第六章 实数教学设计6.1 第3课时 平方根

第3课时 平方根1．了解平方根的概念，会用根号表示一个数的平方根；(重点)2．了解开平方与平方是互逆运算，会用开平方运算求非负数的平方根．(难点)一、情境导入填空：(1)3的平方等于9，那么9的算术平方根就是________； (2)25的平方等于425，那么425的算术平方根就是________； (3)展厅的地面为正方形，其面积49平方米，则边长为________米．还有平方等于9，425，49的其他数吗？ 二、合作探究探究点一：平方根的概念及性质【类型一】 求一个数的平方根求下列各数的平方根：(1)12425；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5)81. 解析：把带分数化为假分数，含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．解：(1)∵12425＝4925，(±75)2＝4925，∴12425的平方根为±75，即±12425＝±75； (2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±0.0001＝±0.01；(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±（－4）2＝±4；(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±10－6＝±10－3；(5)∵(±3)2＝9＝81，∴81的平方根是±3.方法总结：正确理解平方根的概念，明确是求哪一个数的平方根．如(5)中是求9的平方根．【类型二】 利用平方根的性质求值一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4，求这个数．解析：因为一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，所以2a ＋1和a －4互为相反数，根据互为相反数的两个数的和为0列方程求解．解：由于一个正数的两个平方根是2a ＋1和a －4，则有2a ＋1＋a －4＝0，即3a －3＝0，解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.方法总结：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数，即它们的和为零．探究点二：开平方及相关运算求下列各式中x 的值：(1)x 2＝361; (2)81x 2－49＝0；。

人教版七年级数学下册教学设计6.1 第3课时《算术平方根和平方根》一. 教材分析本节课的教学内容是算术平方根和平方根。

这是人教版七年级数学下册第六章第一节的一部分，主要介绍了平方根和算术平方根的概念、性质和运算。

这一部分内容是学生学习平方根和算术平方根的基础，对于后续学习二次根式、勾股定理等知识具有重要意义。

教材通过例题和练习题，帮助学生掌握平方根和算术平方根的求法，提高学生的运算能力。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方、平方根的概念，为本节课的学习奠定了基础。

然而，对于算术平方根的概念和求法，部分学生可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，针对学生的实际需求进行有针对性的教学。

三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算方法。

2.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题，提高运算能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和团队合作精神。

四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念及其区别。

2.平方根和算术平方根的求法。

3.运用平方根和算术平方根解决实际问题。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方根和算术平方根的概念，激发学生的学习兴趣。

2.小组讨论法：让学生在小组内讨论平方根和算术平方根的性质和运算方法，培养学生的团队合作精神。

3.案例教学法：通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高运算能力。

4.启发式教学法：引导学生思考问题，培养学生的逻辑思维能力。

六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示平方根和算术平方根的概念、性质和运算方法。

2.练习题：准备一些有关平方根和算术平方根的练习题，用于巩固所学知识。

3.教学工具：准备黑板、粉笔等教学工具。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如正方形的面积公式，引入平方根的概念。

引导学生思考：什么是平方根？如何求一个数的平方根？2.呈现（10分钟）介绍平方根的性质和运算方法，引导学生总结平方根的定义和求法。

第六章实数教材简析本章的内容包括：平方根、立方根、实数．在学习了有理数的基础上,加强与实际的联系,从现实世界中抽象出一种不同于有理数的数,即无理数,开平方运算与开立方运算也是实际中经常用到的两种运算；注意将新旧知识进行联系与类比,数的范围由有理数扩充到实数,与有理数有关的运算法则、运算律、运算顺序在实数范围内都仍然适用．在中考中,本章的考点有平方根、立方根的定义及运算,实数的运算及大小比较等,考查基本概念及基本计算．教学指导【本章重点】平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数的有关概念和运算．【本章难点】对无理数意义的理解、用有理数估计无理数的方法及实数与数轴上点的对应关系．【本章思想方法】1．体会分类的数学思想,如：对实数进行分类．2．掌握分类讨论思想,如：由于一个正数的平方根有两个,且这两个数互为相反数,因此与平方根有关的题目往往需要进行分类讨论．3．掌握转化思想,如：学习了平方根和立方根后,运用转化思想将某些二次方程、三次方程转化为求平方根、立方根的问题求解．4．体会数形结合思想,如：数的范围由有理数扩充到实数,实数与数轴上的点建立了一一对应关系,这样可以通过观察“形”的特点,解答一些关于实数的比较抽象的问题．课时计划6．1平方根3课时6．2立方根1课时6．3实数1课时6．1 平方根第1课时算术平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】1．了解算术平方根的概念,会用根号表示一个数的算术平方根． 2．根据算术平方根的概念求出非负数的算术平方根． 3．了解算术平方根的性质． 【过程与方法】加强概念形成过程的教学,提高学生的思维水平,鼓励学生进行探索和交流,培养他们的创新意识和合作精神．【情感态度与价值观】通过对实际生活中问题的解决,让学生体验数学与生活实际是紧密联系着的,通过探究活动培养动手能力和激发学生学习数学的兴趣．二、重难点目标 【教学重点】 算术平方根的概念． 【教学难点】根据算术平方根的概念正确求出非负数的算术平方根． 教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P40的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地,如果一个正数x 的平方等于a ,即x 2＝a ,那么这个正数x 叫做a 的算术平方根．a 的算术平方根记为a ,读作“根号a ”,a 叫做被开方数.2．规定：0的算术平方根是0.3．算术平方根具有双重非负性：(1)a ≥0；(2)a ≥0. 4．求下列各数的算术平方根： (1)81； (2)0.25； (3)23. 解：(1)9. (2)0.5. (3)23. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生互学) 【例1】求下列各数的算术平方根： (1)64； (2)0.36； (3)214； (4)412－402.【互动探索】(引发学生思考)如何根据算术平方根的定义求非负数的算术平方根？【解答】(1)∵82＝64,∴64的算术平方根是8. (2)∵0.62＝0.36,∴0.36的算术平方根是0.6. (3)∵⎝⎛⎭⎫322＝94＝214,∴214的算术平方根是32. (4)∵412－402＝81,92＝81,∴81＝9. ∵32＝9,∴412－402的算术平方根是3.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)求一个数的算术平方根时,首先要弄清是求哪个数的算术平方根,分清求81与81的算术平方根的不同意义,不要被表面现象迷惑．(2)求一个非负数的算术平方根常借助平方运算,因此熟记常用平方数对求一个数的算术平方根十分有用．活动2 巩固练习(学生独学) 1．5的算术平方根为( A ) A.5 B ．25 C ．±25D ．±52．一个数的算术平方根是34,这个数是( C )A.32 B ．34C.916D ．不能确定3．要切一块面积为0.81 m 2的正方形钢板,它的边长是0.9m. 4.4的算术平方根是 2.5．已知3＋a 的算术平方根是5,求a 的值．解：因为52＝25,所以25的算术平方根是5,即3＋a ＝25,所以a ＝22. 活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】已知x 、y 为有理数,且x －1＋3(y －2)2＝0,求x －y 的值．【互动探索】算术平方根和平方式都具有非负性,即a ≥0,a 2≥0,由几个非负数相加和为0,可得出什么结论？【解答】由题意,得x －1＝0,y －2＝0, 所以x ＝1,y ＝2. 所以x －y ＝1－2＝－1.【互动总结】(学生总结,老师点评)算术平方根、绝对值和平方式都具有非负性,即a ≥0,|a |≥0,a 2≥0,当几个非负数的和为0时,各数均为0.环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评)算术平方根⎩⎨⎧概念：非负数a 的算术平方根记作a性质：双重非负性⎩⎨⎧a ≥0a ≥0练习设计请完成本课时对应练习！第2课时 估算算术平方根教学目标 一、基本目标 【知识与技能】1．会比较两个数的算术平方根的大小．2．会估算一个数的算术平方根的大致范围,掌握估算的方法,形成估算的意识． 3．会用计算器求一个数的算术平方根． 【过程与方法】体验“无限不循环小数”的含义,感受存在着不同于有理数的一类新数． 【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力． 二、重难点目标 【教学重点】夹值法及估计一个(无理)数的大小． 【教学难点】夹值法及估计一个(无理)数的大小的思想． 教学过程环节1 自学提纲,生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P41～P44的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．无限不循环小数是指小数位数无限,且小数部分不循环的小数．实际上,许多正有理数的算术平方根(例如3,5,7)都是无限不循环小数．2．被开方数扩大(或缩小)与它的算术平方根扩大(或缩小)的规律：当被开方数扩大(或缩小)到原来的100倍⎝⎛⎭⎫1100,10000倍⎝⎛⎭⎫110000…时,其算术平方根相应地扩大(或缩小)到原来的10倍⎝⎛⎭⎫110,100倍⎝⎛⎭⎫1100…3．用计算器求一个正有理数的算术平方根的方法：大多数计算器都有键,用它可以求出任意一个正有理数的算术平方根(或其近似值)．先按ON键开机,再按键、“被开方数”、＝,即可显示“算术平方根”．4．与37最接近的整数是(B)A．5B．6C．7D．8环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】通过估算比较下列各组数的大小：(1)5与1.9；(2)6＋12与1.5.【互动探索】(引发学生思考)(1)估算5的大小,或先求1.9的平方,再比较5与1.92的大小；(2)先估算6的大小,再比较6与2的大小,从而进一步比较6＋12与1.5的大小．【解答】(1)(方法一)因为5>4,所以5>4,即5>2,所以5>1.9. (方法二)因为1.92＝3.61,3.61＜5,所以5>1.9.(2)因为6>4,所以6>4,所以6>2,所以6＋12>2＋12＝1.5,即6＋12>1.5.【互动总结】(学生总结,老师点评)比较两个数的大小常用方法有：①作差比较法；②作商比较法；③移因数于根号内,再比较大小；④利用平方法比较无理数的大小等．比较无理数与有理数的大小时要先估算无理数的近似值,再比较它与有理数的大小．活动2巩固练习(学生独学)1．估计5＋1的值,应在(C)A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间2．估算19－2的值(B)A．在1和2之间B．在2和3之间C．在3和4之间D．在4和5之间3．计算：(1)1225；(2)36.42(精确到0.001)；(3)13(精确到0.001)．解：(1)1225＝35.(2)36.42≈6.035.(3)13≈3.606.活动3拓展延伸(学生对学)【例2】全球气候变暖导致一些冰川融化并消失,在冰川消失12年后,一种低等植物苔藓开始在岩石上生长．每个苔藓都会长成近似圆形,苔藓的直径和冰川消失的时间近似地满足如下关系式：d＝7×t－12(t≥12)．其中d代表苔藓的直径,单位是厘米；t代表冰川消失的时间,单位是年．(1)计算冰川消失16年后苔藓的直径；(2)如果测得一些苔藓的直径是35厘米,则冰川约是在多少年前消失的？【互动探索】(1)根据题意可知是求当t＝16时d的值,直接把对应数值代入关系式即可求解；(2)根据题意可知是求当d＝35时t的值,直接把对应数值代入关系式即可求解．【解答】(1)当t＝16时,d＝7×16－12＝7×2＝14.即冰川消失16年后苔藓的直径是14厘米．(2)当d＝35时,即7×t－12＝35,所以t－12＝25,解得t＝37.即冰川约是在37年前消失的．【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查算术平方根的实际应用,注意实际问题中涉及开平方通常取算术平方根．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)1．夹值法及估计一个(无理)数的大小．2．用计算器求一个正数的算术平方根．练习设计请完成本课时对应练习！第3课时平方根教学目标一、基本目标【知识与技能】掌握数的开方的意义、平方根的意义、平方根的表示方法．【过程与方法】通过带领学生探究一个数的平方根,使学生理解数的开方、平方根的概念．【情感态度与价值观】培养学生的探究能力和归纳问题的能力．二、重难点目标 【教学重点】 平方根的概念． 【教学难点】 求一个数的平方根． 教学过程环节1 自学提纲、生成问题 【5 min 阅读】阅读教材P44～P46的内容,完成下面练习． 【3 min 反馈】1．一般地,如果一个数x 的平方等于a ,那么这个数x 就叫做a 的平方根或叫二次方根．也就是说,如果x 2＝a ,那么x 叫做a 的平方根．2．一个正数有两个平方根,且它们互为相反数；0只有一个平方根,它是0本身；负数没有平方根．3．求一个数a 的平方根的运算,叫做开平方.平方与开平方互为逆运算． 4．下列说法不正确的是( C ) A ．－2是2的平方根 B.2是2的平方根 C ．2的平方根是 2 D ．2的算术平方根是 2 5．求下列各数的平方根： 16,0,49,242.解：16的平方根是±4. 0的平方根是0. 49的平方根是±23. 242的平方根是±24. 环节2 合作探究,解决问题 活动1 小组讨论(师生对学) 【例1】求下列各数的平方根： (1)12425； (2)0.0001；(3)(－4)2； (4)81.【互动探索】(引发学生思考)把带分数化为假分数,含有乘方运算先求出它的幂．注意正数有两个互为相反数的平方根．【解答】(1)∵12425＝4925,⎝⎛⎭⎫±752＝4925,∴12425的平方根是±75,即±12425＝±75. (2)∵(±0.01)2＝0.0001,∴0.0001的平方根是±0.01,即±0.0001＝±0.01. (3)∵(±4)2＝(－4)2,∴(－4)2的平方根是±4,即±(－4)2＝±4. (4)∵(±3)2＝9＝81,∴81的平方根是±3.【互动总结】(学生总结,老师点评)正确理解平方根的概念,明确是求哪一个数的平方根．如(4)中就是求9的平方根．【例2】已知一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4,求这个数．【互动探索】(引发学生思考)一个正数的平方根有两个,它们之间有什么关系呢？ 【解答】由于一个正数的两个平方根分别是2a ＋1和a －4,则有2a ＋1＋a －4＝0. 即3a －3＝0,解得a ＝1.所以这个数为(2a ＋1)2＝(2＋1)2＝9.【互动总结】(学生总结,老师点评)一个正数的平方根有两个,它们互为相反数,即它们的和为零．活动2 巩固练习(学生独学)1．关于平方根,下列说法正确的是( B ) A ．任何一个数有两个平方根,并且它们互为相反数 B ．负数没有平方根C ．任何一个数只有一个算术平方根D ．以上都不对2．如果a 、b 分别是16的两个平方根,那么ab ＝－16. 3．若25x 2＝16,则x 的值为±45.4．求下列各数的平方根：(1)196； (2)10－4； (3)144169； (4)3625.解：(1)±14. (2)±10－2. (3)±1213. (4)±95.活动3 拓展延伸(学生对学) 【例3】求下列各式中x 的值． (1)x 2＝361； (2)81x 2－49＝0； (3)(3x －1)2＝(－5)2.【互动探索】上述方程都可以化成一个数或代数式的平方的形式,结合平方根的定义,你能算出x 的值吗？【解答】(1)∵x 2＝361,∴开平方,得x ＝±361＝±19. (2)整理,得x 2＝4981,∴开平方,得x ＝±4981＝±79. (3)∵(3x －1)2＝(－5)2,∴开平方,得3x －1＝±5. 当3x －1＝5时,x ＝2；当3x －1＝－5时,x ＝－43.综上所述,x ＝2或－43.【互动总结】(学生总结,老师点评)利用平方根的定义进行开平方解方程,从而求出未知数的值,一个正数的平方根有两个,它们互为相反数；开平方时,不要漏掉负平方根．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 平方根⎩⎪⎨⎪⎧平方根的概念平方根的性质开平方及相关运算练习设计请完成本课时对应练习！。

人教版七年级数学下册教案6.1 第3课时《算术平方根和平方根》一. 教材分析《算术平方根和平方根》是人教版七年级数学下册第六章第一节的内容。

本节课主要介绍了平方根和算术平方根的概念，以及它们的性质和运算。

通过学习本节课，学生能够理解平方根和算术平方根的概念，掌握它们的性质和运算，并为后续学习二次根式打下基础。

二. 学情分析学生在之前的学习中已经掌握了有理数的乘方，对数的认识，以及一些基本的代数运算。

但是，对于平方根和算术平方根的概念和性质可能还比较陌生。

因此，在教学过程中，需要通过具体例子和实际操作，帮助学生理解和掌握这些概念和性质。

三. 教学目标1.理解平方根和算术平方根的概念。

2.掌握平方根和算术平方根的性质和运算。

3.能够运用平方根和算术平方根解决实际问题。

四. 教学重难点1.平方根和算术平方根的概念。

2.平方根和算术平方根的性质和运算。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。

通过具体例子和实际操作，引导学生主动探索、积极思考，培养学生的动手操作能力和团队协作能力。

六. 教学准备1.教学PPT。

2.练习题。

3.教学道具（如平方根和算术平方根的模型）。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例或数学故事，引出平方根和算术平方根的概念。

例如，讲解勾股定理时，提到直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，从而引出平方根和算术平方根的概念。

2.呈现（10分钟）通过PPT展示平方根和算术平方根的定义，以及它们的性质和运算。

让学生观察和思考，引导他们发现其中的规律。

3.操练（10分钟）让学生分组进行讨论，运用平方根和算术平方根的性质和运算，解决实际问题。

教师巡回指导，解答学生的疑问。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成。

题目难度可以适当调整，以保证大部分学生能够成功。

教师选取部分学生的作业进行点评，指出其中的错误和不足。

5.拓展（10分钟）引导学生运用平方根和算术平方根解决更复杂的问题，如二次方程的求解、实际生活中的测量等。

《平方根》一、教学目标1.经历平方根概念的形成过程，了解平方根的概念，会求某些正数（完全平方数）的平方根.2.经历有关平方根结论的归纳过程，知道正数有两个平方根，它们互为相反数，0的平方根是0，负数没有平方根.二、重点和难点1.重点：平方根的概念.2.难点：归纳有关平方根的结论.三、合作探究（一）基本训练，巩固旧知1.填空：如果一个的平方等于a，那么这个叫做a的算术平方根，a的算术平方根记作 .2.填空：(1)因为1.72＝2.89，所以2.89的算术平方根等于，即 2.89＝；(2)因为1.732＝2.9929，所以3的算术平方根约等于，即3≈ .（二）什么是平方根呢？大家先来思考这么一个问题.（三）如果一个正数的平方等于9，这个正数是多少？如果一个数的平方等于9，这个数是多少？和算术平方根的概念类似，（指准32＝9）我们把3叫做9的平方根，（指准(-3)2＝9）把－3也叫做9的平方根，也就是3和－3是9的平方根（板书：3和－3是9的平方根）. 我们再来看几个例子.（师出示下表）x2 16 36 49 1 4 25x同学们大概已经明白了平方根的意思.平方根的概念与算术平方根的概念是类似的，谁会用一句话概括什么是平方根？平方根：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根.大家把平方根概念默读两遍.（生默读）平方根概念与算术平方根概念只有一点点区别，哪一点点区别？四、精讲精练精讲例1、求下面各数的平方根：(1)100； (2)0.25； (3)0； (4)－4；(1)因为（±10）2＝100），所以100的平方根是＋10和－100的平方是0，正数的平方是正数，负数的平方还是正数，所以任何数的平方都不会等于－这说明什么？从这个例题你能得出什么结论？（稍停片刻）正数有几个平方根？0有几个平方根？负数有几个平方根？小组讨论：正数有平方根（板书：正数有两个平方根）.平方根有什么关系？0的平方根有个，平方根是 .负数平方根.大家把平方根的这三条结论读两遍.精练1.填空：(1)因为（）2＝49，所以49的平方根是；(2)因为（）2＝0，所以0的平方根是；(3)因为（）2＝1.96，所以1.96的平方根是；2.填空：(1)121的平方根是，121的算术平方根是；(2)0.36的平方根是，0.36的算术平方根是；(3) 的平方根是8和－8，的算术平方根是8；(4) 的平方根是35和35，的算术平方根是35.3.判断题：对的画“√”，错的画“×”.(1)0的平方根是0；（）(2)－25的平方根是－5；（）(3)－5的平方是25；（）(4)5是25的一个平方根；（）(5)25的平方根是5；（ ）(6)25的算术平方根是5； （ ）(7)52的平方根是±5； （ ）(8)(-5)2的算术平方根是－5. （ ）五、课堂小结：1、如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根.2、平方根的性质一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身.负数没有平方根.3、平方根的表示一个正数a 的正的平方根用符号2a 来表示，a 叫做被开方数，2叫做根指数，正数a 的负的平方根，用符号“2a -”表示.这两个平方根合起来可以记作“2a ±”.这里，符号“2”读作“二次根号”，2a 读作“二次根号a ”，根指数是2时，通过常将这个2省略不写，如2a 记作a ，读作“根号a ”；2a ±记作a ±，读作“正负根号a ”.平方根第三课时【教学目标】知识与技能了解平方根的概念，会用根号表示正数的平方根； 了解开平方与平方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根过程与方法通过学习平方根，进一步建立数感和符号感，发展抽象思维。

算术平方根一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生刚学完《勾股定理》，通过本章第一节的学习，已具备了对无理数的认识，知道只有有理数是不够的．学生还具备了乘方运算的基础，并且有计算正方形等几何图形面积的技能．学生活动经验基础：在前面的学习过程中，学生已经经历了很多合作学习的过程，具备了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．二、教学任务分析本节课是义务教育课程标准实验教科书人教版七年级(下)第六章《实数》的第一节《平方根》．本节内容计3个课时，本节课是第1课时，主要是算术平方根的概念和性质的教学．课程标准要求，对于数学概念的教学，要关注概念的实际背景与形成过程，力求从学生实际出发，以他们熟悉的问题情景引入学习主题，在关注现实生活的同时，更加关注数学知识内部的挑战性，因此确定本节的教学目标如下：①了解算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根；了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根；了解算术平方根的性质．②在概念形成过程中，让学生体会知识的来源与发展，提高学生的思维能力；在合作交流等活动中，培养他们的合作精神和创新意识．③让学生积极参与教学活动，培养他们对数学的好奇心和求知欲．三、教学过程设计本课时设计六个环节：第一环节：问题情境；第二环节：初步探究；第三环节：深入探究；第四环节：反馈练习；第五环节：学习小结；第六环节：作业布置．本节课教学流程为：第一环节：问题情境方法一：问题导入内容：上节课学习了无理数，了解到无理数产生的问题情境 初步探究 反馈练习 学习小结 作业布置深入探究实际背景和引入的必要性，掌握了无理数的概念，知道有理数和无理数的区别是：有理数是有限小数或无限循环小数，无理数是无限不循环小数．比如上一节课我们做过的：由两个边长为1的小正方形，通过剪一剪，拼一拼，得到一个边长为a 的大的正方形，那么有22=a ，a ＝ ，2是有理数，而a 是无理数．在前面我们学过若a x =2，则a 叫x 的平方，反过来x 叫a 的什么呢？本节课我们一起来学习．方法二：问题导入内容：前面我们学习了勾股定理，请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：=2x ，=2y ，=2z ，=2w ．目的：方法一和二都是带着问题进入到这节课的学习，让学生体会到学习算术平方根的必要性．效果：能表示22=x ，32=y ，42=z ，52=w ；能求得2=z ，但不能求得x ，y ，w 的值．说明：方法一的引入是由上节课“数怎么又不够用了”的例子，起到了承前启后的作用，方法二的引入是由学生学习了第一章“勾股定理”后的应用，说明学习这节课的必要性．相对而言，建议选用方法二．第二环节：初步探究内容1：情境引出新概念22=x ，32=y ，42=z ，52=w ，已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？目的：让学生体验概念形成过程，感受到概念引入的必要性．效果：学生可以估算出x ，y 是1到2之间的数，w 是2到3之间的数但无法表示x ，y ，w ，从而激发学生继续往下学习的兴趣，进而引入新的运算——开方．说明：无论是用方法一引入，还是方法二引入，都是激发学生继续往下学习的兴趣，都可以提出同样的问题“已知幂和指数，求底数x ，你能求出来吗？”内容2：在上面思考的基础上，明晰概念：一般地，如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，记为“a ”，读作“根号a ”．特别地，我们规定0的算术平方根是0，即00=．目的：对算术平方根概念的认识．效果：了解算术平方根的概念，知道平方运算和求正数的算术平方根是互逆的．内容3：简单运用 巩固概念例1 求下列各数的算术平方根：(1) 900； (2) 1； (3) 6449； (4) 14． 目的：体验求一个正数的算术平方根的过程，利用平方运算求一个正数的算术平方根的方法，让学生明白有的正数的算术平方根可以开出来，有的正数的算术平方根只能用根号表示，如14的算术平方根是14．效果：会求一个正数的算术平方根，更进一步了解算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，负数没有算术平方根．答案：解：(1)因为900302=，所以900的算术平方根是30，即30900=；(2)因为112=，所以1的算术平方根是1，即11=；(3)因为6449)87(2=，所以 6449的算术平方根是87， 即876449=； (4)14的算术平方根是14．内容4：回解课堂引入问题22=x ，32=y ，52=w ，那么2=x ，3=y ，5=w ．第三环节：深入探究内容1：例2 自由下落物体的高度h (米)与下落时间t (秒)的关系为29.4t h =．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？目的：用算术平方根的知识解决实际问题．效果：学生多能利用等式的性质将29.4t h =进行变形，再用求算术平方根的方法求得题目的解．解：将6.19=h 代入公式29.4t h =，得42=t ，所以正数24==t (秒)． 即铁球到达地面需要2秒． 说明：强调实际问题t 是正数，用的是算术平方根，此题是为得出下面的结论作铺垫的． 内容2：观察我们刚才求出的算术平方根有什么特点．目的：让学生认识到算术平方根定义中的两层含义：a 中的a 是一个非负数，a 的算术平方根a 也是一个非负数，负数没有算术平方根．这也是算术平方根的性质——双重非负性．效果：再一次深入地认识算术平方根的概念，明确只有非负数才有算术平方根．第四环节：反馈练习一、填空题：1．若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；2．9的算术平方根是 ；3．2)32(的算术平方根是 ； 4．若22=+m ，则=+2)2(m ．二、求下列各数的算术平方根：36，144121，15，0.64，410-，225，0)65(． 三、如图，从帐篷支撑竿AB 的顶部A 向地面拉一根绳子AC 固定帐篷．若绳子的长度为5.5米，地面固定点C 到帐篷支撑竿底部B 的距离是4.5米，则帐篷支撑竿的高是多少米？答案：一、1．7；2．3；3．32；4．16；二、6；1211；15；0.8；210-；15；1． 三、解：由题意得 AC ＝5.5米，BC ＝4.5米，∠ABC ＝90°，在R t △ABC 中，由勾股定理得105.45.52222=-=-=BC AC AB (米)．所以帐篷支撑竿的高是10米．目的：旨在检测学生对算术平方根的概念和性质的掌握情况，以便根据学生情况调整教学进程.效果：练习注意了问题的梯度性，由浅入深，一步步加深对算术平方根的概念以及性质的认识.对学生的回答，教师要给予评价和点评．第五环节：学习小结内容：这节课学习的算术平方根是本章的基本概念，是为以后的学习做铺垫的．通过这节课的学习，我们要掌握以下的内容：(1)算术平方根的概念，式子a 中的双重非负性：一是a ≥0，二是a ≥0．(2)算术平方根的性质：一个正数的算术平方根是一个正数；0的算术平方根是0；负数没有算术平方根．(3)求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．目的：依照本节课的教学目标引导学生自己小结本节课的知识要点，强化算术平方根的概念和性质．第六环节：作业布置习题2.3四、教学设计反思1．细讲概念、强化训练要想让学生正确、牢固地树立起算术平方根的概念，需要由浅入深、不断深化的过程．概念是由具体到抽象、由特殊到一般，经过分析、综合去掉非本质特征，保持本质属性而形成的．概念的形成过程也是思维过程，加强概念形成过程的教学，对提高学生的思维水平是很有必要的．概念教学过程中要做到：讲清概念，加强训练，逐步深化．“讲清概念”就是通过具体实例揭露算术平方根的本质特征．算术平方根的本质特征就是定义中指出的：“如果一个正数x 的平方等于a ，即a x =2，那么这个正数x 就叫做a 的算术平方根，”的“正数x ”，即被开方数是正的，由平方的意义，a 也是正数，因此算术平方根也必须是正的．当然零的算术平方根是零.“加强训练”不但指要加强求算术平方根的基本训练，使练习题达到一定的质和量，也包括书写格式的训练，如在求正数的算术平方根时，不是直接写出算术平方根，而是通过平方运算来求算术平方根，非平方数的算术平方根只能用根号来表示.“逐步深化”是指利用算术平方根的概念和性质的题目按不同的“梯度”组成题组，在教学的不同阶段按由浅入深的原则加以使用.2．发展思维、适度拓展在教学中，根据学生的实际情况，在学有余力的情况下，可以对a的双重非负性的知识进行适当的拓展.。

第3课时平方根教学目标1、掌握平方根的概念，明确平方根和算术平方根之间的联系和区别；2、能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开平方运算和乘方运算之间的互逆关系；3、培养学生的探究能力和归纳问题的能力．教学难点平方根和算术平方根的联系与区别知识重点平方根的概念和求数的平方根。

教学过程（师生活动）设计理念思考归纳导入概念如果一个数的平方等于9，这个数是多少？学生思考并讨论，使学生明白这样的数有两个，它们是3和－3.受前面知识的影响学生可能不易想到－3这个数，这时可提醒学生，这里的这个数可以是负数．注意()932=-中括号的作用．又如：2542=x，则x等于多少呢？使学生完成课本165页的填表练习．给出平方根的概念：如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根．即：如果2x=a，那么x叫做a的平方根．求一个数的平方根的运算，叫做开平方．例如：±3的平方等于9，9的平方根是±3，所以平方与开平方互为逆运算．观察：课本中的图13.1-2.图10.1-2中的两个图描述了平方与开平方互为逆运算的运算过程，揭示了开平方运算的本质．让学生体验平方和开平方的互逆关系，并根据这个关系说出1,4,9的平方根．注意：这阶段主要是让学生建立平方根的概念，先不引入平方根的符号，给出的数是完全平方数．例1：（课本的例4）。

求下列各数的平方根。

（1）100 （2）169（3）0.25建议教师要规范书写格式。

这个思考题是引入平方根概念的切入点，要让学生有充分的时间进行思考和体验．在等式中求出x的值，为填表做准备．通过填表中的x的值，进一步加深时“两个互为相反数的平方等于同一个数”的印象，为平方根的引入做准备．教学中可以引导学生通过查阅资料等方式，了解平方根产生发展的过程．（通常称为平方根．在研究有关n次方根的问题时，为使各次方根的说法协调起见，常采用二次方根的说法3表示＋3和一3两个数．这种写法学生不太习惯，在以后的教学中宜不断提到。

6.1.1《平方根》一、教材分析1、教材的地位与作用：《平方根》是上海科学技术出版社的第6章第一节的内容。

本节主要学习平方根和算术平方根的概念和性质，在运算方面，引入了开方运算，使学生掌握的代数运算由原来的加、减、乘、除、乘方五种扩展到六种，建立起较完善的代数运算体系。

本节内容既是对前面所学知识的深化和发展，也是今后学习二次根式、实数的预备知识，还是用直接开平方法、公式法解一元二次方程的重要依据。

因此，本节处于非常重要的地位，起着承前启后的作用。

2、教材的处理：立足教材，依据学情对教材进行有机整合。

二、教学目标【知识与技能】掌握平方根与算术平方根的概念，能通过开方运算求一个非负数的平方根及算术平方根，理解平方与开平方互为逆运算。

【过程与方法】通过对平方根算术平方根概念及性质的探究，渗透分类讨论数学思想方法，提高数学探究能力和归纳表达能力。

【情感、态度与价值观】鼓励学生积极主动地参与教与学的整个过程，激发学生求知的欲望，增加学生学习数学的兴趣与信心。

三、教学重、难点重点：平方根与算术平方根的概念和性质。

难点：平方根与算术平方根的区别与联系。

四、教学方法这是一节概念教学课，本节课的基本环节是概念的提出——概念的生成——概念的深化——概念的辨析最后是巩固与提升，各环节环环相扣、层层深入，使学生对概念有了一个清晰、全面、完整的认识。

五、教学过程设计（一）温故知新，引入新课1.比一比，看谁算得快1）.练习1 计算：⑴23 ⑵221）（ ⑶ 221⎪⎭⎫ ⎝⎛- ⑷ 202）.练习2 填空： ⑴9) (2= 41) ( (2)2= 0) ( (3)2= 师生活动：学生分组比赛，教师巡视指导，比一比哪一组算得又快又好。

设计意图：练习1、2，显然是互逆运算，通过计算，让学生熟悉平方的运算，同时为新概念的引入埋下伏笔。

第一个练习应该没问题，第二个练习，学生有可能会漏掉负值，一旦出错，及时纠正。

2.要做一张边长是3分米的方桌面，它的面积是多少？（这个问题实际上就是求：3的平方等于多少,这是已知底数和指数，求幂的运算。