9二项分布及其应用-简单难度-讲义

二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。

1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。

（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。

2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。

（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。

例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。

（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。

3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。

例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。

（2）条件概率公式：P (B A ) = P (A I B )A ①利用定义，分别求出 P (A )和 P (B A )，得 P (B A ) = P (A I B )(B A ) = n (A I B ) ．二项分布及其应用引入姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为 0．8，假设他每次命中率相同,请问他 4 投 3 中 的概率是多少?问题 1：在 4 次投篮中姚明恰好命中 1 次的概率是多少? 问题 2：在 4 次投篮中姚明恰好命中 2 次的概率是多少? 问题３：在 4 次投篮中姚明恰好命中 3 次的概率是多少? 问题 4：在 4 次投篮中姚明恰好命中 4 次的概率是多少？ 问题 5：在 n 次投篮中姚明恰好命中 k 次的概率是多少?解读1、条件概率（1）条件概率的定义：对于任何两个事件 A 和 B ，在已知事件 A 发生的条件下，事件 B 发 生的概率叫做条件概率，用符号“ P(B | A) ”来表示．P (A )其中 P (A ) > 0 ， I B 称为事件 A 与 B 的积或交（或积）．把由事件 A 与 B 的交（或积），记做 D = A I B （或 D = AB ）． （3）条件概率的求法：P (A ) ．②借助古典概型概率公式，先求事件 A 包含的基本事件数，即 n (A )再求事件 n (A I B )，得P n ( A )2、相互独立事件同时发生的概率（1）事件的独立性 ：如果事件 A (或 B )是否发生对事件 B （或 A ）发生的概率没有影响， P(B | A) = P(B) ，这时，我们称两个事件 A ， B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事 件．如果事件A与B相互独立，那么事件A g B发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A g B)=P(A)g P(B)．如果事件A，A，…，A相互独立，那么这n个事件都发生的概率，等于每个事件发12n生的概率的积，即P(A I A I L I A)=P(A)⨯P(A)⨯L⨯P(A)，并且上式中任意多个事12n12n件A换成其对立事件后等式仍成立．i（2）“相互独立”与“事件互斥”两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．3、二项分布（1）独立重复试验如果每次试验，只考虑有两个可能的结果A及A，并且事件A发生的概率相同．在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P(k)=C k p k(1-p)n-kn n(k=0,1,2,L,n)．（2）二项分布若将事件A发生的次数设为X，事件A不发生的概率为q=1-p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率是P(X=k)=C k p k q n-k，其中k=0,1,2,L,n．于是得到Xn的分布列X01…k…nP C0p0q nn C1p1q n-1n…C k p k q n-kn…C n p n q0n由于表中的第二行恰好是二项展开式(q+p)n=C0p0q n+C1p1q n-1+L+C k p k q n-k+L C n p n q0n n n n各对应项的值，所以称这样的散型随机变量X服从参数为n，p的二项分布，记作X~B(n,p)．2A ． 80典例精讲一．选择题（共 19 小题）1．（2018 春•重庆期末）设随机变量 X ～B （3，0.2），则 E （2x +1）=（ ）A ．0.6B ．1.2C ．2.2D ．3.2【分析】由随机变量 X ～B （3，0.2），E （2x +1）=2E （X ）+1，由此能求出结果．【解答】解：∵随机变量 X ～B （3，0.2），∴E （X ）=3×0.2=0.6，∴E （2x +1）=2E （X ）+1=2×0.6+1=2.2．故选：C ．2．（2018 春•泉州期末）设随机变量 X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），若 P5（X ≥1）= ，则 D （Y ）=（）9A ．4B ．5C ．6D ．75 1 1 【分析】由 X ～B （2，p ），P （X ≥1）= ，求出 p= ，从而 X ～B （2， ），由此9 3 3能求出 D （X ），利用 D （Y ）=9E （X ），能求出结果．5 【解答】解：∵随机变量 X ，Y 满足：Y=3X ﹣1，X ～B （2，p ），P （X ≥1）= ，94∴P （X=0）=1﹣P （X ≥1）=C 0(1 − p)2= ，91 1解得 p= ，∴X ～B （2， ），3 31 1 4∴D （X ）=2× × (1 − )= ，3 3 94∴D （Y ）=9E （X ）=9× =4．9故选：A ．13．（2018 春•大连期末）设 X 为随机变量，X ～B （n ， ），若随机变量 X 的数学 3期望 E （X ）=2，则 P （X=2）等于（ ）243B ． 13 243C ． 4 243D ． 13161【分析】根据 X 为随机变量，X ～B （n ， ），利用二项分布的变量的期望值公3式，代入公式得到 n 的值，再根据二项分布概率公式得到结果．2 ⋅ (1)2(1 − 1)4= ．∴P （X=2）=C 63 3 4．（2017 春•金州区校级期末）若 ξ～B （n ，p ），且E(ξ) = 3，D(ξ) = 2，则 PC ． 3 【解答】解：∵ξ～B （n ，p ），且E(ξ) = 3，D(ξ) = 2， np = 3np(1 − p) = 31 16 （1【解答】解：∵随机变量 X 为随机变量，X ～B （n ， ），31∴其期望 EX=np= n=2，∴n=6，380243故选：A ．3（ξ=1）的值为 （）A ． 32B ．1 432 D ． 116【分析】利用二项分布的数学期望和方差性质列出方程组，求出 n ，p ，由此能求出 P （ξ=1）的值．3∴{ 1，解得 n=6，p= ， 2 23 ∴P （ξ=1）=C 1(2)(2)5=32．故选：C ．5．（2017 春•庆城县校级期末）已知随机变量 X ，Y 满足 X +Y=8，若 X ～B （10，0.6），则 E （Y ），D （Y ）分别是（ ）A ．6 和 2.4B ．2 和 2.4C ．2 和 5.6D ．6 和 5.6【分析】由随机变量 X ，Y 满足 X +Y=8，X ～B （10，0.6），求出 E （X ），D （X ），由此能求出 E （Y ），D （Y ）．【解答】解：∵随机变量 X ，Y 满足 X +Y=8，X ～B （10，0.6），∴E （X ）=10×0.6=6，D （X ）=10×0.6×0.4=2.4，E （Y ）=E （8﹣X ）=8﹣E （X ）=8﹣6=2，D （Y ）=D （8﹣X ）=D （X ）=2.4．故选：B ．6． 2017 春•黄山期末）随机变量 ξ 服从二项分布 ξ～B （n ，P ），且 E （ξ）=300， nD （ξ）=200，则 等于（） pnp = 300 【解答】解：由题意可得{np(1 − p) = 200，解得{ p = 1 ，A ．18， 3B ．16， 4C ．16， 4D ．18， 4解得{ p = 3 ，8．（2017 春•辛集市校级月考）若P(ξ = K) = K ，则1 【分析】根据P(ξ = K) = K ，求出 n ，即可求出 的值． 1【解答】解：由P(ξ = K) = K ，得，n =7，A ．3200B ．2700C ．1350D ．1200【分析】根据数学期望和方差列不等式组解出 n ，p ，从而得出答案．n = 9003n∴ =2700．p故选：B ．7．（2017 春•龙海市校级期末）已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ～B （n ，p ）且 E （X ）=12，D （X ）=3，则 n 与 p 的值分别为（）2 3 1 1【分析】根据二项分布的均值与方差公式列方程组解出．【解答】解：∵X ～B （n ，p ）且 E （X ）=12，D （X ）=3， np = 12 ∴{np(1 − p) = 3，n = 164故选：B ．12n! 3!(n−3)! 的值为（ ） A ．1 B ．20C ．35D ．7n!2n(n−1)(n−2) n(n−1)(n−2)(n−3) 2n! 7×6×5×4! 7×6×5所以 = = = 35．3!(n−3)! 3!4! 3×2×1故选：C ．9．（2016 秋•东胜区校级期末）已知随机变量 X 服从二项分布 B （n ，p ），若 E（X ）=30，D （X ）=20，则 n ，p 分别等于（）2 A ．n=45，p=3 1B ．n=45，p= 3 1C ．n=90，p= 3 2D ．n=90，p=3【分析】直接利用二项分布的期望与方差列出方程求解即可．【解答】解：随机变量 X 服从二项分布 B （n ，p ），若 E （X ）=30，D （X ）=20，【分析】利用 C 20k •（ ）k •（ ）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（ ）k ﹣1•（ ）21﹣k ，C 20k •（ ）k •（ ）20﹣k ≥C 20k +1•（ ）k +1•（ ）19﹣k ，即可得出结论． 由题意 C 20k •（ ）k •（ ）20﹣k ≥C 20k ﹣1•（ ）k ﹣1•（ ）21﹣k ，C 20k •（ ）k •（ ）20 ﹣k ≥C A ． 1 =C 12k •（ ）k •（ ）n ﹣k ，即可求得 P （x=1）的值． ∴P （x=1）=C 121• •（ ）11=3•2﹣10．P2 1可得 np=30，npq=20，q= ，则 p= ，n=90，3 3故选：C ．110．（2017 秋•天心区校级月考）已知随机变量 X ：B （20， ），要使 P （X=k ）的 3值最大，则 k 等于（ ）A ．5 或 6B ．6 或 7C ．7D ．7 或 81 2 1 2 1 3 3 3 3 32 1 23 3 3 【解答】解：P （X=k ）=C 20 1 2k •（ ）k •（ ）20﹣k ，则3 31 2 1 2 1 2 3 3 3 3 3 3201 2k +1•（ ）k +1•（ ）19﹣k ，3 3∴k=6 或 7．故选：B ．11．（2017 秋•七里河区校级月考）若 X ～B （n ，p ），且 E （x ）=6，D （x ）=3，则 P （x=1）的值为（ ） 16 B ． 3 210 C ． 1 218 D ． 34【分析】根据二项分布的期望和方差的计算公式，求得 p 和 n 的值，根据 （X=k ）1 12 21【解答】解：由题意 Ex=np=6，Dx=np （1﹣p ）=3，解得 p= ，n=12，21 12 2故选：B ．12．（2017 春•抚顺期末）设服从二项分布 B ～（n ，p ）的随机变量 ξ 的期望和方差分别是 2.4 与 1.44，则二项分布的参数 n 、p 的值为（）A ．n=4，p=0.6B ．n=6，p=0.4C ．n=8，p=0.3D ．n=24，p=0.1【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．（ B p A ．18， 3B ．18， 3C ．12， 3D ．12， 34∴P （ξ=1）=C 13 ⋅ 3 ⋅ (3)2= ，9【解答】解：∵ξ 服从二项分布 B ～（n ，p ）由 Eξ=2.4=np ，Dξ=1.44=np （1﹣p ），1.44 可得 1﹣p= =0.6，2.4 2.4∴p=0.4，n= =6．0.4故选：B ．13． 2016 春•天津校级期末）已知离散型随机变量 X 服从二项分布 X ～ （n ， ）且 E （X ）=12，D （X ）=4，则 n 与 p 的值分别为（）2 1 2 1【分析】根据随机变量符合二项分布，由二项分布的期望和方差的公式，及条件中所给的期望和方差的值，列出期望和方差的关系式，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组可得到 n ，p 的值．【解答】解：∵随机变量 X 服从二项分布 X ～B （n ，p ），且 E （X ）=12，D （X ）=4，∴E （X ）=12=np ，①D （X ）=4=np （1﹣p ），②1 ①与②相除可得 1﹣p= ，32∴p= ，n=18．3故选：A ．114．（2016 春•红桥区期末）已知随机变量 ξ 服从二项分布，且 ξ～B （3， ），则 3P （ξ=1）等于（）A ． 13 B ．4 9C ． 29D ． 231【分析】根据随机变量 ξ 服从二项分布，ξ～B （3， ），得到变量对应的概率公3式，把变量等于 1 代入，求出概率．1【解答】解：∵随机变量 ξ 服从二项分布，ξ～B （3， ），31 2故选：B ．（ B D （ B p315． 2016 春•福建校级期末）若随机变量 ξ～ （10， ），则 （5ξ﹣3）等于（ ）5A ．9B ．12C ．57D ．60【分析】利用二项分布的方差公式进行计算．3 【解答】解：∵随机变量 ξ～B （10， ），53 2 12∴D （ξ）=10× × =5 5 5∴D （5ξ﹣3）=25D （ξ）=60．故选：D ．16．（2016 春•铜仁市校级期中）随机变量 X ～B （n ，p ），其均值等于 200，标准差等于 10，则 n ，p 的值分别为（）1 A ．400，2 1B ．200， 20 1C ．400， 4 1D ．200，4【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的两个未知量．【解答】解：∵随机变量 X ～B （n ，p ），均值等于 200，标准差等于 10，∴由 Eξ=200=np ，Dξ=100=np （1﹣p ），1可得 p= ，n=400．2故选：A ．17．2015 秋•孝感期末）随机变量 ξ 服从二项分布 ξ～（n ，），且 Eξ=300，Dξ=200，则 p 等于（）A ． 2 1B ．0C ．1D ．3 3【分析】根据随机变量符合二项分布，根据二项分布的期望和方差的公式和条件中所给的期望和方差的值，得到关于 n 和 p 的方程组，解方程组得到要求的未知量 p ．【解答】解：∵ξ 服从二项分布 B ～（n ，p ）Eξ=300，Dξ=200∴Eξ=300=np ，①；Dξ=200=np （1﹣p ），②② 200 2可得 1﹣p= = ， ① 300 31 6 5 （ A ． 40 3•(2)•(1 − 2) = ，∴P （X ≥1）=1﹣P （X=0）=1﹣C 02（1﹣p ）2= ，2 1∴p=1﹣ =3 3故选：D ．118． 2015 春•蚌埠期末）设随机变量 ξ 服从 B （6， ），则 P （ξ=3）的值是（）25 3 5 3 A ． B ． C ． D ．8 8 16 16【分析】直接利用独立事件的概率公式求解即可．1【解答】解：随机变量 ξ 服从 B ～（6，2），则 P （ξ=3）=C 63(2) =16．故选：C ．219．（2015 春•珠海期末）在比赛中，如果运动员甲胜运动员乙的概率是 ，那么 3在五次比赛中，运动员甲恰有三次获胜的概率是（ ） 243 B ． 80 243 C ． 110 243 D ． 20243【分析】由条件利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率计算公式，计算求得结果．2【解答】解：根据每次比赛中，甲胜运动员乙的概率是 ，故在五次比赛中，33 2 80 运动员甲恰有三次获胜的概率是C 5 3 3 243故选：B ．二．填空题（共 5 小题）320．（2016 春•泰兴市校级月考）设随机变量 X ～B （2，p ）．若 P （X ≥1）= ， 41则 p= ．2【分析】根据随机变量服从 X ～B （2，P ）和 P （X ≥1）对应的概率的值，写出概率的表示式，得到关于 P 的方程，解出 P 的值．【解答】解：∵随机变量服从 X ～B （2，P ），3 41解得 p= ，21故答案为： ．222 1( ) ( ) = ∴X 3～B （10， ），V （X 2）= ，则 σ（X 3）的值是 ．∴D （X 3）=10× × = ∴σ（X 3）= ． （ B P = （2 2021． 2014 春•溧阳市期末）已知二项分布满足 X ～ （6， ），则 （X=2） ， 3 243EX= 4 ．2【分析】根据随机变量符合二项分布，x ～B （6， ）表示 6 此独立重复试验，每32次实验成功概率为 ，P （x=2）表示 6 次试验中成功两次的概率，根据二项分3布的期望公式，代入 n 和 p 的值，求出期望． 2【解答】解：∵X 服从二项分布 X ～B （6， ）34 2 20∴P （X=2）=C 6 3 32432∵随机变量 ξ 服从二项分布 ξ～B （6， ），32∴期望 Eξ=np=6× =4320故答案为： ；424322． 2011 春•徐州期中）在 0﹣1 分布中，设 P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则 P （X=1）= 1﹣p ．【分析】由两点分布的性质知，若 P （X=0）=p ，0＜p ＜1，则 P （X=1）=1﹣p ．【解答】解：在 0﹣1 分布中，∵P （X=0）=p ，0＜p ＜1，∴P （X=1）=1﹣p ．故答案为：1﹣p ．23．若随机变量 X 1～B （n ，0.2），X 2～B （6，p ），X 3～B （n ，p ），且 E （X 1）=2， 3 √102 2【分析】利用二项分布的期望与方差公式，即可得出结论．【解答】解：由题意，0.2n=2，∴n=10，3 16p （1﹣p ）= ，∴p= ，2 2 121 1 52 2 2 √102出则D2∮√10故答案为：．224．服从二项分布∮～B（n，p），则D2∮(E∮)2=（1﹣p）2．【分析】随机变量服从二项分布，其E（∮）=np，D（∮）=np（1﹣p），即可求(E∮)2的值【解答】解：∵随机变量∮服从二项分布∮～B（n，p），∴E（∮）=np，D（∮）=np（1﹣p），D2∮∴(E∮)2=（1﹣p）2故答案为（1﹣p）2．三．解答题（共3小题）125．设随机变量X具有分布P（X=k）=，k=1，2，3，4，5，求E（X+2）2，D5（2X﹣1），√D(X−1)．1【分析】由P（X=k）=，k=1，2，3，4，5，知Eξ，Dξ．然后求E（X+2）2，D5（2X﹣1），√D(X−1)．1【解答】解：∵P（X=k）=，k=1，2，3，4，5，51∴EX=（1+2+3+4+5）×=3，51DX=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2，5∴E（X+2）2=E（X2+4X+4）=9+12=21，D（2X﹣1）=4DX=8，√D(X−1)=√DX=√2．26．某射手射击5次，每次命中的概率为0.6，求五次中至少有三次中靶的概率．【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式，分别求得五次中有三次中靶的概率、五次中有四次中靶的概率、五次中有五次中靶（ 10； 的概率，再把这 3 个概率值相加，即得所求．【解答】解：五次中有三次中靶的概率为C 35×0.63×0.42=0.3456，五次中有三次中靶的概率C 45×0.64×0.4=0.2592，五次中有三次中靶的概率C 55•0.65=0.07776，综上可得，五次中至少有三次中靶的概率为 0.3456+0.2592+0.07776=0.68256．27．选择题有 4 个选项，有一份试卷有 10 道选择题，小明每道题选对的概率都是 0.25．问：（1）小明选对八道题的概率 405 4 10； （2）小明连续选对八道题的概率 27 4 10； （3）小明全选对的概率是 1 4 10．【分析】 1）小明选对八道题的概率C 810 ⋅ 0.258 ⋅ 0.752；（2）小明连续选对八道题的概率 3•0.258•0.752；（3）小明全选对的概率是 0.258•0.752．【解答】解：（1）小明选对八道题的概率C 810 ⋅ 0.258 ⋅ 0.752= 405 4 10 ； 27 （2）小明连续选对八道题的概率 3•0.258•0.752=4 10； 1 （3）小明全选对的概率是 0.25 10= 4 10 405 27 1 故答案为：4 10 ；4 4 10． ，。