- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
(4) 在使用 2检验法检验假设H0 时, 若 F ( x)的
形式已知, 但其参数值未知, 需要先用最大似 然估计法估计参数, 然后作检验.
2. 2检验法的基本思想
将随机试验可能结果的全体 分为 k 个互不
k
相容的事件 A1, A2 , , An ( Ai , Ai Aj ,i j, i 1
5.538
=106.281
其中有些 npˆ i 5的组予以合并, 使得每组均有 npi 5, 如表中第四列化括号所示.
其中 fi 是观察到有i 个 粒子的次数. 从理论上
考虑 X 应服从泊松分布 PX i ei , i 0,1,2, ,
问 PX
i
e i
是否符合实际?
i!
(
0.05)
i!
解 所求问题为: 在水平 0.05 下检验假设 H0 : 总体 X 服从泊松分布
PX i ei , i 0,1,2, ,
出现的点数 1 2 3 4 5 6 出现的频数 40 70 48 60 52 30
试检验这颗骰子的六个面是否匀称? (取 0.05)
解 根据题意需要检验假设
H0: 这颗骰子的六个面是匀称的.
(或
H0
:
P{ X
i}
1 6
(i 1,2, ,6))
其中 X 表示抛掷这骰子一次所出现的点数 (可能
值只有 6 个),
19.4
A5
11
0.163
16.3
A6
9
0.114
11.4
A7
9
0.069
6.9
A8 A9 A10
A11
2
1 26
0.036
0.017 0.007 0.065
3.6 1.7 0.7
1
0.003
0.3
A12
0
0.002
0.2
fi2 / npˆi
4.615 19.394 15.622 34.845 7.423 7.105 11.739
取 i { i }, ( i 1, 2, ,6)
则事件 Ai X i {X i} (i 1,2, ,6) 为
互不相容事件.
在
H0
为真的前提下,
pi
P( Ai )
1, 6
(i 1,2, ,6)
2 k ( fi npi )2 i1 npi
(40 300 1)2 (70 300 1)2 (48 300 1)2
i!
由于在 H0 中参数 未具体给出, 故先估计. 由最大似然估计法得 x 4.2,
根据题目中已知表格, P{ X i}有估计
pˆ i
Pˆ X
i
e4.2 4.2i i!
,
i
0,1, 2,
,
如 pˆ0 Pˆ X 0 e4.2 0.015,
pˆ 3
Pˆ X
3
e4.2 4.23 3!
0.185,
11
pˆ12 PˆX 12 1 pˆi 0.002, i0
具体计算结果见下页表 8.3,
例2的
2 拟合检验计算表
Ai
fi
pˆ i
npˆ i
A0 A1
1 6
5
0.015 0.078 0.063
1.5 6.3
A2
16
0.132
13.2
A3
17
0.185
18.5
A4
26
0.194
3.皮尔逊定理
设检验假设 H0 的统计量为
2
k i 1
(
fi
npi npi
)
2
或
2
k i 1
fi2 npi
n
此统计量度量的是观察频数与理论频数的偏离程度
定理 若 n 充分大( 50), 则当 H0 为真时(不论 H0 中 的分布属什么分布), 上统计量总是近似地服从自
由度为k r 1的 2 分布, 其中, r是被估计的参数
所以拒绝 H0, 认为这颗骰子的六个面不是匀称的.
例2 在一试验中, 每隔一定时间观察一次由某种
铀所放射的到达计数器上的 粒子数, 共观察了
100次, 得结果如下表:
i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 fi 1 5 16 17 26 11 9 9 2 1 2 1 0 Ai A0 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12
§7.4 分布的拟合检验
一、似然比检验：
H0 : 0 vs H1 : 1 0
检验统计量
sup p(x1, xn; )
( x1 ,
xn
)
sup
p(x1,
（为假设的似然比）
xn; )
0
即
( x1 ,
xn )
p( x1 , p( x1 ,
xn ;ˆ) xn;ˆ0 )
其中 ˆ为在全参数空间 上 的最大似然估计
i, j 1, 2, , k). 于是在假设H0 下, 我们可以计算
pi P( Ai ) (或 pˆi Pˆ ( Ai )), i 1, 2, , k. 在 n次试验
中, 事件
Ai
出现的频率
fi n
与
pi
(或
pˆi ) 往往有差异,
但一般来说, 若 H0 为真, 且 300 1
6 300 1
6 300 1
6
6
6
(60 300 1)2 (52 300 1)2 (30 300 1)2
6 300 1
6 300 1
6 300 1
,
6
6
6
2 20.16, 自由度为 6 1 5,
查
2
(5)表得
2
0.95
11.07,
2 20.16 11.07,
的个数.
于是, 如果在假设 H0 下,
2
k i 1
( fi
npi )2 npi
2 1
(k
r
1),
则在显著性水平 下拒绝H0, 否则就接受 H0.
注意
在使用 2检验法时, n要足够大, npi不太小.
根据实践, 一般 n 50, 每一个npi 5.
例1 把一颗骰子重复抛掷 300 次, 结果如下:
H0 : 总体 X 的分布函数为F ( x), H1 : 总体 X 的分布函数不是F ( x), 的一种方法.
说明 (1)在这里备择假设H1可以不必写出.
(2) 若总体 X 为离散型 : 则上述假设相当于
H0 : 总体 X 的分布律为P{X xi} pi , i 1,2, .
(3) 若总体 X 为连续型 : 则上述假设相当于 H0 : 总体 X 的概率密度为 f ( x).
ˆ0
为在全参数空间
上
0
的最大似然估计
拒绝域 W (x1, x2 xn ) c 其中临界值满足 P(x1, x2 xn ) c , 0
称此检验为显著性水平 的似然比检验,简记LRT P388 例：7.4.1
一、 2拟合检验法
1. 2检验法的定义
这是在总体的分布未知的情况下, 根据样本 X1, X2 , , Xn 来检验关于总体分布的假设
