高三数学二轮专题复习资料(理)
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专题一：三角函数与平面向量
一、高考动向：
1.三角函数的性质、图像及其变换，主要是sin()yAx的性质、图像及变换.考查三角函数的概念、奇偶性、周期性、单调性、有界性、图像的平移和对称等.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中低档题，这些试题对三角函数单一的性质考查较少，一道题所涉及的三角函数性质在两个或两个以上，考查的知识点来源于教材.
2.三角变换.主要考查公式的灵活运用、变换能力，一般要运用和角、差角与二倍角公式，尤其是对公式的应用与三角函数性质的综合考查.以选择题或填空题或解答题形式出现，属中档题.
3.三角函数的应用.以平面向量、解析几何等为载体，或者用解三角形来考查学生对三角恒等变形及三角函数性质的应用的综合能力.特别要注意三角函数在实际问题中的应用和跨知识点的应用，注意三角函数在解答有关函数、向量、平面几何、立体几何、解析几何等问题时的工具性作用.这类题一般以解答题的形式出现，属中档题.
4.在一套高考试题中，三角函数一般分别有1个选择题、1个填空题和1个解答题，或选择题与填空题1个，解答题1个，分值在17分—22分之间．
5.在高考试题中，三角题多以低档或中档题目为主，一般不会出现较难题，更不会出现难题，因而三角题是高考中的得分点．
二、知识再现：
三角函数跨学科应用是它的鲜明特点，在解答函数，不等式，立体几何问题时，三角函数是常用的工具，在实际问题中也有广泛的应用，平面向量的综合问题是“新热点”题型，其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系，解决角度、垂直、距离、共线等问题，以解答题为主。
1．三角函数的化简与求值
（1）常用方法：①
②
③
（2）化简要求：① ②
③ ④ ⑤
2．三角函数的图象与性质
（1）解图象的变换题时，提倡先平移，但先伸缩后平移也经常出现，无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
（2）函数xysin，xycos，xytan图象的对称中心分别为
。（Zk）
（3）函数xysin，xycos图象的对称轴分别为直线 Zk
3．向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”
（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共 的，和向量是始点与已知向量的 重合的那条对角线，而差向量是 ，方向是从 指向 。
（2）三角形法则的特点是 ，由第一个向量的 指向最后一个向量的 的有向线段就表示这些向量的和，差向量是从 的终点指向 的终点。
（3）当两个向量的起点公共时，用 法则；当两个向量是首尾连接时，用 法则。 三、课前热身：
1.（天津卷）把函数sinyx（xR）的图象上所有点向左平行移动3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是
（A）sin(2)3yx，xR （B）sin()26xy，xR
（C）sin(2)3yx，xR （D）sin(2)32yx，xR
2.（湖南卷）设D、E、F分别是△ABC的三边BC、CA、AB上的点，且2,DCBD2,CEEA
2,AFFB则ADBECF与BC( )
A.反向平行 B.同向平行
C.互相垂直 D.既不平行也不垂直
3．（江苏）函数()sin3cos(π0)fxxxx，的单调递增区间是（）
Ａ．5ππ6， Ｂ．5ππ66， Ｃ．π03， Ｄ．π06，
4．（重庆卷)若过两点)2,1(1P,)6,5(2P的直线与x轴相交于点P，则P点分有向线段12PP所成的比的值为
(A)－13 (B) －15 (C) 15 (D) 13
5．（山东卷）已知cba,,为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量1,3m，AAnsin,cos.若nm，且CcAbBasincoscos，则角B＝ .
四、典题体验：
例1 （安徽卷）已知40,sin25
（Ⅰ）求22sinsin2coscos2的值； （Ⅱ）求5tan()4的值。
例2.已知)2,2(a，a与b的夹角为43，有2ba
（1）求b （2）设)0,1(t，且tb，)2cos2,(cos2CAc，其中CA,是ABC的内角，若A，B，C依次成等差数列，求cb的取值范围。
例3. 在ABC中,角A、B、C所对的边是,,abc，且2221.2acbac
（1）求2sincos22ACB的值；
（2）若2b，求ABC面积的最大值.
变式．在ABC△中，5cos13B，4cos5C．
（Ⅰ）求sinA的值；
（Ⅱ）设ABC△的面积332ABCS△，求BC的长．
例4（2006湖北）设函数cbaxf)(，其中向量(sin,cos)axx，
(sin,3cos)bxx，(cos,sin)cxx，xR。
（Ⅰ）、求函数()fx的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）、将函数()fx的图像按向量d平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d。
例5.设平面向量1,3a，23,21b，若存在实数)0(mm和角2,2，使向量bac)3(tan2，amd
btan，且dc。 （1）求函数)(fm的关系式；
（2）令tant，求函数)(tgm的极值
例6.（安徽）设函数232()cos4sincos43422xxfxxtttt，xR，
其中1t≤，将()fx的最小值记为()gt．
（I）求()gt的表达式；
（II）讨论()gt在区间(11)，内的单调性并求极值．
本小题主要考查同角三角函数的基本关系，倍角的正弦公式，正弦函数的值域，多项式函数的导数，函数的单调性，考查应用导数分析解决多项式函数的单调区间，极值与最值等问题的综合能力．
五、能力提升
1.三角函数是一种特殊函数，因此，要重视函数思想对三角函数的指导意义，要注意数形结合、分类整合，化归与转化思想在三角中的运用，要熟记正弦曲线、余弦曲线、正切曲线的对称中心和它们的图象特征，能从图象中直接看出它们的性质。
2.解题策略：切割化弦；活用公式；边角互化
3.常用技巧：“1”的代换；角的变换；特殊角；辅助角公式；降幂公式
练习1.（江西卷）如图，正六边形ABCDEF中，有下列四个命题：
A．2ACAFBC B．22ADABAF
C．ACADADAB D．()()ADAFEFADAFEF
其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．
2.已知函数2π()cos12fxx，1()1sin22gxx．
（I）设0xx是函数()yfx图象的一条对称轴，求0()gx的值．
（II）求函数()()()hxfxgx的单调递增区间．
ABDECF
3.在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．
（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；
（Ⅱ）若sinsin()2sin2CBAA，求ABC△的面积．
本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．
六、专项训练
（一）.选择题：（30分）
1．已知向量OB=(2，0),向量OC=（2，2），向量CA=（2cos,2sin），则向量OA与向量OB的夹角的范围为（ ）
A ［0，4］ B ［4，512］ C ［512，2］ D ［12，512］
2．△ABC中，若)(2222444baccba，则C度数是：（）
A 600 B 450或1350 C 1200 D 300
3.（湖北卷5）将函数3sin()yx的图象F按向量(,3)3平移得到图象F,若F的一条对称轴是直线4x,则的一个可能取值是
A. 125 B. 125 C. 1211 D. 1112
4．已知k＜－4，则函数)1(cos2cosxkxy的最小值是( )
(A) 1 (B) －1 (C) 2k＋1 (D) －2k＋1
5.给定性质：①最小正周期为，②图象关于直线3x对称，则下列四个函数中，同时具有性质①②的是 （ ）
（A） sin()26xy（B）sin(2)6yx（C）sinyx （D）sin(2)6yx
6.设(43)，a，a在b上的投影为522，b在x轴上的投影为2，且||14≤b，则b为
A．(214)， B．227， C．227， D．(28)，
二.填空题：（8分）
7．（湖南卷）若)4sin(3)4sin()(xxaxf是偶函数，则a= .
8．已知向量sin,cosaa=(cos,sin)，向量b=(3,1)，则ba2的最大值是 三、解答题：（37分）
9．已知,,ABC是三角形ABC三内角，向量1,3,cos,sinmnAA，且1mn.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）若221sin23cossinBBB，求tanB，Ctan
10.（江西）如图，函数π2cos()(0)2yxxR，≤≤的图象与y轴交于点(03)，，且在该点处切线的斜率为2．
（1）求和的值；
（2）已知点π02A，，点P是该函数图象上一点，点00()Qxy，是PA的中点，当032y，0ππ2x，时，求0x的值．
11.已知ABC△的面积为3，且满足60ACAB，设AB和AC的夹角为．
（I）求的取值范围；
（II）求函数2()2sin3cos24fπ的最大值与最小值．
本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力．
