高中数学必修四(北师大版)第二章学案向量应用举例(二)

——教学资料参考参考范本——2019-2020学年度北师大版高中数学必修四学案：第二章向量应用举例______年______月______日____________________部门20xx最新20xx北师大版高中数学必修四学案：第二章向量应用举例知识点一直线l：Ax＋By＋C＝0的法向量思考类比直线的方向向量的定义，思考与直线l垂直的非零向量是否也是特殊向量？梳理(1)与直线的方向向量________的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l的方向向量v＝(B，－A)，则直线l的法向量n＝________，与直线l的法向量n同向的单位向量n0＝＝(，)．知识点二点到直线的距离公式思考n为直线l的法向量，P为直线l上任一点，点M是平面内一定点且不在直线l上，那么点M到直线l的距离d与向量，n有怎样的关系？梳理若M(x0，y0)是平面上一定点，它到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.知识点三向量方法解决平面几何问题设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a，b的夹角为θ.思考1 证明线段平行、点共线及相似问题，可用向量的哪些知识？思考2 证明垂直问题，可用向量的哪些知识？梳理(1)平面几何图形的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由____________表示出来．(2)向量方法解决平面几何问题的步骤①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为____________．②通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题．③把运算结果“________”成几何关系．知识点四向量方法解决物理问题思考向量的数量积与功有什么联系？梳理(1)物理上力做功就是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，即W＝|F||s|cos〈F，s〉，功是一个实数，它可正可负，也可以为零．力做功涉及两个向量及这两个向量的夹角，它的实质是向量F与s的数量积．(2)向量方法解决物理问题的步骤①问题转化，即把物理问题转化为数学问题．②建立模型，即建立以向量为载体的数学模型．③求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等．④回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题．类型一平面向量在解析几何中的应用例1 已知△ABC的三个顶点A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，点D，E，F分别为边BC，CA，AB的中点．(1)求直线DE，EF，FD的方程；(2)求AB边上的高线CH所在的直线方程．反思与感悟利用向量法解决解析几何问题，首先将线段看成向量，再把坐标利用向量法则进行运算．跟踪训练1 在△ABC中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A的平分线所在的直线方程．类型二用平面向量求解平面几何问题例2 已知在正方形ABCD中，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.反思与感悟用向量证明平面几何问题的两种基本思路(1)向量的线性运算法的四个步骤①选取基底；②用基底表示相关向量；③利用向量的线性运算或数量积找出相应关系；④把几何问题向量化．(2)向量的坐标运算法的四个步骤①建立适当的平面直角坐标系；②把相关向量坐标化；③用向量的坐标运算找出相应关系；④把几何问题向量化．跟踪训练 2 如图，在正方形ABCD中，P为对角线AC上任一点，PE⊥AB，PF⊥BC，垂足分别为E，F，连接DP，EF，求证：DP⊥EF.类型三向量在物理中的应用例3 已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)．(1)求力F1，F2分别对质点所做的功；(2)求力F1，F2的合力F对质点所做的功．反思与感悟物理上的功实质上就是力与位移两矢量的数量积．跟踪训练3 一个物体受到同一平面内的三个力F1，F2，F3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中|F1|＝2 N，方向为北偏东30°，|F2|＝4 N，方向为北偏东60°，|F3|＝6 N，方向为北偏西30°，求合力F所做的功．1．已知在△ABC中，若＝a，＝b，且a·b<0，则△ABC的形状为( )A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．不能确定2．过点A(2,3)，且垂直于向量a＝(2,1)的直线方程为( )A．2x＋y－7＝0 B．2x＋y＋7＝0C．x－2y＋4＝0 D．x－2y－4＝03.用两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，如图所示，已知灯具重10 N，则每根绳子的拉力大小为______ N.4．已知一个物体在大小为6 N的力F的作用下产生的位移s的大小为100 m，且F与s的夹角为60°，则力F所做的功W＝________ J. 5．一艘船从南岸出发，向北岸横渡．根据测量，这一天水流速度为 3 km/h，方向正东，风的方向为北偏西30°，受风力影响，静水中船的漂行速度为 3 km/h，若要使该船由南向北沿垂直于河岸的方向以 2 km/h的速度横渡，求船本身的速度大小及方向．1．利用向量方法可以解决平面几何中的平行、垂直、夹角、距离等问题．利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．2．用向量理论讨论物理中相关问题的步骤一般来说分为四步：(1)问题的转化，把物理问题转化成数学问题；(2)模型的建立，建立以向量为主体的数学模型；(3)参数的获取，求出数学模型的相关解；(4)问题的答案，回到物理现象中，用已经获取的数值去解释一些物理现象．答案精析问题导学知识点一思考是，为直线的法向量．梳理(1)垂直(2)(A，B)知识点二思考点M到直线l的距离d即为向量在向量n方向上的射影的绝对值，即d＝.知识点三思考1 可用向量共线的相关知识：a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0(b≠0)．思考2 可用向量垂直的相关知识：a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.梳理(1)向量的线性运算及数量积(2)①向量问题②向量运算③翻译知识点四思考物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．题型探究例1 解(1)由已知得点D(－1,1)，E(－3，－1)，F(2，－2)，设M(x，y)是直线DE上任意一点，则∥.→＝(x＋1，y－1)，＝(－2，－2)，DM∴(－2)×(x＋1)－(－2)×(y－1)＝0，即x －y ＋2＝0为直线DE 的方程． 同理可求，直线EF ，FD 的方程分别为x ＋5y ＋8＝0，x ＋y ＝0.(2)设点N(x ，y)是CH 所在直线上任意一点， 则⊥. ∴·＝0.又＝(x ＋6，y －2)，＝(4,4)， ∴4(x＋6)＋4(y －2)＝0，即x ＋y ＋4＝0为所求直线CH 的方程． 跟踪训练1 解 ＝(3,4)，AC →＝(－8,6)，∠A 的平分线的一个方向向量为a ＝＋AC→|AC →|＝＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35＝.设P(x ，y)是角平分线上的任意一点， ∵∠A 的平分线过点A ， ∴∥a，∴所求直线方程为 －(x －4)－(y －1)＝0. 整理得7x ＋y －29＝0.例2 证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设AB ＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)． (1)∵＝(－1,2)，＝(－2，－1)， ∴·＝(－1)×(－2)＋2×(－1)＝0， ∴⊥，即BE⊥CF.(2)设点P 的坐标为(x ，y)，则＝(x ，y －1)，FC →＝(2,1)，∵∥，∴x＝2(y －1)，即x ＝2y －2. 同理，由∥，得y ＝－2x ＋4，由得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝65，y ＝85，∴点P 的坐标为(，)．∴||＝ \f(6,5)2＋\f(8,5)2)＝2＝||， 即AP ＝AB.跟踪训练2 证明 方法一 设正方形ABCD 的边长为1，AE ＝a(0<a<1)，则EP ＝AE ＝a ，PF ＝EB ＝1－a ，AP ＝a ， ∴·＝(＋)·(＋) ＝·＋·＋·＋·PF →＝1×a×cos 180°＋1×(1－a)×cos 90°＋a×a×cos 45°＋a×(1－a)×cos 45°＝－a ＋a2＋a(1－a)＝0，∴⊥，即DP⊥EF.方法二如图，以A为原点，AB，AD所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．设正方形ABCD的边长为1，AP＝λ(0<λ<)，则D(0,1)，P(λ，λ)，E(λ，0)，F(1，λ)．∴＝(λ，λ－1)，＝(1－λ，λ)，∴·＝λ－λ2＋λ2－λ＝0，∴⊥，即DP⊥EF.例3 解(1)＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)，W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99，W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3.∴力F1，F2对质点所做的功分别为－99和－3.(2)W＝F·＝(F1＋F2)·AB→＝[(3,4)＋(6，－5)]·(－13，－15)＝(9，－1)·(－13，－15)＝9×(－13)＋(－1)×(－15)＝－117＋15＝－102.∴合力F对质点所做的功为－102.跟踪训练3 解以O为原点，正东方向为x轴的正方向建立平面直角坐标系，如图所示．则F1＝(1，)，F2＝(2，2)，F3＝(－3,3)，所以F＝F1＋F2＋F3＝(2－2,2＋4)．又因为位移s＝(4，4)，所以合力F所做的功为W＝F·s＝(2－2)×4＋(2＋4)×4＝4×6＝24(J)．即合力F所做的功为24 J.当堂训练1．A 2.A 3.10 4.3005．解如图，设水的速度为v1，风的速度为v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏东30°，a的大小是3 km/h.设船的实际航行速度为v，方向由南向北，大小为2 km/h.船本身的速度为v3，则a＋v3＝v，即v3＝v－a，由数形结合知，v3的方向是北偏西60°，大小是 km/h.11 / 11。

2.7平面向量应用举例一.教学目标：1.知识与技能（1）经历用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题的过程，体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.（2）揭示知识背景，创设问题情景，强化学生的参与意识；发展运算能力和解决实际问题的能力.2.过程与方法通过本节课的学习，让学生体会应用向量知识处理平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题是一种行之有效的工具；和同学一起总结方法，巩固强化.3.情感态度价值观通过本节的学习，使同学们对用向量研究几何以及其它学科有了一个初步的认识；提高学生迁移知识的能力、运算能力和解决实际问题的能力.二.教学重、难点重点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.难点: （体现向量的工具作用），用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其它一些实际问题，体会向量在几何、物理中的应用.三.学法与教学用具学法：(1)自主性学习法+探究式学习法(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.教学用具:电脑、投影机.四.教学设想由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图像的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来.因此可用向量方法解决平面几何中的一些问题.例题讲评（教师引导学生去做）例1 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.1111,2222,/./.ABCD AC BD O AO OC AB AC DB DC DB AC AB DC AB DC AB BO DCAB D C O D ===+=+∴==，即且所以四边形是平行四边形，即对角证明：设四边形的对角线、交于点，且线互相平分的四边形是平行四边形，1//.2DE ABC DE BC DE BC ∆=已知是的中位线，用向量的方法证明：，且例2 ()11,,2211.221//.2AD AB AE AC DE AE AD AC AB BC DE BC D BC DE BC ===-=-==证明：易知所以即，又不在上，所以例3．如图，AD 、BE 、CF 是△ABC 的三条高，求证：AD 、BE 、CF 相交于一点。

§7 向量应用举例内容要求 1.能运用向量的有关知识解决解析几何中直线方程的问题，以及在平面几何中的线段平行、垂直、相等等问题(重点).2.能运用向量的有关知识解决物理中有关力、速度、功等问题(难点)．知识点1 点到直线的距离公式及直线的法向量1．点M (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.2．(1)与直线的方向向量垂直的向量称为该直线的法向量．(2)若直线l 的方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)设直线l 的法向量n ＝(A ，B )，则与n 同向的单位向量n 0＝n |n |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AA 2＋B 2，B A 2＋B 2.【预习评价】1．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． 答案 2 52．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)答案 D知识点2 向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 【预习评价】1．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5 答案 C2．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4，0)，则力F 对物体作的功为________． 答案 4方向1 基底法解平面向量问题【例1－1】 如右图，若D 是△ABC 内的一点，且AB →2－AC →2＝DB →2－DC →2，求证：AD ⊥BC .证明 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝e ，DB →＝c ，DC →＝d ，则a ＝e ＋c ，b ＝e ＋d .∴a 2－b 2＝(e ＋c )2－(e ＋d )2＝c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2. 由已知a 2－b 2＝c 2－d 2，∴c 2＋2e ·c －2e ·d －d 2＝c 2－d 2，∴e ·(c －d )＝0. ∵BC →＝DC →－DB →＝d －c ，∴AD →·BC →＝e ·(d －c )＝0， ∴AD →⊥BC →.即AD ⊥BC .方向2 坐标法解决平面几何问题【例1－2】 求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值． 解 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系．设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )， 不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝－2a ，aa ，－2a 5a ·5a＝－4a25a 2 ＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.方向3 向量在平面几何中的综合应用【例1－3】 如图所示，△ABC 三边长分别为a ，b ，c ，PQ 为以A 为圆心，r 为半径的圆的直径，试判断P 、Q 在什么位置时BP →·CQ →取得最大值．解 根据题意可以求得：BP →＝AP →－AB →，CQ →＝CA →＋AQ →＝－AC →－AP →， ∴BP →·CQ →＝(AP →－AB →)(－AC →－AP →) ＝－AP →·AC →＋AB →·AC →－AP →2＋AB →·AP → ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·(AB →－AC →) ＝AB →·AC →－r 2＋AP →·CB →＝|AB →|·|AC →|cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB → ＝bc cos ∠BAC －r 2＋AP →·CB →. 当AP →与CB →同向时，AP →·CB →最大值为 |AP →|·|CB →|＝ra ，即当QP →与CB →同向时， BP →·CQ →取得最大值bc cos ∠BAC －r 2＋ar . 规律方法 用向量解平面几何问题的方法(1)基底法(基向量法)：选择两个不共线的向量作为基底，用基底表示有关向量，把问题转化为只含有基底向量的运算．(2)坐标法：建立适当的坐标系，用坐标表示向量，把问题转化为向量的坐标运算． 题型二 向量在解析几何中的应用【例2】 已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2，1)． (1)求直线l 的一般方程；(2)若与直线l 垂直的直线l 1经过点B (2,0)，求l 1的一般方程． 解 (1)∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为v ＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的一般方程为2x －y －1＝0. (2)∵直线l 1与l 垂直，∴l 1的一个方向向量v ＝(－2,1)．∴直线l 1的斜率为－12.∴直线l 1的点斜式方程为y －0＝－12(x －2)．整理得x ＋2y －2＝0.故直线l 1的一般方程为x ＋2y －2＝0.规律方法 1.已知直线的法向量n ＝(a ，b )，则其方向向量为m ＝(b ，－a )，利用方向向量可求得直线的斜率k ＝－a b是求直线方程的关键．2．向量在解析几何中的应用问题主要是：(1)用向量语言表述几何性质．(2)用向量法处理解析几何中平行、垂直、距离、夹角等问题． 【训练1】如图，在▱OABP 中，过点P 的直线与线段OA 、OB 分别相交于点M 、N ，若OM →＝xOA →，ON →＝yOB →(0<x <1)．(1)求y ＝f (x )的解析式； (2)令F (x )＝1f （x ）＋x ，判断F (x )的单调性，并给出你的证明． 解 (1)OP →＝AB →＝OB →－OA →，则NM →＝OM →－ON →＝xOA →－yOB →， MP →＝OP →－OM →＝(OB →－OA →)－xOA → ＝－(1＋x )OA →＋OB →，又NM →∥MP →，有x －y (1＋x )＝0， 即f (x )＝xx ＋1(0<x <1)；(2)由(1)得F (x )＝x ＋1x ＋x ＝x ＋1x＋1(0<x <1)，设0<x 1<x 2<1， 则F (x 1)－F (x 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋1x 1＋1－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2＋1＝(x 1－x 2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1x 2＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎪⎫1－1x 1x 2＝(x 1－x 2)x 1x 2－1x 1x 2， 由0<x 1<x 2<1，得x 1－x 2<0，x 1x 2－1<0，x 1x 2>0，得F (x 1)－F (x 2)>0，即F (x 1)>F (x 2)． ∴F (x )在(0，1)上为减函数． 题型三 向量在解决物理问题中的应用【例3】 在风速为75(6－2) km/h 的西风中，飞机以150 km/h 的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．解 设向量a 表示风速，b 表示无风时飞机的航行速度，c 表示有风时飞机的航行速度，则c ＝a ＋b .如图，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则四边形OACB 为平行四边形．过C 、B 分别作OA 的垂线，交AO 的延长线于D 、E 点． 由已知，|OA →|＝75(6－2)，|OC →|＝150，∠COD ＝45°. 在Rt △COD 中，OD ＝OC cos 45°＝752，CD ＝75 2. 又ED ＝BC ＝OA ＝75(6－2)， ∴OE ＝OD ＋ED ＝75 6.又BE ＝CD ＝75 2. 在Rt △OEB 中，OB ＝OE 2＋BE 2＝1502，sin ∠BOE ＝BE OB ＝12，∴|OB →|＝1502，∠BOE ＝30°.故没有风时飞机的航速为150 2 km/h ，航向为西偏北30°.规律方法 1.用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．【训练2】 一辆汽车在平直公路上向西行驶，车上装着风速计和风向标，测得风向为东偏南30°，风速为4米/秒，这时气象台报告实际风速为2米/秒．试求风的实际方向和汽车的速度大小．解 依据物理知识，有三对相对速度，汽车对地的速度为v车地、风对车的速度为v风车、风对地的速度为v 风地，风对地的速度可以看成车对地与风对车的速度的合速度，即v 风地＝v 风车＋v 车地．如右图，根据向量加法的平行四边形法则可知，表示向量v风地的有向线段AD →是平行四边形ABDC 的对角线．∵|AC →|＝4米/秒，∠ACD ＝30°，|AD →|＝2米/秒， ∴∠ADC ＝90°.在Rt △ADC 中，|DC →|＝|AC →|cos 30°＝23(米/秒)，即风的实际方向是吹向正南方向，汽车速度的大小为23米/秒.课堂达标1．已知△ABC ，AB →＝a ，AC →＝b ，且a·b <0，则△ABC 的形状为( )A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不能确定答案 A2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v ，则k 的值为(向量v 为l 的方向向量)( ) A.73 B.136C.163D ．－83解析 l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.答案 D3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是______________． 解析 设P (x ，y )为圆上任一点，则 AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0. 答案 x 2＋y 2＋x －3y ＝04．在四边形ABCD 中，已知AB →＝(4，－2)，AC →＝(7,4)，AD →＝(3,6)，则四边形ABCD 的面积是________．解析 BC →＝AC →－AB →＝(3,6)＝AD →，∵AB →·BC →＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴AB →⊥BC →，∴四边形ABCD 为矩形，|AB →|＝20，|BC →|＝45，∴S ＝|AB →|·|BC →|＝30. 答案 305．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． 解 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知： OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE→|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.课堂小结1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键． 2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题．基础过关1．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( ) A ．－1 B ．1 C ．2D ．－1或2解析 l 的方向向量为v ＝(－2，m )，由v 与(1－m,1)平行得－2＝m (1－m )，∴m ＝2或－1. 答案 D2．若AB →＝2e 1，DC →＝4e 1，且AD →与CB →的模相等，则四边形ABCD 是( ) A ．平行四边形 B ．梯形 C ．等腰梯形D ．菱形解析 AB →＝12DC →，又|AD →|＝|BC →|，∴四边形ABCD 为等腰梯形． 答案 C3．已知点O 在△ABC 所在平面上，若OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →，则点O 是△ABC 的( ) A ．三条中线交点 B ．三条高线交点 C ．三条边的中垂线交点 D ．三条角平分线交点 解析 ∵OA →·OB →＝OB →·OC →， ∴(OA →－OC →)·OB →＝CA →·OB →＝0， ∴OB →⊥CA →.同理可证OC →⊥AB →，OA →⊥BC →， ∴O 是三条高线交点． 答案 B4．已知作用在A (1,1)点的三个力F 1＝(3,4)，F 2＝(2，－5)，F 3＝(3,1)，则合力F ＝F 1＋F 2＋F 3的终点坐标为________． 解析 F ＝F 1＋F 2＋F 3＝(8,0)．又∵起点坐标为A (1,1)，∴终点坐标为(9,1)． 答案 (9,1)5．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且|AB |＝3，则OA →·OB →＝________.解析 如图，作OD ⊥AB 于D ，则在Rt △AOD 中，OA ＝1，AD ＝32，所以 ∠AOD ＝60°，∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝1×1×(－12)＝－12.答案 －126．过点A (－2,1)，求：(1)与向量a ＝(3,1)平行的直线方程； (2)与向量b ＝(－1,2)垂直的直线方程． 解 设所求直线上任意一点P (x ，y )， ∵A (－2,1)，∴AP →＝(x ＋2，y －1)．(1)由题意知AP →∥a ，∴(x ＋2)×1－3(y －1)＝0， 即x －3y ＋5＝0.∴所求直线方程为x －3y ＋5＝0. (2)由题意，知AP →⊥b ，∴(x ＋2)×(－1)＋(y －1)×2＝0， 即x －2y ＋4＝0，∴所求直线方程为x －2y ＋4＝0.7．已知长方形AOCD ，AO ＝3，OC ＝2，E 为OC 中点，P 为AO 上一点，利用向量知识判定点P 在什么位置时，∠PED ＝45°.解 如图，建立平面直角坐标系，则C (2,0)，D (2,3)，E (1,0)，设P (0，y )， ∴ED →＝(1,3)，EP →＝(－1，y )，∴|ED →|＝10，|EP →|＝1＋y 2，ED →·EP →＝3y －1， 代入cos 45°＝ED →·EP →|ED →||EP →|＝3y －110·1＋y 2＝22. 解得y ＝－12(舍)或y ＝2，∴点P 在靠近点A 的AO 的三等分处．能力提升8．已知点A (3，1)，B (0,0)，C (3，0)，设∠BAC 的平分线AE 与BC 相交于E ，那么有BC →＝λCE →，其中λ等于( ) A ．2 B.12 C ．－3D ．－13解析 如图所示，由题知∠ABC ＝30°，∠AEC ＝60°，CE ＝33，∴|BC →||CE →|＝3，∴BC →＝－3CE →. 答案 C9．若O 是△ABC 所在平面内一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．等边三角形解析 ∵|OB →－OC →|＝|CB →|＝|AB →－AC →|， |OB →＋OC →－2OA →|＝|AB →＋AC →|， ∴|AB →－AC →|＝|AB →＋AC →|， 设AB →＋AC →＝AD →，∴四边形ABDC 是矩形，且∠BAC ＝90°. ∴△ABC 是直角三角形． 答案 B10．在△ABC 中，∠A ＝60°，AB ＝3，AC ＝2，若BD →＝2DC →，AE →＝λAC →－AB →(λ∈R )，且AD →·AE →＝－4，则λ的值为________．解析 AB →·AC →＝3×2×cos 60°＝3，AD →＝13AB →＋23AC →，则AD →·AE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13AB →＋23AC →·(λAC →－AB →)＝λ3×3＋2λ3×4－13×9－23×3＝－4⇒λ＝311.答案31111.如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点．过点O 的直线分别交直线AB 、AC 于不同的两点M 、N ，若AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，则m ＋n 的值为________．解析 ∵O 是BC 的中点，∴AO →＝12(AB →＋AC →)． 又∵AB →＝mAM →，AC →＝nAN →，∴AO →＝m 2AM →＋n 2AN →. ∵M ，O ，N 三点共线，∴m 2＋n 2＝1.则m ＋n ＝2. 答案 212．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)．(1)求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状；(2)若M 为BC 边的中点，求|AM →|.解 (1)由题意得AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)，AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0.所以AB →⊥AC →，即∠A ＝90°.因为|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB ＝45°.(2)因为M 为BC 中点，所以M (2,0)．又A (1,2)，所以AM →＝(1，－2)．所以|AM →|＝12＋－2＝ 5.13.(选做题)如图，在细绳O 处用水平力F 2缓慢拉起所受重力为G 的物体，绳子与铅垂方向的夹角为θ，绳子所受到的拉力为F 1.(1)求|F 1|，|F 2|随角θ的变化而变化的情况；(2)当|F 1|≤2|G |时，求角θ的取值范围．解 (1)如图，由力的平衡及向量加法的平行四边形法则，得|F 1|＝|G |cos θ，|F 2|＝|G |tan θ.当θ从0°趋向于90°时，|F 1|，|F 2|都逐渐变大．(2)由(1)，得|F 1|＝|G |cos θ，由|F 1|≤2|G |，得cos θ≥12.又因为0°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.。

§7 向量应用举例向量应用举例(1)点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d (2)直线的法向量①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．②公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)[答案] D2．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( ) A ．(5,0) B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5 [答案] C3．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． [答案] 2 54．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4【例1】 AF ⊥DE .[证明] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系． 设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.【例2】 12A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．2．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33， 故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.[1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM →·n 0|?[提示] 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[思路探究] 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．[解] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1).即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.将例3的条件变为“已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2,1)”．试求直线l 的方程．[解] ∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为ν＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的方程为2x －y －1＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补．( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)．( ) [答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v (向量v 为l 的方向向量)，则k 的值为( )A.73 B.136C.163D.－83D [l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.]3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是________．x 2＋y 2＋x －3y ＝0 [设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.]4．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． [解] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.。

§7 向量应用举例学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线法向量的概念，掌握点到直线的距离．(重点)2.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题及一些实际问题．(难点)3.进一步体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具.1.通过学习直线法向量的概念、点到直线的距离，培养数学抽象素养．2.通过用向量方法解决一些实际问题，提升数学建模素养.向量应用举例(1)点到直线的距离公式若M (x 0，y 0)是平面上一定点，它到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离为：d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(2)直线的法向量①定义：称与直线的方向向量垂直的向量为该直线的法向量．②公式：设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0，取其方向向量v ＝(B ，－A )，则直线l 的法向量n ＝(A ，B )．(3)向量的应用向量的应用主要有两方面：一是在几何中的应用；二是在物理中的应用． 思考：向量的数量积与功有什么联系？[提示] 物理上力做功的实质是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，它的实质是向量的数量积．1．直线2x －y ＋1＝0的一个法向量是( ) A ．(2,1) B ．(－1，－2) C ．(1,2) D ．(2，－1)[答案] D2．若向量OF 1→＝(1,1)，OF 2→＝(－3，－2)分别表示两个力F 1，F 2，则|F 1＋F 2|为( )A ．(5,0)B ．(－5,0) C. 5 D ．－ 5[答案] C3．点P 0(－1,2)到直线l ：2x ＋y －10＝0的距离为________． [答案] 2 54．已知F ＝(2,3)作用一物体，使物体从A (2,0)移动到B (4,0)，则力F 对物体作的功为________．[答案] 4平面几何中的垂直问题【例1】 如图所示，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，求证：AF ⊥DE .[证明] 法一：设AD →＝a ，AB →＝b ，则|a |＝|b |，a ·b ＝0. 又DE →＝DA →＋AE →＝－a ＋b 2，AF →＝AB →＋BF →＝b ＋a 2，所以AF →·DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋a 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋b 2＝－12a 2－34a ·b ＋b 22＝－12|a |2＋12|b |2＝0.故AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .法二：如图所示，建立平面直角坐标系，设正方形的边长为2，则A (0,0)，D (0,2)，E (1,0)，F (2,1)，则AF →＝(2,1)，DE →＝(1，－2)．因为AF →·DE →＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0. 所以AF →⊥DE →，即AF ⊥DE .利用向量解决垂直问题的方法和途径方法：对于线段的垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件，即向量的数量积为0. 途径：可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．1．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值．[解] 如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x 轴、y 轴建立直角坐标系． 设A (2a,0)，B (0,2a )，则D (a,0)，C (0，a )， 从而可求：AC →＝(－2a ，a )，BD →＝(a ，－2a )，不妨设AC →、BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →||BD →|＝(－2a ，a )·(a ，－2a )5a ·5a ＝－4a 25a 2＝－45.故所求钝角的余弦值为－45.向量在物理中的应用【例2】 两个力F 1＝i ＋j ，F 2＝4i －5j 作用于同一质点，使该质点从点A (20,15)移动到点B (7,0)(其中i ，j 分别是与x 轴、y 轴同方向的单位向量)．求：(1)F 1，F 2分别对该质点做的功； (2)F 1，F 2的合力F 对该质点做的功．[解] AB →＝(7－20)i ＋(0－15)j ＝－13i －15j .(1)F 1做的功W 1＝F 1·s ＝F 1·AB →＝(i ＋j )·(－13i －15j )＝－28.F 2做的功W 2＝F 2·s ＝F 2·AB →＝(4i －5j )·(－13i －15j )＝23.(2)F ＝F 1＋F 2＝5i －4j ，所以F 做的功W ＝F·s ＝F ·AB →＝(5i －4j )·(－13i －15j )＝－5.1．用向量解决物理问题首先要建立数学模型，把物理问题转化为数学问题，其次要注意物理中的矢量与数学中向量的区别与联系．2．速度、加速度、位移、力的合成和分解，实质上就是向量的加减法运算，求解时常用向量求和的平行四边形法则和三角形法则．3．在数学中，向量数量积的运算是由物理中力对物体所做的功抽象出来的，这也是向量在物理中的主要应用之一．2．某人在静水中游泳，速度为4 3 km/h.(1)如果他径直游向河对岸，水的流速为4 km/h ，他实际沿什么方向前进？速度大小为多少？(2)他必须朝哪个方向游才能沿与水流垂直的方向前进(求出其与河岸夹角的余弦值即可)？他实际前进的速度大小为多少？[解] (1)如图①，设人游泳的速度为OB →，水流的速度为OA →，以OA ，OB 为邻边作平行四边形OACB ，则此人的实际速度为OA →＋OB →＝OC →，根据勾股定理，|OC →|＝8，且在Rt △ACO 中，∠COA ＝60°，故此人实际沿与水速夹角60°的方向前进，速度大小为8 km/h.(2)如图②，设此人的实际速度为OB →，水流速度为OA →. ∵实际速度＝游速＋水速，故游速为OB →－OA →＝AB →， 在Rt △AOB 中，|AB →|＝43，|OA →|＝4，|OB →|＝4 2. ∴cos ∠BAO ＝33，故此人的前进方向与河岸夹角的余弦值为33，且逆着水流方向，实际前进速度的大小为4 2 km/h.向量在解析几何中的应用[探究问题]1．教材中在证明点到直线的距离公式时，为什么有d ＝|PM →·n 0|?[提示] 如图所示，过M 作MN ⊥l 于N ，则d ＝|NM →|.在Rt △MPN 中，|NM →|是PM →在NM →方向上的射影的绝对值，则|NM →|＝||PM →|cos ∠PMN |＝||PM →|×1×cos∠PMN |＝|PM →|×|n 0|×|cos∠PMN |＝|PM →·n 0|，∴d ＝|PM →·n 0|.2．你认为利用向量方法解决几何问题的关键是什么？[提示] 关键是把点的坐标转换成向量的坐标，然后进行向量的运算．【例3】 已知圆C ：(x －3)2＋(y －3)2＝4，及点A (1,1)，M 是⊙C 上的任意一点，点N 在线段MA 的延长线上，且MA →＝2AN →，求点N 的轨迹方程．[思路探究] 要求点N 的轨迹方程，需设出点N 的坐标，然后利用已知条件，转化为向量关系，再利用代入法求解．[解] 设N (x ，y )，M (x 0，y 0)， 由MA →＝2AN →，得(1－x 0,1－y 0)＝2(x －1，y －1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x 0＝2(x －1)，1－y 0＝2(y －1).即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝3－2x ，y 0＝3－2y ，代入⊙C 方程，得(3－2x －3)2＋(3－2y －3)2＝4， 即x 2＋y 2＝1.∴点N 的轨迹方程为x 2＋y 2＝1.将例3的条件变为“已知直线l 过点A (1,1)，且它的一个法向量为n ＝(－2,1)”．试求直线l 的方程．[解] ∵直线l 的一个法向量为n ＝(－2,1)， ∴直线l 的一个方向向量为ν＝(1,2)． ∴直线l 的斜率为2.∴直线l 的点斜式方程为y －1＝2(x －1)． 整理得2x －y －1＝0.故直线l 的方程为2x －y －1＝0.向量在解析几何中的应用主要表现在两个方面：一是作为题设条件；二是作为解决问题的工具使用，充分体现了几何问题代数化的思想，是高考考查的热点之一.解决此类问题的思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是向量平行或垂直的坐标表示；二是向量数量积的公式和性质.1．用向量方法解决几何问题的关键是将几何问题转化为向量问题．对具体的问题是选用向量几何法还是向量坐标法是解题的关键．2．用向量解决物理问题需注意：(1)用向量方法解决相关的物理问题，要将相关物理量用几何图形表示出来． (2)要根据它的物理意义列出数学模型，将物理问题转化为数学问题求解． (3)要将数学问题还原为物理问题.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)△ABC 是直角三角形，则AB →·BC →＝0.( ) (2)若AB →∥CD →，则直线AB 与CD 平行．( )(3)向量AB →，CD →的夹角与直线AB ，CD 的夹角相等或互补．( ) (4)直线y ＝kx ＋b 的一个法向量是(k ，－1)．( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．已知直线l ：5x －y －7＝0，向量p ＝(k ＋1,2k －3)，且p ∥v (向量v 为l 的方向向量)，则k 的值为( )A.73 B.136C.163D.－83D [l 的方向向量v ＝(1,5)，由v 与p 平行得： 5(k ＋1)＝2k －3.解得k ＝－83.]3．已知A (1,2)，B (－2,1)，以AB 为直径的圆的方程是________．x 2＋y 2＋x －3y ＝0 [设P (x ，y )为圆上任一点，则AP →＝(x －1，y －2)，BP →＝(x ＋2，y －1)，由AP →·BP →＝(x －1)(x ＋2)＋(y －2)(y －1)＝0， 化简得x 2＋y 2＋x －3y ＝0.]4．正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，试求cos ∠DOE 的值． [解] 以OA ，OC 所在直线为坐标轴建立直角坐标系，如图所示，由题意知：OD →＝⎝⎛⎭⎪⎫1，12，OE →＝⎝⎛⎭⎪⎫12，1，故cos ∠DOE ＝OD →·OE →|OD →|·|OE →|＝1×12＋12×152×52＝45.。