第4章_三角拱

第4章 静定拱和悬索结构（知识点小结）

一、三铰平拱的受力分析

1、竖向荷载（包括力偶）作用下的支座反力（图4-1）

图4-1 三铰平拱的数解法

0

AVAVFF=，0

BVBVFF=， 0

C

HM

F

f=

式中，AVF、BVF为拱的竖向支座反力；

0

AVF、0

BVF为相应简支梁的竖向支座反力；

HF为拱的水平推力；

0

CM为相应简支梁上对应拱顶铰C截面上的弯矩值；

f为拱高。

2、竖向荷载（包括力偶）作用下任一K截面内力

0

KKHKMMFy=−

0cossin

SKSKKHKFFF=−

0sincos

NKSKKHKFFF=−−

式中，0

KM、0

SKF为相应简支梁上对应K截面的弯矩、剪力；

K值为K截面法线的倾角（如图4-1(a)所示的坐标系中），在拱顶铰以左取正，以右

取负。

K可根据其与拱轴方程)(xfy=之间的关系式确定，即：

()21

cos,sincos

1

KKKK

xxy

y

=

==

+

3、受力特征总结 （1）支座反力与拱轴线形式无关，只与三个铰的位置有关；

（2）两个竖向支座反力与相应简支梁竖向支反力对应相等，这说明竖向支反力与拱高

无关；

（3）水平推力HF与相应简支梁拱顶对应截面上的弯矩成正比，而与拱高f成反比。

因此，在设计中应根据实际情况适当选取高跨比，以满足结构受力和使用方面的要求。

（4）由于水平推力HF的作用，拱截面上的弯矩比相应简支梁上对应截面的弯矩要小。

（5）在拱截面上产生了相应简支梁中所不存在的轴力，且为压力。因此拱截面上的应

力分布比梁截面上的应力分布要均匀些，拱比梁要节省材料。

4、带拉杆的三铰平拱

以上公式均适用于带拉杆的三铰平拱（承受竖向荷载作用），拉杆拉力即为水平推力HF，

其支座反力和内力和的计算公式不变。

5、一般荷载（含水平力）作用下，支座反力和内力不能套用上述公式，而应直接采用截面

法求内力，此时两个支座的水平反力也不相同。

二、三铰斜拱的计算

三铰斜拱在竖向荷载作用下，可根据三个整体平衡条件，以及半拱对拱顶铰C的平衡

65 第四章 静定拱和悬索结构

拱结构是一种主要承受轴向压力并由两端推力维持平衡的曲线或折线形构件。拱结构的主要内

力为压力，使构件摆脱了弯曲变形。如采用抗压性能较好的材料（如砖石或混凝土），则能充分发

挥材料性能。悬索结构是由柔性受拉索及其边缘构件所形成的承重结构，它能充分利用高强材料的

抗拉性能，可以做到跨度大、自重小、省材料、易施工。本章主要针对这两种受力性能截然不同的

结构，讲述其内力分析方法，并对受力特性进行讨论。

第一节 概述和三铰拱的计算

拱式结构是应用较广泛的工程结构形式之一，我国远在古代就在桥梁和房屋建筑中采用了拱式

结构。图4-1（a）所示为修建于公元606年前的河北赵州桥，跨径37.02m，桥高7.23m，宽9.6m，

是当今世界上现存最早、保存最完整的古代单孔敞肩石拱桥，经历了多次水灾、战乱和地震，却安

然屹于清水河上，被称为中国工程界一绝。 在近代土木工程中，拱式结构是桥梁、隧道及屋盖中

的重要结构型式之一。图4-1(b)为2003年建成的主跨跨径达550m的上海芦浦大桥，是当今世界跨

度第二长的钢结构拱桥，也是世界上首座完全采用焊接工艺连接的大型拱桥。

（a） （b）

图4-1 拱式结构工程实例

(a)赵州桥 (b) 上海芦浦大桥

为了说明拱式结构和梁式结构的受力特点，可将图4-2(a)、图4-2(b)及图4-2(c) 所示三种情况

做一对比，这三种情况下结构所受的荷载及跨度均相同。图4-2(a)所示为简支梁，在竖向荷载作用

下，梁内有弯矩和剪力。图4-2(b)所示结构，其杆轴虽为曲线，但在竖向荷载作用下支座并不产生

水平支反力，它的弯矩图与图4-2(a)所示简支梁相同（剪力和轴力发生变化），故称为曲梁。曲梁

在竖向荷载作用下将在支座B处产生水平位移。若用支承链杆约束该处的位移则变为图4-2(c)所示

的情况，这种结构在竖向荷载作用下会产生水平推力，故属于拱式结构。由此可见，水平推力的存

在是拱式结构区别于梁式结构的一个重要标志，因此通常又将拱式结构称为有推力结构。

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第 1 页 共 29 页 第一章 三角函数

1.1 任意角和弧度制

【知识点归纳】

1.诱任意角的概念

2.终边相同的角：

3.象限角：

4.角度制和弧度制：

5.角度制与弧度制的换算：

【典型例题】

题型一 概念问题

例1.下列说法正确的有几个（ ）

（1）锐角是第一象限的角；（ 2）第一象限的角都锐角

（3）小于90°的角是锐角；（ 4）0°～90°的角是锐角

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

变式：1.下列命题正确的是（ ）

A. 终边相同的角一定相等 B. 第一象限角都是锐角

C. 锐角都是第一象限角 D.小于90°的角都是锐角

2.给出下列四个命题：①﹣75°是第四象限角；②225°是第三象限角；③475°是第二象限角；④﹣315°是第一象限角。其中正确的命题有（ ）。

A.1个 B.2个 C. 3个 D.4个

题型二 终边相同的角

例2.在003600，找出与下列各角终边相同的角， 并判断它是哪个象限：（1）−1200；（2）`129500

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第 2 页 共 29 页 变式：1.与18400终边相同的最小正角为______与-18400终边相同的最小正角是______

2.与﹣457°角终边相同的角的集合是（ ）

A．00360457,kkZ B．0036097,kkZ

C．00360263,kkZ D．00360263,kkZ

题型三 求角的和、差的范围

例3.若ZkkA,3600ZkkB,1800ZkkC,900则下列关系中正确的是（）

f

拱趾

l（拱跨） 拱趾

拱顶

外缘

内缘 拉杆

吊杆

花篮螺丝

第四章 三铰拱与悬索结构

4.1 三铰拱的组成及受力特征

一、定义

通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。

二、特点

1、弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。

2、用料省、自重轻、跨度大。

3、可用抗压性能强的砖石材料。

4、构造复杂，施工费用高。

三、拱的种类： 无铰拱、两铰拱、三铰拱、带拉杆拱、带吊杆拱。

四、拱各部分的名称：

q= 20kN/m

C

A B H=82.5kN

VA=115kN P=100kN

H=82.5kN

VB=105kN 1

0 2 3 4 5 6

7

8

8×1.5=12m

4.2 三铰拱的内力计算

一、三铰拱的内力计算

1、拱的内力计算原理仍然是截面法。

2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。

二、举例

例4-1 试作图示三铰拱的内力图。拱轴为一抛物线，坐标原点取A支座，求其方程。

4.3 三铰拱的合理拱轴

一、三铰拱的压力线

在荷载作用下，三铰拱的任意截面一般有三个内力分量Mk、Qk、Nk。这三个内力分量可用它的合力R代替。将三铰拱每一截面上合力作用点用折线或曲线连接起来，这些折线或曲线成为三铰拱的压力线。 C

A

B

K

1

1

q

ql/2

x

A

B C

ql/2 A

B f

l/2

x

y

l/2

C

q

二、合理拱轴的概念：

（1）定义：在给定荷载作用下，拱各截面只承受轴力，而弯矩、剪力均为零，这样的拱轴称为合理拱轴。

（2）如何满足合理拱轴：首先写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零即可确定合理拱轴。

例4-2 试求图4－11所示对称三铰拱在竖向荷载q作用下的合理拱轴。

解：方法1：在竖向均布荷载作用下，三铰拱的合理拱轴的轴线是一抛物线。

方法2：写出任一截面的弯矩表达式，而后令其等于零。