2019版高考数学一轮复习题组训练第12章 第1讲随机事件的概率(含最新模拟题) Word版含答案

典例在线抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A 为“出现奇数点”，事件B 为“出现2点”，已知()()11,26P A P B ==，则事件“出现奇数点或2点”的概率是__________． 【参考答案】23【解题必备】本题主要考查互斥事件的概率公式，属于简单题.解答这类概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.学霸推荐1．济南市某公交线路某区间内共设置四个站点（如图），分别记为，现有甲、乙两人同时从站点上车，且他们中的每个人在站点下车是等可能的.则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为A ．B ．C ．D ．2．下列说法正确的是A．某厂一批产品的次品率为110，则任意抽取其中10件产品一定会发现一件次品B．气象部门预报明天下雨的概率是90%，说明明天该地区90%的地方要下雨，其余10%的地方不会下雨C．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，那么前9个病人都没有治愈，第10个人就一定能治愈D．掷一枚硬币，连续出现5次正面向上，第六次出现反面向上的概率与正面向上的概率仍然都为0.5 3．在检测一批相同规格共500 kg航空用耐热垫片的品质时，随机抽取了280片，检测到有5片非优质品，则这批垫片中非优质品约为A．B．C．D．1．【答案】A【名师点睛】本题主要考查互斥事件、对立事件及独立事件的概率，属于基础题.解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.2．【答案】D3．【答案】B【解析】由题意可得，这批垫片中非优质品约为：，故选.。

§12.1随机事件的概率考试要求1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义以及频率与概率的区别.2.理解事件间的关系与运算．知识梳理1．事件的相关概念2．频数、频率和概率(1)频数、频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝nA n 为事件A 出现的频率．(2)概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率f n (A )稳定在某个常数上，把这个常数记作P (A )，称为事件A 的概率．3．事件的关系与运算名称条件结论符号表示包含关系A 发生⇒B 发生事件B 包含事件A (事件A 包含于事件B )B ⊇A (或A ⊆B )相等关系若B ⊇A 且A ⊇B 事件A 与事件B 相等A ＝B 并(和)事件A 发生或B 发生事件A 与事件B 的并事件(或和事件)A ∪B (或A ＋B )交(积)事件A 发生且B 发生事件A 与事件B 的交事件(或积事件)A ∩B (或AB )互斥事件A∩B为不可能事件事件A与事件B互斥A∩B＝∅对立事件A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件事件A与事件B互为对立事件A∩B＝∅，P(A∪B)＝1常用结论1．当随机事件A，B互斥时，不一定对立；当随机事件A，B对立时，一定互斥．也即两事件互斥是对立的必要不充分条件．2．随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中，事件A发生的频率逐渐稳定于事件A发生的概率．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)必然事件一定发生．(√)(2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(√)(3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(×)(4)若A∪B是必然事件，则A与B是对立事件．(×)教材改编题1．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是()A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．只有一次中靶D．两次都不中靶答案D解析“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”．2．把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________．答案0.5解析掷一次硬币正面朝上的概率是0.5.3．先后两次抛掷同一枚硬币，若正面向上记为1；若反面向上，则记为0，则这个试验有________个基本事件．答案4解析这个试验的基本事件为(1,1)，(1,0)，(0,1)，(0,0)，共4个.题型一随机事件与基本事件个数例1(1)在1,2,3，…，10这十个数字中，任取三个不同的数字，那么“这三个数字的和大于5”这一事件是()A．必然事件B．不可能事件C．随机事件D．以上选项均有可能答案A解析从1,2,3，…，10这十个数字中任取三个不同的数字，那么这三个数字和的最小值为1＋2＋3＝6，∴事件“这三个数字的和大于5”一定会发生，∴由必然事件的定义可以得知该事件是必然事件．(2)袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现在有放回地随机摸3次，每次摸取一个，观察摸出球的颜色，则此随机试验的基本事件个数为()A．5B．6C．7D．8答案D解析因为是有放回地随机摸3次，所以随机试验的基本事件有(红，红，红)，(红，红，黑)，(红，黑，红)，(红，黑，黑)，(黑，红，红)，(黑，红，黑)，(黑，黑，红)，(黑，黑，黑)共8个．教师备选一只口袋装有除颜色外，形状、大小等完全相同的2个白球，3个黑球，4个红球，从中分两次依次取两个球．(1)写出这个试验的基本事件；(2)“至少有1个白球”这一事件包含哪几个基本事件？解(1)这个试验的基本事件有(白，白)，(黑，黑)，(红，红)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)，(黑，红)，(红，黑)．(2)“至少有1个白球”这一事件包含以下5个基本事件：(白，白)，(白，黑)，(白，红)，(黑，白)，(红，白)．思维升华确定基本事件个数的方法(1)必须明确事件发生的条件．(2)根据题意，按一定的次序列出问题的答案．特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．跟踪训练1(1)下列说法错误的是()A．任一事件的概率总在[0,1]内B．不可能事件的概率一定为0C．必然事件的概率一定为1D．概率是随机的，在试验前不能确定答案D解析任一事件的概率总在[0,1]内，不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，概率是客观存在的，是一个确定值．(2)同时抛掷两枚完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件的个数是()A．3B．4C．5D．6答案D解析事件A包含(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个基本事件．题型二事件的关系与运算例2(1)某人打靶时连续射击两次，设事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，给出下列说法：①A⊆B；②A∩B＝∅；③A∪B＝“至少一次中靶”；④A与B互为对立事件．其中正确的是()A．①②B．②③C．③④D．①④答案B解析事件A＝“只有一次中靶”，B＝“两次都中靶”，所以A，B是互斥但不是对立事件，所以①④错误，②正确．A∪B＝“至少一次中靶”，③正确．(2)将颜色分别为红、绿、白、蓝的4个小球随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人一个，则()A．事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”是互斥不对立事件B．事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”是对立事件C．事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”的对立事件是“丙分得白球，丁分得红球”D．当事件“甲分得红球”的对立事件发生时，事件“乙分得红球”发生的概率是13答案D解析事件“甲分得红球”与事件“乙分得白球”可以同时发生，不是互斥事件，A错误；事件“甲分得红球”与事件“乙分得红球”不能同时发生，是互斥事件，除了甲分得红球或者乙分得红球以外，丙或者丁也可以分得红球，B错误；事件“甲分得绿球，乙分得蓝球”与事件“丙分得白球，丁分得红球”可以同时发生，不是对立事件，C错误；事件“甲分得红球”的对立事件是“甲没有分得红球”，因此乙、丙、丁三人中有一个人分得红球，事件“乙分得红球”发生的概率是13，D正确．教师备选1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：C i＝“点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是()A．C1与C2对立B．D1与D2互斥C．D3⊆F D．E⊇(D1∩D2)答案C解析对于A，C1＝“点数为1”，C2＝“点数为2”，C1与C2互斥但不对立，故选项A不正确；对于B，D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，当出现的点是2时，D1与D2同时发生，所以D1与D2不互斥，故选项B不正确；对于C，D3＝“点数大于5”表示出现6点，F＝“点数为偶数”，所以D3发生F一定发生，所以D3⊆F，故选项C正确；对于D，D1∩D2表示两个事件同时发生，即出现2点，E＝“点数为奇数”，所以D1∩D2发生，事件E不发生，所以E⊇(D1∩D2)不正确，故选项D不正确．2．从1至9这9个自然数中任取两个，有如下随机事件：A＝“恰有一个偶数”；B＝“恰有一个奇数”；C＝“至少有一个是奇数”；D＝“两个数都是偶数”；E＝“至多有一个奇数”．下列结论不正确的是()A．A＝B B．B⊆CC．D∩E＝∅D．C∩D＝∅，C∪D＝Ω答案C解析事件A，B都指的是一奇一偶，故A正确；至少有一个奇数，指两个数是一奇一偶，或是两个奇数，所以B⊆C，故B正确；至多有一个奇数指一奇一偶，或是两偶，此时事件D，E有公共事件，故C错误；此时C，D是对立事件，所以C∩D＝∅，C∪D＝Ω.思维升华事件的关系运算策略(1)互斥事件是不可能同时发生的事件，但也可以同时不发生．(2)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考虑同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可列出全部的试验结果进行分析．也可类比集合的关系和运用Venn图分析事件．跟踪训练2(1)(2022·长春模拟)口袋中装有3个红球和4个黑球，每个球编有不同的号码，现从中取出3个球，则互斥而不对立的事件是()A．至少有1个红球与至少有1个黑球B．至少有1个红球与都是黑球C．至少有1个红球与至多有1个黑球D．恰有1个红球与恰有2个红球答案D解析对于A，不互斥，如取出2个红球和1个黑球，与至少有1个黑球不是互斥事件，所以A不符合题意；对于B，至少有1个红球与都是黑球不能同时发生，且必有其中1个发生．所以为互斥事件，且为对立事件，所以B不符合题意；对于C，不互斥．如取出2个红球和1个黑球，与至多有1个黑球不是互斥事件，所以C不符合题意；对于D，恰有1个红球与恰有2个红球不能同时发生，所以为互斥事件，但不对立，如还有3个红球．(2)抛掷一枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：A i＝“向上的点数为i”，其中i＝1,2,3,4,5,6，B＝“向上的点数为偶数”，则下列说法正确的是()A.A1⊆B B．A2＋B＝ΩC．A3与B互斥D．A4与B对立答案C解析对于A，A1＝{2,3,4,5,6}，B＝{2,4,6}，∴B⊆A1，故A错误；对于B，A2＋B＝{2}∪{2,4,6}＝{2,4,6}≠Ω，故B错误；对于C，A3与B不能同时发生，是互斥事件，故C正确；对于D，A4＝{4}，B＝{1,3,5}，A4与B是互斥但不对立事件，故D错误．题型三频率与概率例3某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：最高气温[10，15)[15，20)[20，25)[25，30)[30，35)[35，40]天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率．(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率．解(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表中数据可知，最高气温低于25的频率为2＋16＋3690＝0.6.所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，若最高气温低于20，则Y＝200×6＋(450－200)×2－450×4＝－100；若最高气温位于区间[20,25)，则Y＝300×6＋(450－300)×2－450×4＝300；若最高气温不低于25，则Y＝450×(6－4)＝900，所以利润Y的所有可能值为－100,300,900.Y大于零当且仅当最高气温不低于20，由表格数据知，最高气温不低于20的频率为36＋25＋7＋490＝0.8.因此Y大于零的概率的估计值为0.8.教师备选某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数01234≥5保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；(2)记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”，求P(B)的估计值；(3)求续保人本年度平均保费的估计值．解(1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50200＝0.55，故P(A)的估计值为0.55.(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30200＝0.3，故P (B )的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85a a 1.25a 1.5a 1.75a 2a 频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.1925a .因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a .思维升华(1)概率与频率的关系(2)随机事件概率的求法跟踪训练3某河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量Y (单位：万千瓦时)与该河上游在六月份的降雨量X (单位：毫米)有关．据统计，当X ＝70时，Y ＝460；X 每增加10，Y 增加5.已知近20年X 的值为140,110,160,70,200,160,140,160,220,200,110,160,160,200,140,110,160,220,140,160.(1)完成如下的频率分布表：近20年六月份降雨量频率分布表降雨量70110140160200220频率120420220(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，求今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率．解(1)在所给数据中，降雨量为110毫米的有3个，为160毫米的有7个，为200毫米的有3个．故近20年六月份降雨量频率分布表为降雨量70110140160200220频率120320420720320220(2)根据题意，Y ＝460＋X －7010×5＝X2＋425，故P (“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时”)＝P (Y <490或Y >530)＝P (X <130或X >210)＝P (X ＝70)＋P (X ＝110)＋P (X ＝220)＝120＋320＋220＝310.故今年六月份该水力发电站的发电量低于490(万千瓦时)或超过530(万千瓦时)的概率为310.课时精练1．下列说法正确的是()A ．任何事件的概率总是在(0,1)之间B ．频率是客观存在的，与试验次数无关C ．随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率D ．概率是随机的，在试验前不能确定答案C解析不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1，故A 错；频率是由试验的次数决定的，故B 错；概率是频率的稳定值，故C 正确，D 错．2．2021年东京奥运会中国体育代表团共有777人，截止到7月15日，未完成疫苗接种的有3人，则中国体育代表团成员的疫苗接种率约为()A ．99.61%B ．99.49%C ．99.36%D ．99.23%答案A解析中国体育代表团成员的疫苗接种率约为777－3777≈0.9961＝99.61%.3．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的基本事件个数为()A ．2B ．4C ．6D ．8答案B解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4个基本事件．4．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A ，“向上的点数是2或3”为事件B ，则()A．A⊆BB．A＝BC．A＋B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3答案C解析由题意，可知A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.5．一个盒子内装有红球、白球、黑球三种球，其数量分别为3,2,1，从中任取两球，则互斥而不对立的两个事件为()A．至少有一个白球；都是白球B．至少有一个白球；至少有一个红球C．恰有一个白球；一个白球一个黑球D．至少有一个白球；红球、黑球各一个答案D解析对于D，红球、黑球各取一个，则一定取不到白球，故“至少有一个白球”“红球、黑球各一个”为互斥事件，也有可能取到两球都是红球，故不是对立事件，所以D选项符合．6．下列说法不正确的是()A．若事件A与B互斥，则A∪B是必然事件B．《西游记》、《三国演义》、《水浒传》、《红楼梦》是我国四大名著．若在这四大名著中，甲、乙、丙、丁分别任取一本进行阅读，设事件E＝“甲取到《红楼梦》”，事件F＝“乙取到《红楼梦》”，则E与F是互斥但不对立事件C．掷一枚骰子，记录其向上的点数，记事件A＝“向上的点数不大于5”，事件B＝“向上的点数为质数”，则B⊆AD．10个产品中有2个次品，从中抽取一个产品检查其质量，则包含两个基本事件答案A解析对于A，事件A与B互斥时，A∪B不一定是必然事件，故A不正确；对于B，事件E与F不会同时发生，所以E与F是互斥事件，但除了事件E与F之外还有“丙取到红楼梦”“丁取到红楼梦”，所以E与F不是对立事件，故E与F是互斥但不对立事件，B正确；对于C，事件A＝{1,2,3,4,5}，事件B＝{2,3,5}，所以B包含于A，C正确；对于D，基本事件为正品，次品，故D正确．7．笼子中有4只鸡和3只兔，依次取出一只，直到3只兔全部取出，记录剩下动物的脚数．则剩余动物的脚数为________．答案0,2,4,6,8解析最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.8．商场在一周内共卖出某种品牌的皮鞋300双，商场经理为考察其中各种尺码皮鞋的销售情况，以这周内某天售出的40双皮鞋的尺码为一个样本，分为5组，已知第3组的频率为0.25，第1,2,4组的频数分别为6,7,9.若第5组表示的是尺码为40～42的皮鞋，则售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为________双．答案60解析∵第1,2,4组的频数分别为6,7,9，∴第1,2,4组的频率分别为640＝0.15，740＝0.175，940＝0.225.∵第3组的频率为0.25，∴第5组的频率是1－0.25－0.15－0.175－0.225＝0.2，∴售出的这300双皮鞋中尺码为40～42的皮鞋约为0.2×300＝60(双)．9．盒子里有6个红球、4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球、2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球、1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的积事件是什么事件？解(1)对于事件D，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球，故D＝A＋B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球、2个白球或2个红球、1个白球或3个红球，故CA ＝A.10．设甲、乙、丙三个乒乓球协会的运动员人数分别为27,9,18.现采用分层抽样的方法从这三个协会中抽取6名运动员组队参加比赛．(1)求应从这三个协会中分别抽取的运动员的人数；(2)将抽取的6名运动员进行编号，编号分别为A1，A2，A3，A4，A5，A6.现从这6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛．①用所给编号列出所有基本事件；②设A为事件“编号为A5和A6的两名运动员中至少有1人被抽到”，写出该事件的集合表示．解(1)甲、乙、丙三个协会共有的运动员人数为27＋9＋18＝54，则应从甲协会抽取27×654＝3(人)，从乙协会抽取9×654＝1(人)，从丙协会抽取18×654＝2(人)．故从甲、乙、丙三个协会中抽取的运动员人数分别为3,1,2.(2)①从6名运动员中随机抽取2人参加双打比赛的所有基本事件为(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15种．②事件A可用集合表示为{(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}．11．2021年5月7日，国药集团中国生物北京生物制品研究所研发生产的新型冠状病毒灭活疫苗(Vero细胞)，获得世卫组织紧急使用授权，纳入全球“紧急使用清单”(EUL)．世卫组织审评认为该疫苗的效力为78.1%，最高达90%，安全性良好，临床试验数据中没有发现安全问题．所谓疫苗的效力，是通过把人群分成两部分，一部分为对照组，注射安慰剂；另一部分为疫苗组，注射疫苗，当从对照组与疫苗组分别获得发病率后，就可以得到注射疫苗的效力＝对照组发病率－疫苗组发病率对照组发病率×100%.关于注射疫苗，下列说法正确的是()A．只要注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎B．注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低C．若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则效力为40% D．若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%.那么在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病答案B解析由题意知，疫苗的效力为78.1%，最高达90%，但不是注射该种新冠疫苗，就一定不会感染新冠肺炎，故选项A错误；疫苗的效力为78.1%，最高达90%，所以注射该种新冠疫苗，能使新冠肺炎感染的风险大大降低，故选项B正确；若对照组10000人，发病100人；疫苗组20000人，发病40人，则注射疫苗的效力＝100 10000－402000010010000×100%＝80%，故选项C错误；若疫苗的效力为80%，对照组的发病率为50%，只是反应了一个概率问题，并不能说明在10000个人注射该疫苗后，一定有1000个人发病，故选项D错误．12．一批产品共100件，其中5件是次品，95件是合格品，从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A：“恰有一件次品”；事件B：“至少有两件次品”；事件C：“至少有一件次品”；事件D：“至多有一件次品”．则以下结论正确的是()A．A∪B＝A B．D∪B是必然事件C．A∪B＝B D．A∪D＝C答案B解析A∪B表示的事件为至少有一件次品，即事件C，所以A不正确，C不正确；D∪B表示的事件为至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；A∪D表示的事件为至多有一件次品，即事件D，所以D不正确．13．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是()A．A⊆D B．B∩D＝∅C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D答案D解析对于选项A，事件A包含于事件D，故A正确．对于选项B，由于事件B，D不能同时发生．故B∩D＝∅，故B正确．对于选项C，由题意知正确．对于选项D，由于A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件；而B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D，故D不正确．14．某汽车站每天均有3辆开往省城的分为上、中、下等级的客车，某天袁先生准备在该汽车站乘车前往省城办事，但他不知道客车的车况，也不知道发车顺序．为了尽可能乘坐上等车，他采取如下策略：先放过一辆，如果第二辆比第一辆好则上第二辆，否则上第三辆，则他乘坐上等车的概率为________．答案1 2解析共有6种发车顺序：①上、中、下；②上、下、中；③中，上、下；④中、下、上；⑤下、中、上；⑥下、上、中(其中画横线的表示袁先生所乘的车)，所以他乘坐上等车的概率为36＝12.15．若A，B互为对立事件，其概率分别为P(A)＝4x，P(B)＝1y，且x>0，y>0，则x＋y的最小值为()A．7B．8C．9D．10答案C解析由题意知4x＋1y＝1，则x＋y＝(x＋y55＋24yx·xy＝9，当且仅当4yx＝xy，即x＝2y时等号成立．16．甲、乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张．(1)写出甲、乙抽到牌的所有基本事件；(2)若甲抽到红桃3，则乙抽到的牌的数字比3大的概率是多少？(3)甲、乙约定，若甲抽到的牌的数字比乙的大，则甲胜；否则乙胜，你认为此游戏是否公平？为什么？解(1)分别用2,3,4,4′表示红桃2，红桃3，红桃4，方片4，则甲、乙抽到牌的所有基本事件为(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12种．(2)甲抽到红桃3，乙抽到的只能是红桃2，红桃4，方片4，因此乙抽到牌的数字比3大的概率是2 3 .(3)甲抽到的牌的数字比乙的大，有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5个基本事件，因此甲胜的概率为512，乙胜的概率为712.因为512<712，所以此游戏不公平．。

§12.4 离散型随机变量及其分布列1．离散型随机变量如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)离散型随机变量的分布列：若离散型随机变量X 所有可能取的值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1,2，…，n )的概率为p 1，p 2，…，p n ，则表称为离散型随机变量X 的概率分布或称为离散型随机变量X 的分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质：①p i ≥0_(i ＝1,2,3，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1； ③P (x i ≤x ≤x j )＝p i ＋p i ＋1＋…＋p j . 3．常见离散型随机变量的分布列 (1)二点分布如果随机变量X 的分布列为其中0<p <1，q ＝1－p ，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布． (2)超几何分布设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，当X ＝m 时的概率为P (X ＝m )＝C m M C n －m N －MC n N(0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( √ )(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．( √ ) (3)某人射击时命中的概率为0.5，此人射击三次命中的次数X 服从两点分布．( × ) (4)从4名男演员和3名女演员中选出4名，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( √ ) (5)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.( × ) (6)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( √ ) 题组二 教材改编2．设随机变量X 的分布列如下：则p 为( ) A.16 B.13 C.14 D.112 答案 C解析 由分布列的性质知，112＋16＋13＋16＋p ＝1， ∴p ＝1－34＝14.3．有一批产品共12件，其中次品3件，每次从中任取一件，在取到合格品之前取出的次品数X 的所有可能取值是____________． 答案 0,1,2,3解析 因为次品共有3件，所以在取到合格品之前取到次品数为0,1,2,3.4．设随机变量X 的分布列为则P (|X －3|＝1)＝________. 答案512解析 由13＋m ＋14＋16＝1，解得m ＝14，P (|X －3|＝1)＝P (X ＝2)＋P (X ＝4) ＝14＋16＝512. 题组三 易错自纠5．袋中有3个白球、5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是( ) A ．至少取到1个白球 B ．至多取到1个白球 C ．取到白球的个数 D ．取到的球的个数 答案 C解析 选项A ，B 表述的都是随机事件；选项D 是确定的值2，并不随机；选项C 是随机变量，可能取值为0,1,2.6．随机变量X 等可能取值1,2,3，…，n ，如果P (X <4)＝0.3，则n ＝________. 答案 10解析 由P (X <4)＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝1n ＋1n ＋1n ＝3n＝0.3，得n ＝10.7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，则P (X ＝4)的值为______． 答案27220解析 由题意知取出的3个球必为2个旧球、1个新球，故P (X ＝4)＝C 23C 19C 312＝27220.题型一 离散型随机变量的分布列的性质1．离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝an (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，其中a 是常数，则P ⎝⎛⎭⎫12<X <52的值为( ) A.23 B.34 C.45 D.56 答案 D解析 ∵P (X ＝n )＝a n (n ＋1)(n ＝1,2,3,4)，∴a 2＋a 6＋a 12＋a 20＝1，∴a ＝54， ∴P ⎝⎛⎭⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2) ＝54×12＋54×16＝56. 2．设离散型随机变量X 的分布列为求2X ＋1的分布列． 解 由分布列的性质知，0．2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1，得m ＝0.3. 列表为从而2X ＋1的分布列为引申探究1．若题2中条件不变，求随机变量η＝|X －1|的分布列． 解 由题2知m ＝0.3，列表为∴P (η＝1)＝P (X ＝0)＋P (X ＝2)＝0.2＋0.1＝0.3， P (η＝0)＝P (X ＝1)＝0.1，P (η＝2)＝P (X ＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3.故η＝|X－1|的分布列为2.若题2中条件不变，求随机变量η＝X2的分布列．解依题意知η的值为0,1,4,9,16.列表为从而η＝X2的分布列为思维升华(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．题型二离散型随机变量的分布列的求法命题点1与排列、组合有关的分布列的求法典例(2017·山东改编)在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，则P(M)＝C48C510＝5 18.(2)由题意知，X可取的值为0,1,2,3,4，则P (X ＝0)＝C 56C 510＝142，P (X ＝1)＝C 46C 14C 510＝521，P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝1021，P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝521，P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝142.因此X 的分布列为命题点2 与互斥事件有关的分布列的求法典例 已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束． (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列．解 (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，则P (A )＝A 12A 13A 25＝310.(2)X 的可能取值为200,300,400. P (X ＝200)＝A 22A 25＝110，P (X ＝300)＝A 33＋C 12C 13A 22A 35＝310， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300) ＝1－110－310＝35.故X 的分布列为命题点3 与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法典例 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为23.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完．(1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X 的分布列．解 记“第k 发子弹命中目标”为事件A k ，则A 1，A 2，A 3，A 4，A 5相互独立，且P (A k )＝23，P (A k )＝13，k ＝1,2,3,4,5.(1)方法一 他前两发子弹只命中一发的概率为 P (A 1A 2)＋P (A 1A 2)＝P (A 1)P (A 2)＋P (A 1)P (A 2) ＝23×13＋13×23＝49. 方法二 由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P ＝C 12×23×13＝49. (2)X 的所有可能值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝P (A 1A 2)＋P (A 1 A 2) ＝23×23＋13×13＝59， P (X ＝3)＝P (A 1A 2 A 3)＋P (A 1A 2A 3) ＝23×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫232＝29， P (X ＝4)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3 A 4) ＝⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫133×23＝1081，P (X ＝5)＝P (A 1A 2A 3A 4)＋P (A 1A 2A 3A 4) ＝⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫232＝881. 故X 的分布列为思维升华 求离散型随机变量X 的分布列的步骤 (1)理解X 的意义，写出X 可能取的全部值； (2)求X 取每个值的概率； (3)写出X 的分布列．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意应用计数原理、古典概型等知识．跟踪训练 (2017·湖北部分重点中学联考)连续抛掷同一颗均匀的骰子，令第i 次得到的点数为a i ，若存在正整数k ，使a 1＋a 2＋…＋a k ＝6，则称k 为你的幸运数字． (1)求你的幸运数字为3的概率；(2)若k ＝1，则你的得分为6分；若k ＝2，则你的得分为4分；若k ＝3，则你的得分为2分；若抛掷三次还没找到你的幸运数字，则记0分，求得分ξ的分布列．解 (1)设“连续抛掷3次骰子，和为6”为事件A ，则它包含事件A 1，A 2，A 3，其中A 1：三次恰好均为2；A 2：三次中恰好为1,2,3各一次；A 3：三次中有两次均为1，一次为4. A 1，A 2，A 3为互斥事件，则P (A )＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝C 33⎝⎛⎭⎫163＋C 13·16·C 12·16·C 11·16＋C 23⎝⎛⎭⎫162·16＝5108. (2)由已知得ξ的可能取值为6,4,2,0，P (ξ＝6)＝16，P (ξ＝4)＝⎝⎛⎭⎫162＋2×C 12×16×16＝536， P (ξ＝2)＝5108，P (ξ＝0)＝1－16－536－5108＝3554.故ξ的分布列为题型三 超几何分布典例 (2018·济南模拟)某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问．求： (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率；(2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列． 解 (1)设事件A ：选派的3人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 12C 37＝47.(2)依题意知，X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝C 34C 37＝435，P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝1835，P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝1235，P (X ＝3)＝C 33C 37＝135，∴X 的分布列为思维升华 (1)超几何分布的两个特点 ①超几何分布是不放回抽样问题； ②随机变量为抽到的某类个体的个数． (2)超几何分布的应用条件 ①两类不同的物品(或人、事)； ②已知各类对象的个数； ③从中抽取若干个个体．跟踪训练 PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的可入肺颗粒物．根据现行国家标准GB3095－2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2017年全年每天的PM2.5监测数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如下表所示：(1)从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；(2)从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列．解 (1)记“从10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽出3天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ，则P (A )＝C 13C 27C 310＝2140.(2)依据条件知，ξ服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝3，且随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3.P (ξ＝k )＝C k 3·C 3－k7C 310(k ＝0,1,2,3)．∴P (ξ＝0)＝C 03C 37C 310＝724，P (ξ＝1)＝C 13C 27C 310＝2140，P (ξ＝2)＝C 23C 17C 310＝740，P (ξ＝3)＝C 33C 07C 310＝1120.故ξ的分布列为离散型随机变量的分布列典例 某射手有5发子弹，射击一次命中的概率为0.9.如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列． 错解展示：现场纠错解 由题意知ξ的取值为1,2,3,4,5， P (ξ＝1)＝0.9，P (ξ＝2)＝0.1×0.9＝0.09， P (ξ＝3)＝0.1×0.1×0.9＝0.009， P (ξ＝4)＝0.13×0.9＝0.000 9， P (ξ＝5)＝0.14＝0.000 1. ∴ξ的分布列为纠错心得 (1)随机变量的分布列，要弄清变量的取值，还要清楚变量的每个取值对应的事件及其概率．(2)验证随机变量的概率和是否为1.1．(2017·武汉江夏区模拟)若随机变量η的分布列如下：则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是( ) A ．x ≤2 B ．1≤x ≤2 C ．1<x ≤2 D ．1<x <2答案 C解析 由离散型随机变量的分布列知P (η<－1)＝0.1，P (η<0)＝0.3，P (η<1)＝0.5，P (η<2)＝0.8， 则当P (η<x )＝0.8时，实数x 的取值范围是1<x ≤2.2．(2017·邯郸模拟)从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P (ξ≤1)等于( ) A.15 B.25 C.35 D.45答案 D解析 P (ξ≤1)＝1－P (ξ＝2)＝1－C 14C 22C 36＝45.3．设X 是一个离散型随机变量，其分布列为则q 等于( ) A ．1B.32±336C.32－336D.32＋336答案 C解析 ∵13＋2－3q ＋q 2＝1，∴q 2－3q ＋43＝0，解得q ＝32±336.又由题意知0<q 2<23，∴q ＝32－336.4．一只袋内装有m 个白球，n －m 个黑球，连续不放回地从袋中取球，直到取出黑球为止，设此时取出了X 个白球，下列概率等于(n －m )A 2mA 3n 的是( ) A ．P (X ＝3) B ．P (X ≥2) C ．P (X ≤3) D ．P (X ＝2)答案 D解析 由超几何分布知P (X ＝2)＝(n －m )A 2mA 3n. 5．从装有3个白球、4个红球的箱子中，随机取出了3个球，恰好是2个白球、1个红球的概率是( )A.435B.635C.1235D.36343 答案 C解析 如果将白球视为合格品，红球视为不合格品，则这是一个超几何分布问题，故所求概率为P ＝C 23C 14C 37＝1235.6．某班级在2017年国庆节晚会上安排了迎国庆演讲节目，共有6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为( ) A.16 B.13 C.12 D.23答案 D解析 6名选手依次演讲有A 66种方法，选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的安排方法有4A 55，所以6名选手依次演讲，则选手甲不在第一个也不在最后一个演讲的概率为4A 55A 66＝23.7．口袋中有5只球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3只球，以X 表示取出的球的最大号码，则X 的分布列为______________________． 答案解析 X 的取值为3,4,5.又P (X ＝3)＝1C 35＝0.1，P (X ＝4)＝C 23C 35＝0.3，P (X ＝5)＝C 24C 35＝0.6.所以X 的分布列为8.袋中有4只红球，3只黑球，从袋中任取4只球，取到1只红球得1分，取到1只黑球得3分，设得分为随机变量ξ，则P (ξ≤6)＝________. 答案1335解析 P (ξ≤6)＝P (取到3只红球1只黑球)＋P (取到4只红球)＝C 34C 13C 47＋C 44C 47＝1335.9．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 答案 23 ⎣⎡⎦⎤－13，13 解析 ∵a ，b ，c 成等差数列，∴2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，∴b ＝13，∴P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，∴－13≤d ≤13.10．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数η的分布列为_________________________． 答案解析 ∵η的所有可能值为0,1,2.P (η＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (η＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (η＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.∴η的分布列为11.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2 名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列．解 (1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 服从超几何分布，X 的所有可能取值为1,2,3,4.P (X ＝k )＝C k 5C 4－k 3C 48(k ＝1,2,3,4)． P (X ＝1)＝C 15C 33C 48＝114，P (X ＝2)＝C 25C 23C 48＝37，P (X ＝3)＝C 35C 13C 48＝37，P (X ＝4)＝C 45C 03C 48＝114.所以，随机变量X 的分布列为12．(2017·成都诊断)某高校一专业在一次自主招生中，对20名已经选拔入围的学生进行语言表达能力和逻辑思维能力测试，结果如下表：由于部分数据丢失，只知道从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生的概率为25.(1)从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，求其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生的概率；(2)从参加测试的20名学生中任意抽取2名，设语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生人数为X ，求随机变量X 的分布列．解 (1)用A 表示“从这20名参加测试的学生中随机抽取一人，抽到语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生”，∵语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有(6＋n )名， ∴P (A )＝6＋n 20＝25，解得n ＝2，∴m ＝4，用B 表示“从参加测试的语言表达能力良好的学生中任意抽取2名，其中至少有一名逻辑思维能力优秀的学生”，∴P (B )＝1－C 26C 29＝712.(2)随机变量X 服从超几何分布，X 的可能取值为0,1,2.∵在20名学生中，语言表达能力优秀或逻辑思维能力优秀的学生共有8名， ∴P (X ＝0)＝C 212C 220＝3395，P (X ＝1)＝C 18C 112C 220＝4895，P (X ＝2)＝C 28C 220＝1495，∴X 的分布列为13．(2017·石家庄调研)为检测某产品的质量，现抽取5件产品，测量产品中微量元素x ，y 的含量(单位：毫克)，测量数据如下：如果产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品．现从上述5件产品中随机抽取2件，则抽取的2件产品中优等品数X 的分布列为________． 答案解析 5件抽测品中有2件优等品，则X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝C 23C 25＝0.3，P (X ＝1)＝C 13C 12C 25＝0.6，P (X ＝2)＝C 22C 25＝0.1.∴优等品数X 的分布列为14.(2017·长春模拟)某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8，且n ∈N ＋)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求随机变量X 的分布列． 解 (1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12(n －6)n (n －1)， 则12(n －6)n (n －1)≥12.化简得n 2－25n ＋144≤0， 解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意可得，X 的可能取值为0,1,2. 则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，所以X 的分布列为15．设ξ为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1，则随机变量ξ的分布列是________． 答案解析 ξ的可能取值为0,1， 2. P (ξ＝0)＝8C 23C 212＝411，P (ξ＝2)＝6C 212＝111.P (ξ＝1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝2)＝1－411－111＝611.16．盒内有大小相同的9个球，其中2个红色球，3个白色球，4个黑色球．规定取出1个红色球得1分，取出1个白色球得0分，取出1个黑色球得－1分．现从盒内任取3个球． (1)求取出的3个球中至少有1个红色球的概率； (2)求取出的3个球得分之和恰为1分的概率；(3)设ξ为取出的3个球中白色球的个数，求ξ的分布列． 解 (1)P ＝1－C 37C 39＝712.(2)记“取出1个红色球，2个白色球”为事件B ，“取出2个红色球，1个黑色球”为事件C ，则P (B ＋C )＝P (B )＋P (C )＝C 12C 23C 39＋C 22C 14C 39＝542.(3)ξ可能的取值为0,1,2,3，ξ服从超几何分布，所以P (ξ＝k )＝C k 3C 3－k 6C 39，k ＝0,1,2,3. 故P (ξ＝0)＝C 36C 39＝521，P (ξ＝1)＝C 13C 26C 39＝1528，P (ξ＝2)＝C 23C 16C 39＝314，P (ξ＝3)＝C 33C 39＝184.所以ξ的分布列为。

§12.5条件概率与事件的独立性1．条件概率及其性质2.事件的独立性(1)相互独立的定义：事件A是否发生对事件B发生的概率没有影响，即P(B|A)＝P(B)．这时，称两个事件A，B 相互独立，并把这两个事件叫做相互独立事件．(2)概率公式：3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验①定义：在相同的条件下，重复地做n次试验，各次试验的结果相互独立，那么一般就称它们为n次独立重复试验．②概率公式：在一次试验中事件A发生的概率为p，那么在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为P n(k)＝C k n p k(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)．(2)二项分布在n 次独立重复试验中，事件A 发生的次数设为X ，事件A 不发生的概率为q ＝1－p ，那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率是P (X ＝k )＝C k n p k qn －k，其中k ＝0,1,2，…，n .于是得到X 的分布列此时称离散型随机变量X 服从参数为n ，p 的二项分布，记作X ～B (n ，p )．题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．( × ) (2)相互独立事件就是互斥事件．( × )(3)对于任意两个事件，公式P (AB )＝P (A )P (B )都成立．( × )(4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a ＋b )n 二项展开式的通项公式，其中a ＝p ，b ＝1－p .( × )(5)P (B |A )表示在事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率，P (AB )表示事件A ，B 同时发生的概率．( √ ) 题组二 教材改编2．天气预报，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A ．0.2 B ．0.3 C ．0.38 D ．0.56答案 C解析 设甲地降雨为事件A ，乙地降雨为事件B ，则两地恰有一地降雨为A B ＋A B ， ∴P (A B ＋A B )＝P (A B )＋P (A B ) ＝P (A )P (B )＋P (A )P (B ) ＝0.2×0.7＋0.8×0.3 ＝0.38.3．已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为( ) A.310 B.13 C.38 D.29答案 B解析 设A ＝{第一次拿到白球}，B ＝{第二次拿到红球}， 则P (AB )＝C 12C 110×C 13C 19，P (A )＝C 12C 110，所以P (B |A )＝P (AB )P (A )＝13.题组三 易错自纠4．两个实习生每人加工一个零件，加工成一等品的概率分别为23和34，两个零件能否被加工成一等品相互独立，则这两个零件恰好有一个一等品的概率为( ) A.12 B.512 C.14 D.16 答案 B解析 因为两人加工成一等品的概率分别为23和34，且相互独立，所以两个零件恰好有一个一等品的概率为P ＝23×14＋13×34＝512.5．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25 D.12答案 B解析 P (A )＝C 23＋C 22C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110， P (B |A )＝P (AB )P (A )＝14. 6．箱子里有5个黑球，4个白球，每次随机取出一个球，若取出黑球，则放回箱中，重新取球；若取出白球，则停止取球，那么在第4次取球之后停止的概率为( )A.C 35C 14C 45B.⎝⎛⎭⎫593×49 C 35×14 D ．C 14×⎝⎛⎭⎫593×49答案 B解析 由题意知，第四次取球后停止是当且仅当前三次取的球是黑球，第四次取的球是白球的情况，此事件发生的概率为⎝⎛⎭⎫593×49.题型一 条件概率1．已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形与功率都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡，电工师傅每次从中任取一只且不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为( ) A.310 B.29 C.78 D.79答案 D解析 方法一 设事件A 为“第1次抽到的是螺口灯泡”，事件B 为“第2次抽到的是卡口灯泡”，则P (A )＝310，P (AB )＝310×79＝730，则所求概率为P (B |A )＝P (AB )P (A )＝730310＝79.方法二 第1次抽到螺口灯泡后还剩余9只灯泡，其中有7只卡口灯泡，故第2次抽到卡口灯泡的概率为C 17C 19＝79.2．一个正方形被平均分成9个部分，向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中)．设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A ，投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B ，求P (AB )，P (A |B )． 解 如图，n (Ω)＝9，n (A )＝3，n (B )＝4， ∴n (AB )＝1，∴P (AB )＝19，P (A |B )＝n (AB )n (B )＝14. 思维升华 条件概率的求法(1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P (AB )P (A )求P (B |A )． (2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n (AB )n (A ).题型二 相互独立事件的概率典例 (2017·哈尔滨质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ，乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率；(2)若新产品A 研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B 研发成功，预计企业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列．解 记E ＝{甲组研发新产品成功}，F ＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P (E )＝23，P (E )＝13，P (F )＝35， P (F )＝25，且事件E 与F ，E 与F ，E 与F ，E 与F 都相互独立．(1)记H ＝{至少有一种新产品研发成功}，则H ＝E F ， 于是P (H )＝P (E )P (F )＝13×25＝215，故所求的概率为P (H )＝1－P (H )＝1－215＝1315.(2)设企业可获利润为X (万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220， 因为P (X ＝0)＝P (E F )＝13×25＝215，P (X ＝100)＝P (E F )＝13×35＝315＝15，P (X ＝120)＝P (E F )＝23×25＝415，P (X ＝220)＝P (EF )＝23×35＝615＝25，故所求的分布列为思维升华 求相互独立事件同时发生的概率的方法 (1)首先判断几个事件的发生是否相互独立． (2)求相互独立事件同时发生的概率的方法 ①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算．跟踪训练 为了纪念2017在德国波恩举行的联合国气候大会，某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动．某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是34，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是112，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是14.若各家庭回答是否正确互不影响．(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．解 (1)记“甲回答正确这道题”、“乙回答正确这道题”、“丙回答正确这道题”分别为事件A ，B ，C ， 则P (A )＝34，且有⎩⎨⎧P (A )·P (C )＝112，P (B )·P (C )＝14， 即⎩⎨⎧[1－P (A )]·[1－P (C )]＝112，P (B )·P (C )＝14， 所以P (B )＝38，P (C )＝23.(2)有0个家庭回答正确的概率为 P 0＝P (A B C )＝P (A )·P (B )·P (C ) ＝14×58×13＝596， 有1个家庭回答正确的概率为 P 1＝P (A B C ＋A B C ＋A B C ) ＝34×58×13＋14×38×13＋14×58×23＝724， 所以不少于2个家庭回答正确这道题的概率为 P ＝1－P 0－P 1＝1－596－724＝2132.题型三 独立重复试验与二项分布命题点1 根据独立重复试验求概率典例 某市电视台举办纪念红军长征胜利知识回答活动，宣传长征精神，首先在甲、乙、丙、丁四个不同的公园进行支持签名活动．然后在各公园签名的人中按分层抽样的方式抽取10名幸运之星回答问题，从10个关于长征的问题中随机抽取4个问题让幸运之星回答，全部答对的幸运之星获得一份纪念品． (1)求此活动中各公园幸运之星的人数；(2)若乙公园中每位幸运之星对每个问题答对的概率均为22，求恰好2位幸运之星获得纪念品的概率；(3)若幸运之星小李对其中8个问题能答对，而另外2个问题答不对，记小李答对的问题数为X ，求X 的分布列．解 (1)甲、乙、丙、丁四个公园幸运之星的人数分别为 45150×10＝3，60150×10＝4，30150×10＝2，15150×10＝1. (2)根据题意，乙公园中每位幸运之星获得纪念品的概率为C 44⎝⎛⎭⎫224＝14， 所以乙公园中恰好2位幸运之星获得纪念品的概率为 C 24⎝⎛⎭⎫142⎝⎛⎭⎫342＝27128.(3)由题意，知X 的所有可能取值为2,3,4，服从超几何分布，P (X ＝2)＝C 28C 22C 410＝215，P (X ＝3)＝C 38C 12C 410＝815，P (X ＝4)＝C 48C 02C 410＝13.所以X 的分布列为命题点2 根据独立重复试验求二项分布典例 一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分(即获得－200分)．设每次击鼓出现音乐的概率为12，且各次击鼓出现音乐相互独立．(1)设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； (2)玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？ 解 (1)X 可能的取值为10,20,100，－200. 根据题意，有P (X ＝10)＝C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1－122＝38，P (X ＝20)＝C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1－121＝38， P (X ＝100)＝C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1－120＝18， P (X ＝－200)＝C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1－123＝18. 所以X 的分布列为(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i ＝1,2,3)， 则P (A 1)＝P (A 2)＝P (A 3)＝P (X ＝－200)＝18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为 1－P (A 1A 2A 3)＝1－⎝⎛⎭⎫183＝1－1512＝511512. 因此，玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是511512.思维升华 独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略(1)在求n 次独立重复试验中事件恰好发生k 次的概率时，首先要确定好n 和k 的值，再准确利用公式求概率．(2)在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n 和变量的概率，求得概率．跟踪训练 (2017·牡丹江模拟)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有40人，不超过100 km/h 的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km /h 的有20人，不超过100 km/h 的有25人． (1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h 的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的车辆为X ，求X 的分布列．解 (1)平均车速不超过100 km/h 的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C 240，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A ，则事件A 所包含的基本事件数为C 115C 125，所以所求的概率P (A )＝C 115C 125C 240＝15×2520×39＝2552.(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h 且为男性驾驶员的概率为40100＝25，故X ～B ⎝⎛⎭⎫3，25. 所以P (X ＝0)＝C 03⎝⎛⎭⎫250⎝⎛⎭⎫353＝27125， P (X ＝1)＝C 13⎝⎛⎭⎫25⎝⎛⎭⎫352＝54125， P (X ＝2)＝C 23⎝⎛⎭⎫252⎝⎛⎭⎫35＝36125， P (X ＝3)＝C 33⎝⎛⎭⎫253⎝⎛⎭⎫350＝8125. 所以X 的分布列为独立事件与互斥事件典例 (1)中国乒乓球队甲、乙两名运动员参加奥运乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率是37，乙夺得冠军的概率是14，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________． (2)某射手每次射击击中目标的概率都是23，这名射手射击5次，有3次连续击中目标，另外两次未击中目标的概率是________． 错解展示：(1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14，由A ，B是相互独立事件，得所求概率为P (A B )＋P (A B )＋P (AB ) ＝37×34＋47×14＋37×14＝1628＝47. (2)所求概率P ＝C 35×⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＝80243. 错误答案 (1)47 (2)80243现场纠错解析 (1)设“甲夺得冠军”为事件A ，“乙夺得冠军”为事件B ，则P (A )＝37，P (B )＝14.∵A ，B 是互斥事件，∴P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝37＋14＝1928.(2)设“第i 次射击击中目标”为事件A i (i ＝1,2,3,4,5)，“射手在5次射击中，有3次连续击中目标，另外2次未击中目标”为事件A ，则 P (A )＝P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A 1A 2A 3A 4A 5)＋P (A1A 2A 3A 4A 5)＝⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫132＋13×⎝⎛⎭⎫233×13＋⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫233＝881. 答案 (1)1928 (2)881纠错心得 (1)搞清事件之间的关系，不要混淆“互斥”与“独立”． (2)区分独立事件与n 次独立重复试验．1．把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.18答案 A解析 由古典概型知P (A )＝12，P (AB )＝14，则由条件概率知P (B |A )＝P (AB )P (A )＝1412＝12.2．(2018·大连模拟)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.45 答案 A解析 已知连续两天为优良的概率是0.6，那么在前一天空气质量为优良的前提下，要求随后一天的空气质量为优良的概率，可根据条件概率公式，得P ＝0.60.75＝0.8.3．(2017·武昌模拟)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和B ，系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为18和p ，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为940，则p 等于( ) A.110 B.215 C.16 D.15答案 B解析 由题意得18(1－p )＋⎝⎛⎭⎫1－18p ＝940， ∴p ＝215，故选B.4．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A ．0.648 B ．0.432 C ．0.36 D ．0.312 答案 A解析 3次投篮投中2次的概率为P (k ＝2)＝C 23×0.62×(1－0.6)，投中3次的概率为P (k ＝3)＝0.63，所以通过测试的概率为P (k ＝2)＋P (k ＝3)＝C 23×0.62×(1－0.6)＋0.63＝0.648.故选A.5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X 次球，则P (X ＝12)等于( ) A ．C 1012⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582B ．C 912⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582 C ．C 911⎝⎛⎭⎫589⎝⎛⎭⎫382D ．C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582答案 D解析 “X ＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球， 因此P (X ＝12)＝38C 911⎝⎛⎭⎫389⎝⎛⎭⎫582＝C 911⎝⎛⎭⎫3810⎝⎛⎭⎫582. 6．甲射击命中目标的概率是12，乙命中目标的概率是13，丙命中目标的概率是14.现在三人同时射击目标，则目标被击中的概率为( ) A.34 B.23 C.45D.710答案 A解析 设“甲命中目标”为事件A ，“乙命中目标”为事件B ，“丙命中目标”为事件C ，则击中目标表示事件A ，B ，C 中至少有一个发生．又P (A B C )＝P (A )P (B )P (C )＝[1－P (A )]·[1－P (B )]·[1－P (C )]＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14. 故目标被击中的概率P ＝1－P (A B C )＝34.7．(2017·德阳模拟)一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是________． 答案1528解析 记事件“甲取到2个黑球”为A ，“乙取到2个黑球”为B ，则有P (B |A )＝P (AB )P (A )＝C 26C 28＝1528，即所求事件的概率是1528. 8．某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．答案 38解析 设元件1,2,3的使用寿命超过1 000小时的事件分别记为A ，B ，C ，显然P (A )＝P (B )＝P (C )＝12，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的事件为 (A B ＋A B ＋AB )C ，∴该部件的使用寿命超过1 000小时的概率 P ＝⎝⎛⎭⎫12×12＋12×12＋12×12×12＝38.9．位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是________．答案516解析 由于质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，移动五次后位于点(2,3)，所以质点P 必须向右移动两次，向上移动三次，故其概率为C 35⎝⎛⎭⎫123·⎝⎛⎭⎫122＝C 35⎝⎛⎭⎫125＝C 25⎝⎛⎭⎫125＝516. 10．(2017·长沙模拟)排球比赛的规则是5局3胜制(无平局)，甲在每局比赛获胜的概率都为23，前2局中乙队以2∶0领先，则最后乙队获胜的概率是________． 答案1927解析 乙队3∶0获胜的概率为13，乙队3∶1获胜的概率为23×13＝29，乙队3∶2获胜的概率为⎝⎛⎭⎫232×13＝427.∴最后乙队获胜的概率为P ＝13＋29＋427＝1927.11．挑选空军飞行员可以说是“万里挑一”，要想通过需要五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审．若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学通过复检关的概率分别是0.5,0.6,0.75，能通过文考关的概率分别是0.6,0.5,0.4，由于他们平时表现较好，都能通过政审关，若后三关之间通过与否没有影响． (1)求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率； (2)设只要通过后三关就可以被录取，求录取人数X 的分布列．解 (1)设A ，B ，C 分别表示事件“甲、乙、丙通过复检”，则所求概率P ＝P (A B C )＋P (A B C )＋P (A B C )＝0.5×(1－0.6)×(1－0.75)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.75)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.75＝0.275.(2)甲被录取的概率为P 甲＝0.5×0.6＝0.3， 同理P 乙＝0.6×0.5＝0.3，P 丙＝0.75×0.4＝0.3.∴甲、乙、丙每位同学被录取的概率均为0.3，故可看成是独立重复试验，即X ～B (3,0.3)，X 的可能取值为0,1,2,3，其中P (X ＝k )＝C k 3(0.3)k·(1－0.3)3－k . 故P (X ＝0)＝C 03×0.30×(1－0.3)3＝0.343， P (X ＝1)＝C 13×0.3×(1－0.3)2＝0.441， P (X ＝2)＝C 23×0.32×(1－0.3)＝0.189， P (X ＝3)＝C 33×0.33＝0.027，故X 的分布列为12．张先生家住H 小区，他工作在C 科技园区，从家开车到公司上班路上有L 1，L 2两条路线(如图)，L 1路线上有A 1，A 2，A 3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为12；L 2路线上有B 1，B 2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为34，35.(1)若走L 1路线，求最多遇到1次红灯的概率； (2)若走L 2路线，求遇到红灯次数X 的分布列． 解 (1)设走L 1路线最多遇到1次红灯为A 事件， 则P (A )＝C 03×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×12×⎝⎛⎭⎫122＝12. 所以走L 1路线，最多遇到1次红灯的概率为12.(2)依题意，X 的可能取值为0,1,2. P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－34×⎝⎛⎭⎫1－35＝110， P (X ＝1)＝34×⎝⎛⎭⎫1－35＋⎝⎛⎭⎫1－34×35＝920， P (X ＝2)＝34×35＝920.所以随机变量X 的分布列为13．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，它与A 1，A 2，A 3中哪一个发生都有关．答案 ②④解析 由题意知A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件， P (A 1)＝510＝12，P (A 2)＝210＝15，P (A 3)＝310，P (B |A 1)＝12×51112＝511，P (B |A 2)＝411，P (B |A 3)＝411，而P (B )＝P (A 1B )＋P (A 2B )＋P (A 3B )＝P (A 1)P (B |A 1)＋P (A 2)P (B |A 2)＋P (A 3)P (B |A 3) ＝12×511＋15×411＋310×411＝922. 14．(2017·兰州模拟)甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是23和34.假设两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响． (1)求甲射击4次，至少有1次未击中目标的概率；(2)求两人各射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的概率；(3)假设每人连续2次未击中目标，则终止其射击．问：乙恰好射击5次后，被终止射击的概率是多少？解 (1)记“甲连续射击4次，至少有1次未击中目标”为事件A 1，则事件A 1的对立事件A1为“甲连续射击4次，全部击中目标”．由题意知，射击4次相当于做4次独立重复试验．故P (A 1)＝C 44⎝⎛⎭⎫234＝1681.所以P (A 1)＝1－P (A 1)＝1－1681＝6581.所以甲连续射击4次，至少有一次未击中目标的概率为6581.(2)记“甲射击4次，恰好有2次击中目标”为事件A 2，“乙射击4次，恰好有3次击中目标”为事件B 2，则P (A 2)＝C 24×⎝⎛⎭⎫232×⎝⎛⎭⎫1－232＝827， P (B 2)＝C 34⎝⎛⎭⎫343×⎝⎛⎭⎫1－341＝2764. 由于甲、乙射击相互独立， 故P (A 2B 2)＝P (A 2)P (B 2)＝827×2764＝18.所以两人各射击4次，甲恰有2次击中目标且乙恰有3次击中目标的概率为18.(3)记“乙恰好射击5次后，被终止射击”为事件A 3，“乙第i 次射击未击中”为事件D i (i ＝1,2,3,4,5)，则A 3＝D 5D 4D 3(D 2 D 1∪D 2D 1∪D 2D 1)， 且P (D i )＝14.由于各事件相互独立，故 P (A 3)＝P (D 5)P (D 4)P (D 3)P (D2D 1＋D 2D 1＋D 2D 1)＝14×14×34×⎝⎛⎫1－14×14＝451 024. 所以乙恰好射击5次后，被终止射击的概率为451 024.15．设随机变量X ～B (2，p )，随机变量Y ～B (3，p )，若P (X ≥1)＝59，则P (Y ≥1)＝________.答案1927解析 ∵X ～B (2，p )，∴P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 02(1－p )2＝59， 解得p ＝13.又Y ～B (3，p )，∴P (Y ≥1)＝1－P (Y ＝0)＝1－C 03(1－p )3＝1927. 16．现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏． (1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；(3)用X ，Y 分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X －Y |，求随机变量ξ的分布列．解 (1)依题意知，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为13，去参加乙游戏的概率为23.设“这4个人中恰有k 人去参加甲游戏”为事件A k (k ＝0,1,2,3,4)．则P (A k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫234－k . 故这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率为 P (A 2)＝C 24⎝⎛⎭⎫132⎝⎛⎭⎫232＝827.(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B ，则B ＝A 3∪A 4. 由于A 3与A 4互斥，故P (B )＝P (A 3)＋P (A 4)＝C 34⎝⎛⎭⎫133×23＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝19.所以，这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率为19.(3)ξ的所有可能取值为0,2,4. 由于A 1与A 3互斥，A 0与A 4互斥，故 P (ξ＝0)＝P (A 2)＝827，P (ξ＝2)＝P (A 1)＋P (A 3) ＝C 14⎝⎛⎭⎫13⎝⎛⎭⎫233＋C 34⎝⎛⎭⎫133×23＝4081， P (ξ＝4)＝P (A 0)＋P (A 4) ＝C 04⎝⎛⎭⎫234＋C 44⎝⎛⎭⎫134＝1781. 所以ξ的分布列是。

§12.6随机变量的数字特征、正态分布1．离散型随机变量的数学期望与方差设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，x n，这些值对应的概率是p1，p2，…，p n.(1)数学期望称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x n p n为离散型随机变量X的均值或数学期望(简称期望)，它刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平．(2)方差称D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(x n－E(X))2p n叫做这个离散型随机变量X的方差，即反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度)，D(X)的算术平方根D(X)叫做离散型随机变量X的标准差．2．二点分布与二项分布、超几何分布的期望、方差3.正态曲线正态变量的概率密度函数的图象叫做正态曲线，其函数表达式为f(x)＝12π·σ22()2ex uσ--，x∈R(其中μ，σ为参数，且σ>0，－∞<μ<＋∞)． 4．正态曲线的性质(1)曲线在x 轴的上方，并且关于直线x ＝μ对称．(2)曲线在x ＝μ时处于最高点，并由此处向左右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状．(3)曲线的形状由参数σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”；σ越小，曲线越“高瘦”． 5．正态变量在三个特定区间内取值的概率值 (1)P (μ－σ<X <μ＋σ)＝68.3%； (2)P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝95.4%； (3)P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝99.7%.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)随机变量的期望是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．( √ )(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离期望的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．( √ )(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．( √ )(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．( √ )(5)期望是算术平均数概念的推广，与概率无关．( × ) 题组二 教材改编 2．已知X 的分布列为设Y ＝2X ＋3，则E (Y )的值为( ) A.73 B ．4 C ．－1 D ．1 答案 A解析 E (X )＝－12＋16＝－13，E (Y )＝E (2X ＋3)＝2E (X )＋3＝－23＋3＝73.3．甲、乙两工人在一天生产中出现的废品数分别是两个随机变量X ，Y ，其分布列分别为若甲、乙两人的日产量相等，则甲、乙两人中技术较好的是________． 答案 乙解析 E (X )＝0×0.4＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.1＝1. E (Y )＝0×0.3＋1×0.5＋2×0.2＝0.9， ∵E (Y )<E (X )． ∴乙技术好．4．已知随机变量X 服从正态分布N (3,1)，且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)，则c ＝________. 答案 43解析 ∵X ～N (3,1)，∴正态曲线关于x ＝3对称， 且P (X >2c －1)＝P (X <c ＋3)， ∴2c －1＋c ＋3＝3×2，∴c ＝43.题组三 易错自纠5．已知随机变量X ＋η＝8，若X ～B (10,0.6)，则E (η)，D (η)分别是( ) A ．6,2.4 B ．2,2.4 C ．2,5.6 D ．6,5.6答案 B解析 由已知随机变量X ＋η＝8，所以η＝8－X . 因此，求得E (η)＝8－E (X )＝8－10×0.6＝2， D (η)＝(－1)2D (X )＝10×0.6×0.4＝2.4.6．设随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12，则μ等于( ) A ．1 B ．2 C ．4 D ．不能确定 答案 C解析 当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点时，Δ＝16－4ξ<0，即ξ>4，根据正态曲线的对称性，当函数f (x )＝x 2＋4x ＋ξ没有零点的概率是12时，μ＝4.题型一 离散型随机变量的期望、方差命题点1 求离散型随机变量的期望、方差典例 某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定． (1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X ，求X 的分布列和期望． 解 (1)设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A ， 则P (A )＝56×45×34＝12.(2)依题意得，X 所有可能的取值是1,2,3. 又P (X ＝1)＝16，P (X ＝2)＝56×15＝16，P (X ＝3)＝56×45×1＝23.所以X 的分布列为所以E (X )＝1×16＋2×16＋3×23＝52.命题点2 已知离散型随机变量的期望与方差，求参数值典例 设袋子中装有a 个红球，b 个黄球，c 个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．(1)当a ＝3，b ＝2，c ＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E (η)＝53，D (η)＝59，求a ∶b ∶c . 解 (1)由题意得ξ＝2,3,4,5,6，故P (ξ＝2)＝3×36×6＝14，P (ξ＝3)＝2×3×26×6＝13，P (ξ＝4)＝2×3×1＋2×26×6＝518，P (ξ＝5)＝2×2×16×6＝19，P (ξ＝6)＝1×16×6＝136.所以ξ的分布列为(2)由题意知η的分布列为所以E (η)＝a a ＋b ＋c ＋2b a ＋b ＋c ＋3c a ＋b ＋c ＝53，D (η)＝⎝⎛⎭⎫1－532·a a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫2－532·b a ＋b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫3－532·c a ＋b ＋c ＝59，化简得⎩⎪⎨⎪⎧2a －b －4c ＝0，a ＋4b －11c ＝0.解得a ＝3c ，b ＝2c ，故a ∶b ∶c ＝3∶2∶1.思维升华 离散型随机变量的期望与方差的常见类型及解题策略(1)求离散型随机变量的期望与方差．可依题设条件求出离散型随机变量的分布列，然后利用期望、方差公式直接求解．(2)由已知期望或方差求参数值．可依据条件利用期望、方差公式得出含有参数的方程(组)，解方程(组)即可求出参数值．(3)由已知条件，作出对两种方案的判断．可依据期望、方差的意义，对实际问题作出判断． 跟踪训练 (2017·青岛一模)为迎接2022年北京冬奥会，推广滑雪运动，某滑雪场开展滑雪促销活动．该滑雪场的收费标准是：滑雪时间不超过1小时免费，超过1小时的部分每小时收费标准为40元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动，设甲、乙不超过1小时离开的概率分别为14，16；1小时以上且不超过2小时离开的概率分别为12，23；两人滑雪时间都不会超过3小时． (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率；(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与期望E (ξ)，方差D (ξ)． 解 (1)两人所付费用相同，相同的费用可能为0,40,80元，甲、乙两人2小时以上且不超过3小时离开的概率分别为⎝⎛⎭⎫1－14－12＝14，⎝⎛⎭⎫1－16－23＝16. 两人都付0元的概率为P 1＝14×16＝124，两人都付40元的概率为P 2＝12×23＝13，两人都付80元的概率为 P 3＝14×16＝124，则两人所付费用相同的概率为 P ＝P 1＋P 2＋P 3＝124＋13＋124＝512.(2)设甲、乙所付费用之和为ξ，ξ的可能取值为0,40,80,120,160，则 P (ξ＝0)＝14×16＝124，P (ξ＝40)＝14×23＋12×16＝14，P (ξ＝80)＝14×16＋12×23＋14×16＝512，P (ξ＝120)＝12×16＋14×23＝14，P (ξ＝160)＝14×16＝124.所以ξ的分布列为E (ξ)＝0×124＋40×14＋80×512＋120×14＋160×124＝80.D (ξ)＝(0－80)2×124＋(40－80)2×14＋(80－80)2×512＋(120－80)2×14＋(160－80)2×124＝4 0003.题型二 期望与方差在决策中的应用典例 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站．过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和．单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年，将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的入流量相互独立． (1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系：若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元．欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机多少台？ 解 (1)依题意，得p 1＝P (40<X <80)＝1050＝0.2，p 2＝P (80≤X ≤120)＝3550＝0.7，p 3＝P (X >120)＝550＝0.1.由二项分布可知，在未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率为p ＝C 04(1－p 3)4＋C 14(1－p 3)3p 3＝⎝⎛⎭⎫9104＋4×⎝⎛⎭⎫9103×110＝0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位：万元)． ①安装1台发电机的情形．由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y ＝5 000，E (Y )＝5 000×1＝5 000. ②安装2台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－800＝4 200，因此P (Y ＝4 200)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当X ≥80时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2＝10 000，因此P (Y ＝10 000)＝P (X ≥80)＝p 2＋p 3＝0.8.由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝4 200×0.2＋10 000×0.8＝8 840. ③安装3台发电机的情形．依题意，当40<X <80时，一台发电机运行，此时Y ＝5 000－1 600＝3 400，因此P (Y ＝3 400)＝P (40<X <80)＝p 1＝0.2；当80≤X ≤120时，两台发电机运行，此时Y ＝5 000×2－800＝9 200，因此P (Y ＝9 200)＝P (80≤X ≤120)＝p 2＝0.7；当X >120时，三台发电机运行，此时Y ＝5 000×3＝15 000，因此P (Y ＝15 000)＝P (X >120)＝p 3＝0.1，由此得Y 的分布列如下：所以，E (Y )＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620. 综上，欲使水电站年总利润的期望达到最大，应安装发电机2台．思维升华 随机变量的期望反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于期望的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较期望，若期望相同，再用方差来决定．跟踪训练 (2017·贵州调研)某投资公司在2018年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上，现有两个项目供选择：项目一：新能源汽车．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利30%，也可能亏损15%，且这两种情况发生的概率分别为79和29；项目二：通信设备．据市场调研，投资到该项目上，到年底可能获利50%，可能损失30%，也可能不赔不赚，且这三种情况发生的概率分别为35，13和115.针对以上两个投资项目，请你为投资公司选择一个合理的项目，并说明理由． 解 若按“项目一”投资，设获利为X 1万元，则X 1的分布列为∴E (X 1)＝300×79＋(－150)×29＝200.若按“项目二”投资，设获利为X 2万元，则X 2的分布列为∴E (X 2)＝500×35＋(－300)×13＋0×115＝200.D (X 1)＝(300－200)2×79＋(－150－200)2×29＝35 000，D (X 2)＝(500－200)2×35＋(－300－200)2×13＋(0－200)2×115＝140 000.∴E (X 1)＝E (X 2)，D (X 1)<D (X 2)，这说明虽然项目一、项目二获利相等，但项目一更稳妥． 综上所述，建议该投资公司选择项目一投资． 题型三 正态分布的应用典例 (2017·全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N (μ，σ2)．(1)假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件数，求P (X ≥1)及X 的期望；(2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性； (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9．95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10．26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得x －＝116∑i ＝116x i ＝9.97，s ＝116i ＝116(x i －x －)2＝116(∑i ＝116x 2i －16x －2)≈0.212，其中x i 为抽取的第i 个零件的尺寸，i ＝1,2， (16)用样本平均数x －作为μ的估计值μ^，用样本标准差s 作为σ的估计值σ^，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01)．附：若随机变量Z 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－3σ<Z <μ＋3σ)＝0.997 4,0.997 416≈0.959 2，0.008≈0.09.解 (1)抽取的一个零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之内的概率为0.997 4，从而零件的尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率为0.002 6，故X ～B (16,0.002 6)． 因此P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－0.997 416≈0.040 8. E (X )＝16×0.002 6＝0.041 6.(2)(ⅰ)如果生产状态正常，一个零件尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的概率只有0.002 6，一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(μ－3σ，μ＋3σ)之外的零件的概率只有0.040 8，发生的概率很小，因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的．(ⅱ)由x ＝9.97，s ≈0.212，得μ的估计值为μ^＝9.97，σ的估计值为σ^＝0.212，由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外，因此需对当天的生产过程进行检查． 剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的平均数为115×(16×9.97－9.22)＝10.02.因此μ的估计值为10.02.i ＝116x 2i ＝16×0.2122＋16×9.972≈1 591.134.剔除(μ^－3σ^，μ^＋3σ^)之外的数据9.22，剩下数据的样本方差为115×(1 591.134－9.222－15×10.022)≈0.008，因此σ的估计值为0.008≈0.09.思维升华 解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0.跟踪训练 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x ，σ2近似为样本方差s 2.①利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；②某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利用①的结果，求E (X )． 附：150≈12.2.若Z ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4. 解 (1)抽取产品的质量指标值的样本平均数x 和样本方差s 2分别为x ＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200，s 2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(2)①由(1)知，Z ～N (200,150)，即Z ～N (200,12.22)． 从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.②由①知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6， 依题意知X ～B (100,0.682 6)， 所以E (X )＝100×0.682 6＝68.26.离散型随机变量的期望与方差问题典例 (12分)为回馈顾客，某商场拟通过模拟兑奖的方式对1 000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ①顾客所获的奖励额为60元的概率； ②顾客所获的奖励额的分布列及期望；(2)商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由． 规范解答解 (1)设顾客所获的奖励额为X .①依题意，得P (X ＝60)＝C 11C 13C 24＝12，即顾客所获的奖励额为60元的概率为12.[2分]②依题意，得X 的所有可能取值为20,60. P (X ＝60)＝12，P (X ＝20)＝C 23C 24＝12，故X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为 E (X )＝20×12＋60×12＝40.[5分](2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元， 所以，先寻找期望为60的可能方案．对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10,10,10,50)的方案， 因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元； 如果选择(50,50,50,10)的方案， 因为60元是面值之和的最小值， 所以期望也不可能为60元；因此可能的方案是(10,10,50,50)，记为方案1. 对于面值由20元和40元组成的情况， 同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案， 所以可能的方案是(20,20,40,40)，记为方案2. 以下是对两个方案的分析． 对于方案1，即方案(10,10,50,50)， 设顾客所获的奖励额为X 1， 则X 1的分布列为]X 1的期望为E (X 1)＝20×16＋60×23＋100×16＝60，X 1的方差为D (X 1)＝(20－60)2×16＋(60－60)2×23＋(100－60)2×16＝1 6003.[9分]对于方案2，即方案(20,20,40,40)， 设顾客所获的奖励额为X 2， 则X 2的分布列为]X 2的期望为E (X 2)＝40×16＋60×23＋80×16＝60，X 2的方差为D (X 2)＝(40－60)2×16＋(60－60)2×23＋(80－60)2×16＝4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.[12分]求离散型随机变量的期望和方差问题的一般步骤 第一步：确定随机变量的所有可能取值；第二步：求每一个可能取值所对应的概率； 第三步：列出离散型随机变量的分布列； 第四步：求期望和方差；第五步：根据期望、方差进行判断，并得出结论(适用 于期望、方差的应用问题)；第六步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范性．1．(2018·太原模拟)随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列．若E (X )＝13，则D (X )的值是( )A.49B.59C.23D.95答案 B解析 a ＋b ＋c ＝1.又∵2b ＝a ＋c ，故b ＝13，a ＋c ＝23.由E (X )＝13，得13＝－a ＋c ，故a ＝16，c ＝12.D (X )＝⎝⎛⎭⎫－1－132×16＋⎝⎛⎭⎫0－132×13＋⎝⎛⎭⎫1－132×12＝59.故选B. 2．(2017·浙江)已知随机变量ξi 满足P (ξi ＝1)＝p i ，P (ξi ＝0)＝1－p i ，i ＝1,2.若0＜p 1＜p 2＜12，则( )A ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2)B ．E (ξ1)＜E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2)C ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＜D (ξ2) D ．E (ξ1)＞E (ξ2)，D (ξ1)＞D (ξ2) 答案 A解析 由题意可知ξi (i ＝1,2)服从二点分布，∴E (ξ1)＝p 1，E (ξ2)＝p 2，D (ξ1)＝p 1(1－p 1)，D (ξ2)＝p 2(1－p 2)， 又∵0＜p 1＜p 2＜12，∴E (ξ1)＜E (ξ2)，把方差看作函数y ＝x (1－x )，函数在⎝⎛⎭⎫0，12上为增函数，∴由题意可知，D (ξ1)＜D (ξ2)．故选A. 3.在如图所示的正方形中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分(曲线C 为正态分布N (0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )附：若X ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜X <μ＋σ)＝0.683， P (μ－2σ＜X <μ＋2σ)＝0.954.A ．2 386B ．2 718C ．3 415D ．4 772答案 C解析 由X ～N (0,1)知，P (－1＜X <1)＝0.683， ∴P (0≤X ≤1)＝12×0.683＝0.341 5，故S ≈0.341 5.∴落在阴影部分中点的个数x 的估计值为x 10 000＝S1(古典概型)，∴x ＝10 000×0.341 5＝3 415，故选C.4．若X ～B (n ，p )，且E (X )＝6，D (X )＝3，则P (X ＝1)的值为( ) A ．3×2－2B ．2－4C ．3×2－10D ．2－8答案 C解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧np ＝6，np (1－p )＝3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝12，n ＝12.∴P (X ＝1)＝C 112×12×⎝⎛⎭⎫1－1211＝12212＝3×2－10. 5．设随机变量X ～N (μ，σ2)，且X 落在区间(－3，－1)内的概率和落在区间(1,3)内的概率相等，若P (X >2)＝p ，则P (0<X <2)等于( ) A.12＋p B ．1－pC ．1－2p D.12－p 答案 D解析 由X 落在(－3，－1)内的概率和落在(1,3)内的概率相等得μ＝0. 又∵P (X >2)＝p ，∴P (－2<x <2)＝1－2p ， ∴P (0<X <2)＝1－2p 2＝12－p .6．某班举行了一次“心有灵犀”的活动，教师把一张写有成语的纸条出示给A 组的某个同学，这个同学再用身体语言把成语的意思传递给本组其他同学．若小组内同学甲猜对成语的概率是0.4，同学乙猜对成语的概率是0.5，且规定猜对得1分，猜不对得0分，则这两个同学各猜1次，得分之和X (单位：分)的期望为( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．1.2 D ．1.1答案 A解析 由题意得X ＝0,1,2，则 P (X ＝0)＝0.6×0.5＝0.3，P (X ＝1)＝0.4×0.5＋0.6×0.5＝0.5， P (X ＝2)＝0.4×0.5＝0.2， ∴E (X )＝1×0.5＋2×0.2＝0.9.7．(2017·全国Ⅱ)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D (X )＝________. 答案 1.96解析 由题意得X ～B (100,0.02)， ∴D (X )＝100×0.02×(1－0.02)＝1.96.8．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的分布列如下表：请小牛同学计算ξ的期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E (ξ)＝________. 答案 2解析 设“？”处的数值为x ，则“！”处的数值为1－2x ，则 E (ξ)＝1·x ＋2×(1－2x )＋3x ＝x ＋2－4x ＋3x ＝2.9．已知当X ～N (μ，σ2)时，P (μ－σ<X <μ＋σ)＝0.683，P (μ－2σ<X <μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<X <μ＋3σ)＝0.997，则ʃ4312π2(1)2e x --d x ＝________.答案 0.021 5解析 由题意，μ＝1，σ＝1，P (3≤X ≤4)＝12×[P (－2<X <4)－P (－1<X <3)]＝12×(0.997－0.954)＝0.021 5.10．随机变量ξ的取值为0,1,2.若P (ξ＝0)＝15，E (ξ)＝1，则D (ξ)＝________.答案 25解析 设P (ξ＝1)＝a ，P (ξ＝2)＝b ， 则⎩⎪⎨⎪⎧15＋a ＋b ＝1，a ＋2b ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝35，b ＝15，所以D (ξ)＝15＋35×0＋15×1＝25.11．(2017·天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为12，13，14.(1)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和期望； (2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率． 解 (1)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3， P (X ＝0)＝⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝1)＝12×⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＝1124， P (X ＝2)＝⎝⎛⎭⎫1－12×13×14＋12×⎝⎛⎭⎫1－13×14＋12×13×⎝⎛⎭⎫1－14＝14， P (X ＝3)＝12×13×14＝124.所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望E (X )＝0×14＋1×1124＋2×14＋3×124＝1312.(2)设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为 P (Y ＋Z ＝1)＝P (Y ＝0，Z ＝1)＋P (Y ＝1，Z ＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝14×1124＋1124×14＝1148.所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为1148.12．(2017·全国名校名师原创联考)汽车租赁公司为了调查A，B两种车型的出租情况，现随机抽取了这两种车型各100辆汽车，分别统计了每辆车某个星期内的出租天数，统计数据如下表：A型车B型车(1)从出租天数为3天的汽车(仅限A，B两种车型)中随机抽取一辆，估计这辆汽车恰好是A 型车的概率；(2)根据这个星期的统计数据，估计该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率；(3)①试写出A，B两种车型的出租天数的分布列及期望；②如果两种车型每辆车每天出租获得的利润相同，该公司需要从A，B两种车型中购买一辆，请你根据所学的统计知识，建议应该购买哪一种车型，并说明你的理由．解(1)这辆汽车是A型车的概率约为P＝3030＋20＝0.6，故这辆汽车是A型车的概率为0.6.(2)设“事件A i表示一辆A型车在一周内出租天数恰好为i天”，“事件B j表示一辆B型车在一周内出租天数恰好为j天”，其中i，j＝1,2,3， (7)则该公司一辆A型车，一辆B型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为P(A1B3＋A2B2＋A3B1)＝P(A1B3)＋P(A2B2)＋P(A3B1)＝P(A1)P(B3)＋P(A2)P(B2)＋P(A3)P(B1)＝5100×20100＋10100×20100＋30100×14100＝9125，故该公司一辆A 型车，一辆B 型车一周内合计出租天数恰好为4天的概率为9125.(3)①设X 为A 型车出租的天数，则X 的分布列为设Y 为B 型车出租的天数，则Y 的分布列为E (X )＝1×0.05＋2×0.10＋3×0.30＋4×0.35＋5×0.15＋6×0.03＋7×0.02＝3.62， E (Y )＝1×0.14＋2×0.20＋3×0.20＋4×0.16＋5×0.15＋6×0.10＋7×0.05＝3.48.②一辆A 类车型的出租车一个星期出租天数的期望为3.62天，B 类车型的出租车一个星期出租天数的期望为3.48天，故选择A 类型的出租车更加合理．13．某班有50名学生，一次考试的数学成绩ξ服从正态分布N (100,102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为________． 答案 10解析 由题意知，P (ξ>110)＝1－2P (90≤ξ≤100)2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×50＝10.14．一个不透明的盒子中关有蝴蝶、蜜蜂和蜻蜓三种昆虫共11只，现在盒子上开一小孔，每次只能飞出1只昆虫(假设任意1只昆虫等可能地飞出)．若有2只昆虫先后任意飞出(不考虑顺序)，则飞出的是蝴蝶或蜻蜓的概率是2155.(1)求盒子中蜜蜂有几只；(2)若从盒子中先后任意飞出3只昆虫(不考虑顺序)，记飞出蜜蜂的只数为X ，求随机变量X 的分布列与期望E (X )．解 (1)设“2只昆虫先后任意飞出，飞出的是蝴蝶或蜻蜓”为事件A ，设盒子中蜜蜂为x 只，则由题意，得 P (A )＝C 211－x C 211＝2155，所以(11－x )(10－x )＝42， 解得x ＝4或x ＝17(舍去)， 故盒子中蜜蜂有4只．(2)由(1)知，盒子中蜜蜂有4只，则X 的取值为0,1,2,3，P (X ＝0)＝C 37C 311＝733，P (X ＝1)＝C 14C 27C 311＝2855，P (X ＝2)＝C 24C 17C 311＝1455，P (X ＝3)＝C 34C 311＝4165.故X 的分布列为期望E (X )＝0×733＋1×2855＋2×1455＋3×4165＝1211.15．(2017·黄冈调研)已知6只小白鼠中有1只感染了病毒，需要对6只小白鼠进行病毒DNA 化验来确定哪一只受到了感染．下面是两种化验方案：方案甲：逐个化验，直到能确定感染病毒的小白鼠为止．方案乙：将6只小白鼠分为两组，每组三只，将其中一组的三只小白鼠的待化验物质混合在一起化验，若化验结果显示含有病毒DNA ，则表明感染病毒的小白鼠在这三只当中，然后逐个化验，直到确定感染病毒的小白鼠为止；若化验结果显示不含病毒DNA ，则在另外一组中逐个进行化验． (1)求执行方案乙化验次数恰好为2次的概率；(2)若首次化验的化验费为10元，第二次化验的化验费为8元，第三次及以后每次化验的化验费都是6元，求方案甲所需化验费的分布列和期望． 解 (1)执行方案乙化验次数恰好为2次的情况分两种：第一种，先化验一组，结果显示不含病毒DNA ，再从另一组中任取一只进行化验，其恰好含有病毒DNA ，此种情况的概率为C 35C 36×1C 13＝16；第二种，先化验一组，结果显示含病毒DNA ，再从中逐个化验，恰好第一只含有病毒，此种情况的概率为C 25C 36×1C 13＝16.所以执行方案乙化验次数恰好为2次的概率为16＋16＝13.(2)设用方案甲化验需要的化验费为η(单位：元)，则η的可能取值为10,18,24,30,36. P (η＝10)＝16，P (η＝18)＝56×15＝16，P (η＝24)＝56×45×14＝16，P (η＝30)＝56×45×34×13＝16，P (η＝36)＝56×45×34×23＝13，则化验费η的分布列为所以E (η)＝10×16＋18×16＋24×16＋30×16＋36×13＝773(元)．16．(2017·江苏)已知一个口袋有m 个白球，n 个黑球(m ，n ∈N ＋，n ≥2)，这些球除颜色外完全相同．现将口袋中的球随机的逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3，…，m ＋n 的抽屉内，其中第k 次取球放入编号为k 的抽屉(k ＝1,2,3，…，m ＋n ).(1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；(2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E (X )是X 的期望，证明：E (X )<n(m ＋n )(n －1).(1)解 编号为2的抽屉内放的是黑球的概率为p ＝C n －1m ＋n －1C n m ＋n ＝n m ＋n.(2)证明 随机变量X 的分布列为随机变量X 的期望为E (X )＝k ＝n m ＋n 1k ·C n －1k －1C n m ＋n ＝1C n m ＋n k ＝n m ＋n 1k ·(k －1)！(n －1)！(k －n )！.所以E (X )<1C n m ＋n k ＝n m ＋n (k －2)！(n －1)！(k －n )！＝1(n －1)C nm ＋n k ＝n m ＋n (k －2)！(n －2)！(k －n )！＝1(n －1)C n m ＋n(1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2)＝1(n －1)C n m ＋n (C n －1n －1＋C n －2n －1＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1n ＋C n －2n ＋…＋C n －2m ＋n －2) ＝…＝1(n －1)C n m ＋n(C n －1m ＋n －2＋C n －2m ＋n －2) ＝C n －1m ＋n －1(n －1)C n m ＋n ＝n (m ＋n )(n －1)， 即E (X )<n (m ＋n )(n －1).。

第一讲随机事件的概率考点1随机事件的频率与概率1.在下列六个事件中,随机事件的个数为()①如果a,b都是实数,那么a+b=b+a;②从分别标有数字1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的10张号签中任取一张,得到4号签;③没有水分,种子发芽;④某电话总机在60秒内接到至少10次呼叫;⑤在标准大气压下,水的温度达到50 ℃时沸腾;⑥同性电荷,相互排斥.A.2B.3C.4D.52.某老师在一个盒子里装有5张分别标有数字1,2,3,4,5的卡片,现让甲同学从盒子里任取2张卡片,则他取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率为.考点2事件间的关系及运算3.下列命题:①将一枚硬币抛两次,设事件M:“出现两次正面”,事件N:“只出现一次反面”,则事件M与N互为对立事件;②若事件A与B互为对立事件,则事件A与B为互斥事件;③若事件A与B为互斥事件,则事件A与B互为对立事件;④若事件A与B互为对立事件,则事件A∪B为必然事件.其中,真命题是()A.①②④B.②④C.③④D.①②4.若p:“事件A与事件B是对立事件”,q:“概率满足P(A)+P(B)=1”,则p是q的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.袋中装有9个白球,2个红球,从中任取3个球,则①恰有1个红球和全是白球;②至少有1个红球和全是白球;③至少有1个红球和至少有2个白球;④至少有1个白球和至少有1个红球.在上述事件中,是对立事件的为.考点3概率的几个基本性质6.从某班学生中任意找出一人,如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2,该同学的身高在[160,175](单位:cm)内的概率为0.5,那么该同学的身高超过175 cm的概率为()A.0.2B.0.3C.0.7D.0.87.某人去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.他乘火车或乘飞机去的概率为.8.口袋内装有一些大小、形状相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0.42,摸出白球的概率是0.28,那么摸出黑球的概率是.9.若随机事件A,B互斥,A,B发生的概率均不等于0,且P(A)=2-a,P(B)=3a-4,则实数a的取值范围为.答案1.A①⑥是必然事件;③⑤是不可能事件;②④是随机事件.故选A.2.从盒子里任取2张卡片的所有基本事件有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共10个,其中2张卡片上的数字之积是偶数的基本事件有(1,2),(1,4),(2,3), (2,4),(2,5),(3,4),(4,5),共7个,所以取出的2张卡片上的数字之积是偶数的概率P=.3.B对于①,将一枚硬币抛两次,有{正,正},{正,反},{反,正},{反,反},共四种结果,则事件M与N 是互斥事件,但不是对立事件,故①错误.对于②,对立事件必是互斥事件,故②正确.对于③,互斥事件不一定是对立事件,故③错误.对于④,事件A,B互为对立事件,则在一次试验中A,B一定有一个发生,故④正确.故选B.4.A若事件A与事件B是对立事件,则A∪B为必然事件,再由概率的加法公式得P(A)+P(B)=1.设掷一枚硬币3次,事件A:“至少出现一次正面”,事件B:“3次出现正面”,则P(A)=,P(B)=,满足P(A)+P(B)=1,但A,B不是对立事件.所以p是q的充分不必要条件.故选A.5.②①是互斥不对立的事件,②是对立事件,③④不是对立事件.6.B该同学的身高超过175 cm的概率为1-0.2-0.5=0.3,故选B.7.0.7设此人乘火车、轮船、汽车、飞机去开会分别用事件A,B,C,D表示,则事件A,B,C,D是互斥事件,P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7,所以他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.8.0.3事件“摸出红球或白球”与事件“摸出黑球”是对立事件,设M为事件“摸出红球或白球”,则。