弦长公式
- 格式：docx
- 大小：25.83 KB
- 文档页数：10
下载文档原格式
合集下载
圆弦长公式计算公式初中
圆弦长公式计算公式初中
圆弦长公式是初中数学中的一个重要概念，它可以帮助我们计算圆的弦长。
在这个公式中，我们需要知道弦的长度、弦与圆心连线的夹角以及圆的半径。
具体来说，圆弦长公式可以表示为：
弦长 = 2 × 半径 × sin(夹角/2)
其中，弦长是指弦的长度，半径是指圆的半径，夹角是指弦与圆心连线之间的夹角。
这个公式的推导过程比较复杂，我们在这里就不做详细解释了。
但是，通过这个公式，我们可以很方便地计算出圆的弦长，而不用测量实际长度或者进行复杂的几何运算。
使用圆弦长公式的时候，我们需要注意一些事项。
首先，弦长的单位要与半径的单位保持一致。
其次，夹角的单位要使用弧度制，而不是角度制。
如果我们所给的夹角是角度制的话，我们需要先将其转换为弧度制，然后再代入公式进行计算。
圆弦长公式还可以用来解决一些与弦长相关的问题。
比如，如果我们知道了圆的半径和弦长，我们可以通过这个公式计算出夹角的大小。
同样地，如果我们知道了圆的半径和夹角，我们也可以计算出弦长。
圆弦长公式是初中数学中一个很实用的工具，它可以帮助我们计算圆的弦长，并解决一些与弦长相关的问题。
通过掌握这个公式，我们可以更好地理解圆的性质，并在解题中得心应手。
希望大家在学习数学的过程中能够充分利用这个公式，取得更好的成绩！。
弦长公式
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二抛物线y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2 y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2 x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d = √(1+k^2)|x1-x2| = √(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2] = √(1+1/k^2)|y1-y2| =√(1+1/k^2)[(y1+y2)^2 - 4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2 - 4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
高中数学四大类弦长公式
高中数学四大类弦长公式在高中数学中，弦长公式是解决与圆相关的问题的重要工具之一、弦是圆中的一条线段，连接圆上的两个点，并且不过圆心。
根据弦的位置和相关条件，我们可以得到四个不同的弦长公式。
第一个弦长公式是当给定弦的两个端点和圆的半径时，求其弦长。
设弦的两个端点为A和B，圆的半径为r，弦长为s。
根据勾股定理，可以得到以下关系：AB^2=AO^2+BO^2其中，O表示圆心，则AO和BO分别等于半径r。
所以：AB^2=r^2+r^2AB^2=2r^2AB=√(2r^2)AB=√2r第二个弦长公式是当给定弦的两个端点和弦所对的圆心角时，求其弦长。
设弦的两个端点为A和B，弦所对的圆心角为θ，圆的半径为r，弦长为s。
根据正弦定律，可以得到以下关系：sin(θ/2) = (s/2)/rsin(θ/2) = s/2rs = 2r·sin(θ/2)第三个弦长公式是当给定弦的两个端点和弦所对的圆弧时，求其弦长。
设弦的两个端点为A和B，弦所对的圆弧为arc，圆的半径为r，弦长为s。
根据圆弧与半径所夹的角等于其所对弦的圆心角，可以得到以下关系：arc = r·θ其中，θ表示弦所对的圆心角的度数。
根据弧度的定义，1度等于π/180弧度，所以：arc = (π/180)·r·θs = 2r·sin(θ/2) = 2r·sin((arc/(2r))/2) = 2r·sin(arc/(4r))第四个弦长公式是当给定弦的两个端点和弦所在的圆的切线长时，求其弦长。
设弦的两个端点为A和B，弦所在的圆的切线长为t，圆的半径为r，弦长为s。
根据切线与弦的垂直性，可以得到以下关系：s = 2r·cos(θ/2)其中，θ表示弦所对的圆心角的度数。
根据切线与弧所夹的角等于其所对弦的圆心角，可以得到以下关系：cos(θ/2) = t/(2r)s = 2r·cos(θ/2) = 2r·(t/(2r)) = t这些弦长公式在解决与圆相关的问题时非常有用，可以通过已知条件求出所需的弦长。
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式
弦心距和弦长公式是圆的基本性质之一，它们描述了从圆心到圆上任意一点的距离（即半径）与圆上两点之间的线段（即弦）之间的关系。
1.弦心距公式：
弦心距是指从圆心到弦的垂直距离，记作d。
如果弦长为L，半径为r，那么弦心距d可以通过以下公式计算：
d=r2−(2L)2
这个公式基于勾股定理，其中r是半径，L是弦长，d是弦心距。
2.弦长公式：
弦长公式用于计算给定弦心距和半径的弦的长度。
如果弦心距为d，半径为r，那么弦长L可以通过以下公式计算：
L=2r2−d2
这个公式也是基于勾股定理，其中r是半径，d是弦心距，L是弦长。
这两个公式在解决与圆相关的问题时非常有用，特别是在几何和三角函数中。
它们允许我们根据已知信息计算未知量，或者验证给定的信息是否准确。
弦长公式圆与直线
弦长公式圆与直线弦长公式是数学中一个重要的公式，它用于计算圆与直线之间的弦长。
在本文档中，我们将详细介绍弦长公式以及应用实例。
一、什么是弦长公式弦长公式是一种用于计算弦长的数学公式。
它描述了圆与直线之间的关系，并可以通过给定的半径、角度或其他相关信息来计算弦长。
二、弦长公式的推导我们以一个简单的圆为例，假设半径为r，圆心角为θ，弦长为s。
根据几何关系，圆心角与弦之间的关系可以表示为θ = s/r，其中r是圆的半径，s是弦的长度。
通过对等腰三角形的分析，我们可以得到三角函数的关系sin(θ/2) = (s/2)/r，进一步计算得到s = 2r*sin(θ/2)。
这就是弦长公式，它表达了弦长与半径和圆心角之间的关系。
三、弦长公式的应用实例1. 计算圆上两点之间的弦长假设我们有一个半径为10cm的圆，圆心角为60度，我们想要计算圆上两个点A和B之间的弦长。
根据弦长公式，我们可以计算得到弧AB的弦长s =2*10*sin(60/2) = 20*sin(30) ≈ 10cm。
通过这个实例，我们可以看到弦长公式在计算圆上两点之间的距离时非常有用。
2. 计算圆上弦的长度假设我们有一个圆的半径为8cm，圆心角为45度，我们想要计算从圆的边缘到弦的垂直距离（弦的高度）。
根据弦长公式，我们可以计算得到弦的长度s = 2*8*sin(45/2) = 16*sin(22.5) ≈ 5.66cm。
这个实例展示了弦长公式在计算圆上弦的长度时的应用。
四、结论弦长公式是一种用于计算圆与直线之间关系的数学工具。
通过这个公式，我们可以轻松地计算圆上的弦长，从而解决一系列与弦和圆相关的问题。
无论是计算圆上两点之间的弦长，还是计算弦的高度，弦长公式都为我们提供了一种简洁而有效的计算方法。
希望通过本文档的介绍，您对弦长公式有了更深入的理解，并能够在实际问题中灵活运用。
编写完毕。
圆里的弦长公式
圆里的弦长公式圆在数学世界里就像一个神秘的城堡，而弦长公式则是打开城堡中某一扇神秘之门的钥匙。
咱先来说说啥是弦长。
想象一下，你有一个圆，就像一个超级完美的甜甜圈，然后在圆上任意取两个点，把这两个点连起来的线段就是弦啦。
那弦长公式到底是啥呢？一般来说，我们常用的弦长公式是：$L = 2\sqrt{r^2 - d^2}$ 。
这里的 $L$ 就是弦长，$r$ 是圆的半径，$d$ 是圆心到弦的距离。
就拿个具体的例子来说吧，比如有个圆，半径是 5 厘米，圆心到某条弦的距离是 3 厘米。
那这条弦长是多少呢？咱们就把数字往公式里一套，$L = 2\sqrt{5^2 - 3^2} = 2\sqrt{25 - 9} = 2\sqrt{16} = 8$ 厘米，这条弦长就是 8 厘米。
记得我之前给学生们讲这个知识点的时候，有个小调皮鬼一直搞不明白为啥要有这个公式。
我就跟他们说：“你们想象一下，圆是个大操场，弦就是操场上的跑道，咱们得知道跑道有多长才能好好规划比赛呀。
”这一说，好多同学都恍然大悟似的点了点头。
还有一次，我带着学生们去操场上画圆做实验。
我们用绳子和石灰粉，以一个点为圆心，拉出一定长度的绳子画圆。
然后在圆上找弦，测量半径和圆心到弦的距离，再用公式算出弦长，和实际测量的对比。
大家那股认真劲儿，真让人觉得可爱又欣慰。
在解题的时候，弦长公式可好用啦。
不管是求圆和直线相交的弦长，还是在复杂的几何图形中找弦长，它都是我们的得力助手。
比如说，有一道题，告诉你一个圆的方程和一条直线的方程，让你求它们相交的弦长。
这时候，先求出圆心到直线的距离，再用弦长公式，答案就呼之欲出啦。
其实啊，数学里的这些公式就像是我们生活中的工具，用对了就能解决好多问题。
就像我们用合适的工具能修好自行车、能做好一顿美味的饭菜一样。
总之，弦长公式虽然看起来有点小复杂，但只要我们多练习、多琢磨，就能把它运用得得心应手，在数学的海洋里畅游无阻。
希望大家都能和这个小小的公式成为好朋友，让它帮助我们攻克更多的数学难题！。
圆与直线弦长公式
圆与直线弦长公式
圆与直线弦长公式是数学中一个非常重要的公式，它可以帮助我们计算圆和直线之间的距离。
这个公式在几何学中有着广泛的应用，特别是在建筑设计、工程测量以及物理学等领域中。
让我们来了解一下圆与直线之间的关系。
当直线与圆相交时，我们可以得到一个弦，它是连接圆上任意两个点的线段。
弦的长度就是我们要计算的距离。
圆与直线弦长公式告诉我们，当我们知道弦与圆心的夹角时，可以通过一些简单的计算来得到弦的长度。
具体来说，圆与直线弦长公式可以表示为：
弦长 = 2 * 半径 * sin(夹角/2)
其中，半径是圆的半径，夹角是弦与圆心之间的夹角。
通过这个公式，我们可以计算出弦的长度，从而获得圆与直线之间的距离。
这个公式的推导涉及到一些数学知识，但我们不必深入探讨。
重要的是，我们可以应用这个公式来解决实际问题。
例如，在建筑设计中，我们可以使用这个公式来计算弦的长度，从而确定建筑物与周围环境的距离。
在工程测量中，我们可以利用这个公式来测量地面上两个点之间的距离。
在物理学中，这个公式可以帮助我们计算物体的运动轨迹。
圆与直线弦长公式是一个非常实用的工具，它可以帮助我们计算圆
与直线之间的距离。
通过掌握这个公式，我们可以更好地理解几何学中的一些概念，并将其应用到实际问题中。
无论是在建筑设计、工程测量还是物理学等领域，这个公式都发挥着重要的作用。
希望通过这篇文章的介绍，读者对圆与直线弦长公式有了更深入的了解。
弦长公式是什么？分享数学知识讲解
弦长公式是什么？分享数学知识讲解最近有些朋友在网上看到了这个弦长公式，但是自己对于这方面知识完全没有印象，想知道这个弦长公式到底是什么来的?今天就让给大家详细的介绍一下弦长公式是什么。
什么是弦长公式弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
圆锥曲线，是数学、几何学中通过平切圆锥(严格为一个正圆锥面和一个平面完整相切)得到的一些曲线，如：椭圆，双曲线，抛物线等。
直线与圆锥曲线的位置关系是平面解析几何的重要内容之一，也是高考的热点，反复考查。
考查的主要内容包括：直线与圆锥曲线公共点的个数问题;弦的相关问题(弦长问题、中点弦问题、垂直问题、定比分点问题等);对称问题;最值问题、轨迹问题和圆锥曲线的标准方程问题等。
关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R，即a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC;(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得弦长圆(x-4) ^2+y . 2=16与直线y= (根号3)x的一个交点恰为原点0(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x 所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中∠A0B=60° ，∠0AB=90° ，0B=2R，所以0A=2Rcos∠A0B=2Rcos60° =R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦长为4。
什么是弦长公式?以上就是给大家带来了关于弦长公式的大概含义，还想知道更多有用知识的朋友，记得关注一下本网站。
两点弦长公式
两点弦长公式
弦长为连接圆上任意两点的线段的长度。
弦长公式，在这里指直线与圆锥曲线相交所得弦长的公式。
直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入曲线方程，化为关于x(或关于y)的一元二次方程，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式求出弦长。
在三角形ABC中，它的外接圆半径为R，则正弦定理可表述为：
a/sinA=b/si nB=c/sinC=2R，即a=2RsinA， b=2RsinB，c=2RsinC;(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得弦长圆(x-4) ^2+y . 2=16与直线y= (根号3)x的一个交点恰为原点0(0,0)，另一个交点记为A，则OA就是圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦，若记圆与x轴的另一个交点为B，则三角形OAB就是一个直角三角形，其中
∠A0B=60° ，∠0AB=90° ，0B=2R，所以
0A=2Rcos∠A0B=2Rcos60° =R。
又圆的半径为4，所以圆(x-4) ^2+y 2=16被直线y= (根号3) x所截得的弦长为4。
两点弦长公式有：第一，y^2=2px，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p+x1+x2；第二，y^2=-2px，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B （x2，y2）两点，则AB弦长：d=p-（x1+x2）；第三，x^2=2py，
过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p+y1+y2；第四，x^2=-2py，过焦点直线交抛物线于A（x1，y1）和B（x2，y2）两点，则AB弦长：d=p-（y1+y2）。
圆与直线相交的弦长公式
圆与直线相交的弦长公式
圆与直线相交的弦长公式是一种用来计算圆与直线相交时弦长的公式。
它可以帮助我们计算出圆与直线相交时弦的长度。
圆与直线相交的弦长公式是：弦长=2*√(r^2-d^2)，其中r是圆的半径，d是圆心到直线的距离。
首先，我们需要确定圆的半径r，以及圆心到直线的距离d。
然后，将这两个值代入弦长公式，就可以得到圆与直线相交时弦的长度。
例如，假设圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，那么圆与直线相交时弦的长度就是2*√(5^2-3^2)=2*√16=4.47。
圆与直线相交的弦长公式是一种非常有用的公式，它可以帮助我们计算出圆与直线相交时弦的长度。
它的使用非常简单，只需要确定圆的半径和圆心到直线的距离，然后将这两个值代入弦长公式，就可以得到圆与直线相交时弦的长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
弦长公式弦长=│x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1/k^2)+1]其中k为直线斜率,(x1,y1),(x2,y2)为直线与曲线的两交点,"││"为绝对值符号,"√"为根号证明方法如下：假设直线为:Y=kx+b圆的方程为：(x-a)^2+(y-u)^2=r^2假设相交弦为AB，点A为（点B为则有AB=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^把y1=kx1+b.y2=kx2+b分别带入,则有：AB=√（x1-x2)^2+(kx1-kx2)^2=√(x1-x2)^2+k^2(x1-x2)^2=√1+k^2*│x1-x2│证明ABy1-y2│√[(1/k^2)+1]的方法也是一样的证明方法二d=√(x1-x2}^2+(y1-y2)^2这是两点间距离公式因为直线y=kx+b所以y1-y2=kx1+b-(kx2+b)=k(x1-x2)将其带入d=√(x1-x2)^2+(y1-y2)^2得到d=√(x1-x2)^2+[k(x1-x2)]^2=√(1+k^2)(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1-x2)^2=√(1+k^2)*√(x1+x2)^2-4x1x2公式二y2=2px，过焦点直线交抛物抛物线线于A(x1,y1)和B(x2,y2)两点，则AB弦长：d=p+x1+x2y2=-2px,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙x1+x2﹚x2=2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p+y1+y2x2=-2py,过焦点直线交抛物线于A﹙x1,y1﹚和B﹙x2,y2﹚两点，则AB弦长：d=p-﹙y1+y2﹚公式三d=√(1+k^2)|x1-x2|=√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]=√(1+1/k^2)|y1-y2|=√(1+1/k^ 2)[(y1+y2)^2-4y1y2]关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线y=kx+b代入，化为关于x(或关于y)的，设出交点坐标，利用韦达定理及弦长公式√(1+k^2)[(x1+x2)^2-4x1x2]求出弦长，这种整体代换，设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐，利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。
d=√[(1+k^2)△/a^2]=√(1+k^2)√(△)/|a|在知道圆和直线方程求弦长时，可利用方法二，将直线方程代入圆方程，消去一未知数，得到一个一元二次方程，其中△为一元二次方程中的b^2：-4ac，a为二次项系数。
补遗：公式2符合椭圆等圆锥曲线不光是圆。
公式/|a|是在整个平方根运算后再进行的……（先开平方了然后再除）2式可以由1推出，很简单，由韦达定理，x1+x2=-b/ax1x2=c/a带入再通分即可……在知道圆和直线方程求弦长时也可以用勾股定理（点到直线距离、半径、半弦）。
点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。
求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。
点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题；①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0）②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。
在解答中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助中变量的取值范围求出其他变量的范围。
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题.解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于的根的判别式,根与系数的关系,及参数法求解.若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标(x1,y1),(x2,y2),将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法".求直线方程或求点的轨迹方程例1抛物线X^2=3y上的两点A、B的横坐标恰是关于x的方程x^2+px+q=0，(常数p、q∈R)的两个实根，求直线AB的方程.解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1^2=3y1①；x1^2+px1+q=0②；由①、②两式相减，整理得px1+3y1+q=0③；同理px2+3y2+q=0④.∵③、④分别表示经过点A(x1,y1)、B(x2,y2)的直线，因为两点确定一条直线.∴px+3y+q=0，即为所求的直线AB的方程.例2过x^2+4y^2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程.解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2+4y1^2=16，x2^2+4y2^2=16，两式相减，得(x1﹣x2)(x1+x2)+4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为x1+x2=2，y1+y2=2，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣.故直线l的方程为y﹣1=﹣(x﹣1)，即4y+x ﹣5=0求圆锥曲线方程用点差法定义：我们把平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于一个常数的轨迹称为双曲线。
定义1：平面内，到两个定点的距离之差的为常数（小于这两个定点间的距离[1]）的点的称为双曲线。
定义2：平面内，到给定一点及一直线的距离之比为大于1的常数的点的轨迹称为双曲线。
定义3：一平面截一，当截面与圆锥面的不平行，且与圆锥面的两个圆锥都相交时，交线称为双曲线。
定义4：在平面直角坐标系中，f(x,y)=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0满足以下条件时，其图像为双曲线。
、b、c不都是零.^2-4ac>0.^2+b^2=c^2在高中的解析几何中，学到的是双曲线的中心在原点，图像关于x，y轴对称的情形。
这时双曲线的方程退化为：x^2/a^2-y^2/b^2=1.上述的四个定义是等价的，并且根据建好的前后位置判断图像关于x，y轴对称。
重要概念和性质焦点准线离心率在定义2中提到的到给定点与给定直线的距离之比，称为该双曲线的。
双曲线有两个焦点，两条准线。
（注意：尽管定义2中只提到了一个焦点和一条准线。
但是给定同侧的一个焦点，一条准线以及离心率可以根据定义2同时得到双曲线的两支，而两侧的焦点，准线和相同离心率得到的双曲线是相同的。
）顶点渐近线双曲线的简单几何性质1.轨迹上一点的取值范围：│x│≥a（焦点在x轴上）或者│y│≥a（焦点在y轴上）。
2、对称性：关于坐标轴和原点对称。
3、顶点：A(-a,0)，A'(a,0）。
同时AA'叫做双曲线的且│AA'│=2a.B(0,-b），B'(0,b）。
同时BB'叫做双曲线的虚轴且│BB'│=2b.F1（-c,0）F2（c,0）.F1为双曲线的左焦点，F2为双曲线的右焦点且│F1F2│=2c 对实轴、虚轴、焦点有：a^2+b^2=c^24、渐近线：焦点在x轴：y=±（b/a)x.焦点在y轴：y=±（a/b)x.圆锥曲线ρ=ep/1-ecosθ当e>1时，表示双曲线。
其中p 为焦点到准线距离，θ为弦与x轴夹角。
令1-ecosθ=0可以求出θ，这个就是渐近线的倾角。
θ=arccos（1/e)令θ=0，得出ρ=ep/1-e,x=ρcosθ=ep/1-e令θ=PI，得出ρ=ep/1+e,x=ρcosθ=-ep/1+e这两个x是双曲线定点的横坐标。
求出它们的中点的横坐标（双曲线中心横坐标）x=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2（注意化简一下）直线ρcosθ=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2是双曲线一条对称轴，注意是不与曲线相交的对称轴。
将这条直线顺时针旋转PI/2-arccos（1/e）角度后就得到渐近线方程，设旋转后的角度是θ’则θ’=θ-[PI/2-arccos（1/e)]则θ=θ’+[PI/2-arccos（1/e)]代入上式：ρcos{θ’+[PI/2-arccos（1/e)]}=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2即：ρsin[arccos（1/e)-θ’]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2现在可以用θ取代式中的θ’了得到方程：ρsin[arccos（1/e)-θ]=[(ep/1-e)+(-ep/1+e)]/2现证明双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1上的点在渐近线中设M(x,y）是双曲线在第一象限的点，则y=(b/a）√（x^2-a^2）(x>a)因为x^2-a^2<x^2，所以y=(b/a）√（x^2-a^2）<b/a√x^2=bx/a即y<bx/a所以，双曲线在第一象限内的点都在直线y=bx/a下方根据对称性第二、三、四象限亦如此5、离心率：第一定义：e=c/a且e∈（1，+∞）.第二定义：双曲线上的一点P到定点F的距离│PF│与点P到定直线（相应准线）的距离d的比等于双曲线的离心率e.d点│PF│/d线（点P到定直线（相应准线）的距离）=e6、双曲线焦半径公式（圆锥曲线上任意一点P(x,y）到焦点距离）左焦半径：r=│ex+a│右焦半径：r=│ex-a│7、等轴双曲线一双曲线的实轴与虚轴长相等即：2a=2b且e=√2这时渐近线方程为：y=±x（无论焦点在x轴还是y轴）8、共轭双曲线双曲线S'的实轴是双曲线S的虚轴且双曲线S'的虚轴是双曲线S的实轴时，称双曲线S'与双曲线S为共轭双曲线。
几何表达：S：（x^2/a^2）-(y^2/b^2）=1S'：（y^2/b^2）-(x^2/a^2）=1特点：（1）共渐近线；与渐近线平行得线和双曲线有且只有一个交点（2）焦距相等（3）两双曲线的离心率平方后的倒数相加等于19、准线：焦点在x轴上：x=±a^2/c焦点在y轴上：y=±a^2/c10、通径长：（圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦）d=2b^2/a11、过焦点的弦长公式：d=2pe/（1-e^2cos^2θ）12、弦长公式：d=√（1+k^2）|x1-x2|=√（1+k^2）(x1-x2）^2=√（1+1/k^2）|y1-y2|=√（1+1/k^2）(y1-y2）^2推导如下：由直线的斜率公式：k=(y1-y2）/(x1-x2）得y1-y2=k(x1-x2）或x1-x2=(y1-y2）/k分别代入两点间的距离公式：|AB|=√[(x1-x2）^2;+(y1-y2）^2;]稍加整理即得：|AB|=|x1-x2|√（1+k^2;)或|AB|=|y1-y2|√（1+1/k^2;)·双曲线的标准公式与反比例函数X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)而反比例函数的标准型是xy=c(c≠0)但是反比例函数图象确实是双曲线轨迹经过旋转得到的因为xy=c的对称轴是y=x,y=-x而X^2/a^2-Y^2/b^2=1的对称轴是x轴，y轴所以应该旋转45度设旋转的角度为a（a≠0，顺时针）（a为双曲线渐进线的倾斜角）则有X=xcosa+ysinaY=-xsina+ycosa取a=π/4则X^2-Y^2=(xcos（π/4）+ysin（π/4）)^2-(xsin（π/4）-ycos（π/4）)^2=（√2/2x+√2/2y)^2-（√2/2x-√2/2y)^2=4（√2/2x)（√2/2y)=2xy.而xy=c所以X^2/（2c)-Y^2/（2c)=1(c>0)Y^2/(-2c)-X^2/(-2c)=1(c<0)由此证得，反比例函数其实就是双曲线的一种形式，.只不过是双曲线在平面直角坐标系内的另一种摆放形式.13.双曲线内、上、外在双曲线的两侧的区域称为双曲线内，则有x^2/a^2-y^2/b^2>1；在双曲线的线上称为双曲线上，则有x^2/a^2-y^2/b^2=1；在双曲线所夹的区域称为双曲线外，则有x^2/a^2-y^2/b^2<1。