初中数学一元二次方程的解法

七年级一元二次方程知识点

一元二次方程是初中数学中非常重要的一部分，七年级阶段的学生需要掌握一些基本知识点。本文将从定义、一元二次方程的一般形式、解方程的方法、常见应用等方面进行详细讲解。

一、定义

一元二次方程是指一次项的系数为0，二次项的系数不为0，且只含有一个未知数x的方程。一元二次方程一般写成ax²+bx+c=0的形式，其中a，b，c为已知常数，且a≠0。

二、一元二次方程的一般形式

一元二次方程一般形式为ax²+bx+c=0，其中a、b、c为已知常数且a≠0。其中，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

三、解一元二次方程的方法

解一元二次方程的方法有两种：配方法和公式法。

配方法是指通过“配方”的方式使方程变形，将一元二次方程化为x²=常数的形式，从而求出未知数x的值。

公式法是指利用求根公式(-b±√(b²-4ac)) / 2a求出一元二次方程的解。其中，当b²-4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；当b²-4ac<0时，方程无实数根，但可以用虚数表示。

四、常见应用

一元二次方程在生活中有着广泛的应用，比如用来求某些问题的解析式、计算物理问题中的加速度、情境模拟题等等。

例如，一个地面上的自行车骑行者，头戴安全帽，速度为8.8米每秒。从他的额头和安全帽顶之间，飞过一只昆虫，昆虫的速度是3米每秒。骑车者头上离地面的高度为2.8米。已知昆虫经过的时间与骑车者的观察时间相同(均为0.03秒)。求毫秒级别下昆虫与地面距离的具体数值。

解法：将昆虫飞行的竖直向量的速度分解成加速度与初速度两个向量的和。假设昆虫距离地面高度为x，将昆虫的竖直向量的速度分解：v（昆虫）=（u² + 2as）½ ，并得到 a=250/3 ，t=0.03,find

x.

2.8+x=ut+1/2*a*t²，解得x=0.36733574 米

五、总结

在数学学习中，正确掌握一元二次方程的知识点是非常重要的。其中，对一元二次方程的定义、一般形式和解题方法需要着重理解。通过这篇文章的学习，相信同学们对于一元二次方程知识点已经有了更深入的认识，希望能帮助大家更好地掌握这一部分内容。

1 / 8 第2课时 一元二次方程及其解法

一·基本概念理解

1 一元二次方程的定义：

含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax，它的特征是：等式左边加一个关于未知数x的二次多项式，等式右边是零，其中2ax叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项。

2、一元二次方程的解法

（1）、直接开平方法:

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如bax2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知，ax是b的平方根，当0b时，bax，bax，当b<0时，方程没有实数根。

（2）、配方法:

配方法的理论根据是完全平方公式222)(2bababa，把公式中的a看做未知数x，并用x代替，则有222)(2bxbbxx。

配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上1次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式

（3）、公式法

公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。

一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：

公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里二次项的系数为a，一次项的系数为b，常数项的系数为c 2 / 8 （4）、因式分解法

因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。

分解因式法的步骤：把方程右边化为0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式

（5）、韦达定理

若1x，2x是一元二次方程的一般形式：)0(02acbxax的两个实数根，则abxx21，acxx21。以上的就称为韦达定理（或称为根与系数的关系）利用韦达定理去了解，韦达定理就是在一元二次方程中，二根之和=ab，二根之积=ac也可以表示为abxx21,acxx21。利用韦达定理，可以求出一元二次方程中的各系数，在题目中很常用

第1页，－共8页 解一元二次方程的 【2 】办法

界说

只含有一个未知数,且未知数的最高次数是2次的整式方程叫做一元二次方程( quadratic equation of one variable ).

一元二次方程有四个特色：

(1)含有一个未知数;

(2)且未知数次数最高次数是2;

(3)是整式方程．要断定一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整顿．假如能整顿为 ax^2+bx+c=0(a≠0)的情势,则这个方程就为一元二次方程．里面要有等号,且分母里不含未知数.

(4)将方程化为一般情势：ax^2+bx+c=0时,应知足（a.b.c为常数,a≠0）

补充解释

1.该部分的常识为初等数学常识,一般在初三就有进修.(但一般二次函数与反比例函数会涉及到一元二次方程的解法)

2.该部分是高考的热门.

3.方程的两根与方程中各数有如下关系： X1+X2= -b/a,X1·X2=c/a（也称韦达定理）

4.方程两根为x1,x2时,方程为：x^2-(x1+x2)X+x1x2=0 (依据韦达定理逆推而得)

5.在系数a>0的情形下,b^2-4ac>0时有2个不相等的实数根,b^2-4ac=0时有两个相等的实数根,b^2-4ac<0时无实数根.

一般式

ax^2+bx+c=0（a.b.c是实数,a≠0)

例如：x^2+2x+1=0 第2页，－共8页 配方法

a(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2

两根式（交点式）

a(x-x1)(x-x2)=0

一般解法

1.分化因式法

（可解部分一元二次方程）

因式分化法又分“提公因式法”.“公式法（又分“平方差公式”和“完整平方公式”两种）”和“十字相乘法”.因式分化法是经由过程将方程左边因式分化所得,因式分化的内容在八年级上学期学完.

如

1.解方程：x^2+2x+1=0

第6讲 一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）

课程标准

1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；

2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；

3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.

4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；

5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；

6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力.

7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；

8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；

9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．

知识点01 一元二次方程的有关概念

1．一元二次方程的概念

通过化简后，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 (二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件

（1）整式方程；

（2）含有一个未知数；

（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.

2．一元二次方程的一般形式

一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如 ，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是 二次项， 是二次项系数； 是一次项， 是一次项系数； 是常数项．

注意：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3．一元二次方程的解

使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.

4．一元二次方程根的重要结论

（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二知识精讲 目标导航 次方程的一个根，则a+b+c=0.