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材料力学第二章答案2.1 试求图示各杆1122331123340kN 10kN 20kN40kN30kN 30kN11223340kN 30kN F 4F1233（a ）kN 401-=N F ，kN 102-=N F ，kN 403-=N F ；（b ）kN 301-=N F ，kN 102=N F ，kN 203=N F （c ）kN 501=N F ，kN 102=N F ，kN 203-=N F ； （d ）01=N F ，4F 2=N F ，3F 3=N FF N F N F N F N2.2 图示直杆截面为正方形，边长a ，杆长l ，在考虑杆本身自重（重量密度为γ）时求1-1和2-2截面上的轴力。
解：221414la a l F N γγ-=⋅⋅-=；F la F a l F N --=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅-=2224343γγ2.3 图示短柱受外力6001=F kN 及8002=F kN材料的弹性模量E =200GPa 解：kN F N 6001-=，()F N 14008006002-=+-=mmEA l F EA l F L L L N N 91.055.036.050102003001060023322211121-=--=+⨯⨯⨯⨯-=+=∆+∆=∆ 1.1219801014002405010600212322223111=-=⨯-==-=⨯-==σσσσ；；MPa A F MPa A F N N2.4 图示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷F 算截面1-1和截面2-2上的正应力。
已知：F mm 20=b ，mm 100=b ，mm 4=t 。
解：MPa bt F A F N 17542010143111=⨯⨯===σ ()()MPa t b b F A F N 35041020101430222=⨯-⨯=-==σ2.5 正方形结构受力如图，各杆横截面积2mm 2000=A ，求各杆的正应力。
第二章杆件的内力.截面法一、基本要求1．了解轴向拉伸与压缩、扭转、弯曲的概念；2．掌握用截面法计算基本变形杆件截面上的内力；3．熟练掌握基本变形杆件内力图的绘制方法。
表示轴力沿杆件轴线变化规律的图线。
该图一般以平行于杆件轴线的横坐标x轴表示横截面位置，纵轴表示对应横截面上轴力的大小。
正的轴力画在x轴上方，负的轴力画在x轴下方。
当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min）时，外力偶矩为的变形，则该力或力偶在截面上产生正的弯矩，反之为负的弯矩（上挑为正，下压为负）。
4）剪力方程和弯矩方程一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置不同而变化。
若以坐标x 表示横截面在梁轴线上的位置，则横截面上的剪力和弯矩可以表示为x 的函数，即)()(S S x M M x F F ==上述函数表达式称为梁的剪力方程和弯矩方程。
5）剪力图和弯矩图为了直观地表达剪力F S 和弯矩M 沿梁轴线的变化规律，以平行于梁轴线的横坐标x 表示横截面的位置，以纵坐标按适当的比例表示响应横截面上的剪力和弯矩，所绘出的图形分别称为剪力图和弯矩图。
剪力图和弯矩图的绘制方法有以下两种：（1）剪力、弯矩方程法：即根据剪力方程和弯矩方程作图。
其步骤为：第一，求支座反力。
第二，根据截荷情况分段列出F S (x )和M (x )。
在集中力（包括支座反力）、集中力偶和分布载荷的起止点处，剪力方程和弯矩方程可能发生变化，所以这些点均为剪力方程和弯矩方程的分段点。
第三，求控制截面内力，作F S 、M 图。
一般每段的两个端点截面为控制截面。
在有均布载荷的段内，F S =0的截面处弯矩为极值，也作为控制截面求出其弯矩值。
将控制截面的内力值标在的相应位置处。
分段点之间的图形可根据剪力方程和弯矩方程绘出。
并注明ma xma xMF S、的数值。
（2）微分关系法：即利用载荷集度、剪力与弯矩之间的关系绘制剪力图和弯矩图。
载荷集度q （x ）、剪力F S （x ）与弯矩M （x ）之间的关系为:)()(S x q dxx dF = )()(S x F dxx dM = )()()(S 22x q dx x dF dxx M d == 根据上述微分关系，由梁上载荷的变化即可推知剪力图和弯矩图的形状。
2—1试求图示各杆1—1和2—2横截面上的轴力,并作轴力图.（a）解：；；（b）解：；；(c）解：；。
(d)解：。
2—2 试求图示等直杆横截面1—1，2—2和3-3上的轴力,并作轴力图。
若横截面面积，试求各横截面上的应力。
解：返回2-3试求图示阶梯状直杆横截面1—1,2—2和3—3上的轴力,并作轴力图。
若横截面面积，，，并求各横截面上的应力。
解：返回2-4 图示一混合屋架结构的计算简图。
屋架的上弦用钢筋混凝土制成。
下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成,其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。
已知屋面承受集度为的竖直均布荷载。
试求拉杆AE和EG横截面上的应力。
解：=1）求内力取I-I分离体得（拉）取节点E为分离体，故(拉）2）求应力75×8等边角钢的面积A=11。
5 cm2（拉)（拉)2-5（2-6）图示拉杆承受轴向拉力，杆的横截面面积。
如以表示斜截面与横截面的夹角，试求当，30，45，60,90时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向.解：2-6（2—8) 一木桩柱受力如图所示。
柱的横截面为边长200mm的正方形,材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E=10 GPa。
如不计柱的自重，试求：(1）作轴力图;（2）各段柱横截面上的应力；（3）各段柱的纵向线应变；（4)柱的总变形.解：（压)（压)返回2—7（2—9）一根直径、长的圆截面杆，承受轴向拉力,其伸长为。
试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量E。
解：2—8（2-11)受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图所示。
已知该杆材料的弹性常数为E，，试求C与D两点间的距离改变量。
解：横截面上的线应变相同因此返回2—9(2—12) 图示结构中,AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E=210GPa，已知,，，。
试求C点的水平位移和铅垂位移。
解:(1）受力图（a），.(2）变形协调图(b）因，故=（向下）（向下）为保证，点A移至,由图中几何关系知；2—10(2-15）图示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。
材料力学第二章答案2.1 试求图示各杆1122331123340kN 10kN 20kN40kN30kN 30kN11223340kN 30kN F 4F1233（a ）kN 401-=N F ，kN 102-=N F ，kN 403-=N F ；（b ）kN 301-=N F ，kN 102=N F ，kN 203=N F （c ）kN 501=N F ，kN 102=N F ，kN 203-=N F ； （d ）01=N F ，4F 2=N F ，3F 3=N FF N F N F N F N2.2 图示直杆截面为正方形，边长a ，杆长l ，在考虑杆本身自重（重量密度为γ）时求1-1和2-2截面上的轴力。
解：221414la a l F N γγ-=⋅⋅-=；F la F a l F N --=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⋅-=2224343γγ2.3 图示短柱受外力6001=F kN 及8002=F kN材料的弹性模量E =200GPa 解：kN F N 6001-=，()F N 14008006002-=+-=mmEA l F EA l F L L L N N 91.055.036.050102003001060023322211121-=--=+⨯⨯⨯⨯-=+=∆+∆=∆ 1.1219801014002405010600212322223111=-=⨯-==-=⨯-==σσσσ；；MPa A F MPa A F N N2.4 图示中段开槽的杆件，两端受轴向载荷F 算截面1-1和截面2-2上的正应力。
已知：F mm 20=b ，mm 100=b ，mm 4=t 。
解：MPa bt F A F N 17542010143111=⨯⨯===σ ()()MPa t b b F A F N 35041020101430222=⨯-⨯=-==σ2.5 正方形结构受力如图，各杆横截面积2mm 2000=A ，求各杆的正应力。
解：F F F F F F F N N N N N =-====5432122； MPaA F MPaA F 0.25200010507.172000105022223534321=⨯==-=⨯⋅-=-====σσσσσ 2.6 等截面杆的横截面面积为A ＝5cm 2，受轴向拉力F 作用。
如图示杆沿斜截面被截开，若该截面上正应力ασ＝120MPa ，切应力ατ＝40MPa ，求F 力的大小和斜截面的角度。
解：()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⨯===⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫====--kN N A F A FAF 7.667.6666644.18cos 500120cos 44.1831tan tan cos sin 2sin 21cos cos 221122οοασσταααασταασσααααα2.7 如图刹车装置，试计算活塞杆的压应力。
解：N F N 247550275450-=⨯-=MPa A F N 5.874/624752=⨯==πσ2.8 图示钢杆，F =20kN 。
设GPa 200=E ，试求杆的伸长量。
解：mml A A E Fl EA l F EA l F L L L N N 92.0283.0637.030420410200200010201122332122211121=+=⎪⎭⎫⎝⎛⨯+⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=+=∆+∆=∆ππ2.9 等直杆截面积为A ，弹性模量为E 。
试绘制轴力图，并求D 端的位移。
解：EAFlEA Fl EA Fl EA Fl l l l l DC BC ABD A D 3333=+-=∆+∆+∆=∆=∆2.10 图示简单杆系中，圆截面杆AB 与AC 的直径分别为1d =215mm d =，F =35kN ，GPa 210=E 。
求A 点的垂直位移。
解：⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-=∑∑030cos 45cos 0030sin 45sin 02121F F F F F F F N N yN N x οοοο，， f 6mmf 202000f 30A B C D①②③④⑤αBC D A 2F 2F F N AB F45°30°1m 0.8m31262221+=+=FF F F N N ， 两杆的功：()()()()22222112222222121222221121324322431244622422d E l F d E l F d El F d El F EA l F EA l F V N N ππππε+++=+++=+=外力做的功：A Fv W 21=由功能互等定理， ()()()()()()mmdE Fl d E Fl v vF W dE lF d E l F V A A 37.1809.0558.015102103216001035812102103210002103543283242132432223323322221122222112=+=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+++=⇒⨯==+++=ππππππε2.11 图示简单杆系中，圆截面杆AB 与AC 的直径分别为d 1=20mm 、d 2=24mm ，kN 5=F ，200GPa E =。
求A 点的垂直位移。
解：⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=∑∑030sin 45sin 0030cos 45cos 02121F F F F F F F N N y N N x οοοο，， F F F F N N 31231621+-=+=， 两杆的功：()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=+⨯++⨯=+=2122222212222211213423313312243122622A A E aF EA a F EA a F EA l F EA l F V N N ε外力做的功：A Fv W 21=由功能互等定理，()W Fv A A E aF V A ==⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=213423312122ε ()()mm A A E Fav A 25.03241620212311020020005000234233122223212=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++=ππ2.12 一直径为mm 15，标距为mm 200的圆截面钢杆，在比例极限内进行拉伸试验，当轴向荷载从零开始缓慢地增加到kN 4.58时，杆伸长了mm 9.0，直径缩小了mm 022.0，试确定材料的弹性模量E 、泊松比μ。
45°30°2mABCFAF解：GPa MPa l A Fl l l A F E 4.732.734399.015200584004//2==⨯⨯⨯⨯=∆=∆==πεσ 33.09.015200022.0//=⨯⨯=∆∆=∆∆='=l d dl l l d d εεμ2.13 某拉伸试验机的结构示意图如图所示。
设试验机的CD 杆与试样AB 材料同为低碳钢，其MPa 200=p σ，MPa 240=S σ，MPa 400=b σ。
试验机最大拉力为kN 100。
（1） 用这一试验机作拉断试验时，试样直径最大可达多大？（2） 若设计时取试验机的安全因数2=n ，则CD 杆的横截面面积为多少？（3） 若试样直径mm 10=d ，今欲测弹性模量E ，则所加载荷最大不能超过多少？ 解：（1）利用材料拉断条件，材料被拉断的最小 应力b d Fσπσ≥=24mm Fd b8.1740010100443=⨯⨯⨯=≤ππσ故，作拉断试验时，试样直径最大可达17.8mm 。
（2）利用正常安全工作条件，[]22333.833.833240101002cm mm F n A n A F S S ==⨯⨯=≥⇒=≤=σσσσ（3）利用线弹性变形范围条件，试件的最大应力不应超过弹性极限，即kN N d F d F A F p p 7.151********10200410442222==⨯⨯=⨯⨯=≤⇒≤==ππσπσπσ2.14 图示简单支架，AB 和BC 两杆材料相同，材料的拉伸许用应力和压缩许用应力相等，均为[]σ。
为使支架使用的材料最省，求夹角α。
解：⎪⎩⎪⎨⎧=-==+-=∑∑0sin 00cos 0121W F F F F F N yN N x αα，，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒ααtan sin 21W F W F N N [][][][]⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥⇒⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫≤==≤==ασασσασσασtan sin tan sin 2122221111W A W A A W A F A W A F N N [][]ασαασtan cos sin 2211WLWL l A l A V +=+= ()[][]()[]ο74.542tan 0cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos 222222222=⇒=⇒=--=-+-=αααασααασαασαααWL WL WL d dV2.15 刚性梁AB 用两根钢杆AC 和BD 悬挂，受铅直力kN 100=F 作用。
已知钢杆AC 和BD 的直径分别为mm 251=d 和mm 182=d ，钢的许用应力[]MPa 170=σ，弹性模量GPa 210=E 。
（1）试校核钢杆的强度，并计算A 、B 两点的铅直位移A ∆、B ∆。
解：321F F N =，32FF N =[]σππσ≤=⨯⨯⨯⨯===MPa d F A F N 8.135253101008382321111 AB CA 12CαBLA BC[]σππσ≤=⨯⨯⨯⨯===MPa d F A F N 0.131183101004342322222 mm d E Fl EA Fl EA l F l N Ac A 62.1251021032500101008383223321111=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====∆=∆ππ mm d E Fl EA Fl EA l F l N BD B 56.118102103250010100434323322122=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯====∆=∆ππ2.16 一拱由刚性块AB 、BC 和拉杆AC 组成，受均布载荷q =90kN/m 。
若m 12=R ，拉杆的许用应力[]MPa 150=σ，试设计拉杆的直径d 。
解：由对称性，qR F YC =∑=0B M ，R F R F qR YC N =+221kN 54012902121=⨯⨯==⇒qR F N[][][]mmF F d d F A F NNN N 7.6715054000044442=⨯⨯==≥⇒≤==πσπσπσπσ取整，[]mm d 68=2.17 图示结构中，钢索BC 由一组直径d =2mm 的钢丝组成。
