中考数学模拟1

2024年中考第一次模拟考试（无锡卷）数学·全解全析（考试时间：120分钟试卷满分：140分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）1．下列各组数中，互为相反数的组是()A ．2023-和2023-B ．2023和12023C ．2023-和2023D ．2023-和12023【答案】A【解析】解：A ．20232023-=和2023-互为相反数，故A 选项符合题意；B ．2023和12023互为倒数，故B 选项不符合题意；C ．20232023-=和2023不互为相反数，故C 选项不符合题意；D ．2023-和12023不互为相反数，故D 选项不符合题意；故选：A ．2．已知114A a =-+，下列结论正确的是（）A ．当5a =-时，A 的值是0B ．当4a >-时，A 的最小值为1C ．若A 的值等于1，则4a =-D ．若A 的值等于2，则5a =-【答案】D【解析】解：当5a =-时，1111254A =-=+=-+，A 选项错误；当4a >-时，40a +>，104a >+，104a -<+，1114a -<+，即A 的最小值小于1，B 选项错误；当1A =时，1114a =-+，解得4a =-，此时分式无意义，故不合题意，C 选项错误；当2A =时，1214a =-+，解得5a =-，D 选项正确，故选：D ．3．光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，1122,2∠=︒∠的度数为（）A ．32︒B ．58︒C ．68︒D ．78︒【答案】B【解析】解：如图，根据题意得：a b ，c d ∥，∴13180∠+∠=︒，32∠=∠，∵1122∠=︒，∴258∠=︒．故选：B ．4．下列计算错误的是（）A ．()21x x x x -=-B ．325x x x ×=C ．()236x x =D ．()2224a a -=-【答案】D【解析】解：A 中()21x x x x -=-，正确，故不符合要求；B 中325x x x ×=，正确，故不符合要求；C 中()236x x =，正确，故不符合要求；D()2222444a a a a -=-+≠-，错误，故符合要求；故选：D ．5．若点()()()112233A x y B x y C x y ，、，、，是反比例函数11y x=-图象上的点，且1230x x x <<<，则123y y y 、、的大小关系是（）A ．123y y y <<B ．321y y y <<C ．231y y y <<D ．312y y y <<【答案】D【解析】解：根据题意画出函数图象得，可知，312y y y <<．故选：D ．6．随着城际交通的快速发展，某次动车平均提速60km /h ，动车提速后行驶480km 与提速前行驶360km 所用的时间相同．设动车提速后的平均速度为x km /h ，则下列方程正确的是（）A ．36048060x x =+B ．36048060x x =-C ．36048060x x =-D ．36048060x x=+【答案】B【解析】解：根据题意，得36048060x x=-．故选：B ．7．将抛物线()215y x =-+通过平移后，得到抛物线的解析式为223y x x =++，则平移的方向和距离是（）A ．向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度【答案】D【解析】解：抛物线()215y x =-+的顶点坐标为15（，），抛物线()222312y x x x =++=++的顶点坐标为()12-，，而点()15，向左平移2个，再向下平移3个单位可得到()12-，，所以抛物线()215y x =-+向左平移2个，再向下平移3个单位得到抛物线y=x 2+2x+3．故选：D ．8．如图，正方形ABCD 和正方形AEFG ，当正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒时，如图，连接DG 、BE ，并延长BE 交DG 于点.H 若AE =228AB =，时，则线段BH 的长为（）A 16105B 14105C ．5210+D ．610+【答案】A【解析】解：连结GE 交AD 于点N ，连结DE ，如图，正方形AEFG 绕点A 逆时针旋转45︒，AF ∴与EG 互相垂直平分，且AF 在AD 上，2AE = 22AN GN ∴==，826DN ∴=-=，在Rt DNG 中，DG =22DN GN +2=10；由题意可得：ABE 相当于逆时针旋转90°得到AGD ，2DG BE ∴==10，DEG S = 12GE ND ⋅=12DG HE ⋅，HE ∴=10=6105BH BE HE ∴=+=6101021055+=故选：A ．9．如图，AB 是O 的一条弦，点C 是O 上一动点，且ACB θ∠=，点E ，F 分别是,AC BC 的中点，直线EF 与O 交于G ，H 两点，若O 的半径是r ，则GE FH +的最大值是（）A ．()2sin r θ-B ．()2sin r θ+C ．()2cos r θ-D ．()2cos r θ+【答案】A【解析】解：作直径AP ，连接BP ，90ABP ∴∠=︒，,2P C PA r θ∠=∠== ，sin sin AB P APθ∴∠==，2sin AB r θ∴=⋅，∵E ，F 分别是,AC BC 的中点，EF ∴是ABC 的中位线，1sin 2EF AB r θ∴==⋅，GE FH GH EF +=- ，∴当GH 长最大时，GE FH +有最大值，∴当GH 是圆直径时，GH 最大．∴GE FH +最大值是()2sin 2sin r r r θθ-=-．故选：A ．10．如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以AE 为边向上作正方形AEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边AE 上取点M 使AM AD =，作MN AG ∥交CD 于点L ，交FG 于点N ，记AE a =，EM b =，欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了()()22a b a b a b +-=-．现以BM 为直径作半圆O ，恰好经过点H ，交CD 另一点于P ，记HPB △的面积为1S ，DLF △的面积为2S ，若1b =，则12S S -的值为()A ．12B ．22C ．1D 2【答案】A【解析】解：依题意得：四边形AEFG AMLD ，均为为正方形，四边形AMNG MEFN MEHL MBCL EBCH ，，，，均为矩形，∵AE a EM b ==，，点E 为AB 的中点，∴EB AE CH a ===，AD AM DL EH BC a b =====-，DG LN HF ME HL b =====，ML EH BC ==，∴()211•22S DL HF a b b ==-，连接MH ，∵HC ME ∥，∴ MHBP =，∴MH BP =，在Rt MHL △和Rt BPC △中，ML BC MH BP=⎧⎨=⎩，∴()Rt Rt HL MHL BPC ≌△△，∴HL PC b ==，∴HP CH PC a b =-=-，∴()211122S HP BC a b =⨯=-，∵MB 为直径，∴90MHB ∠=︒，即90MHE BHE ∠+∠=︒，∵90MEH HEB ∠=∠=︒，∴90HME MHE ∠+∠=︒，∴HME BHE ∠=∠，∴HME BHE ∽，∴EH EB EM EH =：：，∴2EH BE EM =⨯，即：()2a b ab -=，∴()211122S a b ab =-=，∴()212111222S S ab a b b b -=--=，∵1b =，∴1212S S -=．故选：A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）11．化学元素钉()Ru 是除铁()Fe 、钻()Co 和镍()NIi 以外，在室温下具有独特磁性的第四个元素．钉()Ru 的原子半径约0.000 000 000 189m ．将0.000 000 000 189用科学记数法表示为．【答案】101.8910-⨯【解析】解：100.000 000 000 189 1.8910-=⨯，故答案为：101.8910-⨯12．若2a +与3b -互为相反数，则22a b =．2【解析】解：∵2a +与3b -互为相反数，∴230a b ++-=，即1a b +=，∴)2222a b a b =+=213．不等式组32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩的解集是．【答案】113x -≤≤【解析】解：32122x x x x ≥-⎧⎪⎨+≥⎪⎩①②解不等式①得：1x ≥-解不等式②得：13x ≤，∴不等式组的解集为：113x -≤≤，故答案为：113x -≤≤．14．写出一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式：．【答案】2y x=（答案不唯一）【解析】解：设反比例函数解析式为k y x=，依题意，2k =∴一个图象是曲线且过点()1,2的函数的解析式是：2y x=，故答案为：2y x=（答案不唯一）．15．如图，某品牌扫地机器人的形状是“莱洛三角形”，它的三“边”分别是以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径的三段圆弧．若该等边三角形的边长为3，则这个“莱洛三角形”的周长是．【答案】3π根据正三角形的有关计算求出弧的半径和圆心角，根据弧长的计算公式求解即可．【解析】解：如图：∵ABC 是正三角形，∴60BAC ∠=︒，∴ BC的长为：603180ππ⨯=，∴“莱洛三角形”的周长=33ππ⨯=．故答案为：3π．16．如图，已知平行四边形ABCD 中，E 为BC 边上一点，连接AE DE 、，若AD DE =，AE DC =，4BE =，tan 3B ∠=，则EC 的长为．【答案】6【解析】解：作,AF BE DG AE ⊥⊥，如图所示：∵,AE DC AB DC==∴,AB AE B AEB =∠=∠∵AD BC ∥∴AEB DAE ∠=∠∴B AEB DAE ∠=∠=∠∵4BE =∴2BF EF ==∵tan 3AFB BF∠==∴226,210AF AB AE AF BF ===+=∵AD DE =,DG AE ⊥∴10AG EG ==∵tan tan tan 3DAE AEB B ∠=∠=∠=∴22310,10DG AD DG AG ==+=∴10BC AD ==∵4BE =∴6EC BC BE =-=故答案为：617．我国魏晋时期的数学家刘徽(263年左右）首创“割圆术”，所谓“割圆术”就是利用圆内接正多边形无限逼近圆来确定圆周率，刘徽计算出圆周率 3.14π≈．刘徽从正六边形开始分割圆，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，圆内接正二十四边形，⋯，割得越细，正多边形就越接近圆．设圆的半径为R ，圆内接正六边形的周长66P R =，计算632P πR ≈=；圆内接正十二边形的周长1224sin15P R =︒，计算12 3.102PπR≈=；那么分割到圆内接正二十四边形后，通过计算可以得到圆周率π≈．（参考数据：sin150.258︒≈，sin 7.50.130)︒≈【答案】3.12【解析】解：圆内接正二十四边形的周长2448sin 7.5P R =⋅⋅︒，则48sin 7.5480.130 3.1222R R π⋅︒⨯≈≈≈，故答案为3.1218．如图，点A 是双曲线y=8x在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为斜边作等腰Rt △ABC ，点C 在第二象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为．【答案】y=﹣8x ．【解析】解：如图，连结OC ，作CD ⊥x 轴于D ，AE ⊥x 轴于E ，∵A 点、B 点是正比例函数图象与双曲线y=8x 的交点，∴点A 与点B 关于原点对称，∴OA=OB ，∵△ABC 为等腰直角三角形，∴OC=OA ，OC ⊥OA ，∴∠DOC+∠AOE=90°，∵∠DOC+∠DCO=90°，∴∠DCO=∠AOE ，∵在△COD 和△OAE 中，CDO OEA DCO EOA CO OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COD ≌△OAE （AAS ），设A 点坐标为（a ，8a ），则OD=AE=8a ，CD=OE=a ，∴C 点坐标为（﹣8a，a ），∵﹣8a a ∙=﹣8，∴点C 在反比例函数y=﹣8x图象上．故答案为：y=﹣8x ．三、解答题（本大题共10小题，共86分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（1）计算：()103127123π2-⎛⎫-+- ⎪⎝⎭；（2）用配方法解方程：24210x x --=．【解析】（1）解：原式()23211=--+23211=+-+52=（2）解：24210x x --=2421x x -=244214x x -+=+()2225x -=25x ∴-=±17x ∴=，23x =-20．计算：(1)()()22a b b a b -+-；(2)21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭【解析】（1）解：()()22a b b a b -+-22222a ab b ab b =-++-2a =；（2）解：21241121x x x x +⎛⎫+÷ ⎪+++⎝⎭()21212(2)x x x x ++=⨯++12x +=21．如图，在ABC 中，过A 点作AD BC ∥，交ABC ∠的平分线于点D ，点E 在BC 上，DE AB ∥．(1)求证：四边形ABED 是菱形；(2)当6BC =，4AB =时，求DF 的长．【解析】（1）证明：∵AD BC ∥，DE AB ∥，∴四边形ABED 是平行四边形，∵AD BC ∥，∴ADB CBD ∠=∠，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∴ADB ABD ∠=∠，∴AD AB =，∴四边形ABED 是菱形；（2）解：∵四边形ABED 是菱形，4AB =，∴4DE BE AD AB ====，AD BC ∥，∴ADF CEF ∠=∠，∵AFD CFE ∠=∠，∴CEF ADF ∽△△，∴ADDFCE EF =，∵6BC =，∴2CE BC BE =-=，∴42DF EF=，∴2DF EF =，∴23DF DE =，∴83DF =．22．现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片A ，B ，C ，卡片除正面图案不同外，其余均相同，(1)若将三类卡片各10张，共30张，正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是___________．(2)现将三类卡片各一张，放入不透明箱子，小明随机抽取一张，看后，放回，再由小充随机抽取一张．请用树状图或列表的方法列出所有等可能的结果，并求恰好摸到相同卡片的概率．【解析】（1）解；∵一共有30张卡片，其中琮琮的卡片有10张，且每张卡片被抽到的概率相同，∴从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是101303=，故答案为：13．（2）解：画树状图如下：由树状图可知，一共有9种等可能性的结果数，其中恰好摸到相同卡片的结果数有3种，∴恰好摸到相同卡片的概率为3193=．23．某校初三物理组为激发学生学习物理的热情，组织初三500名学生进行“水火箭”制作和演示飞行活动．为了解该年级学生自制水火箭的飞行情况，现随机抽取40名学生进行水火箭飞行测试，并将测试成绩（百分制）作为样本数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．①将样本数据分成5组：5060,6070,7080,8090,90100x x x x x ≤<≤<≤<≤<≤<，并制作了如图所示的不完整的频数分布直方图；②在8090x ≤<这一组的成绩分别是：80，81，83，83，84，85，86，86，86，87，8.8，89，根据以上信息，解答下列问题：(1)补全频数分布直方图；(2)抽取的40名学生成绩的中位数是____________；(3)如果测试成绩达到80分及以上为优秀，试估计该年级500名学生中水火箭飞行测试为优秀的学生约有多少人？【解析】（1）解：在7080x ≤<这组的人数为：404612108----=（人），补全频数分布直方图如下：（2）中位数应为40个数据由小到大排列中第20，21个数据的平均数，∵数据处于较小的三组中有46818++=（个）数据，∴中位数应是8090x ≤<这一组第2，3个数据的平均数，∴中位数为：8183822+=（分），故答案为：82分；（3）∵样本中优秀的百分比为：1210100%55%40+⨯=，∴可以估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有：55%500275⨯=（人），答：估计该校500名学生中对安全知识掌握程度为优秀的学生约有275人．24．如图，在四边形ABCD 中，90A C ∠=∠=︒．(1)经过点A 、B 、D 三点作O ；(2)O 是否经过点C ？请说明理由．【解析】（1）解：如图所示，O 即为所求；（2）O 经过点C ，理由如下：连接OC ，∵90BCD ∠=︒，点O 为BD 的中点，∴12CO BC OD OB ===，∴点C 在O 上．25．最佳视点如图1，设墙壁上的展品最高处点P 距底面a 米，最低处的点Q 距底面b 米，站在何处观赏最理想？所谓观赏理想是指看展品的视角最大，问题转化为在水平视线EF 上求使视角最大的点．如图2，当过P Q E ，，三点的圆与过点E 的水平线相切于点E 时，视角PEQ ∠最大，站在此处观赏最理想，小明同学想这是为什么呢？他在过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，…任务一：请按照小明的思路，说明在点E 时视角最大；任务二：若3 1.8a b ==，，观察者的眼睛距地面的距离为1.5米，最大视角为30︒，求观察者应该站在距离多远的地方最理想(结果精确到0.013 1.73≈)．【解析】任务一：过点E 的水平线HM 上任取异于点E 的点E '，连接PE '交O 于点F ，连接QF ，∵PFQ ∠是QFE ' 的外角，∴PFQ PE Q '∠>∠，又∵PFQ ∠与PEQ ∠都是弧PQ 所对的圆周角，∴PFQ PEQ ∠=∠，∴PEQ PE Q '∠>∠，∴在点E 时视角最大．任务二：∵30PEQ ∠=︒，∴60POQ ∠=︒，又∵OP OQ =，∴OPQ △是等边三角形，OP OQ PQ ==．如图2，连接OE ，∵HE 是O 的切线，∴90OEH ∠=︒，∵90PHE ∠=︒，∴180OEH PHE ∠+∠=︒，∴//PQ OE ，又∵PQ OP OE ==，∴四边形PQOE 是平行四边形，∴30OPE PEQ ∠=∠=︒，∴603030EPH OPQ OPE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．由题意得，3 1.5 1.5PH =-=(米)，在Rt PHE △中，3•tan 1.50.873HE PH EPH =∠=⨯(米)．答：观察者应该站在距离0.87米的地方最理想．26．在2024年元旦即将到来之际，学校准备开展“冬日情暖，喜迎元旦”活动，小星同学对会场进行装饰．如图1所示，他在会场的两墙AB 、CD 之间悬挂一条近似抛物线2435y ax x =-+的彩带，如图2所示，已知墙AB 与CD 等高，且AB 、CD 之间的水平距离BD 为8米．(1)如图2，两墙AB ，CD 的高度是米，抛物线的顶点坐标为；(2)为了使彩带的造型美观，小星把彩带从点M 处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点M 到墙AB 距离为3米，使抛物线1F 的最低点距墙AB 的距离为2米，离地面2米，求点M 到地面的距离；(3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小星现将M 到地面的距离提升为3米，通过适当调整M 的位置，使抛物线2F 对应的二次函数的二次项系数始终为15，若设点M 距墙AB 的距离为m 米，抛物线2F 的最低点到地面的距离为n 米，探究n 与m 的关系式，当924n ≤≤时，求m 的取值范围．【解析】（1）解：由题意得，抛物线的对称轴为4x =，则45422b x a a==-=-，解得：0.1a =；∴抛物线的表达式为0.10.83y x x =-+，则点(0,3)A ，即3AB CD ==（米)，当4x =时，0.10.83 1.4y x x =-+=，即顶点坐标为(4,1.4)，故答案为：3，(4,1.4)；（2）解：设抛物线的表达式为2(2)2y a x ='-+，将点A 的坐标代入上式得23(02)2a ='-+，解得14a '=，∴抛物线的表达式为21(2)24y x =-+，当3x =时，21(2)2 2.254y x =-+=（米)，∴点M 到地面的距离为2.25米；（3）解：由题意知，点M 、C 纵坐标均为4，则右侧抛物线关于M 、C 对称，∴抛物线的顶点的横坐标为11(8)422m m +=+，则抛物线的表达式为211(4)52y x m n =--+，将点C 的坐标代入上式得2113(84)52m n =--+，整理得21412055n m m =-+-；当2n =时，即214122055m m =-+-，解得85m =-；当9n 4=时，同理可得86m =故m 的取值范围为：8685m ≤≤27．定义：对多边形进行折叠，若翻折后的图形恰能拼成一个无缝隙、无重叠的四边形，则这样的四边形称为镶嵌四边形．(1)如图1，将ABC 纸片沿中位线EH 折叠，使点A 落在BC 边上的D 处，再将纸片分别沿EF ，HG 折叠，使点B 和点C 都与点D 重合，得到双层四边形EFGH ，则双层四边形EFGH 为______形．(2)ABCD Y 纸片按图2的方式折叠，折成双层四边形EFGH 为矩形，若5EF =，12EH =，求AD 的长．(3)如图3，四边形ABCD 纸片满足AD BC ∥，AD BC <，AB BC ⊥，8AB =，10CD =．把该纸片折叠，得到双层四边形为正方形．请你画出一种折叠的示意图，并直接写出此时BC 的长．【解析】（1）双层四边形EFGH 为矩形，理由如下：由折叠的性质可得AEH HED ∠=∠，BEF DEF ∠=∠，180AEH HED BEF DEF ∠+∠+∠+∠=︒ ，90HED DEF ∴∠+∠=︒，90HEF ∴∠=︒，同理可得90EHG EFD ∠=∠=︒，∴四边形EFGH 是矩形，故答案为：矩；（2） 四边形EFGH 为矩形，90FEH ∴∠=︒，EH FG =，EH FG ∥，222251213FH EF EH ∴=+=+=，EHM GFN ∠=∠，又ABCD 为平行四边形，A C ∴∠=∠，AD BC =，由折叠得A EMH ∠=∠，C GNF ∠=∠，EMH GNF ∴∠=∠，在EHM 与GFN 中，EH FGEHM GFN EMH GNF=⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩，(AAS)EHM GFN ∴ ≌，MH NF ∴=，由折叠得AH MH =，CF FN =，AH CF ∴=，又AD BC = ，DH BF FM ∴==，又AD AH DH =+ ，HF MH MF =+，13AD HF ∴==．（3）有以下三种基本折法：折法1中，如图所示：由折叠的性质得：AD BG =，142AE BE AB ===，152CF DF CD ===，GM CM =，90FMC ∠=︒， 四边形EFMB 是叠合正方形，4BM FM ∴==，2225163GM CM CF FM ∴=-=-=，1AD BG BM GM ∴==-=，7BC BM CM =+=；折法2中，如图所示：由折叠的性质得：四边形EMHG 的面积12=梯形ABCD 的面积，142AE BE AB ===，DG NG =，NH CH =，BM FM =，MN MC =，125GH CD ∴==， 四边形EMHG 是叠合正方形，5EM GH ∴==，正方形EMHG 的面积2525==，90B ∠=︒ ，2225163FM BM EM BE ∴=-=-=，设AD x =，则3MN FM FN x =+=+，梯形ABCD 的面积1()82252AD BC =+⨯=⨯，252AD BC ∴+=，252BC x ∴=-，2532MC BC BM x ∴=-=--，MN MC = ，25332x x ∴+=--，解得：134x =，134AD ∴=，251337244BC =-=．折法3中，如图所示，作GM BC ⊥于M ，则E ，G 分别为AB ，CD 的中点，则4AH AE BE BF ====，152CG CD ==，正方形的边长42EF GF ==4GM FM ==，2225163CM CG GM --=，11BC BF FM CM ∴=++=．综上所述：7BC =或11或374．28．如图所示，抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且1OA =，4OB OC ==．(1)求抛物线的解析式；(2)若连接AC 、BC ．动点D 从点A 出发，在线段AB 上以每秒1个单位长度向点B 做匀速运动；同时，动点E 从点B 出发，在线段BC 2个单位长度向点C 做匀速运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，连接DE ，设运动时间为t 秒．在D 、E 运动的过程中，当t 为何值时，四边形ADEC 的面积最小，最小值为多少？(3)点M 是抛物线上位于x 轴上方的一点，点N 在x 轴上，是否存在以点M 为直角顶点的等腰直角三角形CMN ？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】（1）解：∵4OB OC ==，1OA =，则()0,4C ，()4,0B ，()0,1A -∴抛物线解析式为2(1)(4)34y x x x x =-+-=-++；（2）解：∵4OB OC ==，∴OBC △是等腰直角三角形，由点的运动可知：2BE t =，过点E 作EF x ⊥轴，垂足为F ，∴22tBE BF t t ==，又∵()0,1A -，则5AB =，∴ADEC ABC BDES S S =- 1145(5)22t t=⨯⨯-⨯-⨯21555(228t =-+，∵当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，∴224442AC =+=5AB =，∴04t ≤≤，当52t =时，四边形ADEC 的面积最小，即为558；（3）解：存在，(15,15)M +或(222,222)M -，当点M 在CN 的右侧时，如图所示，过点M 作y 轴的平行线PQ ，交x 轴于点Q ，过点C 作CP PQ ⊥，∵CMN 是以M 为直角为直角顶点的等腰直角三角形，∴CM MN =，90CMN ∠=︒，∴90PCM PMC NMQ ∠=︒-∠=∠，又90CPM MQN ∠=∠=︒∴CPM MQN ≌，∴CP MQ =，设2(,34)M m m m -++，∴234m m m -++=，解得：51m =或15m =∴(15,15)M ；当点M 在CN 的右侧时，同理可得234m m m -++=-，解得：222m =-22m =（舍去）∴(222,222)M -，综上所述，(15,15)M 或(22,22)M -．。

2024年济南市中考数学模拟试题（一）满分：150分 时间：120分钟一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1. 倒数的相反数是（ ）A. B.C. D. 2023【答案】B 【解析】【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，只有符号不同的两个数互为相反数，进行求解即可．【详解】解：倒数的相反数是；故选B ．2. 清明节期间某市共接待国内游客约721000人次，将721000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可，确定的值，是解题的关键．【详解】解：；故选C ．3. 下列各式计算正确的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】此题考查了合并同类项，根据合并同类项法则判断即可．【详解】解：A ．，故选项正确，符合题意；2023-2023-1202312023-2023-12023372110⨯472.110⨯57.2110⨯60.72110⨯10,110,na a n ⨯≤<,a n 572100072110.=⨯220m n nm -+=2242m m m +=22532m m -=2243m n m n mn-=220m n nm -+=B ．，故选项错误，不符合题意；C ．，故选项错误，不符合题意；D ．，故选项错误，不符合题意．故选：A ．4. 下列几何体中，其俯视图与左视图完全相同的是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查几何体的三视图．根据主视图、左视图、俯视图分别是从物体正面、左面、上面看所得的图形即可判断．【详解】A ，俯视图是带圆心的圆，左视图是等腰三角形，此选项不符合题意；B ，俯视图是矩形，左视图是圆，此选项不符合题意；C ，俯视图、左视图都是正方形，此选项符合题意；D ，俯视图是三角形，左视图是矩形，此选项不符合题意．故选：C ．5. 如图，直线，，它的顶点分别在直线上，且，若，则的度数为（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等得到，再结合已知即可求出的度数，再根据直角三角形两锐角互余即可求出的度数，解题的关键是熟练掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等； 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁222m m 2m +=222532m m m -=22243m n m n m n -=a b ∥Rt ,90ABC ABC ∠=︒△A B 、,a b CAB BAE ∠=∠150∠=︒2∠75︒85︒60︒65︒150DAE ∠=∠=︒CAB BAE ∠=∠CAB ∠2∠内角互补．【详解】∵直线，∴，∵，∴，∵，∴故选：．6. 如图，直线与直线交于点，则方程组的解是（ ）A. B. C. D. 【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是二元一次方程和一次函数的关系，两直线的交点就是两直线解析式所组成方程组的解．【详解】解：∵直线与直线交于点，∴方程组的解为．即：方程组的解为．故选：A ．a b ∥150DAE ∠=∠=︒CAB BAE ∠=∠25CAB ∠=︒90ABC ∠=︒290902565CAB ∠=︒-∠=︒-︒=︒D 151:33l y x =-2:5l mx ny +=(1,2)A 5315x y mx ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩21x y =⎧⎨=⎩12x y =-⎧⎨=-⎩21x y =-⎧⎨=-⎩151:33l y x =-2:5l mx ny +=(1,2)A 51335y x mx ny ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩12x y =⎧⎨=⎩5315x y mx ny -=⎧⎨+=⎩12x y =⎧⎨=⎩7. 现有一批苹果，从中抽取20个，测得它们的直径（单位：）如下表所示：直径/74757677787980个数1242632那么这20个苹果直径的众数和中位数分别是（ ）A. 77，80 B. 77，77C. 78，78D. 78，77【答案】C 【解析】【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据一组数据中出现次数最多的是众数，将一组数据从小到大（或从大到小）排列，处在最中间的数（或最中间两个数的平均数）是中位数，计算即可得出答案，熟练掌握中位数和众数的定义是解此题的关键．【详解】解：由表格可得：20个苹果的直径处在第和第个数据为，出现的次数最多，有次，故中位数为：，众数为，故选：C ．8. 九章算术是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到里外的城市，需要的时间比规定时间多一天：如果用快马送，所需的时间比规定时间少天．已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为天，则可列方程为（ ）A. B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【详解】解：规定时间为天，慢马所需的时间为天，快马所需的时间为天，又快马速度是慢马的倍，可列出方程．故选：A ．的mm mm 1011787867878782+=78《》90032x 900900213x x ⨯=+-900900213x x =⨯+-900900213x x =⨯-+900900213x x ⨯=-+ x ∴()1x +()3x - 2∴900900213x x ⨯=+-9. 在同一平面直角坐标系中，函数与（其中m ，n 是常数，）的大致图象可能是（ ）A. B.C. D.【答案】C 【解析】【分析】本题考查的知识点是一次函数及反比例函数图像与性质，解题关键是结合函数解析式及选项图像判断m ，n 的取值范围是否相符．先根据一次函数图像判断m ，n的取值范围，确定的取值范围后，即可判断反比例函数图像中的m ，n 的取值范围是否一致，从而判断选项是否正确．【详解】A 选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，A 选项错误；B 选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在一、三象限，与图像不符，B 选项错误；C 选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像相符，C 选项正确；D 选项，依图得，此时一次函数中，，，则，则在反比例函数中，，反比例函数图像应在二、四象限，与图像不符，D 选项错误．故选：C ．10. 如图，四边形中，F 是上一点，E 是上一点，连接．若，，，平分，则下列结论中：①；②；③；④垂直平分，正确的个数有（ ）y mx n =+ny mx=0mn ≠nmy mx n =+0m <0n <0nm>ny mx=0k >y mx n =+0m >0n >0n m >ny mx =0k >y mx n =+0m <0n >0n m <n y mx =0k <y mx n =+0m >0n <0n m <n y mx=0k <ABCD CD BF AE AC DE 、、AB AC =AD AE =80BAC DAE ∠=∠=︒AE BAC ∠ABE ACD △△≌BE EF =100BFD ∠=︒AC DEA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、四边形的内角和，熟练掌握相关知识是解题的关键．依据可证明，由全等三角形的性质可得到，则，然后依据四边形的内角和为可求得的度数，然后再证明，则依据等腰三角形的性质可得到与的关系．【详解】解：,即，，故①正确，，故③正确．平分，平分．又，平分，是的垂直平分线，故④正确．由已知条件无法证明，故②错误．故选：C．SAS ABE ACD ≌AEB ADC ∠=∠180AEF ADC ∠+∠=︒360︒BFD ∠40EAC DAC ==︒∠∠AC DE BAC DAE ∠=∠ ，BAE EAC DAC EAC∠+∠=∠+∠BAE DAC ∴∠=∠BAE DAC AB AC AE AD ∠==∠= ，，ABE ACD ∴ ≌ABE ACD≌AEB ADC ∴∠=∠180AEB AEF ∠+∠=︒ 180AEF ADC ∴∠+∠=︒180********BFD EAD ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒AE BAC ∠40EAC ∴∠=︒80DAE =︒∠ AC ∴EAD ∠AE AD= AC DE ∴⊥AC DE AC ∴DE BE EF =二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11. 分解因式：_____．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式即可，正确应用平方差公式是解题关键．【详解】解：，，故答案为：．12. 若一个多边形的内角和比外角和大，则这个多边形的边数为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，注意利用多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是是解题的关键，根据多边形的内角和公式，外角和等于列出方程求解即可．【详解】解：设多边形的边数是，根据题意得，，解得．故答案为：．13. 在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为，线段轴，且，那么点B 的坐标是__________________．【答案】或【解析】【分析】本题考查了点的坐标；先根据轴得到点B 的纵坐标为，再根据分情况求出点B 的横坐标即可．【详解】解：∵点A 的坐标为，线段轴，∴点B 的纵坐标为，24mx m -=()()22m x x +-m ()2244mx m m x -=-()()22m x x =+-()()22m x x +-360︒6360︒()2180n -⋅︒360︒n ()2180360360n -⋅︒-︒=︒6n =6()2,8--AB x 6AB =()8,8--()4,8-AB x 8-6AB =()2,8--AB x 8-∵，∴点B 的横坐标为或，即点B 的坐标是或，故答案为：或．14. 关于x 的一元二次方程有两个实数根，则m 的取值范围是___________．【答案】且【解析】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式及一元二次方程的定义．根据一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根．及一元二次方程的定义即可得出结果．【详解】解：由题意得：且，即且，解得：且，故答案为：且．15. 某物流公司的快递车和货车同时从甲地出发，以各自的速度匀速向乙地行驶，快递车到达乙地后卸完物品再另装货物，装卸货物共用，立即按原路以另一速度匀速返回，直至与货车相遇．已知货车的速度为，两车之间的距离（）与货车行驶时间（）之间的函数图象如图所示，图中点的坐标为___________【答案】【解析】【分析】本题考查了函数图象；设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，根据3小时相距120千米即可6AB =268--=-264-+=()8,8--()4,8-()8,8--()4,8-()()222120m x m x m -+++-=34m ≥2m ≠()200ax bx c a ++=≠24b ac ∆=-0∆>Δ0=Δ0<()()()2214220m m m ∆=+---≥20m -≠22441416160m m m m ++-+-≥20m -≠34m ≥2m ≠34m ≥2m ≠45min 60km /h y km x h B ()3.75,75x /列方程求解，根据条件段所用的时间是45分钟，利用甲和乙之间的距离减去货车行驶的距离即可求得点对应的纵坐标，即可求解．【详解】解：设快递车从甲地到乙地的速度为千米时，则，解得：．则甲、乙两地之间的距离是（千米）；快递车返回时距离货车的距离是：（千米），即点的纵坐标为∵装卸货物共用，∴点的横坐标为故答案：．16. 如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，若点为抛物线上一点且横坐标为，点为轴上一点，点在以点为圆心，为半径的圆上，则的最小值______ ．##【解析】【分析】先求出点，点，作点关于轴对称的点，则点，连接交与轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长，然后可在中由勾股定理求出，进而可得，据此可得出答案．【详解】解：对于，当时，，为AB B a /()360120a -=100a =3100300⨯=4530060(37560-+=B 7545min 450.7560=B 3.75()3.75,75234y x x =--+x A B A B y C D 3-E y F A 2DE EF +22-+()4,0A -()3,4D -D y T ()3,4T AE M A N T TH x ⊥H AF E M F N DE EF +TN Rt ATH TA TN 234y x x =--+0y =2340x x --+=解得：，，点的坐标为，对于，当时，，点的坐标为，作点关于轴对称的点，则点，连接交与y 轴于，交于，过点作轴于，连接，当点与点重合，点与点重合时，为最小，最小值为线段的长．理由如下：当点与点不重合，点与点不重合时，根据轴对称的性质可知：，，根据“两点之间线段最短”可知：，即：，，，即：，当点与点重合，点与点重合时，为最小．点，，，，，，在中，，，14x =-21x =∴A ()4,0-234y x x =--+3x =-4y =∴D ()3,4-D y T ()3,4T AE M A N T TH x ⊥H AF E M F N DE EF +TN E M F N DE TE =DE EF TE EF ∴+=+TE EF AF AT ++>TE EF AF TN AN ++>+2AF AN == TE EF TN ∴+>DE EF TN +>∴E M F N DE EF + ()3,4T()4,0A -3OH ∴=4TH =4OA =7AH OA OH ∴=+=Rt ATH 7AH =4TH =由勾股定理得：，．即．．【点睛】此题主要考查了二次函数与轴的交点，利用轴对称求最短路线，圆的性质，勾股定理等，解答此题的关键是准确的求出二次函数与轴的交点坐标，难点是确定当为最小时，点，的位置．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 计算：【答案】【解析】【分析】本题主要考查了实数的运算，求特殊角三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，先计算特殊角三角函数值，，零指数幂，负整数指数幂，再根据实数的运算法则求解即可．【详解】解：．18. 解不等式组，并写出它的所有正整数解．【答案】；1，2，3．【解析】【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出不等式组的整数解即可．TA ==2TN TA AN ∴=-=-DE EF +2-2-xx DE EF +EF )201tan 6012-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭3+)201tan 6012-⎛⎫︒-+ ⎪⎝⎭14=+-+3=6341213x x x x +≤+⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②14x ≤<【详解】解：，解不等式①得：，解不等式②得：，∴不等式组的解集为，∴不等式组的所有正整数解有1，2，3．19. 如图，在平行四边形中，的平分线交于点E ，的平分线交于点F ．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及角平分线定义等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．根据平行四边形性质得，，，则，再证明，然后证明，即可得出结论．【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，．平分，平分，，．，在和中，，，6341213x x x x +≤+⎧⎪⎨+>-⎪⎩①②1x ≥4x <14x ≤<ABCD ABD ∠BE AD CDB ∠DF BC AE CF =AB CD =A C ∠=∠AB CD ∥ABD CDB ∠=∠ABE CDF ∠=∠()ASA ABE CDF ≌△△ ABCD AB CD ∴=A C ∠=∠AB CD ∥ABD CDB ∴∠=∠BE ABD ∠DF CDB ∠12ABE ABD ∴∠=∠12CDF CDB ∠=∠ABE CDF ∴∠=∠ABE CDF A C AB CDABE CDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩()ASA ABE CDF ∴△△≌．20. 为进一步提升学生数学核心素养，某校拟开展初中数学实践作业成果展示活动，作业项目包括：测量、七巧板、调查活动、无字证明、数学园地设计（分别用字母A ，B ，C ，D ，E 依次表示这五项作业）．为了解学生上交的作业项目，现随机调查了若干名学生（每位同学只上交一种作业），并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次共调查了______名学生；（2）请根据以上信息直接补全条形统计图；（3）扇形统计图中作业D “无字证明”的圆心角的度数是______度；（4）若参加成果展示活动的学生共有人，请你估计上交A “测量”作业的学生人数．【答案】（1）（2）件解析（3）（4）名【解析】【分析】（1）用项目B 的人数除以其人数占比即可得到答案；（2）先求出项目C 的人数，再补全统计图即可；（3）用乘以项目D 的人数占比即可得到答案；（4）用乘以样本中项目A 的人数占比即可得到答案．【小问1详解】解：名，∴本次共调查了名学生，故答案：；【小问2详解】为AE CF ∴=60012036150360︒6003630%120÷=120120解：项目C 的人数为名，∴补全统计图如下所示：【小问3详解】解：，∴扇形统计图中作业D “无字证明”的圆心角的度数是度，故答案为：；【小问4详解】解：名，∴估计上交A “测量”作业的学生人数为名．【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，用样本估计总体，正确读懂统计图是解题的关键．21. 春节期间，白居寺长江大桥凭借其独特的造型、科幻的氛围、“星际穿越”的视感吸引众多游客纷纷前来打卡拍照．某校数学社团的同学们欲测量白居寺长江大桥桥塔的高度，如图2，他们在桥下地面上架设测角仪（测角仪垂直于地面放置），此时测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，然后将测角仪沿方向移动100.5米到达点处，并测出点的仰角，测角仪高度米．（点在同一水平线上，）（1）白居寺长江大桥桥塔的高度约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，1203036121824----=1236036120︒⨯=︒363630600150120⨯=150MB CM A 35ACE ∠=︒MB N A 45ADE ∠=︒1.6CM DN ==M N B ，，AB BM ⊥AB sin 350.57︒≈，）（2）如图3，在（1）问条件下，小明在某大楼处测得白居寺长江大桥桥塔最高点的仰角，最低点的俯角，则小明所在地处与的水平距离约为多少米？（结果保留到个位，参考数据：，，，，，）【答案】（1）2361 （2）141.66【解析】【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过仰角俯角问题测量物体高度，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．（1）延长，交于点，设, 则，在中, ，可得，在中，，，求出，再根据得出答案；（2）延长交于点，由题意可知，，根据题意可得，设，则，根据，，可得，解得，从而可得的值．【小问1详解】解：如图所示，延长，交于点，由题意得, , 设, 则在中,.cos350.82︒≈tan 350.70︒≈ 1.41≈Q A 18AQG ∠=︒B 53BQG ∠=︒Q AB sin 720.95︒≈cos 720.3︒≈tan 723︒≈sin 370.6︒≈cos370.8︒≈tan 370.75︒≈CD AB F DF x =100.5CF x =+Rt ADF 45ADF ∠=︒AF x =Rt ACF 35ACE ∠=︒tan 350.7100.5AF x CF x ︒==≈+x AB AF BF =+QG AB M QM AB ⊥236.1AB =72,37A B ∠=︒∠=︒AM x =236.1BM x =-tan tan 723QM A AM∠=︒=≈tan tan 370.75QM B BM ∠=∠︒=≈tan 370.75tan 72236.13AM x BM x ︒===︒-47.22x =QM CD AB F 100.5CD MN ==DF BN =90, 1.6AFD CM DN BF ∠=︒===DF x =100.5CF x =+Rt ADF 45ADF ∠=︒在中，， 经检验是原方程的解且符合题意米白居寺长江大桥桥塔的高度约为米；【小问2详解】解：延长交于点，由题意可知，，设，则解得故处与的水平距离约为米22. 如图，在中，，以为直径作交于点E ，连接，.AF x∴=Rt ACF 35ACE ∠=︒tan 350.7100.5AF x CF x ︒==≈+234.5x ∴≈234.5x ≈234.5 1.6236.1AB AF BF ∴=+=+=∴AB 236.1QG AB M QM AB ⊥236.1AB = 18AQG ∠=︒53BQG ∠=︒72,37A B ∴∠=︒∠=︒AM x =236.1BM x=-tan tan 723QM A AM∠=︒=≈ tan tan 370.75QM B BM ∠=∠︒=≈tan 370.75tan 72236.13AM x BM x ︒∴===︒-47.22x =∴tan 7247.223141.66QM AM =⋅︒=⨯=Q AB 141.66Rt ABC △90ACB ∠=︒AD O AB CE CE BC =（1）求证：是的切线；（2）若，，求的半径．【答案】（1）见解析（2）⊙O 的半径为3【解析】【分析】对于（1），连接，先说明，可得，再根据同角的余角相等得，然后根据“等边对等角”得，进而得出，即可得出答案；对于（2），设的半径为r ，根据勾股定理可得，再根据勾股定理用含有r 的式子表示，即可得出关于r 的方程，然后求出解即可．【小问1详解】证明：如图，连接，∵，∴.∵是的直径，∴，∴.∵，∴，∴.∵，∴.CE O 2CD=AB =O OE A B ∠∠=︒+9090DEC CEB ∠+∠=︒A DEC ∠=∠OED ODE ∠=∠90OEC ∠=︒O222(22)(r B C ++=2BC OE 90ACB ∠=︒A B ∠∠=︒+90AD O 90AED DEB ∠=∠=︒90DEC CEB ∠+∠=︒CE BC =B CEB ∠=∠A DEC ∠=∠OE OD =OED ODE ∠=∠∵，∴，即，∴．∵是的半径，∴是的切线；【小问2详解】解：在中，，，设的半径为r ，则，，∴，∴.在中，，∴，∴，∴，∴，解得，或（舍去）．∴的半径为3．【点睛】本题主要考查了切线的判定，勾股定理，直径所对的圆周角是直角，等腰三角形的性质，同角的余角相等，勾股定理是求线段长的常用方法．23. 赣南脐橙，江西省赣州市特产，中国国家地理标志产品．某赣南橙种植基地11月20号开始采摘发售，果农根据果实的大小和甜度将赣南橙划分为A 级和B 级两个类别．采摘发售第一周，A 级累计销售19200元，B 级累计销售16000元．已知A 级每箱单价比B 级多，销量比B 级少40箱．（1）赣南橙A 级、B 级每箱售价分别是多少元？（2）某商店计划从该基地购进A 、B 两个等级的赣南橙共40箱，且A 级的数量不少于B 级的数量的．该商店如何购进才能使花费最小，并求出最小花费．【答案】（1）级每箱售价120元，级每箱售价80元（2）购进级10箱，级30箱，花费3600元，此时花费最小【解析】90A ADE ∠+∠=︒90DEC OED ∠+∠=︒90OEC ∠=︒OE CE ⊥OE O CE O Rt ABC △90ACB ∠=︒AB =O OD OE r ==22AC r =+222AC BC AB +=222(22)(r B C ++=Rt OEC △90OEC ∠=︒222OE CE OC +=222(2)r B C r +=+222(2)B C r r =+-2222(22)(2)(r r r +++-=3r =3r =-O 50%13A B A B【分析】本题考查了分式方程的应用以及一次函数的应用，理解题意，列方程及函数关系式是解决问题的关键．（1）设赣南橙级每箱售价元，则级每箱售价元，根据“A 级每箱单价比B 级多，销量比B 级少40箱”列方程即可求解；（2）设购进级箱，则购进级箱，根据“A 级的数量不少于B 级的数量的”列不等式求得的取值范围，再列出函数关系式，根据一次函数的性质即可求解．【小问1详解】解：设赣南橙级每箱售价元，则级每箱售价元，由题意，得：，解得：，经检验，是原方程的解且符合实际意义，则，即：赣南橙级每箱售价120元，级每箱售价80元；【小问2详解】设购进级箱，则购进级箱，则，可得，且为整数，商店购进的花费为，∵，∴随增大而减小，则当时，有最小值，最小值为，即：购进级10箱，级30箱，花费3600元，此时花费最小．24. 如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象交于，两点．B x A ()150%x +50%B a A ()40a -13a B x A ()150%x +()192001600040150%x x =-+80x =80x =()150%120x +=A B B a A ()40a -01403a a a ≥⎧⎪⎨-≥⎪⎩030a ≤≤a ()1204080404800w a a a =-+=-+400-<w a 30a =w 403048003600w =-⨯+=A B 4y x =+k y x=k 0k ≠()1,A a -B（1）求此反比例函数的表达式及点的坐标；（2）当反比例函数值大于一次函数值时，直接写出的取值范围；（3）在轴上存在点，使得的周长最小，求点的坐标并直接写出的周长．【答案】（1）， （2）或 （3）点的坐标为，【解析】【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称最短路径问题，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）先把点坐标代入一次函数解析式求出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式求出反比例函数解析式，再联立一次函数与反比例函数解析式即可求出点的坐标；（2）利用图象法求解即可；（3）如图所示，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，再求出直线的解析式即可求出点的坐标，由，，，可求出、的值，最后根据的周长为．【小问1详解】解：点在一次函数的图象上，，点，点在反比例函数的图象上，，反比例函数的表达式为，B x y P APB △P APB △3y x=-()3,1B -10x -<<3x <-P 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭A A AB A y A 'BA 'y P PA PB +APB △BA 'P ()1,3A -()3,1B -()1,3A 'AB A B 'APB △PA PB AB A B AB '++=+ ()1,A a -4y x =+∴143a =-+=∴()1,3A - ()1,3A -k y x=∴133k =-⨯=-∴3y x =-联立，解得： 或，；【小问2详解】观察函数图象可知：当或时，一次函数的图象在的图象的下方，当反比例函数值大于一次函数值时，的取值范围为：或；【小问3详解】作点关于轴的对称点，连接交轴于点，此时的值最小，则的周长最小，如图所示．点，点，设直线的表达式为，则，解得：，直线表达式为， 在中，令，则，点，，，，，的周长为．的34y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=+⎩13x y =-⎧⎨=⎩31x y =-⎧⎨=⎩∴()3,1B -10x -<<3x <-4y x =+3y x=-∴x 10x -<<3x <-A y A 'BA 'y P PA PB +APB △ ()1,3A -∴()1,3A 'BA '()0y mx n m =+≠331m n m n +=⎧⎨-+=⎩1252m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴BA '1522y x =+1522y x =+0x =52y =∴50,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ()1,3A -()3,1B -()1,3A '∴AB ==A B =='∴APB △PA PB AB A B AB '++=+=+25. 如图1，在矩形中，，点分别是上的中点，过点分别作与交于点，连接．特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；①四边形是矩形；②矩形与四边形位似；③以为边围成的三角形不是直角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形绕着点旋转，连接，观察与之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接，当的长度最大时，①求的长度；②连接，若在内存在一点，使的值最小，求的最小值．【答案】（1）①②；（2）与的夹角是，见解析；（3）①；②【解析】【分析】（1）根据矩形的判定与性质、位似图形的性质以及直角三角形的判定逐个判断即可；（2），连接、，延长、，设交点为N，设、交于点M ，先根据矩形的性质和勾股定理求得，再利用锐角三角函数求得，进而得到，利用位似图形的性ABCD CD ==,E G ,AD AB ,E G ,,EF AD FG AB FG ⊥⊥EF F CF AGFE ABCD AGFE ,,ED CF BG AGFE A BG CF BG CE CE BG ,,AC AF CF ACF △P CP AP ++CP AP ++BG CF =CF BG 30︒AC AF CF BG AC BG 8AC =30BAC ∠=︒AB AC =质得到，进而证明，利用相似三角形的性质和三角形的内角和定理可求解；（3）先根据题意得到当点C 、A 、C 共线时取等号，此时的长度最大，①利用勾股定理求解即可；②将绕着点A 顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点A 顺时针旋转，得到，且使，连接．先证明，得到 ，利用的边角关系得到，然后根据两点之间线段最短得到当C 、P 、K 、L四点共线时，的长最小，过点L 作垂直的延长线于点Q ，可得，在中，根据勾股定理求解即可．【详解】解：（1）∵四边形是矩形，∴∵，∴，∴四边形是矩形，故①正确；∵点分别是上的中点，∴，，即，∴矩形与四边形位似，故②正确；延长交于H ，则四边形、四边形是矩形，∴，，，∴是直角三角形，则以为边围成的三角形是直角三角形，故③错误，故答案为：①②；（2）与的夹角．证明：如图，连接、，延长、，设交点为N ，设、交于点M ，AG AB AF AC ==ACF ABG △∽△CE AP 30︒AK =PK AF 30︒AL AL =LK APF AKL ∽KL =APK △PK AP =CL LO CA 30LAQ ∠=︒Rt CLQ △CL ABCD 90A B BCD D ∠=∠=∠=∠=︒，,EF AD FG AB ⊥⊥90A AGF AEF ∠=∠=∠=︒AGFE ,E G ,AD AB 12AG AB =12AE AD =12AG AE AB AD ==ABCD AGFE GF CD EFHD BCHG HF DE =CH BG =90CHF ∠=︒CHF ,,ED CF BG BG CF =CF BG 30︒AC AF CF BG AC BG∵四边形是矩形，∴，，∴，则，∴，∴由（1）知，矩形与四边形位似，∴，∴，∴，，又，∴；（3）∵，∴当点C 、A 、E 共线时取等号，此时的长度最大，①如图，由（2）知，，，，∵，∴；②如图，将绕着点A 顺时针旋转，且使，连接．同理将绕着点A顺时针旋ABCD AB CD ==4ADBC ==8AC ==1sin 2BC BAC AC ∠==30ACD BAC ∠=∠=︒AB AC ==ABCD AGFE AG AB AF AC ==CAF BAG ∠=∠ACF ABG △∽△BG AB CF AC ==ACF ABG ∠=∠CMN AMB ∠=∠30CNG BAC ∠=∠=︒AC AE CE +≥CE 90CEF ∠=︒10CE AC AE =+=EF =BG CF =CF ==BG ==AP 30︒AK =PK AF转，得到，且使，连接．根据旋转，可得，根据两边对应成比例且夹角相等可得，∴，过P 作于S ，则，，∴，则，∴，∴，∵，即，当C 、P 、K 、L 四点共线时，的长最小，由题意，，，，过点L 作垂直的延长线于点Q ，可得，∴，，则，在中，根据勾股定理得∴的最小值为【点睛】本题是一道压轴题，主要考查了矩形的判定与性质、位似图形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质、解直角三角形、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理、最短路径等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关的知识与联系，适当添加辅助线是解答的关键．26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．30︒AL AL =LK 30PAF KAL FAK ∠=∠=︒-∠APF AKL ∽KL =PS AK ⊥12PS AP =AS AP =KS AK AS AP =-=tan PS PKS KS ∠==30PKS ∠=︒PK AP =CP PK KL CL ++≥CP AP CL ++≥CL 150LAC ∠=︒4AF =8AC =AL =LQ CA 30LAQ ∠=︒QL =6AQ =14CQ AC AQ =+=Rt CLQ △CL ==CP AP ++()240y ax bx a =++≠x ()1,0A -()4,0C y B（1）求该抛物线的解析式以及顶点坐标；（2）若点是抛物线上的一个动点，满足与的面积相等求出点的坐标；（3）若点在第一象限内抛物线上，过点作轴于点，交于点，且满足与相似，求出点的横坐标．【答案】（1）， （2） （3）点的横坐标为【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，解方程组得到该抛物线的解析式为，由于，于是得到抛物线的解析式的顶点坐标为，；（2）根据点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，于是得到，求得点的纵坐标为4，解方程即可得到；（3）设直线的解析式为，解方程得到直线的解析式为，设，则，，根据已知条件得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，求得，得到，①当时，②当时，根据相似三角形的性质解方程即可得到结论．【小问1详解】抛物线与轴交于、两点，，D ABD △BCD △.D E E EF x ⊥F BC P BFP △CEP △E 325(,24234y x x =-++()3,4D E 2234y x x =-++2232534()24y x x x =-++=--+3(225)4D ABD △BCD △BD AC ∥D (3,4)D BC y kx b =+BC 4y x =-+(,0)F m 2(,34)E m m m -++(,4)P m m -+BOC CPF )CP m =-)BP m =--=BPF CPE ∽BPF EPC ∽ ()240y ax bx a =++≠x ()1,0A -()4,0C 0401644a b a b =-+⎧∴⎨=++⎩解得，该抛物线的解析式为，，抛物线的解析式的顶点坐标为；【小问2详解】抛物线与轴交于点，，点是抛物线上的一个动点，与的面积相等，，点的纵坐标为，当时，即，解得，，；【小问3详解】设直线的解析式为，，解得，直线的解析式为，13a b =-⎧⎨=⎩∴234y x x =-++2232534()24y x x x =-++=--+ ∴325,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ 234y x x =-++y B ()0,4B ∴ D ABD △BCD △BD AC ∴∥D ∴44y =2344x x -++=10x =23x =()3,4D ∴BC y kx b =+440b k b =⎧∴⎨+=⎩14k b =-⎧⎨=⎩∴BC 4y x =-+设，则，，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，，，当时，则，，解得，且，当时，则，，解得或不合题意舍去，点的横坐标为．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，三角形的面积公式，分类讨论是解题的关键．(),0F m ()2,34E m m m -++(),4P m m -+4OB OC == BOC ∴45BCO ∴∠=︒EF AC ⊥ CPF ∴△)4CP m ∴=-)4BP m ∴=-=①BPF CPE ∽PE PC PF PB=23444m m m m-+++-∴=-m =4m =0m > 4m ≠m ∴=②BPF EPC ∽PB PF PE PC==2m =0(m =)∴E 2。

2024年湖南省株洲市初中中考模拟数学信息卷（一）一、单选题1．如图，整数a 在数轴上的位置如图所示，则它的相反数是（ ）A ．2B ．12C ．3-D ．13- 2．已知三角形的两边长分别为4cm 和8cm ，则第三边的长可以是（ ）A ．2cmB ．4cmC ．5cmD ．12cm 3．下列运算正确的是（ ）A ．353a a a +=B ．3412a a a ⋅=C ．()1432a a =D ．824a a a ÷= 4．关于x 的一元二次方程223210x ax a -+-=的根的情况是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．只有一个实数根D ．没有实数根5．下列立体图形中，左视图是三角形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．2022年清明节假期三天国内旅游出游0.75419亿人次，2024年清明节假期三天国内旅游出游1.19亿人次，设清明节假期三天国内旅游出游的年平均增长率为x ，根据题意可列列方程为（ ）A ．()20.754191 1.19x +=B ．()20.754191 1.19x +=C ．()21.1910.75419x -=D ．()21.1910.75419x -=7．如图，已知AB DE ∥且:3:4AB DE =，A B ∠=∠．若6AC =，则BD 的长度为（ ）A ．8B ．12C ．14D ．168．为贯彻落实教育部办公厅关于“保障学生每天校内、校外各1小时体育活动时间”的要求，学校要求学生每天坚持体育锻炼．小亮记录自己一周内每天校外锻炼的时间（单位：分钟），并制作如图所示的统计图．根据统计图，下列描述错误．．的是（ ）A ．周日这天的校外锻炼时间最长B ．周一至周日每天校外锻炼时间在逐渐增加C ．这周每天校外锻炼时间在70分钟及以上的天数有一半以上D ．这一周平均每天的校外锻炼时间为73分钟9．如图，锐角三角形ABC 中，A ABC CB =∠∠，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，连接BE ，CD ．下列命题中，假命题．．．是（ ）A ．若ACD ABE ∠=∠，则CD BE =B ．若BD CE =，则BE CD =C ．若CD BE =，则ACD ABE ∠=∠ D ．若AD AE =，则CBE DCB ∠=∠10．若()1,1A x -，()2,1B x 是一次函数2y x b =+（b 为常数）图象上的两个点，下面三个结论：①120x x +=；②211x x -=；③21214b x x -⋅=．正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③二、填空题1112．如图，点A ，B ，C 在O e 上，若106AOB ∠=︒，则BCA ∠=．13．如图，将ABC V 沿BC 向右平移4个单位得到DEF V ，则A ，D 两点之间的距离=．14．营养参考值（NRV ）是专用于食品营养标签上比较食品营养成分含量的参考标准，例如某高钙饼干，每100克饼干含钙272毫克，钙的NRV 是800毫克，所以钙的NRV%是34%．某瓶装牛奶每100g 含蛋白质g a ，蛋白质的NRV 为64g ，则该瓶装牛奶蛋白质的NRV %为．（用含a 的代数式表示）15．小明在一次投篮过程中，篮球在空中的高度h （单位：米）与在空中飞行的时间 t （单 位：秒）满足函数关系：2412h t t =-+，当篮球在空中的飞行时间=秒时，篮球距离地面最高．16．一个不透明的口袋中装有5个红球和m 个黄球，这些球除颜色外都相同，某同学进行了如下试验：从袋中随机摸出1个球记下它的颜色后，放回摇匀，为一次摸球试验．根据记录在下表中的摸球试验数据，可以估计出m 的值为．17．如图，菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点．若菱形ABCD 的周长为32，则AEO △的周长为．18．如图，在平面直角坐标系中，直线l 与反比例函数()0k y x x=>交于A ，B ，与x 轴交于点()4,0C ，与y 轴交于点()0,2D ．若点A ，B 恰好是线段CD 的三等分点，则k =．三、解答题19．解一元一次不等式组：()233218x x ->⎧⎨+-<⎩． 20．某学校课后服务开展有声有色，这个学期因更多的学生选择足球和篮球班，学校计划购进若干个足球和篮球．已知篮球和足球的单价相差30元，且购买4个足球的费用与购买3个篮球的费用相同，求每个篮球和足球价格分别是多少元？21．如图是44⨯的正方形网格，请仅用无刻度的直尺．．．．．按要求完成以下作图（保留作图痕迹）．(1)在图1中作点C 使得ABC V 是直角三角形，90BAC ∠=︒，1tan 2ABC ∠=，且点C 在网格点上； (2)在图2中找出所有的点1P ，2P ，…，使得1P ，2P ，…到线段AB 两端的距离相等，且1P ，2P ，…在网格点上．22．广元市某中学举行了“禁毒知识竞赛”，王老师将九年级（1）班学生成绩划分为A 、B 、C 、D 、E 五个等级，并绘制了图1、图2两个不完整的统计图，请根据图中的信息解答下列问题：（1）求九年级（1）班共有多少名同学？（2）补全条形统计图，并计算扇形统计图中的“C ”所对应的圆心角度数；（3）成绩为A 类的5名同学中，有2名男生和3名女生；王老师想从这5名同学中任选2名同学进行交流，请用列表法或画树状图的方法求选取的2名同学都是女生的概率． 23．A 、B 两种机器人都被用来搬运化工原料，A 型机器人比B 型机器人每小时多搬运30kg ，A 型机器人搬运900kg 所用时间与B 型机器人搬运600kg 所用时间相等．（1）A 、B 两种机器人每小时分别搬运多少千克化工原料？（2）某化工厂有3000kg 化工原料需要搬运，A 型机器人先工作若干小时，然后B 型机器人加入一起搬运化工原料，所有化工原料搬运完成．若A 、B 两种机器人合作的时间不超过10小时，则A 种机器人至少先工作多少小时？24．图1是某款篮球架，图2是其示意图，立柱OA 垂直地面OB ，支架CD 与OA 交于点A ，支架CG CD ⊥交OA 于点G ，支架DE 平行地面OB ，篮筺EF 与支架DE 在同一直线上，2.5OA =米，0.8AD =米，32AGC ∠=︒．(1)求GAC ∠的度数．(2)某运动员准备给篮筐挂上篮网，如果他站在凳子上，最高可以把篮网挂到离地面3米处，那么他能挂上篮网吗？请通过计算说明理由．（参考数据：sin320.53,cos320.85,tan320.62︒≈︒≈︒≈）25．在ABC V 中，⊙O 是ABC V 的外接圆，连结CO 并延长，交AB 于点D ，交⊙O 于点E ，2ACE BCE ∠=∠．连结OB ，BE ．(1)求证：ABE EOB ∠=∠．(2)求证：212BD ED EC =⋅． (3)已知2AC EB =，11AB =，是否能确定⊙O 的大小？若能，请求出⊙O 的直径；若不能，请说明理由．26．若一次函数y mx n =+与反比例函数k y x=同时经过点(,)P x y 则称二次函数2y mx nx k =+-为一次函数与反比例函数的“共享函数”，称点P 为共享点．(1)判断21y x =-与3y x=是否存在“共享函数”，如果存在，请求出“共享点”．如果不存在，请说明理由；(2)已知：整数m ，n ，t 满足条件8t n m <<，并且一次函数(1)22y n x m =+++与反比例函数2024y x =存在“共享函数” 2()(10)2024y m t x m t x =++--，求m 的值． (3)若一次函数y x m =+和反比例函数213m y x+=在自变量x 的值满足的6m x m ≤≤+的情况下．其“共享函数”的最小值为3，求其“共享函数”的解析式．。

2024年中考第一次模拟考试（苏州卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．2 的绝对值是（）A ．2B ．2C ．12D ．12 【答案】A【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，熟知正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数是解题的关键．【详解】解：2 的绝对值是2，即22 ．故选：A ．2．若分式1x x 有意义，则x 的取值范围是（）A ．0x B ．1x C ．1x D ．1x 且0x 【答案】B 【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据分式的分母不能为0求解即可得．【详解】解：∵分式1x x 有意义，10x ，解得1x ，故选：B ．3．下列计算正确的是（）A ．342a a a B ． 339a a C ．33()ab a b D ．824a a a 【答案】B【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法是解题的关键．根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法可进行排除选项．【详解】A ．34a a a ，原计算错误，故不符合题意；B ． 339a a ，原计算正确，故符合题意；C ．333()ab a b ，原计算错误，故不符合题意；D ．826a a a ，原计算错误，故不符合题意；故选：B ．4．某轮滑队所有队员的年龄只有12，13，14，15，16（岁）五种情况，其中部分数据如图所示，若队员年龄的唯一的众数与中位数相等，则这个轮滑队队员人数最少是（）A ．10B ．11C ．12D ．13【答案】C 【分析】本题考查了条形统计图，中位数，众数，熟悉条形统计图，掌握中位数，众数的相关概念是解答本题的关键．根据题目，利用众数和中位数的定义，得到这组数据的中位数为：14，众数是14，由此得到答案．【详解】解：由题图中数据可知：小于14的人有4人，大于14的人也有4人，这组数据的中位数为：14，∵队员年龄的唯一的众数与中位数相等，众数是14，即年龄为14的人最多，14岁的队员最少有4人，故选：C ．5．如图，在ABC 中，以顶点B 为圆心，适当长为半径画弧，交BA 于点M ，交BC 于点N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在ABC 内部交于点P ，过点P 作射线BP 交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥，交AB 于点E ，若65A ，195 ，则ADE （）A ．85°B ．75°C ．60°D ．55°【答案】D 【分析】本题考查作图-基本作图、平行线的性质，㠇练掌握平行线的性质是解答本题的关键．由题意可得BP 为ABC 的角平分线，DE BC ∥，则,,,ABD CBD AED ABC EDB EBD 可得,ABD CBD EDB 根据三角形外角性质可得2AED EDB ，平角性质可得18095,ADE EDB 再结合三角形内角和定理可列出方程，进而可得出答案．【详解】由题意可得BP 为ABC 的角平分线，DE BC ∥，,,,ABD CBD AED ABC EDB BDC ,ABD CBD EDB 2AED ABC EDB ，65A ∵，195 ，18095,ADE EDB 65218095180A AED ADE EDB EDB30,EDB 180953055ADE ，故选：D ．6．一个圆锥的底面半径为3，侧面展开图是半圆，则圆锥的侧面积是（）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B【分析】本题考查了求圆锥侧面积；利用圆锥侧面展开图的弧长 底面周长，可求得圆锥的底面周长以及圆锥母线长，那么圆锥的侧面积 底面周长 母线长2 ．【详解】解：底面半径为3，则底面周长6 ，侧面展开图是半圆，则母线长6226 ，圆锥的侧面积是16π618π2故选：B ．7．如图在平面直角坐标系中，OA AB ，且90OAB ， 13A ，则点B 的坐标是（）A ．(14)，B ．(24)，C ．(34)，D ．(44)，【答案】B【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．过点B 作BC y 轴于点C ，过点A 作AD x 轴于点D ，AD 、BC 相交于点E ，证明 AAS ODA AEB ≌，据此求解即可．【详解】解：过点B 作BC y 轴于点C ，过点A 作AD x 轴于点D ，AD 、BC 相交于点E．∵ 13A ，，∴13OD AD ，，∵90BAO ，∴19023 ，在ODA V 和AEB △中，9031OA AB ODA E，∴ AAS ODA AEB ≌，∴31BE AD OD AE ，，∴134312DE BC ，，∴点B 的坐标是 24，，故选：B ．8．如图，四边形ABCD 是菱形，边长为45A ．点P 从点A 出发，沿A D C 个单位长度的速度运动，同时点Q 沿射线BA 的方向以每秒1个单位长度的速度运动，当点P 运动到达点C 时，点Q 也立刻停止运动，连接PQ ．APQ △的面积为y ，点P 运动的时间为()08x x 秒，则能大致反映y 与x 之间的函数关系的图像是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】本题考查函数的图象与解析之间的联系，解决问题的关键在于弄清图形的变化情况，结合勾股定理，给出面积的表达式，即可解题．【详解】解：①当P 在AD 上时，作PE AQ ，如图所示：由题知AP ，AQ x ，45A ∵，45APE A ，PE AE ，则222222AE PE PE x ，解得PE x ，故 2122APQ x xS x 04x ，②当P 在D 上时，即4x 时，14482APQ S △，③当P 在CD 上不与D 重合，且Q 在AB 上时，作DF AQ ，如图所示：45A ∵，AD 4DF ，AP x ∵则 1422APQ S x x 4x ，④当Q 在AB 延长线上时，1422APQ S x x △8x ．故选：B ．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分）9．稀土是制造国防、军工等工业品不可或缺的原料．据有关数据表明，我国已探明稀土储量约4400万吨，居世界第一位，将数4400万用科学记数法可表示为．【答案】74.410 【分析】本题考查了绝对值大于1的科学记数法的表示，解题的关键在于确定a n ，的值．根据绝对值大于1的数，用科学记数法表示为10n a ，其中110a ，n 的值为整数位数少1．【详解】解：4400万即44000000大于1，用科学记数法表示为10n a ，其中 4.4a ，7n ，∴4400万用科学记数法表示为74.410 ，故答案为：74.410 ．10．比较大小：7227 （填“ ”“ ”或“ ”）【答案】【分析】此题主要考查了有理数大小，有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【详解】解：77||22 ，22||77，∵7227，2772 ．故答案为： ．11．分解因式321025x x x．【答案】 25x x 【分析】题目主要考查因式分解，熟练掌握提取公因式及完全平方公式分解因式是解题关键．【详解】解： 32225.1025(1025)x x x x x x x x 故答案为： 25x x ．12．如图，一次函数y ax b 与y mx n 的图象交于点(1,2)P ，则关于x 的方程ax b mx n 的解是．【答案】1x = 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，根据图象的交点的横坐标就是方程ax b mx n 的解即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键．【详解】解：由图象得：方程ax b mx n 的解是1x = ，故答案为：1x = ．13．中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），其中的24枚邮票大小相同，上面绘制了代表二十四节气风貌的图案，这24枚邮票组成了一个圆环，传达了四季周而复始、气韵流动的理念和中国传统文化中圆满、圆融的概念，以“大雪”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“上圆弧”的长为l ，“直边长”为d ，“下圆弧”的长为x ，则x （用含l ，d 的式子表示）．【答案】π12l d 【分析】本题考查弧长公式，根据题意，作出图形，数形结合，利用弧长公式表示出l ，d ，找到两者之间的关系即可得到答案，熟记弧长公式是解决问题的关键．【详解】解：根据题意，作出图形，如图所示：3601524BOC，15π2π36012l OC OC ； 15π2π36012x OC d OC d ， πππ121212x OC d l d ，故答案为：π12l d．14．如图，已知3AB AC DC DE ，180A D ，ABC 与CDE 的面积和为10，则BE 的长为．【答案】【分析】本题考查三角形的面积，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．如图，过点A 作AH BC 于点H ，过点D 作DK CE 于点K ．证明 AAS AHC AKD ≌，推出，AH CK CH DK ，设AH CK x ，CH DK y ，构建方程组求出x y ，可得结论．【详解】解：如图，过点A 作AH BC 于点H ，过点D 作DK CE 于点K ．3AB AC DC DE ∵，，AH BC DK CE ，1122BH CH BC CK KE CE ，，12BAH CAH BAC ，12CDK EDK CDE ，180BAC CDE ∵，90CAH CDK ，90CAH ACH ∵，ACH CDK ，又，90AC CD AHC CKD ∵，AAS AHC CKD ≌，，AH CK CH DK ，设，AH CK x CH DK y ，22BC y,CE xABC ∵ 与CDE 的面积和为10，即1111·····2··2·102222BC AH CE DK y x x y ，5xy ，在Rt CDK △中，222CK DK CD ,即229x y ，则有2259xy x y ，x y ，22BE BC CE CH CK x y ．故答案为：15．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A 、B 、C 、D 都在这些小正方形的顶点上，AB 与CD 相交于点M ，则cos BMD 的值为．【分析】本题考查了求余弦，连接,CE DE ，根据勾股定理和勾股定理逆定理，推出45DCE ，再证明四边形ACEB 是平行四边形，则45BMD DCE ，即可求解．【详解】解：连接,CE DE ，∵CD DE CE ，∴222CD DE CD DE CE ，，∴90CDE ，∴45DCE ，∵1,AC BE AC BE ∥，∴四边形ACEB 是平行四边形，∴AB CE ∥，∴45BMD DCE ，∴cos cos 452BMD，故答案为：22．16．如图，已知二次函数223y x x 的图象与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，P 点为该图象在第一象限内的一点，过点P 作直线BC 的平行线，交x 轴于点M ．若点P 从点C 出发，沿着抛物线运动到点B ，则点M 经过的路程为．【答案】92【分析】根据题意，可以先求出点、、A B C 的坐标，从而可以得到直线BC 的解析式，再根据PM BC ∥，点P 在抛物线上，可以写出点P 的坐标和对应的直线PM 的解析式，再根据题意，可以得到点M 横坐标的最大值，从而可以得到点M 经过的路程．【详解】解：∵二次函数 22331y x x x x ，∴当0y 时1213x x ，，，当0x 时，3y ，∴点A 的坐标为 10 ，，点B 的坐标为 3,0，点C 的坐标为 0,3，设直线BC 的函数解析式为y kx b ，31303b k k b b ，解得，即直线BC 的函数解析式为3y x ，∵PM BC ∥，点P 在抛物线上且在第一象限，∴设点P 的坐标为223m m m （，），设直线PM 的解析式为y x c ，223m m m c ，解得233c m m ，∴直线PM 的解析式为233y x m m ，令223323x m m x x 且Δ0 ，解得32m ，此时直线PM 的解析式为214y x，当0y 时214x ，∴点M 横坐标最大值是214，∴点M 经过的路程为：2193242 ，故答案为：92．三、解答题（本大题共11个小题，共82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）（4分）17．计算：036(20231)|2| ．【详解】原式18123212421（4分）18．解方程：31122x x ．【详解】解：31122x x，去分母，化为整式方程得： 321x ，即321x ，解得6x ，经检验，6x 是原分式方程的解．（8分）19．解方程组和不等式组，并把不等式组的解集在数轴上表示出来：(1)321022x y x y (2)解不等式组 2142115x x x【详解】（1）解：321022x y x y①②，2 ②得：424x y ③，①+③得：714x ，解得：2x ，把2x 代入②得：42y ，解得：=2y ，∴原方程组的解为：22x y ；（2）解： 2142115x x x①②解不等式①，得，3x 解不等式②，得2x把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：所以原不等式组解集为23x ．（8分）20．某校为了解本校七年级学生对自己视力保护的重视程度，随机在校内调查了部分学生，调查结果分为“非常重视”“重视”“比较重视”“不重视”四类，并将结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查中样本容量为_______；在扇形统计图中，“非常重视”所占的圆心角的度数为_______；(2)补全条形统计图；(3)该校七年级共有学生400人，请估计该校七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数．【详解】（1）解：由题知，1620%80 （人），48036018，故答案为：80，18 ．（2）解：804361624 （人），（3）解：3640018080（人），答：七年级学生对视力保护“比较重视”的学生人数约为180人．（8分）21．北京时间2023年12月27日14时50分，我国在酒泉卫星发射中心使用快舟一号甲运载火箭，成功将天目一号气象星座19-22星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．小明和小亮对航天知识都非常感兴趣，他们在中国载人航天网站上了解到，航天知识分为“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”等模块．他们决定从“梦圆天路”“飞天英雄”“探秘太空”“巡天飞船”四个模块中各自随机选择一个进行学习，设这四个模块依次为A 、B 、C 、D ．(1)小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为_____；(2)请用画树状图或列表的方法，求小明和小亮选择不同模块的概率．【详解】（1）解：小明选择学习“梦圆天路”模块的概率为14P ，故答案为：14；（2）树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小亮选择不同模块的结果有12种，小明和小亮选择不同模块的概率123164．（8分）22．如图，矩形EFGH 的顶点E ，G 分别在菱形ABCD 的边AD ，BC 上，顶点F ，H 在菱形ABCD的对角线BD 上．(1)求证：BG DE ；(2)若E 为AD 中点，=2AB ，求FH 的长．【详解】（1）∵四边形EFGH 是矩形，EH FG ，EH FG ∥，GFH EHF ．180BFG GFH ∵，180DHE EHF ，BFG DHE ．∵四边形ABCD 是菱形，AD BC ∥，GBF EDH ，(AAS)BGF DEH △△，BG DE ；（2）连接EG ，∵四边形ABCD 是菱形，AD BC ，AD BC ∥．E ∵为AD 中点，AE ED ．BG DE ∵，AE BG ，AE BG ∥，四边形ABGE 是平行四边形，AB EG ．∵四边形EFGH 是矩形，EG FH ，2AB ，2FH ．（8分）23．如图，反比例函数2y x的图象与一次函数y kx b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，2 ，一次函数图象与y 轴的交于点C ，与x 轴交于点D ．(1)求一次函数的解析式；(2)对于反比例函数2y x，当1y 时，写出x 的取值范围；(3)点P 是第三象限内反比例图象上的一点，若点P 满足S △BDP ＝12S △ODA ，请求出点P 的坐标．【详解】（1）解：∵反比例函数2y x的图象与一次函数y kx b 的图象交于点A 、B ，点A 、B 的横坐标分别为1，﹣2；∴A 1,2，B 2,1 ；把A 、B 的坐标代入y kx b 得221k b k b；解得11k b；∴一次函数的解析式为1y x ．（2）∵ 2,1B ；由图象可知，当20x 时，1y ．（3）∵一次函数为1y x ；∴D 1,0 ；∵A 1,2，∴1212ODA S V ；∴1122BDP ODA S S V V ，设点P 的坐标为：2,x x，0x ；∴ON x ，2PN x；当P 在直线下方时，如图1，则；121211=1212112222BDP BDM PDNBMNP S S S S x x x x 梯形；解得x ∴点P ．当P 在直线AB 的上方时，如图2，则；1211112211122222BDF BDM PDNBMNP S S S S x x x x 梯形；解得1x ；∴点P 1 ；综上可得：点P的坐标为：或 1．（8分）24．如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，点M 在O 外，连接MC ，若MCA B；(1)求证：CM 是O 的切线；(2)已知，点D 是OA 的中点，过点D 作DE AB ，交CM 于点E ，若O 的半径为10，3tan 4A，求CE 的长.【详解】（）证明：连接OC ，∵AB 是O 的直径，∴90BCA ，∴90BAC ABC ，∵OC OA ，∴OCA OAC ，∵MCA B ，∴90OCA MCA ，即90OCM ，∵OC 是半径，∴CM 是O 的切线；（2）解：设AC 与DE 相交于点F ，过点E 作EG AC 于点G ，如图所示：∵DE AB ，10OA ，点D 是OA 的中点，∴90,5,20ADE OD DA AB ，∴90A DFA A B GFE GEF ，∵,GFE AFD MCA B ，∴,GEF A GFE MCA B ，∴CE EF ，由3tan 4A 可设3,4BC x AC x ，根据勾股定理可知5AB x ，∴520x ，即4x ，∴12,16BC AC ，∴3sin sin 5AC A GEF AB ，∴15tan 4DF AD A，∴25sin 4DF AF A ，∴394CF AC AF，∵,CE EF EG AC ，∴13928CG GF CF，∴65sin 8GF EF CE GEF ．（8分）25．杭州亚运会于2023年9月23日至10月8日举行，作为今年我国举办的最为盛大的赛事，是向世界展示中国形象、传播中国文化的重要窗口．宁夏枸杞作为几千年来备受推崇、药食同源的滋补上品，小小的红果凝聚和传承着宁夏这片土地上，珍贵的历史记忆和宝贵的精神财富，已然成为宁夏独特的地域符号、主导产业和文化象征，不但为宁夏社会经济发展作出了积极贡献，也为助力“健康中国”跑出了“加速度”．在宁夏一特产专卖店销售某种枸杞，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种枸杞要想平均每天获利2240元，请回答：(1)为尽可能让利于顾客，赢得市场，每千克枸杞应降价多少元？(2)根据市场需求，该店将售价定为多少出售，每天可获取最大利润，最大利润是多少？【详解】（1）解：设每千克枸杞应降价x 元，根据题意，得 60401002022402x x，化简，得210240x x ，解得1246x x ，．∵为尽可能让利于顾客，赢得市场，6x ，答：每千克枸杞应降价6元；（2）设每千克枸杞应降价x 元，每天获得利润为y 元，根据题意得：2260401002010100200010522502()()()x y x x x x ，100∵ ，当5x 时，y 有最大值，最大值为2250，此时售价为60555( 元)，该店将售价定为55元出售，每天可获取最大利润，最大利润是2250元．（8分）26．已知抛物线212y x bx c与x 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，直线6y x 经过点A 与点C ．(1)求抛物线的表达式；(2)点P 在线段AC 下方的抛物线上，过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．①如果C F 、两点关于抛物线的对称轴对称，联结DF ，当DF CF 时，求PDF 的正切值；②如果:3:5PD DE ，求点P 的坐标．【详解】（1）解：∵直线6y x 经过点A 与点C则当06x y ，；06y x ，∴ 6060A C ，，，∴60186c b c ，，解得62c b 21262y x x ；（2）解：①如图：∵ 6060A C ，，，，且C F 、两点关于抛物线21262y x x 的对称轴对称，∴6F c y y ，221222b x a 则4F x ∵DF CF∴DF y ∥轴则FDC OCA∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ．∴PE BC PDF ACB，则PDF OCB∵21262y x xx 轴交于A B 、两点（点A 在点B 的左侧），∴210262x x ∴6x ，2x ∴ 20B ，∵PDF OCB则PDF 的正切值等于21tan 63OB OCB OC ；②设21262P p p p，，BC 的解析式为y mx n ∴把 0620C B ，，，代入y mx n 得602n m n解得63n m ∵过点P 作BC 的平行线交线段AC 于点D ，交y 轴于点E ∴设PE 的解析式为3y x b把21262P p p p，代入3y x b 得2162p p b ∴21623y x p p 令0x ，2162p p y即21062E p p，当261362y x y x p p 解得21184x p p 则把21184x p p 代入21623y x p p 得211684y p p ∴22111168484D p p p p，∵过点P 作PM y 轴，过点D 作DN y轴，∴EDN EPM∽∴EN DE EM EP∵:3:5PD DE ∴58EN EM ∶∶∵21062E p p ，，22111168484D p p p p ，，21262P p p p ，∴222111336628484EN p p p p p p，2211626322EM p p p p p ∴23358348p p p ∶∶解得1103p p ，∵点P 在线段AC 下方的抛物线上，∴10p （舍去）∴3p ．把3p 代入21262y p p∴19241592362222y ∴点P 的坐标1532，（10分）27．【问题初探】（1）在数学活动课上，李老师给出如下问题：如图1，在ABC 中，60BAC ，D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的右侧，连接AE ，你能得到哪些结论呢？①小明说：“在点D 的运动过程中，只要保证BE 在边AB 的右侧，BAE 的度数是固定的，我能求出BAE 的度数”；小强说：“在点D 的运动过程中，只要保证BE 在边AB 的右侧，我能得到从点A 发出的三条线段,,AB AE AD 的数量关系”．②小涛说：“我利用60BAC ，如图2，在AD 上截取AF AB ，连接BF ，再利用旋转的性质，就可以得到小明和小强的结论”．请你根据小涛的思路，求BAE 的度数，并探究线段,,AB AE AD 的数量关系．【类比分析】（2）李老师发现同学们都利用了转化的思想，转化角，转化线段，为了帮助同学们更好地感悟转化思想，李老师将图1进行变换，并提出下面问题，请你解答．如图3，在ABC 中，60,BAC D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的左侧，连接AE ，过B 作BG AD 于点G ，求证：2AD AE AG ．【学以致用】（3）如图4，在ABC 中，60,BAC D 为AC 上的动点，当AD AB 时，连接BD ，将线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，且BE 在边AB 的右侧，连接,AE DE ，过B 作BM AD 于M ，线段DE 的中点为N ，连接MN ，若4,AB MN ABDE 的面积．【详解】解：（1）在AD 上截取AF AB ，连接BF ．如图1，60,BAC AB AF ∵．ABF 是等边三角形，,60AB BF ABF AFB ．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，60,B BD E BD E ，ABF EBD ，ABE EBF FBD EBF ，即ABE FBD ．在ABE 和FBD 中，AB BF ABE FBD BE BD，(SAS)ABE FBD △≌△．,BAE BFD AE FD ，60AFB∵120BFD ．120BAE ．=AD AF FD ∵，AD AB AE ．（2）证明：在AC 上截取AH AB ，连接BH ．如图2，60,BAC AB AH ∵．ABH 是等边三角形，,60AB BH ABH ．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ，,60BD BE DBE ．ABE ABD ABD HBD ，即ABE HBD在ABE 和HBD △中，,,,AB HB ABE HBD BE BDSAS ABE HBD △≌△，AE HD ．又ABH ∵△为等边三角形BG AH ，2AH AG ．AH AD DH AD AE ∵，2AG AD AE ．（3）解：连接BN ，如图3．∵线段BD 绕点B 逆时针旋转60 得到线段BE ．,60BD BE DBE ，BDE 是等边三角形．60BEN ，N Q 为DE 中点，1,302BN DE EBN EBD ．在Rt BNE 中，sin sin602BN BEN BE ，60BAC ∵，BM AC 于M ．sin sin 60BM BAM AB，BN BM BE AB．又906030ABM ∵，ABM EBNABE EBM EBM MBN ，即ABE MBN ，ABE MBN △∽△，MN BM AE AB MN ∵2AE ．在AD 上截取AH AB ，由（1）得ABH 是等边三角形，ABE HBD △≌△．4,2,120AH AB AE DH BAE BHD ，6AD AH DH ．过E 作EQ AD 于Q ，120,60BAE BAC∵60EAQ ．sin 602EQ AE2BM AB ∵，4AB ，BM四边形ABDE 的面积1111662222ADE ADB S S AD EQ AD BM △△。

中考数学模拟试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1.－2，0，2，－3这四个数中最大的是………………………………………………………【 】A.－1B.0C.1D.23. 下图是五个相同的小正方体搭成的几体体，其左视图是…………………………………【 】5.从下五边形的五个顶点中，任取四个顶点连成四边形，对于事件M ，“这个四边形是等腰梯形”.下列推断正确的是……………………………………………………………………………【 】A.事件M 是不可能事件B. 事件M 是必然事件C.事件M 发生的概率为15D. 事件M 发生的概率为257. 如图，⊙半径是1，A 、B 、C 是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧 BC的长是…………………………………………………………………………………【 】A.5π B. 25π C. 35π D. 45π9.如图，四边形ABCD 中，∠BAD=∠ADC=90°，AB=AD=22，CD=2，点P 在四边形ABCD 上，若P 到BD 的距离为32，则点P 的个数为……………………………【 】 A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11.因式分解：22a b ab b ++=_________.13.如图，⊙O 的两条弦AB 、CD 互相垂直，垂足为E ，且AB=CD ，已知CE=1，ED=3，则⊙O 的半径是_________.三、（本题共2小题，每小题8分，满分16分15.先化简，再求值：21211x x ---，其中x=－2四、（本题共2小题，每小题8分，满分16分）17. 如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2；（1）把△ABC 先向右平移4个单位，再向上平移1个单位，得到△A 1B 1C 1；(2)以图中的O 为位似中心，将△A 1B 1C 1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A 2B 2C 2.【解】第3题图五、（本题共2小题，每小题10分，满分20分）19.如图，某高速公路建设中需要确定隧道AB 的长度.已知在离地面1500m ，高度C 处的飞机，测量人员测得正前方A 、B 两点处的俯角分别为60°和45°，求隧道AB 的长.【解】六、（本题满分12分）21. 如图函数11y k x b =+的图象与函数2k y x=（x ＞0）的图象交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点.已知A 点的坐标为(2，1)，C 点坐标为(0，3).（1）求函数1y 的表达式和B 点坐标；【解】（2）观察图象，比较当x ＞0时，1y 和2y 的大小.七、（本题满分12分） 23.如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在四条平行线l 1、l 2、l 3、l 4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h 1、h 2、h 3（h 1＞0，h 2＞0，h 3＞0）.(1)求证h 1=h 3；【解】(2) 设正方形ABCD 的面积为S.求证S=（h 2+h 3）2＋h 12；【解】第19题图 第21题图 第23题图(3)若12312h h +=,当h 1变化时，说明正方形ABCD 的面积为S 随h 1的变化情况. 【解】。

2024年甘肃省兰州市安宁区东方学校中考数学模拟试卷（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．A．B．C．D．1．（3分）《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源．通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史，让更多的观走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来．下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是轴对称图形的是（ ）A．a5b5B．a4b5C．ab5D．a5b62．（3分）计算（a2b）3•的结果是（ ）b2aA．B．C．D．3．（3分）不等式组的解集在数轴上可以表示为（ ）{-x≤-1x＜3A．4b（b-a）+a2B．（2b-a）2C．（2b-a）（2b-a）D．（2b+a）24．（3分）因式分解4b2-4ab+a2正确的是（ ）A．130°B．140°C．150°D．160°5．（3分）如图是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若∠1=30°，∠2=50°，则∠3的度数为（ ）A ．3-B ．-2C ．-1D ．3-6．（3分）如图的数轴上，点A ，C 对应的实数分别为1，3，线段AB ⊥AC 于点A ，且AB 长为1个单位长度，若以点C 为圆心，BC 长为半径的弧交数轴于0和1之间的点P ，则点P 表示的实数为（ ）M 5M 5M 5M 10A ．1B ．2C ．1.5D ．07．（3分）若一次函数y =（k -1）x -2的函数值y 随x 的增大而减小，则k 值可能是（ ）A ．B ．C ．D ．8．（3分）《九章算术》中有一题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：大容器5个，小容器1个，总容量为3斛（斛：古代容量单位）；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛，问大容器、小容器的容是多少斛？设大容器的容量为x 斛，小容器的容量为y 斛，则可列方程组是（ ）{x +5y =35x +y =2{5x +y =3x +5y =2{5x =y +3x =5y +2{5x =y +2x =5y +3A ．k <4B ．k ≤4且k ≠3C．k >4D ．k ≤49．（3分）已知二次函数y =（k -3）x 2+2x +1的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．本次抽样调查的样本容量是5000B ．扇形统计图中的m 为10%C ．扇形统计图中“自驾”所对应的扇形的圆心角是120°D ．样本中选择公共交通出行的有2500人10．（3分）五一期间，某地相关部门对观光游客的出行方式进行了随机抽样调查，整理后绘制了两幅统计图（尚不完整），根据图中的信息，下列结论错误的是（ ）11．（3分）如图，将正方形ABCD 绕着点A 逆时针旋转得到正方形AEFG ，点B 的对应点E 落在正方形ABCD 的对角线AC 上，D =1，则CF的长为（ ）A二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分．A ．B ．C ．D ．π√28π√24π8π4A ．1B ．C ．2D ．2.512．（3分）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AD 为中线，E 为AD 的中点，F 为BE 的中点，连结DF ．若AC =4，DF ⊥BE ，则DF 的长为（ ）M 3M 313．（3分）函数y =的自变量x 的取值范围是 ．M x -1214．（3分）中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要部分．若从这四部著作中随机抽取两本（先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本），则抽取的两本恰好是《论语》和《子》的概率是．15．（3分）如图，△ABC 与△DEF 是位似图形，点O 为位似中心，OC ：CF =1：2．若△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长是．16．（3分）已知正方形ABCD 的边长为4，若G 为AB 的中点，连接DG 交正方形的对角线AC 于点E ，F 是DG 延长线上一点，FB ⊥BE ，则AF 的长是．三、解答题：本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．（4分）计算：2+-．M 813M 1834M 3218．（4分）解方程：-1=．y y -12y3y -319．（4分）先化简，再求值：[（x -y ）2+（x +y ）（x -y ）]÷2x ,其中x =3，y =-1.5．20．（5分）请阅读下列材料，完成相应的任务：有这样一个题目：设有两只电阻，分别为R 1和R 2，问并联后的电阻值R 是多少？我们可以利用公式=+，求得R 的值，也可以设计一种图形直接得出结果，具体如下：如图①，在直线l 上任取两点A 、B ，分别过点A 、B 作直线l 的垂线，并在这两条垂线上分别截取AC =R 1，BD =R 2，且点C ，D 位线l 的同侧，连接AD 、BC ，交于点E ，过点E 作EF ⊥直线1，则线段EF 的长度就是并联后的电阻值R ．证明：∵EF ⊥l ,CA ⊥l ,∴∠EFB =∠CAB =90°，又∵∠EBF =∠CBA ，∴△EBF ∽△CBA （依据1），∴=（依据2）．同理可得：=，∴+=+，∴1=+，∴=+，即：=+．任务：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1：；依据2：；（2）如图②，两个电阻并联在同一电路中，已知R 1=3千欧，R 2=6千欧，总阻值R =千欧；（3）请仿照①的作图过程在图③中（1个单位长度代表1千欧，例：AB =CD =9千欧）画出（2）中表示该电路图中总阻值R 段长；用无刻度直尺和圆规将所给图形补充完整．（保留作图痕迹，不写作法）1R 1R 11R 2BF AB EF ACAF AB EFBDBF AB AF AB EF AC EFBDEF ACEF BD 1EF 1AC 1BD 1R 1R 11R 221．（5分）综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长y （单位：cm ），宽x （单位：cm ）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：12345678910芒果树叶的长宽比 3.8 3.7 3.5 3.4 3.8 4.0 3.6 4.0 3.6 4.0荔枝树叶的长宽比2.02.02.02.41.81.91.82.01.31.9【实践探究】分析数据如下：平均数中位数众数方差芒果树叶的长宽比 3.74m 4.00.0424荔枝树叶的长宽比 1.912.0n0.0669【问题解决】（1）上述表格中：m =，n =；（2）①A 同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”②B 同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”上面两位同学的说法中，合理的是（填序号）；（3）现有一片长11cm ,宽5.6cm 的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．22．（7分）在平面直角坐标系中，已知k 1k 2≠0，设函数=与函数y 2=k 2（x -2）+3的图象交于点A ，B ．已知点A 的横坐标是2，点B 的纵坐标是-1．（1）求k 1，k 2的值．（2）连接OA 并延长至点P ，使得OA =AP ，过点P 作x 轴的垂线，交x 轴于点C ，交y 1的图象于点D ，连接OD ．设△OPD 的面积为S 1，△OCD 的面积为S 2，求的值．y 1k 1x S 1S 223．（6分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，AB =30cm ,BE =AB ，试管倾斜角α为10°．（1）求酒精灯与铁架台的水平距离CD 的长度；（2）实验时，当导气管紧贴水槽MN ，延长BM 交CN 的延长线于点F ，且MN ⊥CF （点C ，D ，N ，F 在一条直线上），经测得：D 1.7cm ,MN =8cm ,∠ABM =145°，求线段DN 的长度．（参考数据：sin 10°≈0.17，cos 10°≈0.98，tan 10°≈0.18）1324．（7分）如图，在△ABC 中，AB =AC ．以AB 为直径的⊙O 与BC 交于点E ，与AC 交于点D ，点F 在边AC 的延长线上，且∠CBF =∠BAC ．12（1）试说明FB 是⊙O 的切线；（2）过点C 作CG ⊥AF ，垂足为C ．若CF =4，BG =3，求⊙O 的半径．25．（7分）如图，将⏥ABCD 的边AB 延长到点E ，使BE =AB ，连接DE ，交BC 于点F ．（1）求证：△BEF ≌△CDF ；（2）连接BD ，CE ，若∠BFD =2∠A ，判断四边形BECD 的形状并给出证明．26．（6分）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy .通过测量得到球距离台面高度y （单位：dm ）与球距离发球器出口的水平距离x （单位：dm ）的相关数据，如下表所示：表1 直发式x （dm ）024********…y （dm ） 3.843.9643.96m3.642.561.44…表2 间发式x （dm ）024681012141618y （dm ）3.36n1.680.841.402.4033.203根据以上信息，回答问题：（1）表格中m =，n =；（2）求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；（3）若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d 1，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的平距离为d 2，则d 1d 2（填“>”“=”或“<”）．27．（8分）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的．【探究发现】如图①，在等边三角形ABC 内部有一点P ，PA =2，PB =，PC =1，求∠BPC 的度数，爱动脑筋的小明发现：段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BP ′，连结AP ′、PP ′，则△BPC ≌△BP ′A ，然后利用△BPP ′和△APP ′形状的特殊性求出P ′A 的度数，就可以解决这道问题．下面是小明的部分解答过程：解：将线段BP 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BP ′，连结AP ′、PP ′，∵BP =BP ′，∠P ′BP =60°，∴△PBP ′是等边三角形，∴∠BP ′P =60°，PP ′=PB =．∵△ABC 是等边三角形，M 3M 3∴∠ABC =60°，BC =BA ，∴∠ABC -∠ABP =∠P ′BP -∠ABP ，即∠PBC =∠P ′BA ．（1）请你补全余下的解答过程．【类比迁移】（2）如图②，在正方形ABCD 内有一点P ，且PA =，PB =2，PC =1，求∠BPC 的度数．【拓展延伸】（3）如图③，在②的条件下，若正方形ABCD 的边长为2，则线段PD 的最小值为.M 17√228．（9分）在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1，对于直线l 和线段PQ ，给出如下定义：若线段PQ 关于直线l 的对称图形是⊙O 的弦P ′Q ′（P ′，Q ′分别为P ，Q 的对应点），则称线段PQ 是⊙O 关于直线l 的“对称弦”．（1）如图，点A 1，A 2，A 3，B 1，B 2，B 3的横、纵坐标都是整数．线段A 1B 1，A 2B 2，A 3B 3中，是⊙O 关于直线y =x +1的“对称弦”的是 ；（2）CD 是⊙O 关于直线y =kx （k ≠0）的“对称弦”，若点C 的坐标为（-1，0），且CD =1，求点D 的坐标；（3）已知直线y =-x +b 和点M （3，2），若线段MN 是⊙O 关于直线y =-x +b 的“对称弦”，且MN =1，直接写值．M 33M 3M 33。

2024年黑龙江省哈尔滨市中考模拟检测数学试题（一）一、单选题1．－5的相反数是( ) A ．15-B ．15C ．5D ．-52．下列运算正确的是（ ） A ．2232a a -=B ．23a a a +=C ．()3328a a -=-D ．623a a a ÷=3．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．五个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图，AB 是O e 的直径，C 、D 是O e 上两点，CD AB ⊥，若70DAB ∠=︒，则BOC ∠=（ ）A ．70︒B ．130︒C ．140︒D ．160︒6．分式方程12x x 3=+的解是【 】 A ．x=﹣2 B ．x=1 C ．x=2 D ．x=37．如图，在ABC V 中，70CAB ∠=︒，将ABC V 绕点A 旋转到AB C ''△的位置，点B 和点B '是对应顶点，点C 和点C '是对应顶点，若CC AB '∥，则BAB ∠'的度数为（ ）A ．30︒B ．35︒C ．40︒D ．50︒8．一个不透明的袋子中装有5个小球，其中3个红球，2个白球，这些小球除颜色外无其他差别，从袋子中随机摸出一个小球，则摸出的小球是红球的概率是（ ） A ．16B ．15C ．25D ．359．如图，已知AB CD EF ∥∥，:3:5AD AF =，12BE =，那么CE 的长等于（ ）A ．365B ．245C ．152 D ．9210．甲、乙两人沿相同的路线由A 地到B 地匀速前进，A 、B 两地间的路程为20km ．他们前进的路程为s (km)，甲出发后的时间为t (h)，甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．根据图象信息，下列说法正确的是【 】A ．甲的速度是4km/hB ．乙的速度是10km/hC ．乙比甲晚出发1hD ．甲比乙晚到B 地3h二、填空题11．青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2 500 000平方千米，数据2 500 000用科学记数法表示为．12．如图，在小孔成像问题中，小孔 O 到物体AB 的距离是60 cm ，小孔O 到像CD 的距离是30 cm ，若物体AB 的长为16 cm ，则像 CD 的长是 cm.13． 14．把多项式22ma mb -分解因式的结果是． 15．函数294y x =-的顶点坐标是． 16．不等式组2841+2x x x ⎧⎨-⎩＜＞的解集是．17．如图，随机闭合开关123S S S ，，中的两个，能够让灯泡发亮的概率是．18．正方形ABCD 的边长为8，E 为BC 边上一点，BE =6，M 为AE 上一点，射线BM 交正方形一边于点F ，且BF =AE ，则BM 的长为．19．半径为4 cm ，圆心角为60°的扇形的面积为cm 2．20．如图，在ABC V 中，D 为ABC V 内的一点，且=90BDC ∠︒，且A B D C D E ∠=∠，若点E 为AC 的中点，3,8DE AB ==，则BC 的长．三、解答题21．先化简，再求代数式()211x x x x -⎛⎫-÷- ⎪⎝⎭的值，其中2cos451x ︒=+22．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点,,,A B C D 均为格点（网格线的交点）．(1)画出线段AB 关于直线CD 对称的线段11A B ；(2)将线段AB 向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到线段22A B ，画出线段22A B ；(3)描出线段AB 上的点M 及直线CD 上的点N ，使得直线MN 垂直平分AB ．23．近年，“青少年视力健康”受到社会的广泛关注．某校综合实践小组为了解该校学生的视力健康状况，从全校学生中随机抽取部分学生进行视力调查．根据调查结果和视力有关标准，绘制了两幅不完整的统计图．请根据图中信息解答下列问题：(1)所抽取的学生人数为__________；(2)补全条形统计图，并求出扇形统计图中“轻度近视”对应的扇形的圆心角的度数； (3)该校共有学生3000人，请估计该校学生中近视程度为“轻度近视”的人数．24．为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m 的视力表，但两面墙的距离只有3m .在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、乙两位同学设计方案新颖，构思巧妙． 图例(1)甲生的方案中如果大视力表中“E ”的高是3.5cm ，那么小视力表中相应“E ”的高是多少？ (2)乙生的方案中如果视力表的全长为0.8m ，请计算出镜长至少为多少米．25．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．”某校为提高学生的阅读品味，现决定购买获得矛盾文学奖的甲、乙两种书共100本，已知购买2本甲种书和1本乙种书共需100元，购买3本甲种书和2本乙种书共需165元． (1)求甲，乙两种书的单价分别为多少元：(2)若学校决定购买以上两种书的总费用不超过3200元，那么该校最多可以购买甲种书多少本？26．已知四边形ABCD 内接于O e ，AB 是O e 的直径»»CDBC ，连接OC ．(1)如图1，求证AD OC ∥；(2)如图2，连接BD ，过点C 作CH AB ⊥，垂足为H ，CH 交BD 于点E ，求证：CE BE =； (3)如图3，在（2）的条件下，连接AC ，过O 作OF BC ∥，交AC 于点F ，连接DF 并延长交O e 于点G ，若45ADG ∠=︒，FG EH 的长．27．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线235y ax ax =--与x 轴交于点A ，点B ，与y 轴交于点C ，点A 坐标为()2,0-(1)求抛物线解析式；(2)点P 为抛物线上一点，连接PA 交y 轴于点D ，设P 的横坐标为,t CD 的长为d ，求d 关于t 的函数解析式（不要求写出自变量t 的取值范围）；(3)当7d =时，过点A 作AG PA ⊥交抛物线于点G ，连接PG ，点E F 、分别是PAG △的边AP GP 、上的动点，且PE GF =，连接AF GE 、，设AF GE m +=，求m 的最小值，并直接写出当m 有最小值时EGP ∠的正切值．。

2024年辽宁省部分学校中考数学模拟试卷（一）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.我国古代数学名著《九章算术》中对正负数的概念注有“今两算得失相反，要令正负以名之”.如：粮库把运进30吨粮食记为“+30”，则“−30”表示( )A. 运出30吨粮食B. 亏损30吨粮食C. 卖掉30吨粮食D. 吃掉30吨粮食2.下列计算正确的是( )A. a2⋅a3=a6B. (−a3b)2=−a6b2C. a6÷a3=a2D. (a2)3=a63.估计6的值在( )A. 1和2之间B. 2和3之间C. 3和4之间D. 4和5之间4.如图所示的三棱柱的展开图不可能是( )A.B.C.D.5.关于x的一元二次方程x2+mx−8=0的根的情况是( )A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 只有一个实数根D. 没有实数根6.淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观.如图，西柏坡位于淇淇家南偏西70°的方向，则淇淇家位于西柏坡的( )A. 南偏西70°方向B. 南偏东20°方向C. 北偏西20°方向D. 北偏东70°方向7.掷两枚质地均匀的骰子，下列事件是随机事件的是( )A. 点数的和为1B. 点数的和为6C. 点数的和大于12D. 点数的和小于138.下列命题中，是真命题的是( )A. 平行四边形是轴对称图形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上D. 在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形9.今年2月，某班准备从《在希望的田野上》、《我和我的祖国》、《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是( )A. 12B. 13C. 23D. 110.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，则一次函数y=x+b的图象一定不经过( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

2024年中考第一次模拟考试（湖南长沙卷）数学·全解全析第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．下列四个实数中，最小的是()A．2-B．4C．1D．5-【答案】D【分析】此题主要考查了实数大小比较的方法．正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．>，【详解】解：∵54∴52>，∴52-<-，∴5214-<-<<，∴最小的数是5-，故选：D．2．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】C【分析】根据中心对称图形的概念：一个图形沿某个点旋转180度后能与原图完全重合的；由此问题可求解．【详解】解：选项A、B、D不能找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以都不是中心对称图形，而C选项可以找到一个点绕其旋转180度后能与原图完全重合，所以是中心对称图形；故选C．【点睛】本题主要考查中心对称图形，熟练掌握中心对称图形的概念是解题的关键．3．下列计算中，正确的是（）A ．()326x x -=-B ．()2211x x =++C ．632x x x=D ．235+=【答案】A 【分析】根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法对各选项进行判断即可．【详解】解：由题意知，()326x x -=-，正确，故A 符合要求；()2221211x x x x +=++≠+，错误，故B 不符合要求；6432x x x x=≠，错误，故C 不符合要求；235+≠，错误，故D 不符合要求；故选：A ．【点睛】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法．熟练掌握积的乘方，完全平方公式，同底数幂的除法，二次根式的加法是解题的关键．4．据共青团中央2023年5月3日发布的中国共青团团内统计公报，截至2022年12月底，全国共有共青团员7358万．数据7358万用科学记数法表示为（）A ．7.358×107B ．7.358×103C ．7.358×104D ．7.358×106【答案】A【分析】本题主要考查了科学记数法，表示较大的数，利用科学记数法的法则解答即可．【详解】解：7358万77.3581735800000=⨯=，故选：A ．5．如图，把一个含有45︒角的直角三角板放在两条平行线m ，n 上，若123α∠=︒，则∠β的度数是（）A ．48︒B ．88︒C ．78︒D ．75︒【答案】C 【分析】可求1123α∠=∠=︒，178ACB B ∠=∠-∠=︒，即可求解．【详解】解：如图：m n ∥，1123α∴∠=∠=︒，1∠ 是ABC 的一个外角，45B ∠=︒，178ACB B ∴∠=∠-∠=︒，78ACB β∴∠=∠=︒，故选：C ．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，掌握性质是解题的关键．6．如图，AB 是O 的直径，42D ∠=︒，则CAB ∠=（）A ．52︒B ．58︒C ．48︒D ．42︒【答案】C 【分析】本题考查圆周角的性质．由AB 是O 的直径可得90ACB ∠=︒，又由“同弧或等弧所对圆周角相等”可得42B D ∠=∠=︒，从而可求得CAB ∠．【详解】∵AB 是O 的直径，∴90ACB ∠=︒，∵ AC AC=∴42B D ∠=∠=︒，∴90904248CAB B ∠=︒-∠=︒-︒=︒．故选：C7．一元一次方程不等式组11112x x +≥-⎧⎪⎨<⎪⎩的解在数轴上表示正确的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【分析】本题考查的是一元一次不等式组的解法及在数轴上表示解集，在数轴上表示解集时“≥”，“≤”要用实心圆点表示；“<”，“>”要用空心圆点表示．熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．先分别解出两个不等式，然后找出解集，表示在数轴上即可．【详解】解：11112x x +≥-⎧⎪⎨<⎪⎩①②，由①得，x ≥−2，由②得，2x <，故原不等式组的解集为：22x -≤<．在数轴上表示为：故答案为：D ．8．如图，在“经典诵读”比赛活动中，某校10名学生参赛成绩如图所示，对于这10名学生的参赛成绩，下列说法错误的是（）A ．众数是90分B ．方差是10C ．平均数是91分D ．中位数是90分【答案】B 【分析】根据众数、中位数、平均数、方差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案．【详解】解：A 、∵90出现了5次，出现的次数最多，∴众数是90；故此选项不符合题意；B 、方差是：()()()()2222128591295915909110091191010⎡⎤⨯⨯-+⨯-+-+-=≠⎣⎦；故此选项符合题意；C 、平均数是（85×2+100×1+90×5+95×2）÷10＝91；故此选项不符合题意；D 、∵共有10个数，∴中位数是第5、6个数的平均数，∴中位数是（90+90）÷2＝90；故此选项不符合题意．故选：B ．【点睛】此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、方差，能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、方差是解题的关键．9．在同一平面直角坐标系中，函数y ax =和()0y x a a =+≠的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题主要考查正比例函数的系数和一次函数常数项决定图象所过象限的知识点．【详解】解：A ．由函数y ax =得0a >，与()0y x a a =+≠图象的a<0矛盾，故本选项不符合题意；B ．函数()0y x a a =+≠所过象限错误，故本选项不符合题意；C ．函数()0y x a a =+≠所过象限错误，故本选项不符合题意；D ．由函数y ax =得a<0，与()0y x a a =+≠图象的a<0一致，故本选项符合题意．故选：D ．10．“千门万户瞳瞳日，总把新桃换旧符”．春节是中华民族的传统节日，古人常用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现在，人们常用贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿．某商家在春节期间开展商品促销活动，顾客凡购物金额满100元，就可以从“福”字、春联、灯笼这三类礼品中免费领取一件．礼品领取规则：顾客每次从装有大小、形状、质地都相同的三张卡片(分别写有“福”字、春联、灯笼)的不透明袋子中，随机摸出一张卡片，然后领取一件与卡片上文字所对应的礼品．现有2名顾客都只领取了一件礼品，那么他们恰好领取同一类礼品的概率是()A ．19B ．16C ．13D ．12【答案】C【分析】分别用,,A B C 表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，利用列表法求出概率即可．【详解】解：分别用A ，B ，C 表示写有“福”字、春联、灯笼的三张卡片，列表如下：AB C AA ，A A ，B A ，C BB ，A B ，B B ，C C C ，A C ，B C ，C共有9中等可能的结果，其中他们恰好领取同一类礼品有3种等可能的结果，∴3193P ==；故选C ．【点睛】本题考查列表法求概率，解题的关键是正确的列出表格．第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11．若22x -在实数范围内有意义，则x 的取值范围是．【答案】2x ≥【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确掌握相关定义是解题关键．直接利用二次根式有意义则被开方数大于或等于零即可得出答案．【详解】解：22x -在实数范围内有意义，故20x -≥，解得：2x ≥．故答案为：2x ≥．12．分式方程422x x =-的解是．【答案】2x =-【分析】先去分母，再解出整式方程，然后检验，即可求解．【详解】解：去分母得：()224x x -=，解得：2x =-，检验：当2x =-时，()20x x -≠，∴原方程的解为2x =-．故答案为：2x =-【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．解分式方程注意要检验．13．若关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，实数m 的取值范围是．【答案】1m </1m>【分析】利用方程有两个不相等的实数根时，0∆>，建立关于m 的不等式，求出m 的取值范围．【详解】解： 关于x 的一元二次方程220x x m -+=有两个不相等的实数根，∴()2240m ∆=-->，即440m ->，解得：1m <，故答案为：1m <．【点睛】本题考查了根的判别式，牢记“当0∆>时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．14．如图，扇形OAB 的半径为1，分别以点A 、B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点P ，35BOP ∠=︒，则 AB 的长l =（结果保留π）．【答案】718π/718π【分析】先求解223570AOB BOP ∠=∠=⨯︒=︒，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：由作图知：OP 垂直平分AB ，∵OA OB =，∴223570AOB BOP ∠=∠=⨯︒=︒，∵扇形的半径是1，∴ AB 的长70π17π18018⨯==．故答案为：7π18．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的作图，等腰三角形的性质，弧长的计算，熟记弧长公式是解本题的关键．15．如图，反比例函数k y x=的图象经过ABCD Y 对角线的交点P ，已知点A ，C ，D 在坐标轴上，BD DC ⊥，ABCD Y 的面积为16，则k =．【答案】8-【分析】由平行四边形面积转化为矩形BDOA 面积，在得到矩形PDOE 面积，应用反比例函数比例系数k 的意义即可．【详解】解：如图，过点P 做PE y ⊥轴于点E ．四边形ABCD 为平行四边形，AB CD ∴=，又BD x ⊥Q 轴，ABDO ∴为矩形，AB DO ∴=，16ABCD ABDO S S ∴== 矩形，P 为对角线交点，PE y ⊥轴，∴四边形PDOE 为矩形面积为8，即8DO EO ⋅=，∴设P 点坐标为(,)x y ，8k xy ==-．故答案为：8-．【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义以及平行四边形的性质，理解等底等高的平行四边形与矩形面积相等是解题的关键．16．《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一个问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其大意是：如图，Rt ABC △的两条直角边的长分别为5和12，则它的内接正方形CDEF 的边长为．【答案】6017/9317【分析】先设正方形的边长为x ，再表示出DE ，AD ，然后说明ADE V ∽ACB △，并根据对应边成比例得出答案.【详解】根据题意可知=5AC ，=12BC ．设正方形的边长为x ，则=DE CD x =，5AD x =-.∵四边形CDEF 是正方形，∴==90C ADE ∠∠︒．∵A A ∠=∠，∴ADE V ∽ACB △，∴AD DE AC BC =，即5512x x -=，解得6017x =.所以正方形的边长为6017.故答案为：6017.【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，相似三角形的对应边成比例是求线段长的常用方法．三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25每题10分，共72分）17．计算：()2012sin60π2133-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭【答案】237+【分析】本题考查实数的混合运算，先计算特殊角三角函数值，零次幂，负整数次幂，绝对值，再进行加减运算即可，正确计算是解题的关键．【详解】解：()2012sin60π2133-⎛⎫︒--++- ⎪⎝⎭2312131213=⨯-++-⎛⎫ ⎪⎝⎭31931=-++-237=+18．先化简，再求值：2221111a a a a a --⎛⎫÷-- ⎪-+⎝⎭，其中3a =．【答案】21-a a ，336+【分析】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a 的值代入进行计算即可．【详解】解：原式22212111a a a a a ---+=÷-+()()()21112a a a a a a -+=⋅+--21a a =-当3a =时，原式133633+==-．19．如图，从水平面看一山坡上的通讯铁塔PC ，在点A 处用测角仪测得塔顶端点P 的仰角是45︒，向前走9米到达B 点，用测角仪测得塔顶端点P 和塔底端点C 的仰角分别是60︒和30︒．(1)求BPC ∠的度数；(2)求该铁塔PC 的高度．（结果精确到0.1米；参考数据：3 1.73≈，2 1.41≈）【答案】(1)30︒(2)14.3米【分析】本题考查了仰角的定义、解直角三角形、三角函数；（1）延长PC 交直线AB 于点F ，根据直角三角形两锐角互余求得即可；（2）设PC x =米，根据AF PF =，构建方程求出x 即可．【详解】（1）延长PC 交直线AB 于点F ，则AF PF ⊥，依题意得：45PAF ∠=︒，60PBF ∠=︒，∴906030BPC ∠=-=︒︒︒．（2）设PC x =米，∵60PBF ∠=︒，30CBF ∠=︒，∴30PBC ∠=︒，∴PBC BPC ∠=∠，∴PC CB x ==米，在Rt CBF △中，3cos302BF CB x =︒=，1sin 302CF CB x =︒=，在Rt PAF △中，45PAF APF ∠=∠=︒，∴PF AF =，∴3139222x x x x +=+=，∴933x =+，∴93393 1.7314.3PC =+≈+⨯≈（米），即该铁塔PC 的高度约为14.3米．20．为了进一步加强中小学国防教育，教育部研究制定了《国防教育进中小学课程教材指南》．某中学开展了形式多样的国防教育培训活动．为了解培训效果，该校组织七、八年级全体学生参加了国防知识竞赛（百分制），并规定90分及以上为优秀，8089～分为良好，6079～分为及格，59分及以下为不及格．该学校七、八两个年级各有学生300人，现随机抽取了七、八年级各20名学生的成绩进行了整理与分析，下面给出了部分信息．a ．抽取七年级20名学生的成绩如下：65875796796789977710083698994589769788188b ．抽取七年级20名学生成绩的频数分布直方图如图1所示（数据分成5组：5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100)x ≤≤）c ．抽取八年级20名学生成绩的扇形统计图如图2所示．d ．七年级、八年级各抽取的20名学生成绩的平均数、中位数、方差如下表：年级平均数中位数方差七年级81m 167.9八年级8279.5108.3请根据以上信息，回答下列问题：(1)补全七年级20名学生成绩的频数分布直方图，写出表中m 的值；(2)估计七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人；(3)若本次竞赛成绩达到81分及以上的同学可以获得参加挑战赛的机会，请根据样本数据估计，七、八两个年级中哪个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多？并说明理由．【答案】(1)补全条形统计图见解析；82m =(2)七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人(3)七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多；理由见解析【分析】（1）根据题意可得七年级成绩位于6070x ≤<的有4人；七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，即可求解；（2）先求出八年级成绩优秀的所占的百分比，再分别用300乘以各自的百分比，即可求解；（3）分别求出七、八两个年级获得参加挑战赛的机会的学生人数，然后进行比较即可．【详解】（1）解：根据题意得：七年级成绩位于6070x ≤<的有4人，补全图形如下：七年级成绩位于第10位和第11位的是81和83，∴七年级成绩的中位数8183822m +==；（2）解：根据题意得：八年级成绩良好的所占的百分比为72100%20%360︒⨯=︒∴八年级成绩优秀的所占的百分比为120%45%5%30%---=，∴八年级成绩达到优秀的学生有30030%90⨯=（人），七年级成绩达到优秀的学生有53007520⨯=人，9075165+=（人），答：七、八两个年级此次竞赛成绩达到优秀的学生共有165人．（3）解：八年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：()30020%30%150⨯+=（人），七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数约为：1130016520⨯=（人），∵150165<，∴七年级获得参加挑战赛的机会的学生人数更多．【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，求中位数，用样本估计总体，明确题意，准确从统计图中获取信息是解题的关键．21．如图，在Rt ABC 中，32AC BC ==，点D 在AB 边上，连接CD ，将CD 绕点C 逆时针旋转90︒得到CE ，连接BE ，DE ．(1)求证：CAD CBE ≌；(2)若2AD =时，求CE 的长；(3)点D 在AB 上运动时，试探究22AD BD +的值是否存在最小值，如果存在，求出这个最小值；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)见解析(2)10(3)存在，18【分析】（1）由S AS 即可证明CAD CBE ≌；（2）证明CAD CBE ≌（SAS ），勾股定理得到DE ，在Rt CDE 中，勾股定理即可求解；（3）证明2222AD BD CD +=，即可求解．【详解】（1）解：由题意，可知90ACB DCE ∠=∠=︒，CA CB =，CD CE =．ACB DCB DCE DCB ∴∠-∠=∠-∠．即ACD BCE ∠=∠．()SAS CAD CBE ∴ ≌．（2） 在Rt ABC 中，32AC BC ==，45,26CAB CBA AB AC ∴∠=∠=︒==．624BD AB AD ∴=-=-=．CAD CBE ≌，2BE AD ∴==，45CBE CAD ∠=∠=︒．90ABE ABC CBE ∴∠=∠+∠=︒．2225DE BD BE ∴=+=．∴在Rt CDE △中，102DE CE CD ===．（3）由（2）可知，2222222AD BD BE BD DE CD ===++．∴当CD 最小时，有22AD BD +的值最小，此时CD AB ⊥．ABC 为等腰直角三角形，116322CD AB ∴==⨯=．∴222222318AD BD CD =≥⨯=+．即22AD BD +的最小值为18．【点睛】本题主要考查了图形的几何变换，涉及到等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．22．某服装店老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进A 种型号服装9件与B 种型号服装10件共需要1810元；若购进A 种型号服装12件与B 种型号服装8件共需要1880元．(1)A 、B 两种型号的服装每件分别为多少元？(2)若销售1件A 型服装可获利18元，销售1件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定购进A 型服装的数量要比购进B 型服装的数量的2倍还多4件，这样服装全部售出后可使总的获利不少于732元，问至少购进B 型服装多少件？【答案】(1)A 种型号服装每件90元，B 种型号服装每件100元．(2)至少购进B 型服装10件．【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、一元一次方程的应用，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．（1）根据题意可知，本题中的相等关系是“A 种型号服装9件，B 种型号服装10件，需要1810元”和“A 种型号服装12件，B 种型号服装8件，需要1880元”，列方程组求解即可．（2）利用两个不等关系列不等式，结合实际意义求解．【详解】（1）设A 种型号服装每件x 元，B 种型号服装每件y 元．依题意可得：91018101281880x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：90100x y =⎧⎨=⎩，答：A 种型号服装每件90元，B 种型号服装每件100元．（2）设B 型服装购进m 件，则A 型服装购进()24m +件．根据题意得：()182430732m m ++≥，解不等式得10m ≥，答：至少购进B 型服装10件．23．如图，四边形ABCD 为矩形，点E 在边AD 上，AE CD =，连接CE ，过点E 作EF CE ⊥交AB 于点F ，分别过点C 、F 作CG EF ∥、FG CE ∥且CG 、GF 相交于点G ．(1)求证：EF CE =；(2)连接GE ，若4CD =，点F 是AB 的中点，求GE 的长．【答案】(1)见解析；(2)210．【分析】（1）根据CE EF ⊥即余角的性质得到，可得∠=∠AFE CED ，根据矩形的性质可得90A D ∠=∠=︒，可证明(AAS)AEF DCE ≌ ，由此即可求证FE CE =；（2）根据题意可证四边形EFGC 是正方形，在Rt AEF 中由勾股定理求出的长，且EFG 是等腰直角三角形，根据其性质得到．【详解】（1）证明：∵CE EF ⊥，∴90CEF ∠=︒，∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒，AB CD =，∴90AEF AFE AEF CED ∠+∠=∠+∠=︒，∴∠=∠AFE CED ，∵AE CD =，∴(AAS)AEF DCE ≌ ，∴EF CE =．（2）解：如图所示，连接GE ，∵CG EF ∥，FG CE ∥，∴四边形CEFG 是平行四边形，∵90CEF ∠=︒，∴四边形CEFG 是矩形，∵EF CE =，∴四边形CEFG 是正方形，∵4AB CD ==，点F 是AB 的中点，∴122AF AB ==，∵4AE CD ==，在Rt AEF 中，90A ∠=︒，∴2225EF AF AE =+=，∵四边形CEFG 是正方形，∴EFG 是等腰直角三角形，∴2210EG EF ==．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，解题的关键是证明(AAS)AEF DCE ≌ ，由勾股定理求出FE 的长，由等腰直角三角形的性质即可得到2EG EF =．24．如图，A ，B ，C 是O 上的三点，且AB AC =，8BC =，点D 为优弧BDC 上的动点，且4cos 5ABC ∠=．(1)如图1，若BCD ACB ∠=∠，延长DC 到F ，使得CF CA =，连接AF ，求证：AF 是O 的切线；(2)如图2，若BCD ∠的角平分线与AD 相交于E ，求O 的半径与AE 的长；(3)如图3，将ABC 的BC 边所在的直线1l 绕点A 旋转得到2l ，直线2l 与O 相交于M ，N ，连接AM AN ，．2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明变化规律．【答案】(1)见解析(2)O 的半径为256，5AE =(3)2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值不发生变化，其值为25【分析】（1）连接AO ，先证BCD ABC ∠=∠，推出AB DF ∥，得到四边形ABCF 是平行四边形，AF BC ∥，再得到OA AF ⊥，即可证得结论；（2）连接AO 交BC 于H ，连接OB ，由垂径定理得142BH CH BC ===，根据4cos 5BH ABC AB ∠==，求出5AB =，设O 的半径为x ，则OA OB x ==，3OH x =-，在Rt BOH 中，由勾股定理求出256x =，O 的半径为256，根据角平分线定义及同弧所对圆周角相等得到AEC ACB BCE ACE ∠=∠+∠=∠，由此得到5AE AC AB ===；（3）连接AO ，并延长AO 交O 于Q ，连接NQ ，过点A 作2AP l ⊥于P ，证明AQM ANP △∽△，得到AM AN AP AQ ⋅=⋅，由（2）可知，点A 到直线1l 的距离为3，直线1l 绕点A 旋转得到2l ，A 到直线2l 的距离始终等于3，不会发生改变，由此得到253253AM AN AP AQ ⋅=⋅=⨯=．【详解】（1）证明：连接AO ，如图1所示：∵AB AC =，∴A ABC CB =∠∠，∵BCD ACB ∠=∠，∴BCD ABC ∠=∠，∴AB DF ∥，∵CF CA =，∴CF AB =，∴四边形ABCF 是平行四边形，∴AF BC ∥，∵AB AC =，∴»»AB AC =，∴OA BC ⊥，∴OA AF ⊥，∵OA 是O 的半径，∴AF 是O 的切线；图1（2）解：连接AO 交BC 于H ，连接OB ，如图2所示：∵OA BC ⊥，∴142BH CH BC ===，∵4cos 5BH ABC AB ∠==，∴554544AB BH ==⨯=，在Rt AHB 中，由勾股定理得：2222543AH AB BH =-=-=，设O 的半径为x ，则OA OB x ==，3OH x =-，在Rt BOH 中，由勾股定理得：()22234x x =-+，解得：256x =，∴O 的半径为256，∵CE 平分BCD ∠，∴BCE DCE ∠=∠，∵ABC ADC ∠=∠，∴AEC ADC DCE ABC DCE ACB BCE ACE ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠=∠，∴5AE AC AB ===；图2（3）解：连接AO ，并延长AO 交O 于Q ，连接NQ ，过点A 作2AP l ⊥于P ，如图3所示：则AQ 是O 的直径，∴90AMQ ∠=︒，∵2AP l ⊥，∴90APN ∠=︒，∴AMQ APN ∠=∠，∵AQM ANP ∠=∠，∴AQM ANP △∽△，∴AM AQ AP AN=，∴AM AN AP AQ ⋅=⋅，由（2）可知，点A 到直线1l 的距离为3，直线1l 绕点A 旋转得到2l ，∴点A 到直线2l 的距离始终等于3，不会发生改变，∴3AP =，∵25252263AQ OA ==⨯=，∴253253AM AN AP AQ ⋅=⋅=⨯=，∴2l 在运动的过程中，AM AN ⋅的值不发生变化，其值为25．图3【点睛】此题考查锐角三角函数，证明直线是圆的切线，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，等知识，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键．25．定义：在平面直角坐标系中，抛物线()20y ax bx c a =++≠与y 轴的交点坐标为()0,c ，那么我们把经过点()0,c 且平行于x 轴的直线称为这条抛物线的极限分割线．【特例感知】(1)抛物线221y x x =++的极限分割线与这条抛物线的交点坐标为______．【深入探究】(2)经过点()2,0A -和(),0(2)B x x >-的抛物线21142y x mx n =-++与y 轴交于点C ，它的极限分割线与该抛物线另一个交点为D ，请用含m 的代数式表示点D 的坐标．【拓展运用】(3)在（2）的条件下，设抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，直线EF 垂直平分OC ，垂足为E ，交该抛物线的对称轴于点F ．①当45CDF ∠=︒时，求点P 的坐标．②若直线EF 与直线MN 关于极限分割线对称，是否存在使点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等的m 的值？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)()0,1和()2,1-(2)点D 的坐标为()2,1m m +(3)①顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；②存在，0m =或222m =+或222m =-【分析】（1）根据定义，确定c 值，再建立方程组求解即可．（2）把点()2,0A -代入解析式，确定1n m =+，根据定义建立方程求解即可．（3）①根据等腰直角三角形的性质，得到等线段，再利用字母表示等线段建立绝对值等式计算即可．②设MN 与对称轴的交点为H ，用含m 的式子表示出点P 的坐标，分别写出极限分割线CD 、直线EF 及直线MN 的解析式，用含m 的式子分别表示出点B 到直线EF 的距离和点P 到直线MN 的距离，根据点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等，得出关于m 的绝对值方程，解方程即可．【详解】（1）∵抛物线221y x x =++的对称轴为直线=1x -，极限分割线为1y =，∴极限分割线与这条抛物线的一个交点坐标为()0,1，则另一个交点坐标为()2,1-．故答案为：()0,1和()2,1-．（2）抛物线经过点()2,0A -，∴()()21102242m n =-⨯-+⨯⨯-+∴1n m =+∴2111142x mx m m -+++=+，解得120,2x x m==∴点D 的坐标为()2,1m m +．（3）①设CD 与对称轴交于点G ，若45CDF ∠=︒，则DG GF =．∵点C 的坐标为()0,1m +，点D 的坐标为()2,1m m +．．∴1,2OC m CD m =+=，∴11,22DG CD GF OC ==，∴112m m =+，解得1211,3m m ==-．∵抛物线21142y x mx n =-++的顶点为P ，∴抛物线()2211144y x m m m =--+++的顶点为21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴当1m =时，219144m m ++=，故顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭；∴当13m =-时，21111251112511144933649336m m ++=⨯-+=⨯-+=，故顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；∴顶点为91,4P ⎛⎫ ⎪⎝⎭或顶点为125,336P ⎛⎫- ⎪⎝⎭．②存在，0m =或222m =+或222m =-．如图，设MN 与对称轴的交点为H ．由()2知，1n m =+，抛物线()2211144y x m m m =--+++的顶点为21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴抛物线21142y x mx n =-++的极限分割线CD ：1y m =+， 直线EF 垂直平分OC ，∴直线EF ：12m y +=，∴点B 到直线EF 的距离为12m +； 直线EF 与直线MN 关于极限分割线CD 对称，∴直线MN ：()312m y +=，∵21,14m m m P ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，∴点P 到直线MN 的距离为()()()2213111114242m m m m m ++-+=-+，点P 到直线MN 的距离与点B 到直线EF 的距离相等，∴()()211111422m m m -+=+，∴()()211111422m m m -+=+或()()211111422m m m -+=-+，解得0m =或222m =+或222m =-，故0m =或222m =+或222m =-．【点睛】．查了抛物线与坐标轴的交点坐标和直线与抛物线的交点坐标等知识点，明确题中的定义、熟练掌握二次函数的图像与性质及绝对值方程是解题的关键．。