北京各区2021年中考模拟分类汇编之应用题(数学)

2021年北京各区中考一模、二模试题分类汇编一元二次方程09年各区初三一、二模试题精选一元二次方程1.（东城二） 15. 解方程：x?2x?2?0．2.（门头沟二）14．解方程：x?6x?2?0． 3.（平谷二） 14. 用配方法解方程：x?6x?3?0. 4.（石景山二）14．解方程：3x(x?2)?5(x?2)．5.（顺义二） 17. 已知关于x的一元二次方程x2?2(m?1)x?m2?0有两个整数根，且m?5，求m的整数值.6.（西城二）15．已知关于x的一元二次方程 2x2?7x?3m?0（其中m为实数）有实数根. （1）求m的取值范围；（2）若m为正整数，求此方程的根．7.（昌平一）23．已知：关于x的一元二次方程kx?2x?2?k?0．（1）若原方程有实数根，求k的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为x1，x2．①当k取哪些整数时，x1，x2均为整数；②利用图象，估算关于k的方程x1?x2?k?1?0的解．y4321-4-3-2-1O-1-2-3-41234K22228.（平谷二）23．已知，关于x的一元二次方程x2?(a?4)x?a?3?0(a?0)．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1,x2（其中x1?x2），若y是关于a的函数，且y?y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 a 2x2，求这个函数的解析式； 3?x1 （3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a的方程y?a?1?0的解．- 1 -09年各区初三一、二模试题精选9.（密云一）23. 关于x的方程ax2?2(a?3)x?(a?2)?0至少有一个整数解，且a是整数，求a的值.10.（崇文一）23．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k－3)x+k－3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．（I）用含k的式子表示方程的两实数根；（II）设方程的两实数根分别是x1，x2（其中x1?x2），若一次函数y=(3k－1)x+b 与反比例函数y =b的图像都经过点（x1，kx2），求一次函数与反比例函数的解析式． x11.19．已知关于x的一元二次方程x2?2(m?1)x?m(m?2)?0. （1）若x=－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数m，这个方程都有两个不相等的实数根.12.（东城二）17.已知关于x的一元二次方程x?mx?3?0，（1）若x= -1是这个方程的一个根，求m的值（2）对于任意的实数m，判断方程的根的情况，并说明理由．13.（房山一）23.已知关于x的一元二次方程kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0. （1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是x1,x2，若y1是关于x的函数，且y1?mx?1，其中m=x1x2,求这个函数的解析式；（3）设y2＝kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x满足什么条件时，y2>y1?14.（房山二）23．已知抛物线y?3x?2x?n，（1）若n=-1, 求该抛物线与x轴的交点坐标；（2）当?1?x?1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求n的取值范围．15.（丰台二）15．已知关于x的一元二次方程x?4x?k?0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）k取最大整数值时，解方程x?4x?k?0．- 2 -222209年各区初三一、二模试题精选16.（门头沟一）23．已知以x为自变量的二次函数y=x2＋2mx＋m－7．（1）求证：不论m为任何实数，二次函数的图象与x轴都有两个交点；（2）若二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x的一元二次方程m2x2＋(2m＋3)x＋1=0有两个实数根，且m为整数，求m的值；（3）在（2）的条件下，关于x的另一方程 x2＋2(a＋m)x＋2a－m2＋6 m－4=0 有大于0且小于5的实数根，求a的整数值．17.（通州一）22．若关于x的一元二次方程m2x2-(2m-3)x＋1=0的两实数根为x1 、x2 ，2m?31且x1＋x2=, x・x=,两实数根的倒数和是S. 1222mm求：（1）m的取值范围；（2）S的取值范围.18（宣武一）18．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程x?x?1?0的两个解．解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：x?x?1?0．解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解．如图1所示，把方程x?x?1?0的解看成是二次222y3 2x1x2函数y? 的图象与x1 轴交点的xo 1 2 3 -1 -1 横坐标，即x1,x2就是方程的解．-2（第18题图1）解法三：利用两个函数图象的交点求解．2 （1）把方程x?x?1?0的解看成是一个二次函数y? 的图象与一个一次函数y? 的图象交点的横坐标；（2）画出这两个函数的图象，用x1,x2在x轴上标出方程的解．4 y3 2 1 -3 -2 -1 （第18题图2） -1 -2 O 1 2 3 x - 3 -09年各区初三一、二模试题精选19.（丰台一）25．已知抛物线y??22x?bx?c与x轴交于不同的两点A?x1，0?和B?x2，0?，32与y轴交于点C，且x1，x2是方程x?2x?3?0的两个根（x1?x2）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．20.（顺义一）23. 已知：关于x的一元二次方程x2?(2m?1)x?m2?m?2?0．（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根x1，x2满足x1?x2?1?21.（海淀一）23．已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2-bx+kc（c≠0）的图象与x轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；m?2，求m的值． m?1(kc)2?b2?ab （2）求代数式的值；akc（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.22.（海淀二）23．已知: 关于x的一元二次方程x2?(n?2m)x?m2?mn?0①.（1）求证: 方程①有两个实数根;（2）若m-n-1=0, 求证方程①有一个实数根为1;（3）在（2）的条件下,设方程①的另一个根为a. 当x=2时,关于m的函数y1=nx+am 与y2=x2+a(n-2m)x+m2-mn的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线l与y1、y2的图象分别交于点C、D. 当l沿AB由点A平移到点B时，求CD的最大值.- 4 -09年各区初三一、二模试题精选23.（08北京）23．已知：关于x的一元二次方程mx2?(3m?2)x?2m?2?0(m?0)．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1?x2）．若y是关于m的函数，且y?x2?2x1，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m的取值范围满足什么条件时，y≤2m．2y 4 3 2 1 -4 -3 -2 -1 O 1 2 3 4 -1 -2 -3 -4 x 24.（北京09）23. 已知关于x的一元二次方程2x?4x?k?1?0有实数根，k为正整数. （1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解y?2x2?4x?k?1析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线y?1x?b?b?k?与此图象有两个公共点时，b的取值范围. 2- 5 -感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年北京市中考数学模拟试题解析版一．选择题（共15小题，满分45分，每小题3分）1．（3分）绝对值等于2的数是（）A．2B．﹣2C．±2D．0或2【分析】①当a是正有理数时，a的绝对值是它本身a；②当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a；所以绝对值等于2的数是±2，据此判断即可．【解答】解：绝对值等于2的数是±2．故选：C．2．（3分）宁波港处于“一带一路”和长江经济带交汇点，地理位置得天独厚．全年货物吞吐量达9.2亿吨，晋升为全球首个“9亿吨”大港，并连续8年蝉联世界第一宝座．其中9.2亿用科学记数法表示正确的是（）A．9.2×108B．92×107C．0.92×109D．9.2×107【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：9.2亿＝9.2×108．故选：A．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a4+a5＝a9B．（﹣3a2）3＝﹣9a6C．（m2）3m＝m6D．（﹣q）（﹣q）3＝q4【分析】直接利用单项式乘以单项式运算法则以及积的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断得出答案．【解答】解：A、a4+a5，无法计算，故此选项错误；B、（﹣3a2）3＝﹣27a6，故此选项错误；C、（m2）3m＝m7，故此选项错误；D、（﹣q）（﹣q）3＝q4，正确．故选：D．4．（3分）不等式组的解集表示在数轴上正确的是（）第1 页共16 页。

–1–2–3123D C B A 0北京市中考数学精选真题预测（含答案）考生须知 1．本试卷共8页，共三道大题，29道小题，满分120分．考试时间120分钟。

2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．如图所示，用刻度尺度量线段AB, 可以读出线段AB 的长度为 (A) 5.2cm (B) 5.4cm(C) 6.2cm(D) 6.4cm2.怀柔素有“北京后花园”之称，因为有着“一半山水一半城，山凝水重入画屏”的美丽自然景观，吸引着中外游客. 2016年1至11月怀柔主要旅游区(点)共接待中外游客约为5870000人次.将5870000用科学记数法表示为 (A)5.87×105(B) 5.87×106(C) 0.587×107 (D)58.7×1053．数轴上有A ，B ，C ，D 四个点，其中表示互为相反数的两个点是 (A) 点B 与点C (B) 点A 与点C (C) 点A 与点D (D)点B 与点D 4.下列各式运算结果为9a 的是（A ）33a a + (B)33()a （C ）33a a ⋅ (D)122a a ÷5.下列成语中描述的事件是随机事件的是（A ）水中捞月 （B ）瓮中捉鳖 （C ）拔苗助长 （D ）守株待兔6．下面的几何体中，主视图、左视图和俯视图形状都相同，大小均相等的是（A）圆柱 (B)圆锥 (C)三棱柱（D）球7．内角为108°的正多边形是(D)(C)(B)（A)8．如图，函数y =-2x2的图象是（A）①（B）②（C）③（D）④9．如图，A,B两点分别位于一个池塘的两端，小明想用绳子测量A,B间的距离，但绳子不够长，于是他想到了一个办法，先在地上取一个可以直接到达A点和B点的O点，连接算出A,B间的距离为D CBA第9题图第8题图（A ）30m （B ）40m （C ）60m （D ）80m10．在“校园读书月”活动中，小华调查了班级里40名同学本学期购买课外书的花费情况，并将结果绘制成如图所示的统计图.下面有四个推断： ①这次调查获取的样本数据的众数是30 元 ②这次调查获取的样本数据的中位数是40元 ③若该校共有学生1200人，根据样本 数据，估计本学期计划购买课外书花费 50元的学生有300人④花费不超过50元的同学共有18人 其中合理的是(A) ①② (B) ②④ (C) ①③ (D) ①④二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.分解因式：a am 1822 =_______________．12．写出图象经过点（-1，2）的一个函数的表达式____________________. 13．如图，在ABCD 中，ED=2，BC=5，∠ABC 的平分线交AD 于点E ，则AB 的长为_______________．14．上图中的四边形均为矩形.根据图形，写出一个正确的等式：_______________.15．算筹是中国古代用来记数、列式和进行各种数与式演算的一种工具.在算筹计数法中，以“立”，“卧”两种排列方式来表示单位数目，表示多位数时，个位用立式，十位用卧式，百位用立式，千位用卧式，以此类推.《九章算术》的“方程”一章中介绍了一种用“算筹图”解决一次方程组的方法．如图1，从左向右的符号中，前两个符号分别代表/元banm14题图13题图EDCBAFEDCBA未知数x ，y 的系数．因此，根据此图可以列出方程：x+10y=26．请你根据图2列出方程组 ．16．数学活动课上，老师让同学们围绕一道尺规作图题展开讨论，尽可能想出不同的作法：老师说：“小强的作法正确．”请回答：小强这样作图的依据是: ．三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.17. 计算：(1012354sin 302π-︒⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭.18．已知210a a +-=，求代数式2(1)(1)(1)a a a +++-的值． 19．如图，在ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边的中点， CE=CD ，∠B =∠E ． 求证：CF=DF ．20．解不等式组：72,43(1) 2.x x x x +⎧<++≥⎪⎨⎪⎩ 21.调查作业：了解某家超市不同品牌饮料的销售情况.已知：如图，直线L 和L 外一点P. 求作：直线PQ ，使PQ ⊥L 于点Q ． 小强的作法如下：1.在直线L 上任取一点A ，连接PA ；2.分别以A ，P 为圆心，以大于21AP 长为半径 作弧，两弧交于C ，D 两点； 3.作直线CD ，交AP 于点O ；4.以O 为圆心，以OA 长为半径作圆，交直线L 于点Q ；5.作直线PQ.所以直线PQ 即为所求. PlDCO AQPl为调查不同品牌饮料的市场销售情况，小东和小芸两位同学对一家超市进行了调查，二人在某天对照50名顾客购买饮料的品牌进行了记录.小东的作法是：如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌名字记录一次.表1是记录的初始数据. 表1 统一冰茶 可口可乐 统一冰茶 汇源果汁 露露 露露 统一冰茶 可口可乐 露露 可口可乐 统一冰茶 可口可乐 可口可乐 百事可乐 统一冰茶 可口可乐 百事可乐 统一冰茶 可口可乐 百事可乐 百事可乐 露露 露露 百事可乐 露露 可口可乐 统一冰茶 统一冰茶 汇源果汁 汇源果汁 汇源果汁 统一冰茶 可口可乐 可口可乐 可口可乐 可口可乐 百事可乐 露露 汇源果汁 百事可乐 露露 可口可乐 百事可乐 可口可乐 露露 可口可乐统一冰茶百事可乐汇源果汁统一冰茶记录之后，小东对上述收集的数据进行了整理，绘制了表2： 表2 表3 饮料名称 画记 频数 可口可乐 正正正 15 统一冰茶 正正一 11 百事可乐 正 9 露露 正9 汇源果汁 正一 6 合计50小芸的作法是：先设计一个统计表，再进行数据的收集与整理，她的方法是如果一个顾客购买某一品牌的饮料，就将这一饮料的品牌在相应的表格中画记一笔“正”字，上面表3是小芸设计的表格及调查时画记和填写的数据. 根据以上材料回答问题：饮料名称 频数 可口可乐 15 统一冰茶 11 百事可乐 9 露露 9 汇源果汁 6 合计50xy–4–3–2–11234–5–4–3–2–112345BAO 本次调查如果让你去做，在收集整理数据时，你会选择他们中的哪种方法？请你说明理由或者介绍一种新的方法.22．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC,BD 相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE=AB ，连接CE ． （1）求证：四边形BECD 是平行四边形；（2）若∠E=60°，AC=43求菱形ABCD 的面积．23. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y=x+b 与双曲线ky x相交于A ，B 两点，已知A （1，3），B(-3,m).（1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）如果点P 是y 轴上一点，且ABP △的面积是4，求点P 的坐标．24．阅读下列材料：为保障和改善民生建设，北京市建立了以最低生活保障为基础、专项救助相配套、临时救助为补充的城乡社会救助体系，逐年提高救助标准，全市困难群众基本生活得到较好保障，并达到全覆盖的目的.2013年底全市共有农村低保人数5.96万人,城市低保人数10.37万人.2014年底全市共有农村低保人数5.13万人,比上年同期减少了13.9%，城市低保人数8.91万人，比上年同期减少了14.1%.2015年底全市共有农村低保人数比上年同期减少了 4.8%,城市低保人数8.49万人.2016年底全市共有低保人数12.68万人，其中农村低保人数比城市低保人数少3.36万人.根据以上材料解答下列问题：OEDC BA(1)2015年底北京市农村低保人数约为 万人； (2)2016年底北京市城市低保人数约为 万人；(3)利用统计表或．统计图将2013 - 2016年北京市农村低保人数和城市低保人数表示出来； (4)针对以上文字内容，谈谈你的看法.25.如图，在△ABC 中，点D 为BC 上一点，过A ，B ，D 三点作⊙O ，AE 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，AD=DC ，连结DE ． （1）求证：AB=AC; （2）若1sin 3E ，AC=42a ，求△ADE 的周长（用含a 的代数式表示）.26．已知y 是x 的函数，下表是y 与x 的几组对应值.x 2 3 456 7… y12 3 25…小聪根据学习函数的经验，利用上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律，对该函数的表达式，图象和性质进行了探究. 下面是小聪的探究过程，请补充完整:(1)根据上述表格所反映出的y 与x 之间的变化规律， 写出该函数的表达式: ; (2)该函数自变量x 的取值范围是 ;(3)如图，在平面直角坐标系xOy 中，描出上表中各对对应值为坐标的点的位置（近似即可），根据描出的点，画出该函数的图象;(4)根据画出的函数图象，写出该函数的一条性质: .27．已知二次函数122-++=a ax axy （a>0）.（1）求证：抛物线与x 轴有两个交点； （2）求该抛物线的顶点坐标；（3）结合函数图象回答：当x ≥1时，其对应的函数值y 的最小值范围是2≤y ≤6，求a 的取值范围.28．（1）如图1，在△ACB 和△ADB 中，∠C=∠D =90°，过A ，B ，C 三点可以作一个圆，此时AB 为圆的直径，AB 的中点O 为圆心.因为∠D =90°，利用圆的定义可知点D 也在此（2）如图2，在△ACB 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CE ⊥AB 于E ，点F 是CE 中点，连接AF 并延长交BC 于点D.CG ⊥AD 于点G ，连接EG. ①求证:BD=2DC;②借助（1）中求角的方法，写出求EG 长的思路.（可以不写出计算的结果）29. 在平面直角坐标系xOy 中，点P 的坐标为（x,y ）,若过点p 的直线与x 轴夹角为60°时，则称该直线为点P 的“相关直线”， （1）已知点A 的坐标为（0,2），图2GFED CBA图1OB A求点A的“相关直线”的表达式；（2）若点B的坐标为（0，3），点B的“相关直线”与直线y=32交于点C，求点C的坐标；（3）⊙O的半径为3，若⊙O上存在一点N，点N的“相关直线”与双曲线y=x 33(x＞0)相交于点M,请直接写出点M的横坐标的取值范围.FEDCBA数学试卷答案及评分参考一、选择题（本题共30分，每小题3分） 二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11.)3)(3(2-+m m a 12.答案比唯一.如：y=-2x. 13．314.(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 15.22218x y x y +=⎧⎨+=⎩16．直径所对的圆周角是90º；两点确定一条直线.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.三、解答题(本题共72分，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分)17解：(10134sin 302π-︒⎛⎫-+ ⎪⎝⎭.123142=+-+⨯…………………………4分6=5分18．解：22211a a a =+++-原式 ………………………2分222a a =+.………………………………3分∵210a a +-=，∴原式22()2a a =+=． …………………………5分19． 证明：∵在ABC 中，∠ACB=90°，点D 是AB 边的中点，∴CD=BD. ………………………………1分∴∠DCB =∠B ．………………………………2分 ∵CD=CE,∴∠CDE =∠E ．………………………………3分 ∵∠B =∠E,∴∠DCF =∠CDF ．………………………4分 ∴CF=DF ．………………………………5分20. 解不等式①，得x ＜1.……………………………………………2分解不等式②，得x ≥1-2.………………………………………4分 ∴不等式组的解集为：1-2≤x ＜1. ………………5分21.选择小芸的作法. ……………………………2分因为小芸的方法清晰，方便，简明.（答案不唯一）……………………………5分 22.（1）证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=CD ，AB ∥CD. ……………………1分又∵BE=AB ，∴BE=CD.………………………2分∵BE∥CD,∴四边形BECD 是平行四边形.………………………3分 （2）解：∵四边形BECD 是平行四边形，∴BD ∥CE. ∴∠ABO=∠E=60°. ……………………4分 又∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 丄BD,OA=OC. ∴∠BOA=90°，∴∠BAO=30°.∵AC=∴OA=OC=∴OB=OD=2. ∴BD=4. ∴菱形ABCD 的面积=11422AC BD ⨯⨯=⨯=5分 23.解：（1）把A （1，3）代入y=x+b 中，得3=1+b ，解得b=2 . ∴一次函数的表达式为2y x =+. ………………… 1分；把A （1，3）代入k y x =中，得31k=，解得k=3 . ∴反比例函数的表达式为3y x=. ………………… 2分；（2）把B(-3,m)代入y=x+2，可得B （－3，－1）.设一次函数2y x =+的图象与y 轴的交点C 的坐标为（0，2）. ∵S △ABP = 4，F ABCDEO∴1113422PC PC ⋅+⋅=. ∴2PC =.……………………………4分∴点P 的坐标为（0，0），（0，4）．……………………5分 24． 解：(1)4.88. …………………………1分(2)8.02 .…………………………2分(3) 2013 — 2016年北京市农村低保和城市低保人数统计表低保类别 人口数量(万人) 年度农村低保城市低保2013 5.96 10.37 2014 5.13 8.91 2015 4.88 8.49 20164.668.02数值近似即可…………………………4分（4）北京市低保人数逐年递减，政府加强了民生的保障和改善，社会生活水平有新的提高.（答案不唯一，要体现正能量）……………………………5分 25. （1）证明：∵AD=DC ，∴∠CAD=∠C.∵AC 是⊙O 的切线，∴∠CAE=90°. ………………………1分 ∴∠CAD+∠EAD=90°.∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ADE=90°. ∴∠E+∠EAD=90°.∴∠CAD=∠E. 又∵∠E=∠B ，∴∠C=∠B.年份人数（万人）2013—2016年北京市农村低保和城市低保人数统计图∴AB=AC. ……………………………2分 （2）解：过点D 作DF ⊥AC 于点F.①由DA=DC ，AC=42a ，可得CF=12AC =22a .②由∠C=∠E ，1sin 3E =，可得1sin 3C =.在 Rt △CDF 中，求出CD=DA=3a. (或利用△CDF ∽△ADE 求). ……………………………3分 ③在 Rt △ADE 中，利用1sin 3E =，求出AE=9a. 再利用勾股定理得出DE=2a .……………………………4分④△ADE 的三边相加得出周长为12a+2a .……………………………5分 26．2x -……………………………2分(2)x ≥2; ……………………………3分 (3) 如图：……………………………4分 (4) x ≥2时，函数图形y 随x 的增大而增大. ……………………………5分 27．解：（1）令y=0. ∴0122=-++a ax ax . ∵△=)1(442--a a a=4a,……………………………1分 ∵a>0,∴4a>0.∴△>0.∴抛物线与x 轴有两个交点. …………………2分 （2）212ax a=-=-.……………………………3分 把x=-1代入122-++=a ax ax y .∴y=-1.∴顶点坐标（-1，-1）.…………………4分 （3）①把（1,2）代入122-++=a ax axy .MHABC D FG∴43=a .……………………………5分 ②把（1,6）代入122-++=a ax ax y .∴74a =.……………………………6分 ∴由图象可知：43≤a ≤74.……………………………7分28． 解：（1）31°. ……………………………2分（2）①过点E 作EH ∥AD 交CB 于H 点. ……………………3分 ∵CE ⊥AB 于点E ，AC=BC ， ∴点E 是AB 中点.∴BH=DH. ∵点F 是CE 中点，∴HD=DC.∴BD=2CD. ……………………………4分 ②∵CE ⊥AB 于点E ，∴∠CEA=90°.∵CG ⊥AD 于点G ，∴∠CGA=90°.∴AC 为圆的直径. ∵∠ACB=90°，AC=BC ，∴∠CAE =45°.∵CE ⊥AB 于点E ，∴∠ACE =45°.∴∠AGE=45°. ……………………………5分 方法1：解斜三角形法在Rt △DCA 中，因为∠C =90°, CG ⊥AD 于点G ，DC=1. 所以可以求出CG 的长. ……………………………6分 又因为∠CGE==135°,CE=2. 解△ECG 可求出EG 的长.（此题解△AEG 也可行）…………………7分 方法2：证明等腰直角三角形法.延长CG 交EH 于M 点.因为EH ∥AD 交CB 于H 点，点F 是CE 中点， 所以点G 为MC 的中点.因为==GFD CBAKABCDEFG∴CG=10.∴MG=10.……………………6分 因为∠EGA=∠ACE=45°,所以∠CGE==135°. 所以∠MGE=∠GEM=45°,所以GE 可解. ∵ME=MG=10.，∴EG=5.………………………7分 方法3：相似法∵AC=BC=3，∴AB=∴AE=2.∵CD=1，∴BD=2，AD =.∵∠AGE=∠B= 45°, ∠DAB=∠EAD.∴△AGE △ABD. …………………6分∴AE GEAD DB =.2EG =.∴.………………………7分 方法4：旋转法：过E 作EK ⊥GE 交AD 于点K ， 可证△AKE ≅△CGE （ASA ）. …………………6分 ∴AK=CG=10.∵CD=1，AD =,∴∴.∴.……………………………7分 29. 解：（1）①当过点A 的直线与x 轴正方向夹角为60°时，点A 的相关直线表达式：23+=x y .……………………………1分②当过点A 的直线与x 轴负方向夹角为60°时，点A 的相关直线表达式：23+-=x y .……………………………2分（2）可知BC 1直线表达式为33+=x y ,∴C 1（1，32）.………………………3分同理C 2（-1，32）.（3）设点N 1的“相关直线”与⊙O 相切，交双曲线x y 33=于点M 1.可求得直线N 1 M 1的表达式为323+=x y .………4分∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y x y 33323x=1或 x=-3（舍）.……………………………5分 ∴M 1（1，33）.……………………………6分 同理M 2（3，3）.……………………………7分 ∴M 的横坐标的取值范围是1≤X M ≤3. ………………8分‘北京市中考数学精选真题预测（含答案）一、选择题（本题共30分，每小题3分）第1—10题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个. 1．如图所示，用直尺度量线段AB ，可以读出AB 的长度为 A ．6cmB ．7cmC ．9cmD ．10cm2．实数a ，b ，c ，d 在数轴上的对应点的位置如图所示，则这四个数中，相反数是正数的为A ．aB ．bC ．cD ．d3．北京城市副中心生态文明建设在2016年取得突出成果，通过大力推进能源结构调整， 热电替代供热面积为17960000平方米.将17960000用科学计数法表示应为 A ．610796.1⨯B ．61096.17⨯C ．710796.1⨯D ．7101796.0⨯4．右图是某个几何体的三视图，该几何体是 A ．圆锥 B ．四棱锥 C ．圆柱D ．四棱柱5．下列图形中，是中心对称图形的是6．如果21=+b a ，那么a b b b a a -+-22的值是 错误！未找到引用源。

2021年北京市中考数学模拟试卷解析版一、选择题（每题5分，共30分）1．（5分）2019年2月，美国宇航局（NASA）的卫星监测数据显示地球正在变绿，分析发现是中国和印度的行为主导了地球变绿，尽管中国和印度的土地面积加起来只占全球的9%，但过去20年间地球三分之一的新增植被两国贡献的，面积相当于一个亚马逊雨林，已知亚马逊雨林的面积为6560000m2，则过去20年间地球新增植被的面积约为（）A．6.56×106m2B．6.56×107m2C．2×107m2D．2×108m2【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答】解：过去20年间地球新增植被的面积＝6560000×3＝19680000m2≈2×107m2故选：C．【点评】此题主要考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．2．（5分）下列运算正确的是（）A．2a+3b＝5ab B．a1•a4＝a6C．（a2b）3＝a6b3D．（a+2）2＝a2+4【分析】各项计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：A、原式不能合并，不符合题意；B、原式＝a5，不符合题意；C、原式＝a6b3，符合题意；D、原式＝a2+4a+4，不符合题意，故选：C．【点评】此题考查了整式的混合运算，幂的乘方与积的乘方，以及完全平方公式，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．3．（5分）若﹣1＜x＜0，则﹣＝（）A．2x+1B．1C．﹣2x﹣1D．﹣2x+1【分析】直接利用二次根式的性质化简进而得出答案．【解答】解：∵﹣1＜x＜0，第1 页共10 页。

2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD 中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．2021北京市中考数学一模分类汇编——几何综合1．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM ＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB 为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG ＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．【点评】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质，确定点G的位置是本题的关键．2．（2021•西城区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，D是△ABC内一点，∠ADC＝∠BAC．过点B作BE∥CD交AD的延长线于点E．（1）依题意补全图形；（2）求证：∠CAD＝∠ABE；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD相等的线段并加以证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用三角形内角和定理以及平行线的性质证明即可．（3）结论：CD＝AE，证明△ABE≌△CAT（AAS），即可解决问题．【解答】（1）解：图形如图所示．（2）证明：∵CD∥BE，∴∠CDE＝∠AEB，∵∠ADC＝∠BAC，∴∠ABC+∠ACB＝∠DAC+∠ACD＝∠CDE＝∠AEB，∵∠BAE+∠ABE+∠AEB＝180°，∠BAE+∠DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE+∠ABE+2∠ABC＝180°，∴∠CAD＝∠ABE．（3）解：结论：CD＝AE．理由：在AE的延长线上取一点T，使得CD＝CT，∵CD＝CT，∴∠T＝∠CDT，∵CD∥BE，∴∠AEB＝∠T，∵AB＝AC，∠ABE＝∠CAT，∴△ABE≌△CAT（AAS），∴AE＝CT，∴CD＝AE．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．3．（2021•东城区一模）已知∠MAN＝30°，点B为边AM上一个定点，点P为线段AB上一个动点（不与点A，B重合），点P关于直线AN的对称点为点Q，连接AQ，BQ，点A 关于直线BQ的对称点为点C，连接PQ，CP．（1）如图1，若点P为线段AB的中点；①直接写出∠AQB的度数；②依题意补全图形，并直接写出线段CP与AP的数量关系；（2）如图2，若线段CP与BQ交于点D．①设∠BQP＝α，求∠CPQ的大小（用含α的式子表示）；②用等式表示线段DC，DQ，DP之间的数量关系，并证明．【分析】（1）①证明PQ＝P A＝PB，可得结论．②图形如图所示：结论：PC＝P A．证明∠APC＝90°，可得结论．（2）①如图2中，连接BC，CQ．证明B，P，Q，C四点共圆，推出∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC+∠CPB＝180°，推出∠P AQ+∠PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQP+∠DPQ＝60°，可得结论．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）①∵P，Q关于AN对称，∴AP＝AQ，∠P AN＝∠QAN＝30°，∴△APQ是等边三角形，∴PQ＝P A，∵点P为线段AB的中点，∴PB＝P A，∴PQ＝P A＝PB，∴∠AQB＝90°．②图形如图所示：结论：PC＝P A．理由：∵∠AQB＝90°，A，C关于BQ对称，∴AQ＝QC，∴PQ＝QC＝AQ，∴∠CP A＝60°，∴＝tan60°，∴PC＝P A．（2）①如图2中，连接BC，CQ．∵A，C关于BQ对称，∴BC＝BA，CQ＝AQ，∵BQ＝BQ，∴△BQC≌BQA（SSS），∴∠BCQ＝∠BAQ＝60°，∠BQC＝∠BQA，∵∠APQ＝60°，∴∠BPQ＝120°，∴∠BPQ+∠BCQ＝180°，∴B，P，Q，C四点共圆，∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC+∠CPB＝180°，∴∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+∠DPQ＝60°，∴∠CPQ＝60°﹣α．②如图2﹣1中，结论：CD＝DP+DQ．理由：连接AD，在AD上取一点T，使得DT＝DP．∵∠P AQ+∠PDQ＝180°，∴A，P，D，Q四点共圆，∴∠PDT＝∠PQA＝60°，∵DT＝DP，∴△PDT是等边三角形，∴PD＝PT，∠DPT＝∠QP A＝60°，∴∠DPQ＝∠TP A，∵PD＝PT，PQ＝P A，∴△DPQ≌△TP A（SAS），∴DQ＝TA，∴AD＝DT+AT＝PD+DQ，∵A，C关于BQ对称，∴DC＝AD，∴CD＝DP+DQ．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，四点共圆等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题．4．（2021•朝阳区一模）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜60°，AB＝AC，D为BC 边的中点，将线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AE，连接BE交AD于点F．（1）依题意补全图形（2）求∠AFE的度数；（3）用等式表示线段AF，BF，EF之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用圆周角定理解决问题即可．（3）结论：EF＝AF+BF．如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．证明△FCA≌△TCE（SAS），推出AF＝ET，可得结论．【解答】解：（1）图形如图所示：（2）∵AB＝AC＝AE，∴点A是△BCE的外心，∵∠CAE＝60°，∠CBE＝∠CAE，∴∠CBE＝30°，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝90°，∴∠AFE＝∠BFD＝90°﹣30°＝60°．（3）结论：EF＝AF+BF．理由：如图，连接CF，EC，在EF上取一点T，使得FT＝FC，连接CT．∵AD垂直平分线段BC，∴FB＝FC，∴∠BFD＝∠CFD＝∠AFE＝60°，∴∠CFE＝60°，∵FT＝FC，∴△CFT是等边三角形，∴CF＝CT，∠FCT＝60°，∵AC＝AE，∠CAE＝60°，∴△ACE是等边三角形，∴CA＝CE，∠ACE＝∠FCT＝60°，∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS），∴AF＝ET，∴EF＝FT+ET＝BF+AF．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．5．（2021•丰台区一模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点P在线段AB上，作射线CP（0°＜∠ACP＜45°），将射线CP绕点C逆时针旋转45°，得到射线CQ，过点A作AD⊥CP于点D，交CQ于点E，连接BE．（1）依题意补全图形；（2）用等式表示线段AD，DE，BE之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）结论：AD+BE＝DE．延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．利用全等三角形的性质解决问题即可．【解答】解：（1）如图所示：（2）结论：AD+BE＝DE．理由：延长DA至F，使DF＝DE，连接CF．∵AD⊥CP，DF＝DE，∴CE＝CF，∴∠DCF＝∠DCE＝45°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠ECB＝45°，∵∠DCA+∠ACF＝∠DCF＝45°，∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△BCE中，，∴△ACF≌△BCE（SAS），∴AF＝BE，∴AD+BE＝DE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．6．（2021•石景山区一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°）．点E是△ABC内动点，连接AE，CE，将△AEC绕点A顺时针旋转α，使AC边与AB重合，得到△ADB，延长CE与射线BD交于点M（点M与点D不重合）．（1）依题意补全图1；（2）探究∠ADM与∠AEM的数量关系为∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）如图2，若DE平分∠ADB，用等式表示线段MC，AE，BD之间的数量关系，并证明．【分析】（1）按要求作图即可；（2）△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、M、D、E共圆，证明△AMD≌△EDM得AD＝ME，从而可得MC＝AE+BD．【解答】解：（1）补全图1如下：（2）当M在线段BD延长线上时，如上图1，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，当M在线段BD上时，如上图2，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC+∠AEM＝180°，∴∠ADM+∠AEM＝180°，故答案为：∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3）MC＝AE+BD，理由如下：连接AM，△AMD和△AME公共边为AM，且∠ADM＝∠AEM，∴A、M、D、E共圆，如图：∵A、M、D、E共圆，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵将△AEC绕点A顺时针旋转得到△ADB，∴AD＝AE，BD＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDM（AAS），∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵MC＝ME+EC，∴MC＝AE+BD．【点评】本题考查三角形的旋转变换，解题的关键是利用A、M、D、E共圆，证明△AMD ≌△EDM．7．（2021•通州区一模）已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．（1）如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM∥BD；（2）如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．【分析】（1）由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD＝120°，则∠BPM+∠PBD＝180°，所以PM∥BD．（2）延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM＝MB．【解答】解：（1）有题意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC＝60°，∴∠BPM＝60°，又∵∠PBD＝120°，∴∠BPM+∠PBD＝180°，∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MB，CM＝MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG＝MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM＝MD，GM＝BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG＝BD，AG∥BD，∴∠BAG＝180°﹣∠ABD＝60°，∴∠CAG＝120°，∵△APC是等边三角形，∴AC＝CP，∠CPB＝120°，∵PB＝DB＝AG，∴△CAG≌△CPB（SAS），∴CG＝CB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB＝60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BM，CM＝MB．【点评】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．8．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，四点共圆，垂径定理等知识，证明点A，点B，点C，点H四点共圆是本题的关键．9．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．10．（2021•顺义区一模）如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC，CD⊥AB于点D，∠A＝α．（1）求出∠DCB的大小（用含α的式子表示）；（2）延长CD至点E，使CE＝AC，连接AE并延长交CB的延长线于点F．①依题意补全图形；②用等式表示线段EF与BC之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据等腰三角形的性质即可得出结论；（2）①根据题意即可补全的图形；②过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，结合（1）证明△AGC≌△CHE 可得CG＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，进而可得结论．【解答】解：（1）∵等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝α，∴∠ACB＝∠B＝＝90°﹣，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝90°﹣﹣90°+α＝；（2）①如图即为补全的图形；②＝，证明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB＝90°﹣﹣＝90°﹣α，∵CE＝AC，∴∠CAE＝∠CEA＝＝45°+，∵∠AEC＝∠F+∠ECF，∴45°+＝∠F+，∴∠F＝45°，过点E作EH⊥FC于点H，过点A作AG⊥FC于点G，∴∠BAG＝∠CAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGC≌△CHE（AAS），∴CG＝EH，∵∠F＝45°，∴FH＝EH，设EH＝FH＝x，则EF＝x，∴BC＝2CG＝2x，∴＝＝．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和，等腰三角形的性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．11．（2021•延庆区一模）在正方形ABCD中，点E在射线BC上（不与点B、C重合），连接DB，DE，将DE绕点E逆时针旋转90°得到EF，连接BF．（1）如图1，点E在BC边上．①依题意补全图1；②若AB＝6，EC＝2，求BF的长；（2）如图2，点E在BC边的延长线上，用等式表示线段BD，BE，BF之间的数量关系．【分析】（1）①根据要求画出图形即可；②过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H．证明△DCE≌△EHF（AAS），推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用勾股定理解决问题即可；（2）由②可得△DCE≌△EHF，推出EC＝FH，DC＝EH，推出CE＝BH＝FH，再利用等腰直角三角形的性质解决问题即可【解答】解（1）图形如图所示．过点F作FH⊥CB，交CB的延长线于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠C＝90°，∵∠DEF＝∠C＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH＝2，CD＝BC＝EH＝6，∴HB＝EC＝2，∴Rt△FHB中，BF＝＝＝2．（2）结论：BF+BD＝BE．理由：过点F作FH⊥CB，交CB于H，∵四边形ABCD是正方形，∴CD＝AB＝6，∠DCE＝90°，∵∠DEF＝∠DCE＝90°，∴∠DEC+∠FEH＝90°，∠DEC+∠EDC＝90°，∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DEC≌△EFH（AAS），∴EC＝FH，CD＝BC＝EH，∴HB＝EC＝HF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝BC＝HE，BF＝BH，∵HE+BH＝BE，∴BF+BD＝BE．【点评】本题考查作图﹣旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．12．（2021•大兴区一模）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD ﹣∠ACB即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠P AD＝α，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠ACD＝90﹣∠P AC＝90°﹣10°＝80°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；（2）①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥CD∵∠P AC＝α，∴∠ACD＝90°﹣α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠P AD＝∠P AC＝α，∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，∴∠BCD＝∠BAE；②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BCD＝∠BAE，∴△BAF≌△BCD（SAS），∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，∴AE＝AF+EF＝CD+BD．【点评】本题考查了几何变换综合题，等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．13．（2021•门头沟区一模）在正方形ABCD中，将边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，AE与CD延长线相交于点F，过B作BG∥AF交CF于点G，连接BE．（1）如图1，求证：∠BGC＝2∠AEB；（2）当（45°＜α＜90°）时，依题意补全图2，用等式表示线段AH，EF，DG之间的数量关系，并证明．【分析】（1）根据BG∥AF，得到∠GBE＝∠AEB，由AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，得到AE＝AB，∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，由正方形性质得到CD∥AB，得到∠BGC ＝2∠AEB；（2）按照题意补全图形即可，在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，利用△ADN≌△BAH、△ABP≌△MBP、△ABH≌△MBH证明A、H、M、B共圆，从而可得∠DNA＝∠GMN，GN＝GM，再证明EF＝GM，即可得到EF＝AH+DG．【解答】解：（1）证明：∵边AD绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到线段AE，∴AD＝AE，∵正方形ABCD，∴AB＝AD＝AE，∴∠AEB＝∠ABE，∵BG∥AF，∴∠AEB＝∠GBE，∴∠ABE＝∠AEB＝∠GBE，∴∠ABG＝2∠AEB，∵正方形ABCD，∴AB∥CD，∴∠BGC＝∠ABG，∴∠BGC＝2∠AEB；（2）补全图2如下：线段AH，EF，DG之间的数量关系为：EF＝AH+DG，理由如下：在DC上取DN＝AH，连接AN交BG于M，交BE于P，连接HM，EM，如图：∵正方形ABCD，∴AB＝AD，∠ADN＝∠BAH＝90°，又DN＝AH，∴△ADN≌△BAH（SAS），∴∠DNA＝∠AHB，∠DAN＝∠ABH，∵∠DNA+∠DAN＝90°，∴∠DAN+∠AHB＝90°，∴∠APH＝90°，∴∠BPM＝∠BP A＝90°，由（1）知∠ABE＝∠GBE，且BP＝BP，∴△ABP≌△MBP（ASA），∴AB＝MB，而BH＝BH，∠ABE＝∠GBE，∴△ABH≌△MBH（SAS），∴∠HAB＝∠HMB＝90°，∴A、H、M、B共圆，∴∠AHB＝∠AMB＝∠GMN，∴∠DNA＝∠GMN，∴GN＝GM，∵CF∥AB，BG∥AF，∴四边形ABGF是平行四边形，∴BG＝AF，∵AE＝AD＝AB＝MB，∴EF＝GM，∴EF＝GN，∵GN＝DG+DN，∴EF＝DG+AH．【点评】本题考查正方形性质应用及全等三角形的性质和判定，难度较大，解题的关键是构造辅助线，将AH+DG转化为GN．。

2021年北京市中考数学模拟试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项填涂在答题卡相应的位置1．（2分）纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）A．2.51×10﹣5米B．25.1×10﹣6米C．0.251×10﹣4米D．2.51×10﹣4米2．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a4．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．四棱锥C．圆柱D．四棱柱5．（2分）以方程组的解为坐标，点（x，y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．87．（2分）如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．38．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．所有正确的函数图象的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分9．（2分）若代数式有意义，则实数a的取值范围是．10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝．11．（2分）已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是cm．12．（2分）小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶cm．13．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD ＝．14．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上：②与y轴的交点坐标为（0，2）．此二次函数的解析式可以是．15．（2分）一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．班级1班2班3班4班节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是．三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0．18．（5分）解不等式组：19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．20．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；②做直线MN，交AB于点D；③连接CD．所以线段CD即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AM＝BM，AN＝BN，∴MN是AB的垂直平分线（）．（填推理的依据）∴点D是AB的中点．∵∠C＝90°∴CD＝AB（）．（填推理的依据）22．（5分）如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．（1）求k，b的值；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．24．（6分）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160）b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：25 28 28 30 37 37 38 39 39（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为（亿元）；（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第名；（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差SS（填写“＞”或者“＜”）；②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．25．（6分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF＝5，sin F＝时，求BD的长．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N 可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P 可以与点D，E重合），连接OP，CP．①线段OP的最小值为，最大值为，线段CP的取值范围是；②在点O，点C中，点与线段DE满足限距关系；（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．2021年北京市中考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的请将正确选项填涂在答题卡相应的位置1．（2分）纳米是非常小的长度单位，1纳米＝10﹣9米，目前发现一种新型病毒直径为25100纳米，用科学记数法表示该病毒直径是（）A．2.51×10﹣5米B．25.1×10﹣6米C．0.251×10﹣4米D．2.51×10﹣4米【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：25100纳米＝25100×10﹣9米＝2.51×10﹣5米．故选：A．2．（2分）北京教育资源丰富，高校林立，下面四个高校校徽主体图案是中心对称图形的是（）A．北京林业大学B．北京体育大学C．北京大学D．中国人民大学【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误．故选：B．3．（2分）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞b B．|b|＜a C．﹣a＜a D．﹣b＜a【分析】根据数轴上点的位置，利用相反数，绝对值的性质判断即可．【解答】解：根据数轴上点的位置得：a＝﹣2，1＜b＜2，则|a|＝2＞b，|b|＞a，﹣a＞a，﹣b＞a，故选：A．4．（2分）如图是某个几何体的三视图，该几何体是（）A．圆锥B．四棱锥C．圆柱D．四棱柱【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：根据主视图和左视图为矩形判断出是柱体，根据俯视图是长方形可判断出这个几何体应该是四棱柱．故选：B．5．（2分）以方程组的解为坐标，点（x，y）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】此题可解出的x、y的值，然后根据x、y的值可以判断出该点在何象限内．【解答】解：，①+②得，2y＝1，解得，y＝．把y＝代入①得，＝﹣x+2，解得x＝．∵＞0，＞0，根据各象限内点的坐标特点可知，点（x，y）在平面直角坐标系中的第一象限．故选：A．6．（2分）一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形的边数为（）A．5B．6C．7D．8【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是2×360＝720°．设这个多边形是n边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得（n﹣2）×180°＝2×360，解得：n＝6．即这个多边形为六边形．故选：B．7．（2分）如果m2+2m﹣2＝0，那么代数式（m+）•的值是（）A．﹣2B．﹣1C．2D．3【分析】先把括号内通分，再把分子分解后约分得到原式＝m2+2m，然后利用m2+2m﹣2＝0进行整体代入计算．【解答】解：原式＝•＝•＝m（m+2）＝m2+2m，∵m2+2m﹣2＝0，∴m2+2m＝2，∴原式＝2．8．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数图象上任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2）均满足（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0．下列四个函数图象中．所有正确的函数图象的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④【分析】根据题意，利用分类讨论的数学思想可以解答本题．【解答】解：∵（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0，∴（x1﹣x2）与（y1﹣y2）同号，当x1﹣x2＞0时，y1﹣y2＞0；当x1﹣x2＜0时，y1﹣y2＜0．∴y随x的增大而增大，故正确的函数图象的序号是②④．故选：D．二、填空题（本题共16分，每小题2分9．（2分）若代数式有意义，则实数a的取值范围是a≠2．【分析】根据分式有意义的条件即可求答案．【解答】解：由题意可知：a﹣2≠0，∴a≠2，故答案为：a≠2．10．（2分）分解因式：a2b+4ab+4b＝b（a+2）2．【分析】原式提取b，再利用完全平方公式分解即可．【解答】解：原式＝b（a2+4a+4）＝b（a+2）2，故答案为：b（a+2）211．（2分）已知18°的圆心角所对的弧长是cm，则此弧所在圆的半径是2cm．【分析】设此弧所在圆的半径为Rcm，根据弧长公式列式计算即可．【解答】解：设此弧所在圆的半径为Rcm，则＝，解得，R＝2（cm），故答案为：2．12．（2分）小刚身高180cm，他站立在阳光下的影子长为90cm，他把手臂竖直举起，此时影子长为115cm，那么小刚的手臂超出头顶50cm．【分析】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度x，即可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度．【解答】解：设手臂竖直举起时总高度xm ，则＝，解得x＝50cm．故答案为：50．13．（2分）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，如果∠BOC＝70°，那么∠BAD＝35°．【分析】先根据垂径定理得到，然后根据圆周角定理得∠BAD＝∠BOC＝35°．【解答】解：∵弦CD⊥直径AB，∴，∴∠BAD＝∠BOC＝×70°＝35°．故答案为：35°．14．（2分）请你写出一个二次函数，其图象满足条件：①开口向上：②与y轴的交点坐标为（0，2）．此二次函数的解析式可以是y＝x2﹣3x+2．【分析】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），a＞0，开口向上；a＜0，开口向下；与y轴的交点（0，c），因此只要写出一个a＞0，c＝2的一个二次函数即可．【解答】解：y＝x2﹣3x+2，答案不唯一．故答案为：y＝x2﹣3x+2，答案不唯一．15．（2分）一天上午林老师来到某中学参加该校的校园开放日活动，他打算随机听一节九年级的课程，下表是他拿到的当天上午九年级的课表，如果每一个班级的每一节课被听的可能性是一样的，那么听数学课的可能性是．班级1班2班3班4班节次第1节语文数学外语化学第2节数学政治物理语文第3节物理化学体育数学第4节外语语文政治体育【分析】根据概率公式可得答案．【解答】解：由表可知，当天上午九年级的课表中听一节课有16种等可能结果，其中听数学课的有3种可能，∴听数学课的可能性是，故答案为：．16．（2分）某生产线在同一时间只能生产一笔订单，即在完成一笔订单后才能开始生产下一笔订单中的产品．一笔订单的“相对等待时间”定义为该笔订单的等待时间与生产线完成该订单所需时间之比．例如，该生产线完成第一笔订单用时5小时，之后完成第二笔订单用时2小时，则第一笔订单的“相对等待时间”为0，第二笔订单的“相对等待时间”为，现有甲、乙、丙三笔订单，管理员估测这三笔汀单的生产时间（单位：小时）依次为a，b，c，其中a＞b＞c，则使三笔订单“相对等待时间”之和最小的生产顺序是c，b，a．【分析】由相对等待时间的定义可知，上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小．【解答】解：由题意知：上一笔订单完成的时间越短，则此订单的“相对等待时间”越小，因此，“相对等待时间”之和最小的生产顺序是c，b，a，故答案为c，b，a．三、解答题（本题共68分，第17-22题每小题5分，第23-26题每小题5分，第27、28题每小题5分）17．（5分）计算：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0．【分析】首先计算乘方和乘法，然后从左向右依次计算，求出算式（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0的值是多少即可．【解答】解：（）﹣1+2cos45°+|﹣1|﹣（3.14﹣π）0＝2+2×+﹣1﹣1＝2++﹣2＝218．（5分）解不等式组：【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【解答】解：解不等式①得，x＞5；解不等式②得，x＞1；∴不等式组的解集为x＞5．19．（5分）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°．20．（5分）已知，关于x的一元二次方程x2+ax﹣a﹣1＝0．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是负数，求a的取值范围．【分析】（1）求出方程的判别式△的值，利用配方法得出△≥0，根据判别式的意义即可证明；（2）根据一元二次方程根与系数的关系得出﹣a﹣1＜0，解不等式求得a的取值范围即可．【解答】（1）证明：∵△＝a2﹣4×（﹣a﹣1）＝（a+2）2≥0，∴无论a为何值，方程总有两个实数根；（2）∵方程有一个根是负数，∴﹣a﹣1＜0，解得，a＞﹣1．∴a的取值范围为a＞﹣1．21．（5分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°．求作：线段CD，使得点D在线段AB上，且CD＝AB．作法：①分别以点A，B为圆心，大于AB长为半径作弧，两弧相交于点M，N两点；②做直线MN，交AB于点D；③连接CD．所以线段CD即为所求的线段．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵AM＝BM，AN＝BN，∴MN是AB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）．（填推理的依据）∴点D是AB的中点．∵∠C＝90°∴CD＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．（填推理的依据）【分析】（1）根据作法作图可得线段CD；（2）先根据线段垂直平分线的逆定理可得MN是AB的垂直平分线，又根据直角三角形斜边中线的性质可得结论．【解答】解：（1）如图1，线段CD即为所求的线段．（2）证明：连接AM，BM，AN，BN，∵AM＝BM，AN＝BN，∴MN是AB的垂直平分线（与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），∴点D是AB的中点，∵∠C＝90°，∴CD＝AB（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）．故答案为：与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．22．（5分）如图，点F在▱ABCD的对角线AC上，过点F、B分别作AB、AC的平行线相交于点E，连接BF，∠ABF＝∠FBC+∠FCB．（1）求证：四边形ABEF是菱形；（2）若BE＝5，AD＝8，sin∠CBE＝，求AC的长．【分析】（1）由外角的性质可得∠AFB＝∠FBC+∠FCB，又因为∠ABF＝∠FBC+∠FCB，易得AB＝AF，由菱形的判定定理可得结论；（2）作DH⊥AC于点H，由特殊角的三角函数可得∠CBE＝30°，由平行线的性质可得∠2＝∠CBE＝30°，利用锐角三角函数可得AH，DH，由菱形的性质和勾股定理得CH，得AC．【解答】（1）证明：∵EF∥AB，BE∥AF，∴四边形ABEF是平行四边形．∵∠ABF＝∠FBC+∠FCB，∠AFB＝∠FBC+∠FCB，∴∠ABF＝∠AFB，∴AB＝AF，∴▱ABEF是菱形；（2）解：作DH⊥AC于点H，∵，∴∠CBE＝30°，∵BE∥AC，∴∠1＝∠CBE，∵AD∥BC，∴∠2＝∠1，∴∠2＝∠CBE＝30°，Rt△ADH中，，DH＝AD•sin∠2＝4，∵四边形ABEF是菱形，∴CD＝AB＝BE＝5，Rt△CDH中，，∴．23．（6分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，﹣1），B（1，0）．（1）求k，b的值；（2）当x＞1时，对于x的每一个值，函数y＝﹣2x+n的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出n的取值范围．【分析】（1）通过待定系数法将A（0，﹣1），B（1，0）代入解析式求解．（2）解含参不等式﹣2x+n≤kx+b．【解答】解：（1）将A（0，﹣1），B（1，0）代入解y＝kx+b得，，解得，（2）由（1）得y＝x﹣1，解不等式﹣2x+n≤x﹣1得x≥，由题意得≤1，即n≤2．故答案为：n≤2．24．（6分）截止到2020年11月，我国贫困县“摘帽”计划已经全部完成，脱贫攻坚取得了全面胜利！为了打赢“脱贫攻坚”战役，国家设立了“中央财政脱贫专项资金”以保证对各省贫困地区的持续投入．小凯同学通过登录国家乡村振兴局网站，查询到了2020年中央财政脱贫专项资金对我国28个省、直辖市、自治区的分配额度（亿元并对数据进行整理、描述和分析．下面是小凯给出的部分信息．a．反映2020年中央财政脱贫专项资金分配额度的频数分布直方图如下（数据分成8组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x＜120，120≤x＜140，140≤x≤160）b.2020年中央财政脱贫专项资金在20≤x＜40这一组分配的额度是（亿元）：25 28 28 30 37 37 38 39 39（1）2020年中央财政脱贫专项资金对各省、直辖市、自治区分配额度的中位数为37.5（亿元）；（2）2020年中央财政脱贫专项资金对某省的分配额度为95亿元，该额度在28个省、直辖市、自治区中由高到低排第六名；（3）小凯在收集数据时得到了2016﹣2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A和自治区B的分配额度变化图：①比较2016年一2020年中央财政脱贫专项资金对自治区A，B的分配额度，方差S＞S（填写“＞”或者“＜”）；②请结合统计数据，针对中央财政脱贫专项资金对自治区A，B脱贫攻坚工作的支持情况，说一说你的看法．【分析】（1）求出频数分布直方图中的频数之和即为样本容量，再从小到大排列找出处在中间位置的一个数或两个数的平均数即可求出中位数；（2）从频数分布直方图可知，比95亿元多的省份有5个，因此处在第六名；（3）①从折线统计图中自治区A，自治区B近几年中央财政拨款的变化情况和离散程度进行判断即可；②从近几年中央财政拨款的变化情况进行判断即可．【解答】解：（1）样本容量为：8+9+1+4+1+2+2+1＝28，将这28个省份的金额从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为＝37.5（亿元），因此中位数是37.5，故答案为：37.5；（2）从频数分布直方图可得，比95亿元多的省份有1+2+2＝5个，因此处在第六位，故答案为：六；（3）①从折线统计图中可直观看出自治区A的中央财政拨款金额的离散程度比自治区B 的要大，即自治区A的方差比自治区B的方差大，故答案为：＞；②从近几年的中央财政拨款金额的变化来看，自治区A拨款金额连年增加，说明中央加强对自治区A扶贫力度，脱贫任务比较艰巨，而自治区B的拨款金额变化先增后降，说明自治区B脱贫效果明显，已逐渐脱贫．25．（6分）如图，AB为⊙O直径，C、D为⊙O上不同于A、B的两点，∠ABD＝2∠BAC，连接CD．过点C作CE⊥DB，垂足为E，直线AB与CE相交于F点．（1）求证：CF为⊙O的切线；（2）当BF＝5，sin F＝时，求BD的长．【分析】（1）连接OC．先根据等边对等角及三角形外角的性质得出∠3＝2∠1，由已知∠4＝2∠1，得到∠4＝∠3，则OC∥DB，再由CE⊥DB，得到OC⊥CF，根据切线的判定即可证明CF为⊙O的切线；（2）连接AD．先解Rt△BEF，得出BE＝BF•sin F＝3，由OC∥BE，得出△FBE∽△FOC，则，设⊙O的半径为r，由此列出方程，解方程求出r的值，由AB为⊙O直径，得出AB＝15，∠ADB＝90°，再根据三角形内角和定理证明∠F＝∠BAD，则由sin∠BAD ＝＝，求出BD的长．【解答】（1）证明：连接OC．∵OA＝OC，∴∠1＝∠2．又∵∠3＝∠1+∠2，∴∠3＝2∠1．又∵∠4＝2∠1，∴∠4＝∠3，∴OC∥DB．∵CE⊥DB，∴OC⊥CF．又∵OC为⊙O的半径，∴CF为⊙O的切线；（2）解：连接AD．在Rt△BEF中，∵∠BEF＝90°，BF＝5，sin F＝，∴BE＝BF•sin F＝3．∵OC∥BE，∴△FBE∽△FOC，∴．设⊙O的半径为r，∴，∴．∵AB为⊙O直径，∴AB＝15，∠ADB＝90°，∵∠4＝∠EBF，∴∠F＝∠BAD，∴，∴，∴BD＝9．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0）经过点A（m，n）．（1）用含b的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点B（0，2），且满足0＜m＜3，求n的取值范围；（3）若3≤m≤5时，n≤2，结合函数图象，直接写出b的取值范围．【分析】（1）把抛物线的解析式化成顶点式即可；（2）把点B坐标代入抛物线的解析式，求出抛物线的解析式，结合图形，再求当0＜m ＜3时，n的取值范围；（3）分别讨论m和b的大小关系，根据n≤2，求出b的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2bx+b2﹣2＝（x﹣b）2﹣2，∴顶点坐标为（b，﹣2）；（2）把（0，2）代入y＝x2﹣2bx+b2﹣2（b＞0），得b＝2，或b＝﹣2（舍去），∴b＝2，∴解析式为：y＝x2﹣4x+2，对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，﹣2），结合函数图象可得，在顶点处n取得最小值﹣2；当x＝0时，y＝2，∴当0＜m＜3时，﹣2≤n＜2．（3）如图，①若3≤m≤5≤b时，y max＝（3﹣b）2﹣2≤2，∴1≤b≤5，矛盾，不成立；②若3≤b≤5时，则当x＝3时，y＝（3﹣b）2﹣2≤2，得1≤b≤5，且当x＝5时，y＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，∴3≤b≤5；③当b≤3≤m≤5时，y max＝（5﹣b）2﹣2≤2，得3≤b≤7，矛盾；综上，b的取值范围为3≤b≤5．27．（7分）如图1，等边△ABC中，点P是BC边上一点，作点C关于直线AP的对称点D，连接CD，BD，作AE⊥BD于点E；（1）若∠P AC＝10°，依题意补全图1，并直接写出∠BCD的度数；（2）如图2，若∠P AC＝α（0°＜α＜30°），①求证：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系并加以证明．【分析】（1）由题意画出图形；根据三角形内角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD ﹣∠ACB即可得到结论；（2）①由轴对称的性质可得AP垂直平分BD，可得AB＝AD＝AC，∠BAP＝∠P AD＝α，由等腰三角形的性质可求解；②在AE上截取AF＝CD，根据全等三角形判定的SAS定理证得△BAF≌△BCD，由全等三角形的性质得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函数的定义求得EF＝BD，进而得到AE＝CD+BD．【解答】（1）解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠ACD＝90﹣∠P AC＝90°﹣10°＝80°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝20°；（2）①证明：如图，连接AD，根据题意得，AO⊥CD∵∠P AC＝α，∴∠ACD＝90°﹣α，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB＝90°﹣α﹣60°＝30°﹣α，∵C关于直线AP的对称是D，∴AP⊥CD，AC＝AD，∴∠P AD＝∠P AC＝α，∵AB＝AC＝AD，AE⊥BD，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD）＝（60°﹣2α）＝30°﹣α，∴∠BCD＝∠BAE；②解：用等式表示线段BD，CD，AE之间的数量关系是AE＝CD+BD．证明：在AE上截取AF＝CD，连接BF，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∵∠BCD＝∠BAE，∴△BAF≌△BCD（SAS），∴∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，∴∠FBE＝∠ABC＝60°，∴EF＝BF•sin60°＝BF＝BD，∴AE＝AE+EF＝CD+BD．28．（7分）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A与点B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M与点N 可以重合），使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．（1）如图1，点C（1，0），D（﹣1，0），E（0，），点P在线段DE上运动（点P 可以与点D，E重合），连接OP，CP．①线段OP的最小值为，最大值为，线段CP的取值范围是≤CP≤2；②在点O，点C中，点O与线段DE满足限距关系；（2）如图2，⊙O的半径为1，直线y＝x+b（b＞0）与x轴、y轴分别交于点F，G．若线段FG与⊙O满足限距关系，求b的取值范围；（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两点，分别以H，K为圆心，1为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．【分析】（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，CP的最大值，最小值即可解决问题．②根据限距关系的定义判断即可．（2）直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），分三种情形：①线段FG 在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可．（2）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．【解答】解：（1）①如图1中，∵D（﹣1，0），E（0，），∴OD＝1，OE＝，∴tan∠EDO＝＝，∴∠EDO＝60°，当OP⊥DE时，OP＝OD•sin60°＝，此时OP的值最小，当点P与E重合时，OP的值最大，最大值为，当CP⊥DE时，CP的值最小，最小值＝CD•sin60°＝，当点P与D或E重合时，PC的值最大，最大值为2，故答案为：，，≤CP≤2．②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，故点O与线段DE满足限距关系．故答案为O．（2）直线y＝x+b与x轴、y轴分别交于点F，G（0，b），当0＜b＜1时，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1﹣b，最大距离为1+b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+b≥2（1﹣b），解得b≥，∴b的取值范围为≤b＜1．当1≤b≤2时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当b＞2时，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为b﹣1，最大距离为b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴b+1≥2（b﹣1），而b+1≥2（b﹣1）总成立，∴b＞2时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，b的取值范围为b≥．（3）如图3中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r﹣2，最大值为2r+2，∵⊙H和⊙K都满足限距关系，∴2r+2≥2（2r﹣2），解得r≤3，故r的取值范围为0＜r≤3．。

（北京专用）2021年中考数学历年模拟考试题型分类汇总“简单”函数（2017昌平二模）23. 一次函数1+2y x b =-（b 为常数）的图象与x 轴交于点A （2，0），与y 轴交于点B ，与反比例函数xky =的图象交于点C （-2，m ）. （1）求点C 的坐标及反比例函数的表达式；（2）过点C 的直线与y 轴交于点D ，且1:2:=BOC CBD S S △△，求点D 的坐标.（2017房山二模）24.在平面直角坐标系xoy 中，函数ky x=（k≠0，x ＞0）的图象如图所示.已知此图象经过(,)A m n ，B （2,2）两点．过点B 作BD⊥y 轴于点D ，过点A 作AC⊥x 轴于点C ，AC 与BD 交于点F ．一次函数y ax b =+（a≠0）的图象经过点A 、D ，与x 轴的负半轴交于点E ．（1）如果32AC OD =，求a 、b 的值； （2）如果BC∥A E ，求BC 的长．（2017通州二模）21．在平面直角坐标系xOy 中，直线12+=x y 与双曲线xky =的一个交点为A （m ，-3）.（1）求双曲线的表达式；（2）过动点P （n ，0）（n <0）且垂直于x 轴的直线与直线12+=x y 和双曲线xky =的交点分别为B ，C ，当点B 位于点C 上方时，直接写出n 的取值范围.（2017西城二模）23．直线24y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，直线y kx b =+（k ，b 是常数，k ≠0）经过点A ，与y 轴交于点C ，且OC =OA ． （1）求点A 的坐标及k 的值；（2）点C 在x 轴上方，上点P 在第一象限，且在直线24y x =-+上，若PC =PB ，求点P的坐标．（2017东城二模）21．如图，在平面直角坐标系中，OA ⊥OB ，AB ⊥x 轴于点C ，点A 3,1）在反比例函数(0)ky k x=≠的图象上.（1）求反比例函数(0)ky k x=≠的解析式和点B 的坐标； （2）若将△BOA 绕点B 按逆时针方向旋转 60º 得到△BDE （点O 与点D 是对应点），补全图形，直接写出点E 的坐标，并判断点E 是否在该反比例函数的图象上，说明理由.（2017丰台二模） 21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，双曲线xmy =与直线12+-=x y 交于点A （-1，a ）． （1）求a ，m 的值； （2）点P 是双曲线xmy =上一点，且OP 与直线 12+-=x y 平行，求点P 的横坐标．xy OA（2017石景山二模）23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线3(0)y kx k =+≠与x 轴交于点A ，与双曲线(0)m y m x=≠的一个交点为(1,4)B -．（1）求直线与双曲线的表达式；（2）过点B 作BC ⊥x 轴于点C ，若点P 在双曲线my x=上，且△PAC 的面积为4，求点P 的坐标．y xAC BO（2017平谷二模）21．如图，一次函数()0y kx b k =+≠与反比例函数()0my m x=≠的图象在第一象限内交于A (1,6)，B (3，n )两点． （1）求这两个函数的表达式； （2）根据图象直接写出0mkx b x+-<的x 的取值范围．（2017顺义二模）21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数(0)ky k x=≠与一次函数4(0)y ax a =+≠的图象只有一个公共点A （2，2），直线(0)y mx m =≠也过点A ． （1）求k 、 a 及m 的值； （2）结合图象，写出4kmx ax x<+<时x 的取值范围．生活实际问题（2017房山二模）12. 如图，公园内有一小湖，为了测量湖边B 、C 两点间的距离，小明设计如下方案，选取一个合适的A 点，分别找到AB 、AC 的中点D 、E ，若测得DE 的长为35米，则B 、C 两点间的距离为________米.（2017房山二模）13.随着北京公交票制票价调整，公交集团更换了新版公交站牌，乘客在乘车时可以通过新版公交站牌计算乘车费用.新版站牌每一个站名上方都有一个对应的数字，将上下车站站名所对应数字相减取绝对值就是乘车路程，再按照其所在计价区段，参照票制规则计算票价.具体来说：另外，一卡通普通卡刷卡实行5折优惠，学生卡刷卡实行2.5折优惠.一位家住十渡地区的张老师持卡乘车，上车时站名上对应的数字是6，下车时站名上对应的数字是24，那么，张老师乘车的费用是_________元.（2017朝阳二模）15.在一段时间内，小军骑自行车上学和乘坐公共汽车上学的次数基本相同，他随机记录了其中某些天上学所用的时间，整理如下表：交通工具所需时间（单位：min）自行车14,14,14,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15,15公共汽车10,10,11,11,11,12,12,12,12,13,15,16,17,17,19下面有四个推断：①平均来说，乘坐公共汽车上学所需的时间较短②骑自行车上学所需的时间比较容易预计③如果小军想在上学路上花的时间更少,他应该更多地乘坐公共汽车④如果小军一定要在16 min内到达学校，他应该乘坐公共汽车其中合理的是（填序号）．（2017朝阳二模）22.调查作业：了解你所在学校学生本学期社会实践活动的情况.小明、小亮和小天三位同学在同一所学校上学.该学校共有三个年级，每个年级都有6个班，每个班的人数在30~40之间.为了了解该校学生本学期社会实践活动的情况，他们各自设计了如下的调查方案：小明：我给每个班学号分别为1、2、11、12、21、22的同学各发一份问卷，一两天就可以得到结果.小亮：我把要调查的问题放在某两个班的微信群里，这样群里的大部分人就可以完成调查的问题，并很快就可以反馈给我.小天：我给每个班发一份问卷，一两天也就可以得到结果了.根据以上材料回答问题：小明、小亮和小天三人中，哪一位同学的调查方案能较好地获得该校学生本学期社会实践活动的情况，并简要说明其他两位同学调查方案的不足之处.（2017怀柔二模）22.为倡导市民绿色出行，提高市民环保意识和健康意识，怀柔区建立了城市公共自行车系统，共建64个站点，投放2300辆自行车.并于2016年8月15日正式投入运营.办理借车卡和借车服务费标准如下：首次办理借车卡免收工本费，本地居民收取300元保证金及预充值消费50元、外地居民收取500元保证金及预充值消费50元.借车服务费用实行分段合计，还车刷卡时，从借车卡中结算扣取，每次借车1小时（含）为免费租用期；超过免费租用期1小时以内（含）的收取1元；超过免费租用期2小时到4小时以内（含）的，每小时收取2元；超过免费租用期4个小时以上的，每小时收取3元；一天20元封顶（不足一小时按1小时计）.刘亮妈妈到点首次办了一张借车卡.第一次，她用了5小时20分钟后才还车.后来妈妈又借车出行了30次，卡中预充值的费用就全部用完了，妈妈说后来的这30次，每次从卡中扣除的服务费都是1元或3元.请你通过列方程或方程组的方法帮刘亮妈妈算一算她扣除1元和3元服务费各几次.（2017怀柔二模）26. 某商品的进价为每件40元，当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查，每降价1元，每星期可多卖出20件，在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价x （x 为整数）元，每星期售出商品的利润为y 元，请写出x 与y 之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）请画出上述函数的大致图象.（3）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？小丽解答过程如下：解：（1）根据题意，可列出表达式： y=(60-x)(300+20x)-40(300+20x), 即y=-20x 2+100x+6000.∵降价要确保盈利，∴40＜60-x ≤60.解得0≤x ＜20.（2）上述表达式的图象是抛物线的一部分，函数的大致图象如图1： （3）∵a=-20＜0，∴当x=2b a-=2.5时，y 有最大值，y=244ac b a -=6125.所以，当降价2.5元时，每星期的利润 最大，最大利润为6125.老师看了小丽的解题过程，说小马第（1）问的表达式是正确的，但自变量x 的取值范围不准确.（2）（3）问的答案，也都存在问题.请你就老师说的问题，进行探究，写出你认为（1）（2）（3）中正确的答案，或说明错误原因.书写作图依据（2017昌平二模）15．如图，已知钝角△ABC，老师按照如下步骤尺规作图：步骤1：以C 为圆心，CA 为半径画弧①；步骤2：以B 为圆心，BA 为半径画弧②，交弧①于点D ； 步骤3：连接AD ，交BC 延长线于点H . 小明说：图中的BH ⊥AD 且平分AD . 小丽说：图中AC 平分∠BAD . 小强说：图中点C 为BH 的中点.他们的说法中正确的是___________.他的依据是_____________________.ABCDH（2017房山二模）15.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小芸的作图步骤如下：老师说：“小芸的作图步骤正确，且可以得到DF=AC”．请回答：得到DF=AC 的依据是_________________________________________________.（2017通州二模）16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：小亮的作法如下：老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是_________________________________________________．（2017朝阳二模）16．阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：作一条线段等于已知线段. 已知：线段AB .求作：线段CD ，使CD =AB .如图：DABCE（1） 作射线CE ；（2） 以C 为圆心，AB 长为半径作弧交CE 于D .则线段CD 就是所求作的线段. A B 尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l 和直线l 外一点A ． 求作：直线l 的平行线，使它经过点A ．小强的作法如下：如图,（1）过点A作直线m交直线l于点B；（2）以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线m于点C；（3）在直线l上取点D（不与点B重合）,连接CD；（4）作线段CD的垂直平分线n，交线段CD于点E；（5）作直线AE.所以直线AE即为所求．老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是．（2017东城二模）20．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°. 以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D. 若CD=4，AB=15，求△ABD的面积.（2017丰台二模）16．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC 的三条高.小明的作法如下：（1）连接AD ，BE ，它们相交于点P ； （2）连接CP 并延长，交AB 于点F .所以，线段AD ，BE ，CF 就是所求的△ABC 的三条高.请回答，小明的作图依据是 .B AC DEE D C ABF P（2017石景山二模）15．下面是“已知底边及底边上的高线作等腰三角形”的尺规作图过程.请回答：得到△ABC 是等腰三角形的依据是：①___________________________________________________________________： ②___________________________________________________________________．（2017平谷二模）16．数学课上，王老师布置如下任务：如图1，△ABC 中，BC>AB>AC ，在BC 边上取一点P ，使∠APC=2∠ABC ．小路的作法如下，如图2：①作AB 边的垂直平分线，交BC 于点P ； ②连结AP ．所以，∠APC =2∠ABC ．小路的作图依据是 ．（2017顺义二模）16．阅读下面材料： 在数学课上，老师提出如下问题：老师说：“小丽的作法正确．”请回答：小丽的作图依据是________________________________________．图1B图2B（2017怀柔二模）16．下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.请回答:该作图的依据是 .数据与统计（2017昌平二模）24.近几年，中国在线旅游产业发展迅猛，在线旅游产业是依托互联网，以满足旅游消费者信息查询、产品预订及服务评价为核心目的，囊括了包括航空公司、酒店、景区、租车公司、海内外旅游服务供应商及搜索引擎、OTA 、电信运营商、旅游资讯及社区网站等在线旅游平台的新产业.据数据统计：2012年中国在线旅游市场交易金额约为2219亿元，2013年中国在线旅游市场交易金额约为3015亿元，2014年中国在线旅游市场交易金额相比2013年增加了1117亿元，2015年中国在线旅游市场交易金额约为5424亿元，2016年中国在线旅游市场交易金额为6622亿元，在人们对休闲旅游观念的不断加强之下，未来两年中国在线旅游市场交易规模会持续上涨.（1）请用折线统计图或条形统计图将2012—2016年中国在线旅游市场交易金额的数据描述出来，并在图中标明相应数据；（2）根据绘制的统计图中提供的信息，预估2017年中国在线旅游市场交易金额约为___________亿元，你的预估理由是_______________________________________.（2017房山二模）22.当雾霾出现红色预警时，全市中小学就随即展开“停课不停学”的活动，这一活动倍受家长们的关注.为此某媒体记者随机调查了某市城区若干名中学生家长对“停课不停学”的态度（态度分为：A ：无所谓；B ：赞成；C ：反对），并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调査中，共调査了________________________名中学生家长； （2）将图①补充完整；（3）请就雾霾期间如何学习的问题说说你的看法．（2017通州二模）7．小明、小华两名射箭运动员在某次测试中各射箭10次，两人的平均成绩均为7.5环，下图做出了表示平均数的直线和10次射箭成绩的折线图. 1S ，2S 分别表示小明、小华两名运动员这次测试成绩的方差，则有A ．21S S <B ．21S S >C ．21S S =D ．21S S ≥（2017朝阳二模）10. 甲、乙、丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭8次，三人的测试成绩如下表:s 2甲、s 2乙、s 2丙分别表示甲、乙、丙三名运动员这次测试成绩的方差，下面各式中正确的是A ．s 2甲＞s 2乙＞s 2丙 B ．s 2乙＞s 2甲＞s 2丙C ．s 2丙＞s2甲＞s2乙 D ．s2丙＞s2乙＞s2甲（2017通州二模）25．阅读下面材料：当前，中国互联网产业发展迅速，互联网教育市场增长率位居全行业前列．以下是根据某媒体发布的2012-2015年互联网教育市场规模的相关数据，绘制的统计图表的一部分．（1）2015年互联网教育市场规模约是 亿元（结果精确到1亿元），并补全条形统计图；（2）截至2015年底，约有5亿网民使用互联 网进行学习，互联网学习用户的年龄分布 如右图所示，请你补全扇形统计图，并估甲的成绩乙的成绩丙的成绩环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 环数 7 8 9 10 频数 1 3 3 1频数 2 222频数 3113学习用户分布图截至2015年底互联网36-55岁9%其他3%7-17岁18-35岁56%7-17岁 % 截至2015年底互联网学习用户分布图计7-17岁年龄段有亿网民通过互联网进行学习；（3）根据以上材料，写出你的思考或建议（一条即可）．（2017朝阳二模）24.阅读下列材料：自2011年以来，朝阳区统筹推进稳增长、调结构、促改革、惠民生等各项工作，经济转型发展不断加快，全区经济实力不断迈上新台阶．2011年，朝阳区生产总值3272.2 亿元． 2012年，朝阳区生产总值3632.1 亿元，比上年增长359.9亿元． 2013年，朝阳区生产总值4030.6 亿元，比上年增长398.5亿元．2014年，朝阳区生产总值4337.3 亿元，比上年增长7.6%．2015年，朝阳区生产总值4640.2 亿元，比上年增长7.0%，其中，第一产业1.2 亿元，第二产业358.0 亿元，第三产业4281.0 亿元．2016年，朝阳区生产总值4942.0亿元，比上年增长6.5%，居民人均可支配收入达到59886元，比上年增长8%．根据以上材料解答下列问题:(1)用折线图将2011-2016年朝阳区生产总值表示出来，并在图中标明相应数据;(2)根据绘制的折线图中提供的信息，预估2017年朝阳区生产总值约亿元，你的预估理由是．（2017西城二模）10.某大型文体活动需要招募一批学生作为志愿者参与服务.已知报名的男生有420人，女生有400人，他们身高在155≤x＜175，随机抽取该校男生、女生进行抽样调查．已知该校共有女生400人，男生420人，抽取的样本中，男生比女生多2人，利用所得数据绘制如下统计图表：根据统计图表提供的信息，下列说法中①估计报名者中男生的身高的众数在D组；②估计报名者中女生的身高的中位数在B组；③抽取的样本中，抽取女生的样本容量是38；④估计报名者中身高在160≤x＜170之间的学生约有400人其中合理的是(A)①②(B))①④(C)②④(D) ③④（2017西城二模）24．阅读下列材料：社会消费品零售总额是指批发和零售业，住宿和餐饮业以及其他行业直接售给城乡居民和社会集团的消费品零售额．在各类与消费有关的统计数据中，社会消费品零售总额是表现国内消费需求最直接的数据．2012年，北京市全年实现社会消费品零售额7702.8.5亿元，比上一年增长11.6%。

北京市各区2021年中考模拟数学试题汇编：三角形解答1．（2021•海淀区校级模拟）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD⊥CD于点D，连接AD，在CD上截取CE，使CE＝BD，连接AE．（1）直接判断AE与AD的位置关系（2）如图2，延长AD，CB交于点F，过点E作EG∥AF交BC于点G，试判断FG与AB之间的数量关系，并证明；（3）在（2）的条件下，若，求EG的长．2．（2021•平谷区二模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是AB边上一点，过点G作射线CP，过点A作AM⊥CP于点M，过点B作BN⊥CP于点N．（1）求证：CM＝BN；（2）取AB中点O，连接OM、ON，依题意补全图，猜想线段BN、AM、OM的数量关系，并证明．3．（2021•顺义区二模）如图，C为∠AOB平分线上一点，CD∥OB交OA于点D．求证：OD＝CD．4．（2021•门头沟区二模）已知：如图，AB＝DE，AF＝DC，请补充一个条件可以得到BC＝EF．补充的条件：．5．（2021•房山区二模）如图，AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，∠D＝70°，求∠B的度数．6．（2021•丰台区二模）已知∠MON＝90°，点A，B分别在射线OM，ON上（不与点O重合），且OA＞OB，OP平分∠MON，线段AB的垂直平分线分别与OP，AB，OM交于点C，D，E，连接CB，在射线ON上取点F，使得OF＝OA，连接CF．（1）依题意补全图形；（2）求证：CB＝CF；（3）用等式表示线段CF与AB之间的数量关系，并证明．7．（2021•西城区二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点P为△ABC外一点，点P与点C位于直线AB异侧，且∠APB＝45°，过点C作CD⊥PA，垂足为D．（1）当∠ABP＝90°时，在图1中补全图形，并直接写出线段AP与CD之间的数量关系；（2）如图2，当∠ABP＞90°时，①用等式表示线段AP与CD之间的数量关系，并证明；②在线段AP上取一点K，使得∠ABK＝∠ACD，画出图形并直接写出此时的值．8．（2021•昌平区二模）如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是CA延长线上一点，点E是AB延长线上一点，且AD＝BE，过点A作DE的垂线交DE于点F，交BC的延长线于点G．（1）依题意补全图形；（2）当∠AED＝α，请你用含α的式子表示∠AGC；（3）用等式表示线段CG与AD之间的数量关系，并写出证明思路．9．（2021•石景山区一模）阅读下面材料：小石遇到这样一个问题：如图1，∠ABC＝90°，DE分别是∠ABC的边BA，BC上的动点（不与点B重合），∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，△DBE的周长为a，过点P作PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，求PM+PN与△DBE的周长a的数量关系．小石通过测量发现了垂线段PM与PN的数量关系，从而构造全等三角形和直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：线段PM与PN的数量关系为；PM+PN与a的数量关系是．参考小石思考问题的方法，解决问题：如图2，当∠ABC＝60°时，其它条件不变，判断点P到DE的距离与△DBE的周长a的数量关系，并简要说明理由．10．（2021•门头沟区一模）已知，如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC于D，E是BC延长线上的一点，DB＝DE．求∠E的度数．11．（2021•海淀区校级模拟）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D，E分别是射线CA，射线BC上的动点，且满足AD＝CE．连接DE，过点C作DE的垂线，垂足为F，CF交射线AB于点G．（1）如图1，当点D，E分别为线段AC，BC中点时，求证：DE＝CG；（2）如图2，当点D，E分别在线段AC与BC上运动时，用等式表示线段AG与BE的数量关系，并证明；（3）如图3，已知AC＝2，当点D，E分别在线段CA与BC的延长线上运动时，若DF＝4EF，直接写出此时线段CG的长．12．（2021•朝阳区模拟）在几何的证明中，经常可以通过“作一个角等于已知角，作一条线段等于已知线段”或者“过一点作已知直线的平行线，过一点作已知直线的垂线”的方式添加辅助线，解决问题．例如，证明“等腰三角形腰上的高与底边所夹的角等于顶角的一半”．即“已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，CD⊥AB．求证：∠DCB ＝∠A”．证明的两种方法虽然不同，但总体思路基本一致．方法一如图，作∠BAC的平分线AE交BC于点E．通过作等角，利用等腰三角形“三线合一”的性质和“三角形内角和定理”，即可证明．方法二如图，过点C作射线CE交AB于点E，使∠DCE＝∠DCB，通过作等角，利用“全等三角形对应角相等”，“等腰三角形的两个底角相等”和“三角形内角和定理”即可证明．参考以上内容，求证“若三角形的两边不等，则大边同这边上的高的和，一定大于小边同这边上的高的和”．13．（2021•朝阳区校级模拟）如图，在等边三角形ABC右侧作射线CP，∠ACP＝α（0°＜α＜60°），点A关于射线CP的对称点为点D，BD交CP于点E，连接AD，AE．（1）依题意补全图形；（2）求∠DBC的大小（用含α的代数式表示）；（3）直接写出∠AEB的度数；（4）用等式表示线段AE，BD，CE之间的数量关系，并证明．14．（2021•西城区校级模拟）（1）小My同学在网络直播课中学习了勾股定理，他想把这一知识应用在等边三角形中：边长为a的等边三角形面积是（用含a的代数式表示）；（2）小My同学进一步思考：是否可以将正方形剪拼成一个等边三角形（不重叠、无缝隙）？①如果将一个边长为2的正方形纸片剪拼等边三角形，那么该三角形边长的平方是；②小My同学按下图切割方法将正方形ABCD剪拼成一个等边三角形EFG：M、N分别为AB、CD边上的中点，P、Q是边BC、AD上两点，G为MQ上一点，且∠MGP＝∠PGN＝∠NGQ＝60°．请补全图形，画出拼成正三角形的各部分分割线，并标号；③正方形ABCD的边长为2，设BP＝x，则x2＝．15．（2021•北京模拟）如图，四边形ABCD中，AB∥CD，CD＝AD，∠ADC＝60°，对角线BD 平分∠ABC交AC于点P．CE是∠ACB的角平分线，交BD于点O．（1）请求出∠BAC的度数；（2）试用等式表示线段BE、BC、CP之间的数量关系，并说明理由．16．（2020•西城区一模）如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°．点P在线段BC上，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，连接AP，AQ．过点B作BD⊥AQ于点D，交AP于点E，交AC于点F．K是线段AD上的一个动点（与点A，D不重合），过点K作GN⊥AP于点H，交AB于点G，交AC于点M，交FD的延长线于点N．（1）依题意补全图1；（2）求证：NM＝NF；（3）若AM＝CP，用等式表示线段AE，GN与BN之间的数量关系，并证明．17．（2021•北京模拟）已知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝+1，P为射线OB 上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM 顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．（1）依题意补全图1；（2）求证：∠OMP＝∠OPN；（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．18．（2021•海淀区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，作射线CM，∠ACM＝80°．D在射线CM上，连接AD，E是AD的中点，C关于点E的对称点为F，连接DF．（1）依题意补全图形；（2）判断AB与DF的数量关系并证明；（3）平面内一点G，使得DG＝DC，FG＝FB，求∠CDG的值．19．（2021•房山区一模）已知：在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝α，以BC为斜边作等腰Rt△BDC，使得A，D两点在直线BC的同侧，过点D作DE⊥AB于点E．（1）如图1，当α＝20°时，①求∠CDE的度数；②判断线段AE与BE的数量关系；（2）若45°＜α＜90°，线段AE与BE的数量关系是否保持不变？依题意补全图2，并证明．20．（2021•平谷区一模）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D 不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．（1）如图1，当点D为线段AB的上任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；（2）如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．参考答案1．【分析】（1）利用SAS定理证明△ACE≌△ABD，根据全等三角形的性质、垂直的定义证明结论；（2）过点B作BM⊥BD交DF于点M，证明△CEG≌△BMF，得到CG＝BF，进而证明FG＝BC，根据等腰直角三角形的性质计算，得到答案；（3）根据等腰直角三角形的性质求出DE，进而求出CD，证明△CEG∽△CDF，根据相似三角形的性质列出方程，解方程求出GE．【解答】解：（1）AE⊥AD；理由如下：∵∠BDF＝∠BAC＝90°，∠DFB＝∠AFC，∴∠DBA＝∠ACE，在△ACE和△ABD中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴∠EAC＝∠BAD，∵∠BAE+∠EAC＝90°，∴∠BAE+∠BAD＝90°，即∠DAE＝90°，∴AE⊥AD；（2）FG＝AB，理由如下：过点B作BM⊥BD交DF于点M，∵△ACE≌△ABD，∴AE＝AD，∵AE⊥AD，∴∠ADE＝45°，∵BD⊥CD，∴∠BDM＝45°，∴△BDM为等腰直角三角形，∴BD＝BM，∴CE＝BM，∵EG∥AF，∴∠EGC＝∠MFB，∵∠FBM+∠ABD＝45°，∠GCE+∠ACE＝45°，∴∠FBM＝∠GCE，∴△CEG≌△BMF（AAS），∴CG＝BF，∴CG+BG＝BF+BG，∴FG＝BC，∵BC＝AB，∴FG＝AB；（3）∵AD＝AE＝2，△ADE为等腰直角三角形，∴DE＝AE＝2，∵CE＝，∴DC＝3，∵BD＝CE＝，∴DM＝BD＝2，∵△CEG≌△BMF，∴EG＝FM，设EG＝FM＝x，∴DF＝2+x，∵EG∥DF，∴△CEG∽△CDF，∴＝，即＝，解得，x＝1，∴EG＝1．2．【分析】（1）由题意补全图形，证明△ACM≌△CBN（AAS），由全等三角形的性质可得出CM＝BN．（2）连接OC，证明△OCM≌△OBN（SAS），由全等三角形的性质可得出OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性质得出MN＝OM，则可得出结论．【解答】解：（1）补全图形如图，证明：∵AM⊥CP，BN⊥CP，∴∠AMC＝∠BNC＝90°，∴∠ACM+∠CAM＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠ACM+∠BCN＝90°，∴∠CAM＝∠BCN，∵AC＝BC，∴△ACM≌△CBN（AAS），∴CM＝BN．（2）依题意补全图形如图，结论：AM+BN＝OM．证明：连接OC，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，O是AB的中点，∴OC＝OB，∠ACO＝∠CBO＝45°，∵△ACM≌△CBN，∴AM＝CN，∠OCM+∠ACO＝∠CBO+∠OBN，∴∠OCM＝∠OBN，∵CM＝BN，∴△OCM≌△OBN（SAS），∴OM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，∵∠COM+∠MOB＝90°，∴∠BON+∠MOB＝90°，∴∠MON＝90°，∴MN＝OM，∴AM＝CN＝CM+MN＝BN+OM．3．【分析】由角平分线的性质可得∠AOC＝∠BOC，由两直线平行，内错角相等可得∠DCO ＝∠BOC，则∠AOC＝∠DCO，由等角对等边即可得解．【解答】证明：∵OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC，∵CD∥OB，∴∠DCO＝∠BOC，∴∠AOC＝∠DCO，∴OD＝CD．4．【分析】根据全等三角形的判定和性质，即可补充条件．【解答】解：补充条件：∠A＝∠D．证明过程：∵AF＝DC．∴AF+FC＝DC+CF．即：AC＝DF．在△ABC与△DEF中，．∴△ABC≌△DEF（SAS）．∴BC＝EF．故答案为：∠A＝∠D．5．【分析】直接利用全等三角形的判定方法得出△ABC≌△ADC（SAS），进而利用全等三角形的性质得出答案．【解答】证明：在△ABC与△ADC中，∴△ABC≌△ADC（SAS），∴∠B＝∠D，∵∠D＝70°，∴∠B＝70°．6．【分析】（1）根据几何语言画出对应的几何图形；（2）过点C作CE垂直平分AB，CF⊥OP，垂足分别为D，C，根据线段的垂直平分线的性质得到CA＝CB，根据角平分线的定义得到∠AOC＝∠FOC，则可判断△AOC≌△FOC，从而得到CB＝CF；（3）证明∠ACB＝90°，结合（2）证明三角形ABC是等腰直角三角形，进而可得线段CF 与AB之间的数量关系．【解答】（1）解：如图即为补全的图形；（2）证明：连接CA，∵OP是∠MON的平分线，∴∠AOC＝∠FOC，在△AOC和△FOC中，，∴△AOC≌△FOC（SAS），∴CA＝CF，∵CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，∴CB＝CF；（3）AB＝CF，证明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB，∵CF＝CB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF，∵∠CBF+∠CBO＝180°，∴∠CAO+∠CBO＝180°，∴∠AOB+∠ACB＝180°，∵∠AOB＝90°，∴∠ACB＝90°，∵CA＝CB，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝CB，∴AB＝CF．7．【分析】（1）首先画出图形，得出CD和CA重合，根据等腰直角三角形的性质即可求解；（2）①根据等腰直角三角形的性质，可得AP与AF的关系，根据相似三角形的判定与性质，可得AF与CD的关系，根据等量代换，可得答案；②延长CD、BK交于点Q，先证△AGC∽△QGB，据相似三角形的性质可得∠CAG＝∠Q＝45°，再证△QDK∽△PBK，据相似三角形的性质可得∠PBK＝∠QDK＝90°，根据等腰直角三角形的性质即可求解．【解答】解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°，∴AB＝AC，∵∠ABP＝90°，∠APB＝45°，∴∠BAP＝45°，∴∠CAP＝∠CAB+∠BAP＝90°，∵CD⊥PA，∴CD和CA重合，∴AP＝AB，∴AP＝×AC＝2AC＝2CD；（2）①AP＝2CD，证明：过点A作AF⊥BP于点F，∵∠BPA＝45°，∴∠FAP＝∠FPA＝45°，∴＝，∴AP＝AF．∵∠ABF＝∠BAP+∠P＝∠BAP+45°，又∵∠CAD＝∠BAP+∠CAB＝∠BAP+45°，∴∠CAD＝∠FBA．又∵∠ADC＝∠AFB＝90°，∴△CAD∽△ABF，∴，∴AF＝CD，∴AP＝AF＝2CD；②延长CD、BK交于点Q，∵∠1＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△QGB，∴∠CAG＝∠Q＝45°，∵∠P＝45°，∴∠Q＝∠P，∵∠3＝∠4，∴△QDK∽△PBK，∴∠PBK＝∠QDK＝90°，∵∠P＝45°，∴KP＝BP，∴．8．【分析】（1）依题意补全图形即可；（2）由等腰直角三角形的性质和三角形的外角性质得AGC+∠CAG＝45°，再证∠CAG＝∠DAF＝α，即可求解；（3）过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，则△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再证△ADE∽△HGA，得＝，得出m＝b，即可得出结论．【解答】解：（1）依题意补全图形如图1所示：（2）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ACB＝45°，∴∠AGC+∠CAG＝∠ACB＝45°，∵∠AF⊥DE，∴∠AFE＝90°＝∠DAE，∴∠AED+∠EAF＝∠DAF+∠EAF＝90°，∴∠DAF＝∠AED＝α，∴∠CAG＝∠DAF＝α，∴∠AGC＝45°﹣α；（3）CG＝AD，证明思路如下：过G作GH⊥AC交AC的延长线于H，如图2所示：则∠GHA＝90°＝∠DAE，△CGH是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，设AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，由（2）可知，∠AED＝∠HAG，则△ADE∽△HGA，得＝，即＝，整理得：am+bm＝ab+bm，则m＝b，故CG＝m＝b＝AD．9．【分析】过点P作PG⊥DE，垂足为G，由角平分线的性质得PM＝PG＝PN，根据HL得Rt △PNE≌Rt△PGE，Rt△PGD≌Rt△PMD，从而得到结论；连接BP，过P作PH⊥DE于H，根据全等三角形的判定与性质得DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，然后根据特殊直角三角形的性质及三角函数关系可得答案．【解答】解：过点P作PG⊥DE，垂足为G，∵∠ADE与∠DEC的角平分线交于点P，PM⊥BA于点M，PN⊥BC于点N，∴PM＝PG＝PN，∠PNE＝∠PGE＝∠PGD＝∠PMD＝90°，∵PE＝PE，PD＝PD，∴Rt△PNE≌Rt△PGE（HL），Rt△PGD≌Rt△PMD（HL），∴MD＝GD，NE＝GE，∵△DBE的周长为a，∴PM+PN＝BD+DM+BE+EN＝BD+DG+BE+GE＝BD+BE+DE＝a．故答案为：PM＝PN，PM+PN＝a；解决问题：PH＝a．连接BP，过P作PH⊥DE于H，∵DP平分∠ADE，PM⊥BA，∴PM＝PH，∠MDP＝∠HDP，∴△PMD≌△PHD（AAS），∴DM＝DH，同理，PH＝PN，HE＝EN，∴PM＝PN，∵PM⊥BM，PN⊥BC，∴Rt△BMP≌Rt△BNP（HL），∴∠PBN＝∠PBM∠ABC＝30°，MB＝NB，∵MB+NB＝DB+DM+BE+EN＝PB+BE+DE＝a，∴MB＝NB＝，∴PM＝MB•tan30°＝a．10．【分析】根据等边三角形的性质得出AB＝BC，∠ABC＝60°，根据“三线合一”得出∠DBC＝∠ABD＝30°，根据等腰三角形的性质得出即可．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，∵BD⊥AC，∴∠DBC＝∠ABD＝＝30°，∵DB＝DE，∴∠E＝∠DBC＝30°．11．【分析】（1）想办法证明CG＝AB，DE＝AB，可得结论．（2）结论：AG＝BE．如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．想办法证明CH＝DE，CH＝CG，可得结论．（3）设EF＝a，则DF＝4a，证明△CFE∽△DFC，可得CF2＝EF•DF，推出CF＝2a，推出tan∠D＝，由此求出EC，CD，DE可得结论．【解答】（1）证明：如图1中，∵D，E分别是AC，BC的中点，∴DE＝AB，DE∥AB，∵CG⊥DE，∴CG⊥AB，∴GA＝GB，∴CG＝AB，∴CG＝DE．（2）解：结论：AG＝BE．理由：如图2中，过点D作DH⊥AC交AB于H，连接CH．∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠A＝∠B＝45°，∵AD⊥DH，∴∠ADH＝90°，∴∠A＝∠DHA＝45°，∴DA＝DH，∵AD＝CE，∴DH＝CE，∵CD＝DC，∠CDH＝∠DCE＝90°，∴△CDH≌△DCE（SAS），∴∠DCH＝∠CDE，DH＝CE，∵CG⊥DE，∴∠CDE+∠DCG＝90°，∠DCG+∠BCG＝90°，∴∠CDE＝∠BCG＝∠ACH，∵CA＝CB，∠A＝∠B＝45°，∴△ACH≌△BCG（ASA），∴AH＝BG，∵BG＝AH＝DH＝EC，AB＝BC，∴AG＝AB﹣BG＝BC﹣EC＝（BC﹣EC）＝BE．（3）解：如图3中，∵DF＝4EF，∴可以假设EF＝a，则DF＝4a，∵CF⊥DE，∠ECD＝90°，∴∠E+∠ECF＝90°，∠ECF+∠FCD＝90°，∴∠E＝∠FCD，∵∠CFE＝∠DFC＝90°，∴△CFE∽△DFC，∴CF2＝EF•DF，∴CF＝2a，∴tan∠D＝＝，∴＝，∴＝，∴EC＝2，CD＝4，∴DE＝＝＝2，∴CG＝DE＝2．12．【分析】先写出已知，求证，根据AAS证明△AFH≌△ACE，再根据全等三角形的性质和平行四边形判定与性质即可求解．【解答】解：已知：如图，在△ABC中，AB＞AC，BD，CE分别为AB，AC边上的高．求证：AB+CE＞AC+BD．证明：如图，在AB上截取AF＝AC，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠AHF＝∠AEC＝90°，∠A＝∠A，AF＝AC，∴△AFH≌△ACE（AAS），∴FH＝CE，过点F作FG⊥BD于点G，∴四边形FGDH是平行四边形，∴FH＝GD，∴BF＝AB﹣AF＝AB﹣AC，BG＝BD﹣GD＝BD﹣CE，在Rt△BGF中，BF＞BG，∴AB﹣AC＞BD﹣CE，∴AB+CE＞AC+BD．13．【分析】（1）根据题意画出图形即可；（2）连接CD．根据线段AC和DC关于射线CP的对称，可得AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．根据△ABC是等边三角形，即可表示∠DBC的大小；（3）在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，根据已知条件证明△CBF≌△CAE（ASA），可得CF＝CE，得△CEF是等边三角形，进而可得∠AEB的度数；（4）根据△CBF≌△CAE，可得BF＝AE＝DE，根据△CEF是等边三角形，进而可得线段AE，BD，CE之间的数量关系．【解答】解：（1）依题意补全图形如下：（2）连接CD．∵线段AC和DC关于射线CP的对称，∴AC＝DC，∠ACE＝∠DCE＝α．∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴BC＝DC，∠BCD＝60°+2α．∴．（3）∠AEB＝60°．理由如下：如图，在BE上取点F，使∠FCE＝60°，连接CD，设AD与CP交于点H，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝BC，∠ACB＝60°．∴∠ACB﹣∠ACF＝∠FCE﹣∠ACF，∴∠BCF＝∠ACE，∵点A和点D关于射线CP的对称，∴PC是AD的垂直平分线，∴AC＝DC，AE＝DE，∠ACE＝∠DCE＝α．∴∠CAD＝∠CDA，∠EAD＝∠EDA，∴∠CAE＝∠CDE，∵BC＝AC＝DC，∴∠CBF＝∠CDE，∴∠CBF＝∠CAE，在△CBF和△CAE中，，∴△CBF≌△CAE（ASA），∴CF＝CE，∵∠FCE＝60°，∴△CEF是等边三角形，∴∠CEF＝60°，∴∠AEH＝∠DEH＝∠CEF＝60°，∴∠AEB＝180°﹣∠AEH﹣∠CEF＝180°﹣60°﹣60°＝60°；（4）结论：BD＝2AE+CE．理由如下：由（1）知，AE＝DE，∵△CBF≌△CAE，∴BF＝AE，∴BF＝AE＝DE，∵△CEF是等边三角形，∴CE＝EF，∴BD＝BF+FE+ED＝CE+2AE．14．【分析】（1）如图1，过A作AD⊥BC于D，根据等边三角形的性质得到BD＝CD＝BC＝BC ＝a，由勾股定理得到AD＝＝＝a，于是得到S△ABC •AD＝a2；（2）①根据三角形的面积公式即可得到结论；②补全图形如图2所示；③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，推出PN是△GEF的中位线，得到PN＝EF，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：（1）如图，过A作AD⊥BC于D，∵△ABC是等边三角形，∴BD＝CD＝BC＝a，∴AD＝＝＝a，＝BC•AD＝a2；∴S△ABC（2）①∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴a2＝4，∴a2＝，即该三角形边长的平方是；②补全图形如图2所示；③由题意知，PG＝PE，GN＝NF，∴PN是△GEF的中位线，∴PN＝EF，∵N为AB边上的中点，∴BN＝AB＝1，∵边长为2的正方形的面积＝4，∴剪拼成的等边三角形的面积＝4，∴a2＝4，∴a2＝，即△GEF边长的平方是，∴EF＝，∴PN＝，∵PN2＝BN2+BP2，∴＝+1+x2，∴x2＝﹣1；故答案为：（1）a2；（2）①；③﹣1；15．【分析】（1）证明△ACD为等边三角形，可得出∠ACD＝60°，则∠BAC＝∠ACD＝60°；（2）在BC上截取BF＝BE，证明△BEO≌△BFO，可得∠BOE＝∠BOF，证明△CPO≌△CFO，得出CP＝CF，则BC＝BE+CP可得出．【解答】（1）解：∵CD＝AD，∠ADC＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴∠ACD＝60°，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝60°；（2）证明：在BC上截取BF＝BE，∵BD平分∠ABC，∴∠EBO＝∠OBF，∵OB＝OB，∴△BEO≌△BFO（SAS），∴∠BOE＝∠BOF，∵∠BAC＝60°，CE是∠ACB的角平分线，∴∠OBC+∠OCB＝60°，∴∠POC＝∠BOE＝60°，∴∠COF＝60°，∴∠COF＝∠POC，又∵OC＝OC，∠OCP＝∠OCF，∴△CPO≌△CFO（ASA），∴CP＝CF，∴BC＝BF+CF＝BE+CP．16．【分析】（1）根据题意补全图1即可；（2）根据等腰三角形的性质得到AP＝AQ，求得∠APQ＝∠Q，求得∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，等量代换得到∠MFN＝∠FMN，于是得到结论；（3）连接CE，根据线段垂直平分线的性质得到AP＝AQ，求得∠PAC＝∠QAC，得到∠CAQ ＝∠QBD，根据全等三角形的性质得到CP＝CF，求得AM＝CF，得到AE＝BE，推出直线CE 垂直平分AB，得到∠ECB＝∠ECA＝45°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）依题意补全图1如图所示；（2）∵CQ＝CP，∠ACB＝90°，∴AP＝AQ，∴∠APQ＝∠Q，∵BD⊥AQ，∴∠QBD+∠Q＝∠QBD+∠BFC＝90°，∴∠Q＝∠BFC，∵∠MFN＝∠BFC，∴∠MFN＝∠Q，同理，∠NMF＝∠APQ，∴∠MFN＝∠FMN，∴NM＝NF；（3）连接CE，∵AC⊥PQ，PC＝CQ，∴AP＝AQ，∴∠PAC＝∠QAC，∵BD⊥AQ，∴∠DBQ+∠Q＝90°，∵∠Q+∠CAQ＝90°，∴∠CAQ＝∠QBD，∴∠PAC＝∠FBC，∵AC＝BC，∠ACP＝∠BCF，∴△APC≌△BFC（AAS），∴CP＝CF，∵AM＝CP，∴AM＝CF，∵∠CAB＝∠CBA＝45°，∴∠EAB＝∠EBA，∴AE＝BE，∵AC＝BC，∴直线CE垂直平分AB，∴∠ECB＝∠ECA＝45°，∴∠GAM＝∠ECF＝45°，∵∠AMG＝∠CFE，∴△AGM≌△CEF（ASA），∴GM＝EF，∵BN＝BE+EF+FN＝AE+GM+MN，∴BN＝AE+GN．17．【分析】（1）根据题意画出图形．（2）由旋转可得∠MPN＝150°，故∠OPN＝150°﹣∠OPM；由∠AOB＝30°和三角形内角和180°可得∠OMP＝180°﹣30°﹣∠OPM＝150°﹣∠OPM，得证．（3）根据题意画出图形，以ON＝QP为已知条件反推OP的长度．由（2）的结论∠OMP＝∠OPN联想到其补角相等，又因为旋转有PM＝PN，已具备一边一角相等，过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，即可构造出△PDM≌△NCP，进而得PD＝NC，DM＝CP．此时加上ON＝QP，则易证得△OCN≌△QDP，所以OC＝QD．利用∠AOB＝30°，设PD＝NC＝a，则OP＝2a，OD＝a．再设DM＝CP＝x，所以QD＝OC＝OP+PC＝2a+x，MQ＝DM+QD＝2a+2x．由于点M、Q关于点H对称，即点H为MQ中点，故MH＝MQ＝a+x，DH＝MH﹣DM＝a，所以OH＝OD+DH＝a+a＝+1，求得a＝1，故OP＝2．证明过程则把推理过程反过来，以OP＝2为条件，利用构造全等证得ON＝QP．【解答】解：（1）如图1所示为所求．（2）设∠OPM＝α，∵线段PM绕点P顺时针旋转150°得到线段PN∴∠MPN＝150°，PM＝PN∴∠OPN＝∠MPN﹣∠OPM＝150°﹣α∵∠AOB＝30°∴∠OMP＝180°﹣∠AOB﹣∠OPM＝180°﹣30°﹣α＝150°﹣α∴∠OMP＝∠OPN（3）OP＝2时，总有ON＝QP，证明如下：过点N作NC⊥OB于点C，过点P作PD⊥OA于点D，如图2∴∠NCP＝∠PDM＝∠PDQ＝90°∵∠AOB＝30°，OP＝2∴PD＝OP＝1∴OD＝∵OH＝+1∴DH＝OH﹣OD＝1∵∠OMP＝∠OPN∴180°﹣∠OMP＝180°﹣∠OPN即∠PMD＝∠NPC在△PDM与△NCP中∴△PDM≌△NCP（AAS）∴PD＝NC，DM＝CP设DM＝CP＝x，则OC＝OP+PC＝2+x，MH＝MD+DH＝x+1 ∵点M关于点H的对称点为Q∴HQ＝MH＝x+1∴DQ＝DH+HQ＝1+x+1＝2+x∴OC＝DQ在△OCN与△QDP中∴△OCN≌△QDP（SAS）∴ON＝QP18．【分析】（1）由题意画出图形，如图所示；（2）由“SAS”可证△AEC≌△DEF，可得AC＝DF＝AB；（3）由题意可得点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，则两圆的交点为G，由“SSS”可证△ABF≌△DFG，可得∠BAF＝∠FDG＝140°，即可求解．【解答】解：（1）如图所示：（2）AB＝DF，理由如下：∵E是AD的中点，∴AE＝DE，∵C关于点E的对称点为F，∴CE＝EF，又∵∠AEC＝∠FED，∴△AEC≌△DEF（SAS），∴AC＝DF，∵AB＝AC，∴AB＝DF；（3）如图2，连接AF，∵AE＝DE，CE＝EF，∴四边形ACDF是平行四边形，∴∠ACM+∠CAF＝180°，AF＝CD，DF＝AC＝AB，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140°，∵DG＝DC，∴点G在以点D为圆心，DC为半径的圆上，∵FG＝FB，∴点G在以点F为圆心，FB为半径的圆上，∴两圆的交点为G，∵AB＝DF，AF＝DG，FB＝FG，∴△ABF≌△DFG（SSS），∴∠BAF＝∠FDG＝140°，∴∠CDG＝40°，同理可证△ABF≌△DFG'，∴∠BAF＝∠G'DF＝140°，∴∠CDG'＝360°﹣100°﹣140°＝120°，综上所述：∠CDG＝40°或120°．19．【分析】（1）①由余角的性质可求∠CDE＝∠DBE＝25°；②通过证明点A，点C，点B，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE；（2）通过证明点A，点B，点C，点H四点共圆，由垂径定理可得AE＝BE．【解答】解：（1）①∵∠CDB＝90°，CD＝DB，∴∠DBC＝∠DCB＝45°，∴∠DBE＝∠DBC﹣∠ABC＝25°，∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°＝∠CDB，∴∠CDE+∠EDB＝∠EDB+∠ABD＝90°，∴∠CDE＝∠DBE＝25°；②AE＝BE，理由如下：如图1，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点C，点B，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE；（2）不变，理由如下：如图2，延长BD至H，使BD＝DH，连接CH，∵BD＝DH，CD⊥BD，∴CH＝BC，∴∠CHB＝∠CBH＝45°，∴∠A＝∠CHB＝45°，∠HCB＝90°，∴点A，点B，点C，点H四点共圆，∵∠HCB＝90°，∴BH是直径，D是圆心，∵DE⊥AB，∴AE＝BE．20．【分析】（1）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论；（2）过D作DH⊥CB于H，由“AAS”可证△FEC≌△HDC，可得CH＝FC，DH＝EF，可得结论．【解答】解：（1）结论：AC＝EF+FC，理由如下：过D作DH⊥CB于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴AC＝BC＝CH+BH＝FC+EF；（2）依题意补全图形，结论：EF＝FC+AC，理由如下：过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，∵EF⊥CF，∴∠EFC＝∠DHC＝90°，在△FEC和△HDC中，，∴△FEC≌△HDC（AAS），∴CH＝FC，DH＝EF，∵∠DHB＝90°，∠B＝45°，∴DH＝HB＝EF，∴EF＝CH+BC＝FC+AC．。