初二数学一元二次方程的解法讲义

1 第3关 一元二次方程的解法（讲义部分）

知识点1 解一元二次方程-公式法

一元二次方程20 (0)axbxca，用配方法将其变形为：2224()24bbacxaa

（1）当240bac时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：

21,242bbacxa

（2）当240bac时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22bxa

（3）当240bac时，右端是负数．因此，方程没有实根.

备注：公式法解方程的步骤：

①把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式：20 (0)axbxca，并确定出a、b、c；

②求出24bac，并判断方程解的情况；

③代公式：21,242bbacxa（要注意符号）.

题型1 公式法

【例1】用公式法解下列方程：

（1）2325xx；

（2）23412yy；

（3）(1)(1)22xxx．

（4）(1)(3)64xxx；

（5）22(31)230xx；

（6）2(21)0xmxm．

【解答】解：（1）3a，5b，2c

224543(2)2524490bac．

24549223bbacxa．

所以12x，213x．

（2）原方程变形为：23820yy．

3a，8b，2c．

224(8)43(2)642488bac．

24(8)88223bbacxa．

所以14223x，24223x．

（3）原方程变形22210xx．

1a，22b，1c．

2 224(22)41(1)84120bac．

所以242212221bbacxa．

故123x，223x．

（4）去括号，移项方程化为一般式为：2210xx，

1a，2b，1，

224(2)41(1)8bac

2822212212x，

112x，212x；

（5）1a，2(31)b，23c，

224[2(31)]412316bac，

2(31)162(31)4(31)2212x，

133x，231x；

（6）1a，(21)bm，cm，

2224[(21)]4141bacmmm，

2214121mmx，

2121412mmx，2221412mmx．

【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式，要注意将方程化为一般形式，确定a、b、c的值．

【例2】阅读下面的例题：

阅读下边一元二次方程求根公式的两种推导方法：

方法一：教材中方法

方法二：

20axbxc，

224440axabxac，

配方可得：22(2)4axbbac．

当240bac…时，

224axbbac，

224axbbac．

当240bac…时，242bbacxa．

请回答下列问题：

（1）两种方法有什么异同？你认为哪个方法好？

（2）说说你有什么感想？

【解答】解：（1）两种方法的本质是相同的，都运用了配方法．

不同的是：第一种方法配方出现分式比较繁；两边开方时分子、分母都出现“”，相

除后为何只有分子上有“”，不好理解；更重要地是易误认为242aa．

第二种方法，运用等式性质后，配方无上述问题，是对教材方法的再创新，所以第二

种方法好．

（2）学习要勤于思考，敢于向传统挑战和创新．

虽然教材是我们的学习之本，但不是圣经，不能照本宣科．

说明：其它感想，只要合理即可．

3 【点评】本题主要告诉了学生求根公式法的推导过程．

知识点2 解一元二次方程-因式分解法

（1）如果两个因式的积等于0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反过来，如果两个因 式中有个等于0 ，那么它们的积就等于0 .

（2）通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解.

（3）因式分解常用方法：十字相乘平方差公式完全平方公式提公因式

如：20(,0)()0axbxabxaxb 此类方程适合用提公因式，而且其中一个根为0.例如：

290(3)(3)0xxx

230(3)0xxxx

3(21)5(21)0(35)(21)0xxxxx

225120(23)(4)0xxxx

题型2 因式分解法

【例3】用因式分解法解下列方程：

（1）2721xx；

（2）3(4)5(4)xxx；

（3）2(21)360x；

（4）22(31)4(23)xx；

（5）27100xx；

（6）(3)(2)6xx；

（7）2(5)17(5)300xx；

（8）2237xx．

【解答】解：（1）27210xx，

7(3)0xx，

70x或30x，

所以10x，23x；

（2）3(4)5(4)0xxx，

(4)(35)0xx，

40x或350x，

所以14x，253x；

（3）(216)(216)0xx，

2160x或2160x，

所以152x，272x；

（4）22(31)4(23)0xx，

[312(23)][312(23)]0xxxx，

312(23)0xx或312(23)0xx，

4 所以157x，27x；

（5）(2)(5)0xx，

20x或50x，

所以12x，25x；

（6）2120xx，

(4)(3)0xx，

40x或30x，

所以14x，23x；

（7）(52)(515)0xx，

520x或5150x，

所以17x，220x；

（8）22730xx，

(21)(3)0xx，

210x或30x，

所以112x，23x．

【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式 分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到 两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解

一元一次方程的问题了（数学转化思想）．

【例4】若2230xpxq的两根分别是3与5，则多项式2246xpxq可以分解为( )

A．(3)(5)xx B．(3)(5)xx C．2(3)(5)xx D．2(3)(5)xx

【解答】解：2230xpxq的两根分别是3与5，

222462(23)xpxqxpxp

2(3)(5)xx，

故选：C．

【点评】本题考查了解一元二次方程和分解因式，注意：根据方程的解分解因式是解此题的关键．

知识点3 解一元二次方程-换元法

1.解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．

2.我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

题型3 换元法

【例5】已知2222()(2)80xyxy，求22xy的值．

【解答】解：设22xyt，则原方程变形为(2)80tt，

整理得2280tt，

(4)(2)0tt，

14t，22t，

5 当4t时，则224xy，无意义舍去，

当2t时，则222xy．

所以22xy的值为2．

【点评】本题考查了换元法解一元二次方程：运用换元法，可使方程转化为简单的一元二次方程， 便于求方程的解．

【例6】已知2222(2)()350abab，1ab，求：

（1）ab；

（2）ab；

（3）22baab．

【解答】解：2222(2)()350abab，

设22ab，

22350，

解得：7或5（设去）．

2222()2()27ababababab，

且1ab，

3ab，13ab，

（1）3ab．

（2）3ab．

（3）原式

33baab

22()()abababab

13(73)3

4133．

【点评】该题主要考查了换元法解一元二次方程、完全平方公式及其应用问题；解题的关键是首 先运用换元法来求22ab的值；然后灵活运用完全平方公式来分析、判断、推理或解

答；对求解运算能力提出了一定的要求．

【例7】解方程：222222(34)(276)(342)xxxxxx．

【解答】解：设234uxx，2276vxx，则2342uvxx．

则原方程变为222()uvuv，

即22222uvuuvv，

0uv，

0u或0v，

即2340xx或22760xx．

解得123434,1,,22xxxx；

【点评】本题主要考查换元法在解一元二次方程中的应用．换元法是借助引进辅助元素，将问题 进行转化的一种解题方法．这种方法在解题过程中，把某个式子看作一个整体，用一

个字母去代表它，实行等量替换．常能使问题化繁为简，化难为易，形象直观．

知识点4 一元二次方程根的判别式