广东专插本《高等数学》2010年真题
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2010年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》试题
一、选择题（本大题共5题，每小题3分，共15分。每小题只有一个选项符合题目要求）
1.设函数()yfx的定义域为(,)，则函数1[()()]2yfxfx在其定义域上是
A.偶函数 B.奇函数 C.周期函数 D.有界函数
2. 0x是函数1,00,0(){xxxefx的
A.连续点 B.第一类可去间断点
C.第一类跳跃间断点 D.第二类间断点
3.当0x时，下列无穷小量中，与x等价的是
A.1cosx B. 211x C. 2ln(1)xx D. 21xe
4.若函数()fx在区间[,]ab上连续，则下列结论中正确的是
A.在区间(,)ab内至少存在一点，使得()0f
B.在区间(,)ab内至少存在一点，使得'()0f
C.在区间(,)ab内至少存在一点，使得'()()()()fbfafba
D.在区间(,)ab内至少存在一点，使得()()()bafxdxfba
5.设22(,)fxyxyxyxy，则(,)fxyy
A. 2yx B. 1 C. 2xy D. 3
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.设,ab为常数，若2lim()21xaxbxx，则______ab
7.圆22xyxy在(0,0)点处的切线方程是_________
8.由曲线1yx和直线1,2xx及0y围成的平面图形绕x轴旋转一周所构成的几何体的体积____________V
9.微分方程''5'140yyy的通解是__________y
10.设平面区域22{(,)|1}Dxyxy，则二重积分222()__________Dxyd
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11.计算22lnsinlim(2)xxx.
12.设函数22sinsin2,0,(){xxxfx00xx，用导数定义计算'(0)f.
13已知点(1,1)是曲线12xyaebx的拐点，求常数,ab的值.
14.计算不定积分cos1cosxdxx.
15.计算定积分ln10ln51xedx.
16.求微分方程sindyyxdxx的通解.
17.已知隐函数(,)zfxy由方程231xxyz所确定，求zx和zy.
18.计算二重积分2Dxydxdy，其中D是由抛物线21yx和直线2yx及
0x围成的区域
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19.求函数0()(1)xxttdt的单调增减区间和极值.
20.已知2(1)xx是函数()fx在区间(0,)内的一个原函数，
（1）求()fx；（2）计算1(2)fxdx
2010年广东省普通高校本科插班生招生考试
《高等数学》参考答案及评分标准
一、题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1.B 2.A 3.C 4.D 5.D
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
6.0 7. 0xy 8. 2
9. 2712xxyCeCe 10. 3
三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）
11.解：原式=
2cotlim4(2)xxx………………………………（2分）
22csc1lim88xx……………………………………（6分）
12.解：2002sinsin2()(0)'(0)limlimxxxxfxfxfxx……（2分）
002sin2sin2lim(sin)0limxxxxxxxx……（4分）
0sin22lim22xxx……………………………………（6分）
13.解：由题意知1aeb ①…………………………………………（1分）
又因为1112342'22xxxaaayebxeebxxx，y"=……（3分）
所以，由题意知22320aeaebaeb ②
由①和②解得2,3abe……………………………………（6分）
14.解一：原式=222cos(1cos)coscotsinsinxxxdxdxxdxxx………（2分）
221sin(csc1)sindxxdxx………………（4分）
1cotsinxxCx…………………………（6分）
解二：原式=221sin22sin2xdxx……………………………………（2分）
221csccsc()2222xxxdxdxddx…（4分）
cot2xxC…………………………………（6分）
15.解：令1xet，则2ln(1)xt，221tdxdtt…………（2分）
所以3ln1033322ln5222212211xtdtedxdtdttt……（4分）
22(arctan3arctan2)…………………………（6分）
16.解：11(sin)dxdxxxyexedxC………（2分）
lnln(sin)xxexedxC……………………（3分）
1(coscos)xxxdxCx
sincosxCxxx……………………………………（6分）
17.解：设223(,,)1Fxyzxxyz，则
122','2,'ln3zzxyzFzxyFxyFxxz…（3分）
所以2122''2,'ln3'ln3zxxzzFFzyzxzxyxFzxxzyFzxxz
……………………………………………………………（6分）
18.解：画出积分区域D
解方程组21,2,{yxyx，可求得切点为(1,2)………………（3分）
2110222xxDxydxdydxxydy
2111222200(12)|xxxydxxxxdx
112222300111(1)(1)266|xdxx………（6分）
四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）
19.解：0()(1)xxttdt在(,)上可导，'()(1)xxx…（2分）
令'()(1)0xxx，得驻点120,1xx…………………（3分）
列表
x (,0) 0 (0,1) 1 (1,)
'()x 0 0
()x 单调增 极大值 单调减 极小值 单调增
………………………………………………………………（7分）
极大值(0)0，
极小值101(1)(1)6xxdx…………………………………（10分）
20.解：2ln(1)2(1)()[(1)]'[]'xxxfxex…………………………（2分）
2ln(1)2212[ln(1)()]21xxexxxx
2222(1)[ln(1)]2xxx……………………………（6分）
11211(2)(2)(2)(2)(2)()22fxdxfxdxtxftdt令
………………………………………………………………………（8分）
21212(1)lim(1)222|ttttt
22121lim(1)2222ttet…………………………（12分）
