜑)(𝜔>0)的部分图象如图所示，下面结论错误的是( )

A. 函数𝑓(𝑥)的最小周期为2𝜋3

B. 图象𝑓(𝑥)的图象可由𝑔(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑥)的图象向右平移𝜋12个单位得到

C. 函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋12对称

D. 函数𝑓(𝑥)在区间(𝜋4,𝜋2)上单调递增

4. 周长为1，圆心角为1𝑟𝑎𝑑的扇形的面积等于( )

A. 1 B. 13 C. 19 D. 118

5. 若−𝜋2<𝛼<0，则点(𝑐𝑜𝑡𝛼,𝑐𝑜𝑠𝛼)必在( )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

6. 对于非零向量，下列命题中正确的是( )．

A. //在上的投影为 B. 或

C. ⊥ D.

7. 要得到函数𝑓(𝑥)=𝑠𝑖𝑛2𝑥+√3𝑐𝑜𝑠2𝑥(𝑥∈𝑅)的图象，可将𝑦=2𝑠𝑖𝑛2𝑥的图象向左平移( )

A. 𝜋6个单位 B. 𝜋3个单位 C. 𝜋4个单位 D. 𝜋12个单位 8. 平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，点𝑃(𝑥0,𝑦0)在单位圆𝑂上，设∠𝑥𝑂𝑃=𝛼，若𝛼∈(𝜋4,3𝜋4)，且sin(𝛼+𝜋4)=35，则𝑥0的值为( )

A. √310 B. √210 C. −√210 D. −√310

9. 函数𝑦=−(𝑥−3)|𝑥|的递增区间是( )

A. (32,+∞) B. (−∞,32) C. (0,32) D. (0,3)

10. 函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝑤𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝑤>0,0<𝜑<𝜋)的图像如图所示，为了得到这个函数的图像，只需将𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥 (𝑥∈𝑅)的图像上的所有的点 ( )

A. 向左平移𝜋6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变;

B. 向左平移𝜋3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变;

C. 向左平移𝜋3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变;

D. 向左平移𝜋6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变．

11. 若𝑚∈𝑅，方程𝑥3−3𝑥+𝑚=0在区间[0,1]上不等的实根( )

A. 有3个 B. 有2个 C. 没有 D. 至多有一个

12. 的值( )

A. 小于 B. 大于 C. 等于 D. 不存在

二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知sin(𝜋4−𝛼)=𝑚，则cos(𝜋4+𝛼)= ______ ．

14. 已知△𝐴𝐵𝐶中，点𝐴、𝐵、𝐶的坐标依次是𝐴(2,−1)、𝐵(3,2)、𝐶(−3,−1)，𝐵𝐶边上的高为𝐴𝐷，则𝐷的坐标是______．

15. 已知𝑠𝑖𝑛𝛼=13，则sin𝛼2+cos𝛼2= ．

16. 命题𝑝：∀𝑥∈𝑅，𝑓(𝑥)≥0的否定￢𝑝：______．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 如图所示，在平行六面体𝐴𝐵𝐶𝐷−𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′中，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑎⃗ ，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑏⃗ ，𝐴𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =𝑐⃗ ，𝑃是𝐶𝐴′的中点，𝑀是𝐶𝐷′的中点，𝑁是𝐶′𝐷′的中点，点𝑄在𝐶𝐴′上，且𝐶𝑄：𝑄𝐴′=4：1，用基底{𝑎⃗ ,𝑏⃗ ,𝑐⃗ }表示以下向量：

(1)𝐴𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ ；

(2)𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；

(3)𝐴𝑁⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ；

(4)𝐴𝑄⃗⃗⃗⃗⃗ ．

18. 已知0<𝛼<𝜋，𝑡𝑎𝑛𝛼=−2

(1)求𝑓(𝛼)=sin(𝛼−𝜋2)cos(3𝜋2+𝛼)tan(𝜋−𝛼)tan(−𝛼−𝜋)sin(−𝛼−𝜋)的值；

(2)求2𝑠𝑖𝑛2𝛼−𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼+cos2𝛼的值．

19. 已知0≤𝑥≤2𝜋，求适合下列条件的角𝑥的集合：

(1)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥和𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥都是增函数；

(2)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥和𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥都是减函数；

(3)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥是增函数，而𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥是减函数；

(4)𝑦=𝑠𝑖𝑛𝑥是减函数，而𝑦=𝑐𝑜𝑠𝑥是增函数．

20. 已知𝑐𝑜𝑠𝛼=−17，𝛼∈(0,𝜋)．

(1)求cos2𝛼2的值；

(2)若cos(𝛼+𝛽)=−12，𝛽∈(𝜋2,𝜋)，求𝑐𝑜𝑠𝛽的值．

21. 已知函数𝑓(𝑥)=2𝑠𝑖𝑛(𝑤𝑥+𝜑)(𝑤>0,|𝜑|<𝜋2,𝑥∈𝑅)的周期为8，过点(1,2)．

(1)求函数𝑓(𝑥)的解析式；

(2)当𝑥∈[−6,−23]时，求函数𝑦=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑥+2)的最值及相应的𝑥的值．

22. 如图，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是一块边长为100𝑐𝑚的正方形铁皮，其中扇形𝐴𝑀𝑃𝑁的半径为90𝑐𝑚，已经被腐蚀不能使用，其余部分完好可利用，𝑃是𝑀𝑁⏜弧上一点，∠𝑃𝐴𝐵=𝜃，工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个边在𝐵𝐶与𝐶𝐷上的矩形铁皮，求矩形铁皮𝑃𝑄𝐶𝑅面积的最大值和这时𝜃的值．

参考答案及解析

1.答案：𝐶

解析：

本题主要考查三角函数值的大小比较，根据三角函数的取值范围进行比较是解决本题的关键．根据三角函数值的符号和范围进行判断大小即可．

解：∵−𝜋8<𝜃<0，∴𝑠𝑖𝑛𝜃<0，𝑐𝑜𝑠𝜃>0，𝑡𝑎𝑛𝜃<0，

𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃=sin𝜃cos𝜃−sin𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃，

∵−𝜋8<𝜃<0，∴𝑠𝑖𝑛𝜃<0，1−𝑐𝑜𝑠𝜃>0，

∴𝑡𝑎𝑛𝜃−𝑠𝑖𝑛𝜃=𝑠𝑖𝑛𝜃(1−𝑐𝑜𝑠𝜃)𝑐𝑜𝑠𝜃<0，

则𝑡𝑎𝑛𝜃<𝑠𝑖𝑛𝜃，则𝑡𝑎𝑛𝜃<𝑠𝑖𝑛𝜃<𝑐𝑜𝑠𝜃，

故选C．

2.答案：𝐷

解析：解：因为向量𝑎⃗ =(1,1)，𝑏⃗ =(3,𝑚)，所以𝑎⃗ +𝑏⃗ =(4,1+𝑚)；

又𝑎⃗ //(𝑎⃗ +𝑏⃗ )，

所以1×(1+𝑚)−1×4=0，

解得𝑚=3．

故选D．

由题意求出𝑎⃗ //(𝑎⃗ +𝑏⃗ )，通过共线，列出关系式，求出𝑚的值．

本题考查向量共线与向量的平行的坐标运算，考查计算能力．

3.答案：𝐷

解析：解：∵由题意可知，此函数的周期𝑇=2(11𝜋12−7𝜋12)=2𝜋3=2𝜋𝜔，

∴解得：𝜔=3，可得：𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥+𝜑)．

又∵由题图可知𝑓(7𝜋12)=𝐴𝑐𝑜𝑠(3×7𝜋12+𝜑)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑−14𝜋)=0，

∴利用五点作图法可得：𝜑−14𝜋=3𝜋2，解得：𝜑=7𝜋4，

∴𝑓(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥+7𝜋4).

∴令3𝑥+7𝜋4=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可解得函数的对称轴方程为：𝑥=𝑘𝜋3−7𝜋12，𝑘∈𝑍， 令2𝑘𝜋−𝜋≤3𝑥+7𝜋4≤2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可解得：23𝑘𝜋−11𝜋12≤𝑥≤23𝑘𝜋−7𝜋12，𝑘∈𝑍，

故函数的单调递增区间为：[23𝑘𝜋−11𝜋12,23𝑘𝜋−7𝜋12]，𝑘∈𝑍．

∴对于𝐴，函数𝑓(𝑥)的最小周期为2𝜋3，故A正确；

对于𝐵，因为𝑔(𝑥)=𝐴𝑐𝑜𝑠3𝑥的图象向右平移𝜋12个单位得到𝑦=𝐴𝑐𝑜𝑠[3(𝑥−𝜋12)]=𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥−𝜋4)=𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥−𝜋4)=𝐴𝑐𝑜𝑠(3𝑥+7𝜋4)=𝑓(𝑥)，故B正确；

对于𝐶，因为函数的对称轴方程为：𝑥=𝑘𝜋3−7𝜋12，𝑘∈𝑍，令𝑘=2，可得函数𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=𝜋12对称，故C正确；

对于𝐷，因为函数的单调递增区间为：[23𝑘𝜋−11𝜋12,23𝑘𝜋−7𝜋12]，𝑘∈𝑍，令𝑘=2，可得函数单调递增区间为：[5𝜋12,3𝜋2]，故函数𝑓(𝑥)在区间(𝜋4,𝜋2)上不单调递增，故D错误．

故选：𝐷．

由函数图象可求函数的周期，利用正确公式可求𝜔，又由题图可知𝑓(7𝜋12)=𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜑−14𝜋)=0，利用五点作图法可𝜑，从而可得函数解析式，令3𝑥+7𝜋4=𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可解得函数的对称轴方程，令2𝑘𝜋−𝜋≤3𝑥+7𝜋4≤2𝑘𝜋，𝑘∈𝑍，可解得函数的单调递增区间，即可逐一判断各个选项，从而得解．

本题考查由𝑦=𝐴𝑠𝑖𝑛(𝜔𝑥+𝜑)的部分图象确定其解析式，余弦函数的图象和性质，三角函数的周期性及其求法，考查视图能力，计算能力，属于中档题．

4.答案：𝐷

解析：

根据扇形的面积公式进行求解即可．

本题主要考查扇形的面积计算，根据扇形的面积公式和弧长公式是解决本题的关键．

解：设扇形的半径为𝑟，弧长为𝑙，

则𝑙+2𝑟=1，

∵圆心角为1𝑟𝑎𝑑的弧长𝑙=𝑟，

∴3𝑟=1，则𝑟=13，𝑙=13，

则对应的扇形的面积𝑆=12×𝑙𝑟=12×13×13=118，

故选：𝐷．