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不定积分计算方法在微积分中，不定积分是确定函数的原函数的过程。
计算不定积分的方法有很多种，本文将介绍不定积分的基本方法，包括换元法、分部积分法、三角函数的不定积分、分式的不定积分、有理函数的不定积分等。
1.换元法：换元法是计算不定积分最常用的方法之一、其基本思想是通过变量的代换将原函数转化成一个更容易积分的形式。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的替换变量，使得在新的变量下，被积函数的形式变得更简单。
常用的替换变量有三角函数、指数函数、分式等。
(2)计算出变量的微分，即被积函数的微分形式。
如果被积函数是一个复合函数的形式，则应使用链式法则计算微分。
(3)将变量的微分代入被积函数中，得到新的被积函数。
(4)对新的被积函数进行积分计算，得到最终的结果。
(5)将变量的原函数代回原来的变量，得到最终的原函数。
2.分部积分法：分部积分法是一种通过对乘积函数进行积分的方法，可以将一个积分转化成另一个积分。
具体步骤如下：(1)选择一个适当的函数进行分解，使得被积函数可以表示为两个函数的乘积。
(2)对乘积函数应用分部积分法，得到一个新的积分表达式。
(3)在新的积分表达式中，选择一个适当的函数进行分解，并再次应用分部积分法。
(4)反复应用分部积分法，直到得到一个可以直接计算的积分表达式。
(5)对得到的积分表达式进行计算，得到最终的结果。
3.三角函数的不定积分：(1)三角函数的基本积分公式：∫sin(x)dx = -cos(x) + C∫cos(x)dx = sin(x) + C∫tan(x)dx = -ln，cos(x)， + C(2)三角函数的积分公式：∫sin^n(x)cos^m(x)dx =(-1)^(m/2) * n! * (m/2)! / (n+m+1)! * sin^(n+1)(x) *cos^(m+1)(x) + C∫tan^n(x)sec^m(x)dx =(m-1)/(m) * ∫tan^(n-2)(x)sec^(m-2)(x)dx - ∫tan^n(x)sec^(m-2)(x)dx这些公式可以用来计算包含三角函数的不定积分，通过逐步应用公式，最终得到结果。
常见的不定积分(公式大全)一、基本积分公式1. $ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，其中 $ n \neq 1 $。
2. $ \int dx = x + C $。
3. $ \int a dx = ax + C $，其中 $ a $ 为常数。
4. $ \int e^x dx = e^x + C $。
5. $ \int \ln x dx = x \ln x x + C $。
6. $ \int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C $。
7. $ \int \sin x dx = \cos x + C $。
8. $ \int \cos x dx = \sin x + C $。
9. $ \int \tan x dx = \ln |\cos x| + C $。
10. $ \int \cot x dx = \ln |\sin x| + C $。
二、换元积分法1. $ \int f(ax + b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax + b) d(ax + b) $。
2. $ \int f(x^n) dx = \frac{1}{n} \int f(x^n) d(x^n) $。
3. $ \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) dx = \frac{1}{a} \int f(\sqrt{ax^2 + bx + c}) d(\sqrt{ax^2 + bx + c}) $。
4. $ \int f(\sqrt{a^2 x^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{a^2 x^2}) d(\sqrt{a^2 x^2}) $。
5. $ \int f(\sqrt{x^2 a^2}) dx = \frac{1}{a} \intf(\sqrt{x^2 a^2}) d(\sqrt{x^2 a^2}) $。
三、分部积分法1. $ \int u dv = uv \int v du $。
不定积分公式大全1.基本的常数不定积分公式：\[\int a dx = ax + C\]（其中a为常数，C为常数，表示不定积分的任意常数项）2.幂函数不定积分公式：\[\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\]（其中n为实数，n不等于-1）3.三角函数的不定积分公式：\[\int \sin{x} dx = -\cos{x} + C\]\[\int \cos{x} dx = \sin{x} + C\]\[\int \tan{x} dx = -\ln，\cos{x}， + C\]\[\int \cot{x} dx = \ln，\sin{x}， + C\]\[\int \sec{x} dx = \ln，\sec{x} + \tan{x}， + C\]\[\int \csc{x} dx = \ln，\csc{x} - \cot{x}， + C\]4.反三角函数的不定积分公式：\[\int \arcsin{x} dx = x\arcsin{x} + \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arccos{x} dx = x\arccos{x} - \sqrt{1-x^2} + C\]\[\int \arctan{x} dx = x\arctan{x} - \frac{1}{2}\ln{(1+x^2)} + C\]5.指数函数和对数函数的不定积分公式：\[\int e^x dx = e^x + C\]\[\int a^x dx = \frac{a^x}{\ln{a}} + C\]（其中a为大于0且不等于1的实数）6.常用三角函数的组合不定积分公式：\[\int \sin^2{x} dx = \frac{x}{2} - \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \cos^2{x} dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin{2x}}{4} + C\] \[\int \sin{x}\cos{x} dx = -\frac{\cos{2x}}{2} + C\]7.双曲函数的不定积分公式：\[\int \sinh{x} dx = \cosh{x} + C\]\[\int \cosh{x} dx = \sinh{x} + C\]\[\int \tanh{x} dx = \ln，\cosh{x}， + C\]\[\int \coth{x} dx = \ln，\sinh{x}， + C\]8.基本的三角换元法不定积分公式（牛顿-莱布尼茨公式）：\[\int f(g(x))g'(x) dx = F(g(x)) + C\]（其中F是g的原函数）9.分部积分法的不定积分公式：\[\int u dv = uv - \int v du\]（其中u和v是两个函数，du和dv分别是u和v的微分）这些是常用的不定积分公式，通过它们可以求解各种函数的原函数。
不定积分计算公式不定积分是微积分中的一个重要概念，用于求函数的原函数。
在求不定积分时，我们需要掌握一系列的计算公式和方法。
本文将介绍常见的不定积分计算公式，并通过具体例题进行演示，帮助读者更好地理解和掌握不定积分的计算方法。
一、基本积分公式1. 幂函数的积分（1）若n≠-1，有∫x^n dx = (1/n+1)x^(n+1) + C，其中C为常数。
（2）若n=-1，有∫x^(-1) dx = ln|x| + C，其中C为常数。
2. 三角函数的积分（1）∫sinx dx = -cosx + C（2）∫cosx dx = sinx + C（3）∫sec^2x dx = tanx + C（4）∫csc^2x dx = -cotx + C（5）∫secx tanx dx = secx + C（6）∫cscx cotx dx = -cscx + C3. 反三角函数的积分（1）∫1/(a^2+x^2) dx = (1/a)arctan(x/a) + C，其中a为常数。
（2）∫1/(a^2-x^2) dx = (1/2a)ln|(x+a)/(x-a)| + C，其中a为常数。
（3）∫1/√(x^2±a^2) dx = ln|x+√(x^2±a^2)| + C，其中a为常数。
4. 指数函数的积分（1）∫e^x dx = e^x + C（2）∫a^x dx = (1/lna)·a^x + C，其中a为常数且a>0。
5. 对数函数的积分∫lnx dx = xlnx - x + C6. 双曲函数的积分（1）∫sinhxdx = coshx + C（2）∫coshxdx = sinhx + C（3）∫sech^2xdx = tan hx + C（4）∫csch^2xdx = -cothx + C（5）∫sechxtanhxdx = -sechx + C（6）∫cschxcosechxdx = -cosechx + C以上是常见函数的基本积分公式，掌握了这些公式，可以很方便地进行不定积分的计算。
不定积分小结一、不定积分基本公式(1)∫x a dx=x a+1a+1+C(a≠−1) (2)∫1xdx=ln|x|+C(3)∫a x dx=a xln a+C(4)∫sin x dx=−cos x+C(5)∫cos x dx=sin x+C(6)∫tan x dx=−ln|cos x|+C (7)∫cot x dx=ln|sin x|+C(8)∫sec x dx=ln|sec x+tan x|+C (9)∫csc x dx=ln|csc x−cot x|+C(10)∫sec2x dx=tan x+C (11)∫csc2x dx=−cot x+C(12)∫dx1+x2=arctan x+C(13)∫dxx2+a2=1aarctan xa+C(14)∫dxx2−a2=12aln|a−xa+x|+C(15)∫dxa2−x2=12aln|a+xa−x|+C(16)∫√1−x2=arcsin x+C(17)√a2−x2=arcsin xa+C(18)√x2±a2=ln|x+√x2±a2|+C(19)∫√a2−x2dx=x2√a2−x2+a22arcsinxa+C(20)∫√x2±a2dx=x2√x2±a2±a22ln|x+√x2±a2|+C二、两个重要的递推公式（由分部积分法可得）(1)D n=∫sin n x dx(详情请查阅教材166页)则D n=−cos x sin n−1xn+n−1nD n−2(求三角函数积分)易得D n：n为奇数时，可递推至D1=∫sin x dx=−cos x+C；n为偶数时，可递推至D2=∫sin2x dx=x2−sin2x4+C；(2)I n=∫dx(x2+a2)n(详情请查阅教材173页)则I n+1=12na2x(x2+a2)n+2n−12na2I n易得I n可递推至I1=∫dxx2+a2=1aarctan xa+C迅捷P DF编辑器（这是有理函数分解后一种形式的积分的求法，大家可以回顾课本恢复记忆）三、普遍方法(一)换元积分法：第一类换元积分法(凑微分法)这类方法需要敏锐的观察力，即观察出某个函数的导数，这就要求我们熟悉常见函数的导数。
常见不定1）∫0dx=c2）∫x^udx=(x^u+1)/(u+1)+c3）∫1/xdx=ln|x|+c4)）∫a^xdx=(a^x)/lna+c5）∫e^xdx=e^x+c6）∫sinxdx=-cosx+c7）∫cosxdx=sinx+c8）∫1/(cosx)^2dx=tanx+c9）∫1/(sinx)^2dx=-cotx+c10）∫1/√（1-x^2) dx=arcsinx+c11）∫1/(1+x^2)dx=arctanx+c12）∫1/(a^2-x^2)dx=(1/2a)ln|(a+x)/(a-x)|+c 13）∫secxdx=ln|secx+tanx|+c14）∫1/(a^2+x^2)dx=1/a*arctan(x/a)+c15）∫1/√(a^2-x^2) dx=arcsin(x/a)+c16) ∫sec^2 x dx=tanx+c;17) ∫shx dx=chx+c;18) ∫chx dx=shx+c;19) ∫thx dx=ln(chx)+c;1.∫adx = ax+C (a 为常数)2.∫sin(x)dx = -cos(x)+C3.∫cos(x)dx = sin(x)+C4.∫tan(x)dx = -loge |cos(x)|+C = loge|sec(x)|+C5.∫cot(x)dx = loge|sin(x)|+C6.∫sec(x)dx = loge|sec(x)+tan(x)|+C7. ∫sin 2(x)dx= 1 (x-sin(x)cos(x))+C 2= 1 x - 1 sin(2x)+C 2 48. ∫cos 2(x)dx= 1 (x+sin(x)cos(x))+C 2= 1 x + 1 sin(2x)+C 2 49. ∫tan 2(x)dx = tan(x)-x+C10.∫cot 2(x)dx = -cot(x)-x+C11.∫sin(ax)sin(bx)dx= sin((a-b)x) - sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)12.∫sin(ax)cos(bx)dx= - cos((a-b)x) - cos((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)13.∫cos(ax)cos(bx)dx= sin((a-b)x) + sin((a+b)x) +C 2(a-b) 2(a+b)14.∫xsin(x)dx = sin(x)-xcos(x)+C15.∫xcos(x)dx = cos(x)+xsin(x)+C16.∫x 2sin(x)dx = (2-x 2)cos(x)+2xsin(x)+C17.∫x 2cos(x)dx = (x 2-2)sin(x)+2xcos(x)+C18.∫e x dx = e x +C∫ ?a? dx = a log |x| ? (a 为常数) x仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。
§2 不定积分的计算 （1）(一) 教学目的：掌握第一、二换元积分法与分部积分法． (二) 教学内容：第一、二换元积分法；分部积分法．基本要求：熟练掌握换元积分法和分步积分法. (三) 教学建议：(1) 布置足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题． (2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法．————————————————————————不定积分的计算一般由三种方法： 1） 凑公式法 2） 部积分法 2） 第二变量替换法一 第一类换元法 ——凑公式法,2cos 2sin 10)2(sin 2sin 52sin 2sin 52sin 4445xdx x dx x x x xd x d ='==⇒ ⎰⎰'=dx x x xdx x )2(sin 2sin 52cos 2sin 1044⎰=x xd 2sin 2sin 54xu 2sin ======⎰+=+=.2sin 5554c x c u du u 引出凑公式法: Th 若⎰+=,)()(c x F dx x f )(x φ 连续可导, 则⎰+='.)]([)()]([c t F dt t t f φφφ该定理可叙述为： 若函数)(t g 能分解为 )()]([)(t t f t g φφ'= 则有⎰⎰⎰='=)()]([)()]([)(t d t f dt t t f dt t g φφφφ)(t x φ=====⎰+=+=c t F c x F dx x f )]([)()(φ.凑公式法： 表面看⎰dx x f )(不符合基本积分公式，但作变换，令 ,)(u x =ϕ后⎰⎰=du u g x f )()(，而 ⎰du u g )( 符合基本积分公式例1 ⎰dx x x 2sin 但作变换，令 u x =2后C x udu dx x x +-==⎰⎰cos 21sin 21sin 2例2⎰+22x a dx不符合基本积分公式，稍微变换一下⎰+22x a dx＝⎰+])/(1[22a x a dx 令a x u /=⎰⎰=+=+ax arctg a u du a a x a dx 111])/(1[222 例3 ⎰xdx sec 不符合基本积分公式，但用三角函数公式整)(sin )sin 11sin 11(21sin 1)(sin cos cos 22x d x x x x d dx x x -++=-=⎰⎰⎰令 u x =sin 后 化成C xx C u u du u u +-+=+-+=--+⎰|sin 1sin 1|ln 21|11|ln 21)1111(21凑公式法的关键是设法把 dx x f )( 凑成 )())((x d x g ϕϕ 的形式，使du u g )(⎰符合基本积分公式。
凑公式法的关键是设法把 dx x f )( 凑成 )())((x d x g ϕϕ 的形式，使du u g )(⎰符合基本积分公式。
分部积分我们讲导数时，知道)()()()(])()([x v x u x v x u x v x u '+'='从而有⎰⎰'+'=dx x v x u dx x v x u x v x u )()()()()()(移项得⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()(或 ⎰⎰-=)()()()()()(x du x v x v x u dx x dv x u 我们称这个公式为分部积分公式。
当 ⎰'dx x v x u )()( 不容易积分，但⎰'dx x v x u )()( 容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的 ⎰'dx x v x u )()( 计算出来例4 ⎰xdx x cos若令 x v x v x u sin cos ,=⇒='= ， 代入分部积分公式⎰⎰++=-=C x x x xdx x x xdx x cos sin sin sin cos但若令 2/,cos 2x v x v x u =⇒='= ， 代入分部积分公式dx x x x x xdx x ⎰⎰+=sin 21cos 2cos 22 比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时，u, v 的选择不是随意的，那个作u , 那个作 v ，应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。
分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：一般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 v '，积分较难或积分后比较复杂的函数作为u例 4 ⎰xdx x ln相比之下显然，x 容易积分，所以取 2/,ln 2x v x v x u =⇒='=C x x x dx x x x x xdx x +-=⋅-=⎰⎰4ln 221ln 2ln 2222分部积分公式也可以连续用多次例5 dx e x x⎰2x e 积分是它本身，x 积分是2/2x 相比之下，xe 容易积分，应选 u x v e x ='=,，⎰⎰-=dx xe e x dx e x xxx 222 再用一次分部积分公式C e x x dx e xe e x dx e x x x x x x ++-=--=⎰⎰)22()(2222例6 ⎰xdx e x cosx e xcos , 二者 积分难度相当，随意取那个作u 都可，比如取 bx u cos =ax e v =' 代入分部积分公式⎰⎰+=bx e abbx e a bxdx e ax x ax sin cos 1cos 再分部积分一次 ]cos sin 1[cos 1⎰-+=bx e abbx e a a b bx e a ax ax x 出现循环 将上式最后一项移到左端合并整理C ba bx a bxb e bxdx e bx a bx a e dx bx e a b xax x ax +++⋅=+=+⎰⎰22222cos sin cos )sin cos 1(cos )1(分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分 dx arctgbx x axdx x bxdx x dx e x dx x x kkkaxk m k ⎰⎰⎰⎰⎰,cos ,sin ,,log等常用分部积分来计算。
习题课(凑公式法和分部积分法)1常用的几种凑公式法凑法1 .)(1)()(1)(du u f ab ax d b ax f a dx b ax f =++=+ 例 1 ⎰⎰+-==-=.)2sin 21(21)cos 1(21sin 2c x x dx x xdx 例 2⎰+==+.22222c x arctg x dx 例 3⎰⎰++==++=++.2122)1(23222c x arctg x dx x x dx 例 4⎰⎰⎰=⎪⎭⎫⎝⎛+--=-+=-+dx x x x x dx x x dx 311141)1)(3(322.31ln 41c x x ++-== 由例1-4知，常可用初等化简把被积函数化为)(b ax f +型，然后用凑法1. 例 5 ⑴⎰+21x xdx.⑵ ⎰⎰==+=+ 1051010144)(514x x d x xdx x c x arctg x +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=225155. 凑法2 du u f kx d x f k dx x f xk k k k )(1)()(1)(1==- . 特别地, 有du u f x d x f xdx x f )(21)()(21)(222==和()x dx fdx xx f 2)(=.例6 ⎰dx x x 2sin .例7⎰.sin dx x x例8⎰=-)1(x x dx()⎰+=-c x x xd arcsin 2122.例9 ⎰⎰⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛+-====+=+=+=du u u x x x d x x xdx x x dx x u 11121)1()(21)1()1(2222222=c x x c u u ++=++1ln 211ln2122. 凑法3 ;)(sin )(sin cos )(sin du u f x d x f xdx x f ==;)(cos )(cos sin )(cos du u f x d x f xdx x f -=-=.)()(sec )(2du u f dtgx tgx f xdx tgx f ==例 10 ⑴⎰.cos sin 3xdx x ⑵ ⎰.sin 3xdx例11 ⎰+-+==.sin 1sin 1ln 21sec c xx xdx 例12 ()⎰⎰=+=dtgx x tg xdx 2261sec .例13 ()⎰⎰⎰=-==.sec sec 1secsec sec sec 2222435 x d x x d x tg xdx x tg凑法4 .)()()(du u f de e f dx e e f xxxx==. 例 15⎰--.2t e dt凑法5 .)(ln )(ln )(ln du u f x d x f xdxx f == 例 16⎰+.)ln 21(x x dx凑法6;)(arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2du u f x d x f dx xx f ==-du u f darctgx arctgx f dx xarctgx f )()(1)(2==+. 例 17⎰⎰⎰=+=====+=+=dt t arctgtx d x x arctg dx x x xarctg x t 21212)1( ⎰+=+==c x arctg c arctgt tgt arctgtdarc 22)()(2.其他凑法举例:例 18 c e e ee e e d dx e e e e xx x x x x x xx x ++=++=+------⎰⎰)ln()(. 例 19⎰⎰==+ 22)ln ()ln ()ln (1ln x x x x d dx x x x例 20 ⎰⎰⎰=++=++=dx tgxx xtgxx dx tgx x tgx x x xdx sec sec sec sec )(sec sec sec 2 ⎰++=++=c tgx x tgx x tgx xd |sec |ln sec )(sec .例21⎰-+dx xx xx 5cos sin sin cos .例22⎰++dx x x xx cos sin sin 5cos .例23 ⎰⎰⎰=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++=++ 21111111222242x x x x d dx x x x dx x x 例24⎰++-dx x x x 2252.二 使用分部积分公式的一般原则.1. 幂 X 型函数的积分: 分部积分追求的目标之一是: 对被积函数两因子之一争取求导, 以使该因子有较大简化, 特别是能降幂或变成代数函数. 代价是另一因子用其原函数代替( 一般会变繁 ), 但总体上应使积分简化或能直接积出. 对“幂X ⋅”型的积分, 使用分部积分法可使“幂”降次, 或对“X ”求导以使其成为代数函数.例46 ⎰.ln xdx x (幂对搭配)例47 ⎰.cos xdx x (幂三搭配) 例48 ⎰.dx xe x (幂指搭配)例49 ⎰.2dx e x x (幂指搭配) 例50 ⎰.dx ex例51 ⎰.xarctgxdx (幂反搭配) 例52 ⎰.arccos xdx 2建立所求积分的方程求积分: 分部积分追求的另一个目标是: 对被积函两因子之一求导, 进行分部积分若干次后, 使原积分重新出现, 且积分前的符号不为 1. 于是得到关于原积分的一个方程. 从该方程中解出原积分来. 例53 ⎰.sin xdx e x例54 求⎰=bxdx e I axcos 1 和). 0 ( ,sin 2≠=⎰a bxdx e I ax解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=.sin 1,cos 11221I a b bx e a I I ab bx e a I ax ax解得 .cos sin ,cos sin 222221c e ba bxb bx a Ic e ba bx a bxb I axax++-=+++=例55⎰>+). 0 ( ,22a dx x a解 ⎰+⋅-+=dx xa x x x a x I 2222==⎰⎰++++-+dx xa a dx xa x a x a x 222222222=,)ln(122222c x a x a I x a x ++++-+= （参阅例41）解得 .)ln(2222222c x a x a x a x I +++++= 例56 ⎰⎰⎰+==xdx x x x xd xdx 22sin sin cos sin cos cos例57⎰-+=xdx x x x 2cos sin cos ，解得 ⎰++=c x x xdx 2sin 412cos 2. 例58 ⎰⎰⎰⎰-==⋅=xtgxdx tgx xtgx xdtgx xdx x xdx sec sec sec sec sec sec 23=⎰⎰⎰=+-=--xdx xdx xtgx xdx x xtgx sec sec sec sec )1(sec sec 32=⎰-++xdx tgx x xtgx 3sec |sec |ln sec ,解得 ⎰=xdx 3sec c tgx x xtgx +++|sec |ln 21sec 21.§2 不定积分的计算 （2） 第二换元积分法教学内容：第二换元积分法要 求：掌握正弦代换，正切代换，正割代换，根式代换的技巧 难 点：代换的选择技巧二.第二类换元法：从积分⎰tdt 2cos 出发，从两个方向用凑微法计算，即⎰⎰-====-=t d t dx x tx sin sin 112sin 2= tdt ⎰2cos ==⎰++=+,2sin 4121)2cos 1(21c t t dt t 引出拆微原理.Th2 设)(t x ϕ=是单调的可微函数,并且;0)(≠'t ϕ又)()]([t t f ϕϕ'具有原函数. 则有换元公式 ⎰⎰-='=.])()]([[)()(1x t dt t t f dx x f ϕϕϕ (证)常用代换有所谓 无理代换, 三角代换, 双曲代换, 倒代换, 万能代换, Euler 代换等.我们着重介绍三角代换和无理代换. 1. 三角代换:⑴ 正弦代换: 正弦代换简称为“弦换”是针对型如22x a -)0(>a 的根式施行的,目的是去掉根号. 方法是: 令)0( ,sin >=a t a x , 则,cos 22t a x a =- ,cos tdt a dx = .arcsin axt =例27⎰-,22xa dx ).0(>a解法一 直接积分; 解法二 用弦换. 例28⎰⎰+=+=======-=c x c t dt tt tt x x dx tx arcsin 22cos sin cos sin 2)1(2sin .（ 参阅例11 ）例29⎰⎰⎰=-======-=====--=-+ut x t dt t dx x dx x x sin 321223)1(322⎰=++== c u u udu 2sin 4323cos 32c x x x x +-+---=2222131arcsin 23 ⑵ 正切代换: 正切代换简称为“切换”. 是针对型如22x a +)0(>a 的根式施行的, 目的是去掉根号. 方法是:利用三角公式 ,1sec 22=-t tg t 即 ,sec 122t t tg =+ 令 ,atgt x = tdt a dx 2sec =. 此时有 ,sec 22t a x a =+ .axarctg t = 变量还原时, 常用所谓辅助三角形法. 例30⎰+22xdx .解 令 ,2tgt x =有tdt dx 2sec 2=. 利用例22的结果, 并用辅助三角形, 有⎰=tdt I sec =c x x c tgt t '+++='++222lnsec ln 2=().2ln ,2ln2-'=+++c c c x x例31.0 ,)(222>+⎰a a x dx⑶正割代换: 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 22a x - )0(>a 的根式施 行的, 目的是去掉根号. 方法是: 利用三角公式,1sec 22t tg t =- 令,sec t a x = 有,22atgt a x =- .sec tgtdt t x dx ⋅= 变量还愿时, 常用辅助三角形法.例32⎰-,22a x dx ).0(>a解⎰-22a x dx ta x sec ======⎰⎰='++==c tgt t tdt atgtttgtdta sec ln sec sec,ln ln 2222c a x x c a a x ax +-+='+-+= ||ln a c c -'=. 例33 ⎰-122x x dx . 解法一 （ 用割换 ） ⎰⎰+-=+==⋅⋅======.11sin cos sec sec 22sec c x xc t tdt dt tgt t tgt t I t x 2. 无理代换:若被积函数是 k nn n x x x , , , 21 的有理式时, 设 n 为)1(k i n i ≤≤ 的最小公倍数, 作代换 n x t =, 有 dt nt dx t x n n 1 ,-==.可化被积函数为 t 的有理函数.例34 ⎰dx x e x . 例35 ⎰⎰⎰⎰==-++-=-=====-= t dt dt t t dt t xx dx xt 16)1(6162326 c x x x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-++-=6361ln 216. 若被积函数中只有一种根式 n b ax +或 ,n ecx b ax ++ 可试作代换 n b ax t +=或 .n ecx b ax t ++=. 从中解出 x 来. 例36 ⎰++321x dx .例37 ⎰+.11dx x x x例38 ⎰.sin dx x x(给出两种解法)例39 ⎰⎰⎰=⋅+======-=--=tdt t t x d x x dx x x x t 2)1(21)( 121121222232 ⎰+-+-=++=+=c x x c t t dt t t 2322523524)1(31)1(5135)(.⎰⎰⎰==⋅=====+=tdt ch a achtdt acht dx x a asht x 22223. 倒代换: 当分母次数高于分子次数, 且分子分母均为“因式”时, 可试用 倒代换.1 ,12dt tdx t x -== 例40 ⎰⎰⎰>=======+====+=+01224222421)(212tu x u u u u du x x x x d x x x dx ⎰⎰++-=+-=+-cc t t dt t t t dt t 2122)1(121111121 ++-=+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=||1112212x x c x。
