最新人教版高中数学必修1第三章《用二分法求方程的近似解》习题详解

4.5.2用二分法求方程的近似解一、单选题1．用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为0.1的正实数零点的近似值为（ ） A ．0.9B ．0.7C ．0.5D ．0.42．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，第二次应计算f (x 1)，则x 1等于（ ） A ．1B ．－1C ．0.25D ．0.753．设函数3()48f x x x =+-，用二分法求方程3480x x +-=近似解的过程中，计算得到()10f <，()30f >，则方程的近似解落在区间（ ） A ．()1,1.5 B ．()1.5,2 C ．()2,2.5D ．()2.5,34．已知函数()22log 6f x x x =--，用二分法求()f x 的零点时，则其中一个零点的初始区间可以为（ ）A ．()1,2B ．()2,2.5C ．()2.5,3D ．()3,3.55．一种药在病人血液中的量保持1500mg 以上才有效，而低于500mg 病人就有危险．现给某病人注射了这种药2500mg ，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过（ ）小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：1g20.301=，1g30.4771=，答案采取四舍五入精确到0.1h ） A ．2.3小时B ．3.5小时C ．5.6小时D ．8.8小时二、多选题6．用二分法求函数()232xf x x =+-在区间[]0,2上的零点近似值取区间中点1，则（ ） A ．下一个存在零点的区间为()0,1B ．下一个存在零点的区间为()1,2C ．要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭D ．要达到精确度1的要求，应该接着计算32f ⎛⎫ ⎪⎝⎭7．以下函数图象中，能用二分法求函数零点的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：A ．1.25B ．1.4375C ．1.40625D ．1.42199．下列函数中，有零点但不能用二分法求零点的近似值的是（ ）A ．y =2x+1B ．y =1010x x x x -+≥⎧⎨+<⎩，，，C ．y =12x 2+4x +8D ．y =|x |10．若函数()f x 的图像在R 上连续不断，且满足(0)0f <，(1)0f >，(2)0f >，则下列说法错误的是（ ） A ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上一定没有零点 B ．()f x 在区间(0，1)上一定没有零点，在区间(1，2)上一定有零点 C ．()f x 在区间(0，1)上一定有零点，在区间(1，2)上可能有零点 D ．()f x 在区间(0，1)上可能有零点，在区间(1，2)上一定有零点三、填空题11．为了求函数()237x f x x =+-的一个零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数()f x 的部分对应值，如下表所示：12．已知函数()322f x x x =--，()()120f f ⋅<，用二分法逐次计算时，若0x 是[]1,2的中点，则()0f x =________.四、解答题13．用二分法求24x x +=在[1]2，内的近似解(精确度为0.2).参考数据：14．判断函数()321f x x =-的零点个数，并用二分法求零点的近似值．(精确度0.1)15．为确定传染病的感染者，医学上可采用“二分检测方案”．假设待检测的总人数是2m （m 为正整数）．将这2m 个人的样本混合在一起做第1轮检测（检测1次），如果检测结果是阴性，可确定这些人都未感染；如果检测结果是阳性，可确定其中有感染者，则将这些人平均分成两组，每组12m -个人的样本混合在一起做第2轮检测，每组检测1次．依此类推：每轮检测后，排除结果为阴性的组，而将每个结果为阳性的组再平均分成两组，做下一轮检测，直至确定所有的感染者． 例如，当待检测的总人数为8，且标记为“x ”的人是唯一感染者时，“二分检测方案”可用下图表示．从图中可以看出，需要经过4轮共n 次检测后，才能确定标记为“x ”的人是唯一感染者．（1）写出n 的值；（2）若待检测的总人数为8，采用“二分检测方案”，经过4轮共9次检测后确定了所有的感染者，写出感染者人数的所有可能值；（3）若待检测的总人数为102，且其中不超过2人感染，写出采用“二分检测方案”所需总检测次数的最大值．参考答案1．B 【分析】利用二分法求函数零点的近似值的条件及方法分析判断即得. 【详解】依题意，函数的零点在(0.68，0.72)内，四个选项中只有0.70.68,()0.72∈，且满足|0.72-0.68|<0.1， 所以所求的符合条件的近似值为0.7. 故选：B 2．C 【分析】根据二分法的原理，直接求解即可. 【详解】第一次计算，得f (0)<0，f (0.5)>0，可知零点在()0,0.5之间， 所以第二次计算f (x 1)，则x 1＝00.52+＝0.25. 故选：C 3．A 【分析】根据二分法求方程的近似解的过程，由条件先求得()20f >，再求32f ⎛⎫⎪⎝⎭的符号，只须找到满足()()0f a f b <即可【详解】取12x =，因为()24828260f =⨯+-=>，所以方程近似解()01,2x ∈， 取232x =，因为3273f 4870282⎛⎫=⨯+-=> ⎪⎝⎭，所以方程近似解031,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故选：A. 4．C 【分析】根据函数解析式，结合二次函数与对数函数单调性，分别判断ABD 都不正确，再结合零点存在性定理，即可得出结果. 【详解】因为函数()22log 6f x x x =--在()0,∞+上显然是连续函数，2yx 和2log 6y x =+在()0,∞+上都是增函数，当()1,2x ∈时，2222246log 16log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()1,2x ∈上恒成立； 当()2,2.5x ∈时，22222.5 6.257log 26log 6x x <=<=+<+，所以()22log 60f x x x =--<在()2,2.5x ∈上也恒成立；当()3,3.5x ∈时，222239log 3.56log 6x x >=>+>+，所以()22log 60f x x x =-->在()3,3.5x ∈上恒成立，又22(2.5) 2.5log 2.560f =--<，2(3)9log 360f =-->，根据函数零点存在性定理，可得()f x 的其中一个零点的初始区间可为()2.5,3. 故选：C. 【点睛】 方法点睛：判断零点所在区间的一般方法：先根据题中条件，判断函数在所给区间是连续函数，再由零点存在性定理，即可得出结果. 5．A 【分析】药在血液中以每小时20%的比例衰减，根据指数函数模型列方程或不等式求解． 【详解】设从现在起经过x 小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 则25000.81500x ⨯=，0.80.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，lg 0.8lg 0.6x =，6lglg 0.6lg 2lg310.3010.4771110 2.38lg 0.83lg 2130.3011lg 10x +-+-====≈-⨯-．故选：A ． 6．AC 【分析】根据二分法求零点的步骤，逐一检验选项，即可得答案. 【详解】因为()0020210f =+-=-<，()222620f =+->，()112320f =+->，所以()()010f f <，所以下一个存在零点的区间为()0,1，故A 正确，B 错误； 要达到精确度1的要求，应该接着计算12f ⎛⎫⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误.故选：AC ． 7．ABC 【分析】根据利用二分法无法求不变号的零点问题确定选项. 【详解】D 选项虽然有零点，但是在零点左右两侧函数值符号都相同， 因此不能用二分法求零点，而A ，B ，C 选项符合利用二分法求函数零点的条件． 故选：ABC ． 【点睛】本题考查了零点判定定理的应用和二分法求解函数的零点．属于容易题. 8．BCD 【分析】由根的存在性定理判断根的较小区间，从而求近似解． 【详解】解：由表格可得，函数32()22f x x x x =+--的两点在(1.375,1.4375)之间， 符合条件的有BCD. 故选：BCD ． 9．CD 【分析】根据二分法定义，只有零点两侧函数值异号才可用二分法求近似值． 【详解】对于选项C ，y =12x 2+4x +8=12(x +4)2≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 对于选项D ，y =|x |≥0，故不能用二分法求零点的近似值. 易知选项A ，B 有零点，且可用二分法求零点的近似值. 故选：CD ． 10．ABD 【分析】根据()f x 的图像在R 上连续不断，()00f <，()10f >，()20f >，结合零点存在定理，判断出在区间()0,1和()1,2上零点存在的情况，得到答案． 【详解】由题知()()010f f ⋅<，所以根据函数零点存在定理可得()f x 在区间()0,1上一定有零点， 又()()120f f ⋅>，无法判断()f x 在区间()1,2上是否有零点，在区间(1，2)上可能有零点． 故选：ABD ． 11．1.4 【分析】根据函数零点存在定理、用二分法求方程的近似解的相关知识，代值求解即可. 【详解】由题表知()()1.375 1.43750f f ⋅<，且1.4375 1.3750.06250.1-=<， 所以方程的一个近似解可取为1.4， 故答案为：1.4. 12． 1.625-. 【分析】先求出0x 的值，再代入解析式即可求解. 【详解】因为0x 是[]1,2的中点，所以0 1.5x =，所以()()30 1.5 1.52 1.52 1.625f x f ==-⨯-=-，故答案为： 1.625-. 13．1.375 【分析】本题直接用二分法求方程的近似解即可. 【详解】解：令()24xf x x =+-，则()12140f =+-<，()222240f =+->，∵24x x +=在[1]2，内的近似解可取为1.375. 14．0.75 【分析】首先由()()010f f ⋅<结合()f x 的单调性可知()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，再利用取区间中点的方法利用零点存在性定理将零点所在区间逐渐减半，直到满足精确度即可. 【详解】因为()321f x x =-，所以()010f =-<，()12110f =-=>因为()()010f f ⋅<，所以()f x 在区间()0,1内有零点，因为()321f x x =-在R 上为增函数，所以()f x 有且只有一个零点()00,1x ∈，取区间()0,1的中点10.5x =，()30.520.510.750f =⨯-=-<，所以()()0.510f f ⋅<，可得()00.5,1x ∈，取区间()0.5,1的中点20.75x =，()30.7520.7510.156250f =⨯-=-<，所以()()0.7510f f ⋅<，可得()00.75,1x ∈，取区间()0.75,1的中点30.875x =，()30.87520.87510.33980f =⨯-=>，所以()()0.750.8750f f ⋅<，可得()00.75,0.875x ∈，取区间()0.75,0.875的中点40.8125x =，()30.812520.812510.07280f =⨯-=>，所以()()0.750.81250f f ⋅<，可得()00.75,0.8125x ∈， 因为0.81250.750.06250.1-=<，所以()321f x x =-零点的近似值可取为0.75.15．（1）7n =；（2）感染者人数可能的取值为2，3，4；（3）39． 【分析】（1）由图可计算得到n的取值；（2）当经过4轮共9次检测后确定所有感染者，只需第3轮对两组都进行检查，由此所有可能的结果；（3）当所需检测次数最大时，需有2名感染者，并在第2轮检测时分居两组当中，从而将问题转化为待检测人数为92的组，每组1个感染者，共需的检测次数，由此可计算求得结果.【详解】（1）由题意知：第1轮需检测1次；第2轮需检测2次；第3轮需检测2次；第4轮需检测2次；12227∴=+++=；n（2）由（1）可知：若只有1个感染者，则只需7次检测即可；经过4轮共9次检测查出所有感染者，比只有1个感染者多2次检测，则只需第3轮时，对两组都都进行检查，即对最后4个人进行检查，可能结果如下图所示：∴感染者人数可能的取值为2，3，4.（3）若没有感染者，则只需1次检测即可；+⨯=次检测即可；若只有1个感染者，则只需121021若有2个感染者，若要检测次数最多，则第2轮检测时，2个感染者不位于同一组中；+⨯=次检测；∴此时两组共此时相当于两个待检测人数均为92的组，每组1个感染者，此时每组需要12919⨯=次检测；需21938∴若有2个感染者，且检测次数最多，共需38139+=次检测.综上所述：所需总检测次数的最大值为39.。

课时作业(二十四) 用二分法求方程的近似解一、选择题1．函数f (x )的图象如图所示，能够用二分法求出的函数f (x )的零点个数为( )A ．0B ．1C ．4D ．3答案：D 解析：由图可知，图象与x 轴有四个公共点，其中有3个变号零点，故选D.2. 下列函数中，不能用二分法求零点的是( )A ．y ＝3x ＋1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝log 2(x －1)D ．y ＝(x －1)2答案：D 解析：结合函数y ＝(x －1)2的图象可知，该函数在x ＝1的左右两侧函数值的符号均为正，故其不能用二分法求零点．3．在用“二分法”求函数f (x )的零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是( )A ．[1,4]B ．[－2,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，52 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1 答案：D 解析：由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，第三次所取区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，52 或⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，4. 4．为了求函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点，某同学利用计算器得到自变量x 和函数f (x )的部分对应值(精确度0.1)如下表所示．A ．1.5B ．1.4C ．1.3D ．1.2答案：B 解析：函数f (x )＝2x ＋3x －7的零点在区间(1.375,1.437 5)内，且|1.375－1.437 5|＝0.062 5<0.1，所以方程2x ＋3x ＝7的近似解(精确到0.1)可取为1.4.5．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 与函数y ＝lg x 的图象的交点的横坐标(精确度0.1)约是( )A ．1.5B ．1.6C ．1.7D ．1.8答案：D 解析：设f (x )＝lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，经计算f (1)＝－12＜0，f (2)＝lg 2－14＞0，所以方程lg x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝0在[1,2]内有解．应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D 符合要求．二、填空题6．若函数f (x )的图象是连续不间断的，根据下面的表格，可以断定f (x )的零点所在的区间为________．(填序号)①(－∞，1]；②[1,2]；③[2,3]；④[3,4]；⑤[4,5]；⑥[5,6]；⑦[6，＋∞)．答案：③④⑤ 解析：判断区间端点的函数值情况，即可知③④⑤正确．7．用二分法求函数y ＝f (x )在区间(2,4)上的近似解，验证f (2)·f (4)＜0，给定精确度ε＝0.01，取区间(2,4)的中点x 1＝2＋42＝3.计算f (2)·f (x 1)＜0，则此时零点x 0∈________.(填区间)答案：(2,3) 解析：∵f (2)·f (4)＜0，f (2)·f (3)＜0，故x 0∈(2,3)．8．用二分法求方程x 3－8＝0在区间(2,3)内的近似解，经过________次“二分”后精确度能达到0.01.答案：7 解析：设n 次“二分”后精确度达到0.01，∵区间(2,3)的长度为1，∴12n ＜0.01，即2n ＞100.注意到26＝64＜100,27＝128＞100.故要经过7次二分后精确度达到0.01.9．函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法求出，则a ，b 的关系是________．答案：a 2＝4b 解析：∵函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 有零点，但不能用二分法， ∴函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 图象与x 轴相切，∴Δ＝a2－4b＝0，∴a2＝4b.三、解答题10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．证明：由于f(1)＝－1＜0，f(2)＝4＞0，又函数f(x)是增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．下面用二分法求解：因为6精确度为0.1的零点可取为1.25.11．已知函数f(x)＝x3＋x.(1)试求函数y＝f(x)的零点；(2)是否存在自然数n，使f(n)＝1 000？若存在，求出n，若不存在，请说明理由．解：(1)函数y＝f(x)的零点即方程x3＋x＝0的实数根，解方程得x＝0.(2)经计算得f(9)＝738，f(10)＝1 010，由函数f(x)＝x3＋x在区间(0，＋∞)上单调递增，可知不存在自然数n，使f(n)＝1 000成立．12．试用计算器求出函数f(x)＝x2，g(x)＝2x＋2的图象交点的横坐标(精确度0.1)．解：令h(x)＝f(x)－g(x)＝x2－2x－2.∵h(2)＝22－2×2－2＝－2＜0，h(3)＝32－2×3－2＝1＞0，h(2)·h(3)＜0，∴h(x)＝x2－2x－2在(2,3)上有零点x0.取(2,3)的中点x1＝2.5，则h(2.5)＜0，∴x0∈(2.5,3)；取(2.5,3)的中点x2＝2.75，则h(2.75)＞0，∴x0∈(2.5,2.75)；取(2.5,2.75)的中点x3＝2.625，则h(2.625)＜0，∴x0∈(2.625,2.75)；取(2.625,2.75)的中点x4＝2.687 5，则h(2.687 5)＜0，∴x0∈(2.687 5,2.75)．由于|2.75－2.687 5|＝0.062 5＜0.1，所以f(x)＝x2与g(x)＝2x＋2的一个交点的横坐标约为2.687 5.同理可得另一个交点的横坐标为－0.687 5.尖子生题库13．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的根的情况．解：图象如图所示，因为f(0)＝－1<0，f(2)＝1>0，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有根x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－1<0，所以f(1)·f(2)<0，根x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.25<0，所以f(1.5)·f(2)<0，根x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.312 5>0，所以f(1.5)·f(1.75)<0，根x0在区间(1.5，1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似根．。

知识导图学法指导1.明确二分法的适用条件：图象在零点附近连续，零点．2．在求方程近似解时，先利用函数图象求出解的初始区间，再列表逼近零点，注意精确度、初始区间对方程近似解的影响知识点用二分法求方程的近似解(2)若f (a )·f (c )<0，则令b ＝c (此时零点x 0∈(a ，c ))；(3)若f (c )·f (b )<0，则令a ＝c (此时零点x 0∈(c ，b ))．第四步：判断是否达到精确度ε，即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )，否则重复第二步至第四步．[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)所有函数的零点都可以用二分法来求．( )(2)函数f (x )＝|x |可以用二分法求其零点．( )(3)精确度ε就是近似值．( )答案：(1)× (2)× (3)×2．以下每个图象表示的函数都有零点，但不能用二分法求函数零点近似值的是( )解析：根据二分法的基本方法，函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象连续不断，且f (a )·f (b )<0，即函数的零点是变号零点，才能将区间[a ，b ]一分为二，逐步得到零点的近似值．对各图象分析可知，选项A 、B 、D 都符合条件，而选项C 不符合，因为图象在零点两侧函数值不异号，因此不能用二分法求函数零点的近似值．答案：C3．在用二分法求函数f (x )的一个正实数零点时，经计算，f (0.64)<0，f (0.72)>0，f (0.68)<0，则函数的一个精确度为 0.1的正实数零点的近似值为( )A ．0.6B ．0.75C ．0.7D ．0.8解析：已知f (0.64)<0，f (0.72)>0，则函数f (x )的零点的初始区间为[0.64,0.72]．又0.68＝0.64＋0.722，且f (0.68)<0， 所以零点在区间[0.68,0.72]上，因为|0.68－0.72|＝0.04<0.1，因此所求函数的一个正实数零点的近似值约为0.7，故选C.答案：(2,3)零点的是()【解析】(1)A×解方程x＋7＝0，得x＝－B×解方程5x－1＝0，得x＝[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．(2)二分法求函数零点步骤的记忆口诀定区间，找中点，中值计算两边看．同号丢，异号算，零点落在异号间．重复做，何时止，精确度来把关口．跟踪训练2利用计算器求方程x2－2x－1＝0的正解的近似值(精确度0.1)．【解析】设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，又f(x)在(2,3)内递增，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有唯一实数根，记为x0.取区间(2,3)的中点x1＝2.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴x0∈(2,2.5)．再取区间(2,2.5)的中点x2＝2.25，∵f(2.25)＝－0.437 5<0，∴x0∈(2.25,2.5)．同理可得，x0∈(2.375,2.5)，x0∈(2.375,2.437 5)．∵|2.375－2.437 5|＝0.062 5<0.1，故方程x2－2x－1＝0的一个精确度为0.1的近似正解可取为2.437 5.本题用求根公式可以求得x1＝1＋2，x2＝1－2，取精确到0.1的近似值是x1≈2.4，x2≈－0.4.这与用二分法所得结果相同.[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分)1．用二分法求如图所示函数f(x)的零点时，不可能求出的零点是()A．x1B．x2C．x3D．x4解析：观察图象可知：零点x3的附近两边的函数值都为负值，所以零点x3不能用二分法求出．答案：C的零点即方程x5－在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与。

3.1.2用二分法求方程的近似解自主学习理解求方程近似解的二分法的基本思想，能够借助科学计算器用二分法求给定方程的满足一定精确度要求的近似解．1．二分法的概念对于在区间[a，b]上连续不断且________________的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间________________，使区间的两个端点________________________，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．由函数的零点与相应方程根的关系，可用二分法来求________________________．2．用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤(给定精确度ε)(1)确定区间[a，b]，使________________．(2)求区间(a，b)的中点，x1＝________________.(3)计算f(x1)．①若f(x1)＝0，则________________________；②若f(a)·f(x1)<0，则令b＝x1(此时零点x0∈________________)；③若f(x1)·f(b)<0，则令a＝x1(此时零点x0∈________________)．(4)继续实施上述步骤，直到区间________________，函数的零点总位于区间________________上，当a n和b n按照给定的精确度所取的近似值相同时，这个相同的近似值就是函数y＝f(x)的近似零点，计算终止．这时函数y＝f(x)的近似零点满足给定的精确度．对点讲练能用二分法求零点的条件【例1】下列函数中能用二分法求零点的是()规律方法判定一个函数能否用二分法求其零点的依据是：其图象在零点附近是连续不断的，且该零点为变号零点．因此，用二分法求函数的零点近似值的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．变式迁移1 若y＝f(x)在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)f(b)<0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0B．若f(a)f(b)<0，存在且只存在一个实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0C．若f(a)f(b)>0，不存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0D．若f(a)f(b)>0，有可能存在实数c∈(a，b)，使得f(c)＝0求函数的零点【例2】判断函数y＝x3－x－1在区间[1,1.5]内有无零点，如果有，求出一个近似零点(精确度0.1)．规律方法由于用二分法求函数零点的近似值步骤比较繁琐，因此用列表法往往能比较清晰地表达．事实上，还可用二分法继续算下去，进而得到这个零点精确度更高的近似值．变式迁移2 求函数f(x)＝x3＋2x2－3x－6的一个正数零点(精确度0.1)．二分法的综合运用【例3】证明方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解，并求出这个实数解(精确度0.1)．规律方法用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面，一是转化成函数的零点问题，二是逐步缩小考察范围，逼近问题的解．变式迁移3 求32的近似解(精确度为0.01并将结果精确到0.01)．1．能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的变号零点适用，对函数的不变号零点不适用．2．二分法实质是一种逼近思想的应用．区间长度为1时，使用“二分法”n次后，精确度为12n.3．求函数零点的近似值时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同．精确度为ε，是指在计算过程中得到某个区间(a，b)后，若其长度小于ε，即认为已达到所要求的精确度，可停止计算，否则应继续计算，直到|a－b|<ε为止．课时作业一、选择题1．下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是()2．设函数y ＝x 3与y ＝⎝⎛⎭⎫12x －2的图象的交点为(x 0，y 0)，则x 0所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)3．设f (x )＝3x ＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1，2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根落在区间( )A ．(1,1.25)B ．(1.25,1.5)C ．(1.5,2)D ．不能确定4．方程2x －1＋x ＝5的解所在的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)5．用二分法研究函数f (x )＝x 3＋3x －1的零点时，第一次经计算f (0)<0，f (0.5)>0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为( )A ．(0,0.5) f (0.25)B ．(0,1) f (0.25)C ．(0.5,1) f (0.25)D ．(0,0.5) f (0.125)二、填空题6．在用二分法求方程f (x )＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f (0.625)<0，f (0.75)>0，f (0.6875)<0，即可得出方程的一个近似解为________________(精确度为0.1)．7．用二分法求方程x 2－5＝0在区间(2,3)的近似解经过________次二分后精确度能达到0.01.三、解答题8．求函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2的一个正实数零点(精确度为0.1)．9．利用计算器，求方程lg x ＝2－x 的近似解(精确度为0.1)．3.1.2 用二分法求方程的近似解答案自学导引1．f (a )·f (b )<0 一分为二 逐步逼近零点 方程的近似解2．(1)f (a )·f (b )<0 (2)a ＋b 2(3)①x 1就是函数的零点 ②(a ，x 1) ③(x 1，b ) (4)[a n ，b n ] [a n ，b n ]对点讲练【例1】 C [在A 中，函数无零点．在B 和D 中，函数有零点，但它们均是不变号零点，因此它们都不能用二分法来求零点．而在C 中，函数图象是连续不断的，且图象与x 轴有交点，并且其零点为变号零点，∴C 中的函数能用二分法求其零点．]变式迁移1 D [由零点存在性定理可知选项A 不正确；对于选项B 可通过反例“f (x )＝x (x －1)(x ＋1)在区间[－2，2]上满足f (－2)f (2)<0，但其存在三个零点：－1,0,1”推翻；选项C 可通过反例“f (x )＝(x －1)(x ＋1)在区间[－2,2]上满足f (－2)f (2)>0，但其存在两个零点：－1,1”推翻．]【例2】 解 因为f (1)＝－1<0，f (1.5)＝0.875>0，且函数y ＝x 3－x －1的图象是连续的曲线，所以它在区间[1,1.5]内有零点，用二分法逐次计算，列表如下：由于|1.375所以函数的一个近似零点为1.312 5.变式迁移2解由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间(1,2)作为计算的初始区间，用由于|1.75－所以可将1.687 5作为函数零点的近似值．【例3】证明设函数f(x)＝2x＋3x－6，∵f(1)＝－1<0，f(2)＝4>0，又∵f(x)是增函数，∴函数f(x)＝2x＋3x－6在区间[1,2]内有唯一的零点，则方程6－3x＝2x在区间[1,2]内有唯一一个实数解．设该解为x0，则x0∈[1,2]，取x1＝1.5，f(1.5)＝1.33>0，f(1)·f(1.5)<0，∴x0∈(1,1.5)，取x2＝1.25，f(1.25)＝0.128>0，f(1)·f(1.25)<0，∴x0∈(1,1.25)，取x3＝1.125，f(1.125)＝－0.444<0，f(1.125)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.125,1.25)，取x4＝1.187 5，f(1.187 5)＝－0.16<0，f(1.187 5)·f(1.25)<0，∴x0∈(1.187 5,1.25)．∵|1.25－1.187 5|＝0.062 5<0.1，∴1.187 5可以作为这个方程的实数解．变式迁移3解设x＝32，则x3－2＝0.令f(x)＝x3－2，则函数f(x)的零点的近似值就是32的近似值，以下用二分法求其零点的近似值．由于f(1)＝－1<0，f(2)＝6>0，故可以取区间[1,2]为计算的初始区间．由于＝0.007 81<0.01，所以函数f (x )零点的近似值是1.26， 即32的近似值是1.26.课时作业1．B2．B [数形结合可知，交点横坐标在(1,2)内．]3．B [1.5为区间(1,2)的中点，且f (1)<0，f (1.5)>0，∴方程的根x 0∈(1,1.5)，又1.25是(1,1.5)的中点且f (1.5)>0，f (1.25)<0，∴x 0∈(1.25,1.5)．]4．C [令f (x )＝2x －1＋x －5，则f (2)＝－1<0，f (3)＝2>0，∴f (2)f (3)<0，故选C.]5．A [∵f (0)<0，f (0.5)>0，∴f (0)·f (0.5)<0，故f (x )在(0,0.5)必有零点，利用二分法，则第二次计算应为f ⎝⎛⎭⎫0＋0.52＝f (0.25)．]6．0.75或0.687 5解析 因为|0.75－0.687 5|＝0.062 5<0.1，所以0.75或0.687 5都可作为方程的近似解．7．7解析 区间(2,3)的长度为1，当7次二分后区间长度为127＝1128<1100＝0.01. 8．解 由于f (1)＝－2<0，f (2)＝6>0，所以函数在(1,2)内存在零点．取(1,2)的中点1.5，经计算f (1.5)＝0.625>0，9．解作出y＝lg x，y＝2－x的图象，可以发现，方程lg x＝2－x有唯一解，记为x0，并且解在区间(1,2)内．设f(x)＝lg x＋x－2，用计算器计算得f(1)<0，f(2)>0⇒x∈(1,2)；f(1.5)<0，f(2)>0⇒x∈(1.5,2)；f(1.75)<0，f(2)>0⇒x∈(1.75,2)；f(1.75)<0，f(1.875)>0⇒x∈(1.75,1.875)；f(1.75)<0，f(1.812 5)>0⇒x∈(1.75,1.812 5)．∵|1.812 5－1.75|＝0.062 5<0.1，∴方程的近似解可取为1.812 5.。

3.1.2用二分法求方程的近似解班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．函数的零点落在内，则的取值范围为A. B. C. D.2．若函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个零点(正数)附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似解(精确度0.04)为( )A.1.5B.1.25C.1.375D.1.437 53．设f(x)=3x+3x-8,若用二分法求方程3x+3x-8=0在区间(1,2)内的近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根所在的区间为A.(1,1.25)B.(1.25,1.5)C.(1.5,2)D.不能确定4．以下函数图象中,不能用二分法求函数零点的是5．用二分法求方程x3-2x-5=0在区间[2,3]内的实数根时,取区间中点x=2.5,那么下一个有根区间是.6．在26枚崭新的金币中,有一枚外表与真金币完全相同的假币(质量小一点),现在只有一台天平,则应用二分法的思想,最多称次就可以发现这枚假币.7．利用二分法求的一个近似值(精确度0.01).8．已知函数在上为增函数，求方程的正根.(精确度为0.01)【能力提升】利用计算器,求方程lg x=3-x的近似解(精确度0.1).答案【基础过关】1．B【解析】∵f(x)＝2x＋m，∴2x＋m＝0，即，∴，解得0＜m＜2.2．D【解析】由参考数据知f(1.406 25)·f(1.437 5)<0,且1.437 5-1.406 25=0.031 25<0.04,所以方程的一个近似解可取为1.437 5,故选D.3．B【解析】∵f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,∴f(1.5)·f(1.25)<0,因此方程的根所在的区间为(1.25,1.5).4．D【解析】本题考查二分法的定义.根据定义利用二分法无法求不变号的零点,故选D.5．(2,2.5)【解析】∵f(2)<0, f(2.5)>0,∴下一个有根区间是(2,2.5).6．4【解析】将26枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那13枚金币里面;从这13枚金币中拿出1枚,然后将剩下的12枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,若天平平衡,则假币一定是拿出的那一枚,若不平衡,则假币一定在质量小的那6枚金币里面;将这6枚金币平均分成两份,分别放在天平两端,则假币一定在质量小的那3枚金币里面;从这3枚金币中任拿出2枚,分别放在天平两端,若天平平衡,则剩下的那一枚是假币,若不平衡,则质量小的那一枚是假币.综上可知,最多称4次就可以发现这枚假币.,即为, 7．令f(x)=x2-3,因为f(1)=-2<0,f(2)=1>0,所以函数在区间(1,2)内存在零点x取区间(1,2)为二分法计算的初始区间,列表如下:因为1.734 375-1.726 562 5=0.007 812 5<0.01,所以可取1.734 375为的一个近似值. 8．由于函数在(－1，＋∞)上为增函数，故在(0，＋∞)上也单调递增，因此f(x)＝0的正根最多有一个.因为f(0)＝－1＜0，，所以方程的正根在(0，1)内，取(0，1)为初始区间，用二分法逐步计算，列出下表：因为｜0.2734375－0.28125｜＝0.0078125＜0.01，所以方程的根的近似值可取为0.2734375，即f(x)＝0的正根约为0.2734375.【能力提升】分别画出函数y=lg x和y=3-x的图象,如图在两个函数图象的交点处,函数值相等.因此,这个点的横坐标就是方程lg x=3-x的解.由函数y=lg x与y=3-x的图象可以发现,方程lg x=3-x有唯一解,且这个解在区间(2,3)内.,利用计算器计算设f(x)=lg x+x-3,则函数f(x)的零点即为方程lg x=3-x的解,记为x1得:∈(2,3);f(2)<0,f(3)>0⇒x1f(2.5)<0,f(3)>0⇒x∈(2.5,3);1∈(2.5,2.75);f(2.5)<0,f(2.75)>0⇒x1∈(2.5,2.625);f(2.5)<0,f(2.625)>0⇒x1f(2.562 5)<0,f(2.625)>0⇒x∈(2.562 5,2.625);1因为2.625-2.562 5=0.062 5<0.1,所以方程lg x=3-x的近似解可取为2.625.。

高中数学用二分法求方程的近似解练习题（含答案新人教 A 版必修 1）高一数学用二分法求方程的近似解练习题（含答案新人教 A 版必修 1）一、选择题1．用二分法以下图函数f(x)的零点时，不行能求出的零点是()A．x1 B．x2C．x3 D．x4[答案]C2．在用二分法求函数 f(x)在区间 (a，b)上的独一零点 x0 的过程中，取区间(a，b)上的中点 c＝a＋b2，若 f(c)＝0，则函数 f(x)在区间 (a，b)上的独一零点x0()A．在区间 (a，c)内 B．在区间 (c，b)内C．在区间 (a，c)或 (c，d)内 D．等于 a＋b2[答案]D3．已知函数 y＝f(x)的图象是连续不中断的，x，f(x)对应值表以下：x 1 2 3 4 5 6f(x) 12.04 13.89－7.67 10.89－34.76－44.67 则函数 y＝f(x)存在零点的区间有()A．区间 [1,2]和[2,3] B．区间 [2,3]和[3,4]C．区间 [2,3]和[3,4] 和[4,5]D．区间 [3,4]和[4,5] 和[5,6][ 答案 ]C4．f(x)＝x4－15，以下结论中正确的有 ()①f(x) ＝0 在(1,2)内有一实根；② f(x) ＝0 在(－2，－ 1)内有一实根；③没有大于 2 的零点；④f(x) ＝0 没有小于－ 2 的根；⑤f(x) ＝0 有四个实根．A．2 个 B．3 个C．4 个 D．5 个[答案]C[ 分析 ] ①②③④正确，⑤ 不正确．5．某方程在区 (2,4)内有一根，若用二分法求此根的近似，将此区分()次后，所得近似的精准度可达到 0.1()A．2 B．3 C．4D．5[答案]D[ 分析 ]平分 1 次，区度 1，平分 2 次，区度 0.5，⋯，平分 4 次，区度 0.125，平分 5 次，区度，切合意，故 D.6．用二分法求函数的零点，若干次运算后函数的零点在区 (a，b)内，当 |a －b| ＜(精准度 )，函数零点近似 x0＝a＋b2 与真零点的差最大不超 ()A．4 B．2C．D．2[答案]B[ 分析 ]真零点离近似x0 最即凑近 a 或 b，而 b－a＋b2＝a＋b2－a＝b－a2＝2，所以差最大不超 2.二、填空7．若函数 f(x)＝x3＋x2－2x－2 的一个正数零点邻近的函数的参照数据以下表：f(1)＝－ 2 f(1.5)＝0.625 f(1.25)－0.984f(1.375)－0.260 f(1.4375)0.162 f(1.46025)－0.054 那么方程 x3＋x2－2x－2＝0的一个近似的正数根 (精准度0.1)为________．[ 答案 ]1.4375(或 1.375)[ 分析 ]因为精准度是 0.1，而 |1.4375 －1.375| ＝，故取区间 (1.375,1.4375)端点值 1.375 或 1.4375 作为方程近似解．8．用二分法求方程x3－2x－5＝0 在区间 [2,3]内的实数根时，取区间中点x0＝2.5，那么下一个有根区间是______________．[ 答案 ](2,2.5)[ 分析 ]∵f(2)0，f(2.5)0，下一个有根区间是 (2,2.5)． 9．用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]内的近似解时，经计算， f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.687 5)0，即可得出方程的一个近似解为 ________(精准度 0.1)．[ 答案 ]0.75(答案不独一 )[ 分析 ]因为|0.75 －0.6875| ＝，所以区间 [0.6875,0.75]内的任何一个值都可作为方程的近似解．三、解答题10．已知图象连续不停的函数 y＝f(x)在区间 (0,0.1)上有独一零点，假如用“二分法”求这个零点 (精准度 0.01)的近似值，求区间 (0,0.1)平分的起码次数．[ 分析 ]依题意 0.12n＜0.01，得 2n＞10.故 n 的最小值为4.11．利用二分法求 3 的一个近似值 (精准度 0.01)．[ 分析 ]令 f(x)＝x2－3，因为 f(1)＝－ 2＜0，f(2)＝1＞0，所以函数在区间 (1,2)内存在零点 x0，即为 3，取区间 (1,2)为二分法计算的初始区间，列表以下：(a，b) (a，b)的中点 f(a) f(b) f(a＋b2)(1,2) 1.5 f(1)＜0 f(2)＞0 f(1.5)＜0(1.5,2) 1.75 f(1.5)＜0 f(2)＞0 f(1.75)＞0(1.5,1.75) 1.625 f(1.5)＜0 f(1.75)＞0 f(1.65)＜0(1.625，1.75)1.6875f(1.625)＜0f(1.75)＞ 0f(1.6875)＜0(1.6875，1.75) 1.71875 f(1.6875)＜0 f(1.75)＞0f(1.71875)＜0(1.71875，1.75) 1.734375 f(1.71875)＜0 f(1.75)＞0f(1.734375)＞0(1.71875，1.734375) 1.7265625 f(1.71875)＜0f(1.734375)＞0 f(1.7265625)＜0因为 1.734375－1.7265625＝0.0078125＜0.01，所以可取1.734375 为 3 的一个近似值．12．方程x5＋x－3＝0 有多少个实数解？你能证明自己的结论吗？假如方程有解，恳求出它的近似解 (精准到 0.1)．[ 分析 ]考察函数 f(x)＝x5＋x－3，∵f(1)＝－ 10，f(2)＝310，函数 f(x)＝x5＋x－3 在区间 (1,2)有一个零点 x0.∵函数 f(x)＝x5＋x－3 在(－，＋ )上是增函数 (证明略 )，方程 x5＋x－3＝0在区间 (1,2)内有独一的实数解．取区间 (1,2)的中点 x1＝1.5，用计算器算得f(1.5)6.090，x0(1,1.5)．同理，可得 x0(1,1.25)，x0(1.125,1.25)，x0(1.125，1.1875)，x0(1.125,1.156 25)，x0(1.125,1.1406 25)．因为 |1.140625－1.125|0.1 ，此时区间 (1.125，1.140625)的两个端点精准到0.1 的近似值都是 1.1.。

2021年高中数学 3.1.2 用二分法求方程的近似解同步讲练新人教版必修1学习目标展示1．会用二分法求方程的近似解；2．理解二分法原理衔接性知识1.判断函数在是否有零点2.如何求函数的有零点典例精讲剖析例1. 用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01时，所需二分区间次数最少为（）次A．5 B．6 C．7 D．8解析：开区间的长度等于，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，经过次操作后，区间长度变为∵用二分法求函数在区间上近似解，要求精确度为0.01，∴，，，且故所需二分区间次数最少为7次,选C例2. 判断方程在区间内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．[解析] 设函数，因为，，且函数的图象是连续的曲线，所以方程在区间[1,1.5]内有实数解．取区间的中点，用计算器可算得.因为，所以．再取的中点，用计算器可算得.因为，所以．同理，可得，．由于，此时区间的两个端点精确到的近似值是，所以方程在区间精确到的近似解约为. 例3. 当时，函数存在零点，求实数的取值范围．[解析] ∵，∴，∵函数 在内存在零点，且此函数是单调的，∴，即，解得，∴实数的取值范围是例4. 确定函数的零点个数 [解析] 解法一：在同一坐标系中作出函数与的图象，可见两函数图象有且仅有一个交点，故函数有且仅有一个零点．解法二：∵，∴在内有零点，又为增函数，∴有且只有一个零点．精练部分A 类试题（普通班用）1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )[答案] B2. 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是( )A ．B ．C ．D ．A 解析：()28530115(0)6f f -+=-<+=>-==，，∴初始区间可为．3．下列函数中在区间]上有零点的是( )A ．B ．C ．D ．[答案] D[解析] 对于函数来说∴，在区间]上有零点，故选D.4. 用二分法求的近似解，()()()12 1.50.625 1.250.984f f f ==-=-，，，，下一个求，则_______5. 确定函数的零点个数．[解析] 作出函数与的图象，则的零点个数即两图象的交点个数，由图可知，两图象在区间内有一个交点，当时，，；当时，，，∴在内两曲线又有一个交点，∴两曲线只有两个交点，即函数有两个零点．B 类试题（3+3+4）（尖子班用）1．下列函数中，不能用二分法求零点的是( )[答案] B2. 用二分法求函数的零点可以取的初始区间是( )A ．B ．C ．D ．A 解析：()28530115(0)6f f -+=-<+=>-==，，∴初始区间可为．3．下列函数中在区间]上有零点的是( )A ．B ．C ．D ．[答案] D[解析] 对于函数来说∴，在区间]上有零点，故选D.4．若函数的图象是连续不断的，且，，则下列命题正确的是( )A ．函数在区间内有零点B ．函数在区间内有零点C ．函数在区间内有零点D ．在区间内有零点[答案] D[解析] ，或当时，在区间内有零点，所以在区间内有零点；当时，或若，则，在区间内有零点，所以在区间内有零点；若，则，所以在区间内有零点。