高三总复习理科数学课时作业 专题四 函数、不等式中的恒成立问题

函数专题：函数不等式恒成立与能成立一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x4、∃∈x D ，()()min ≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈ 1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <； （2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <； （4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <． 2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A , ()[],,y g x x c d =∈的值域为B, （1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆； （2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇； （3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；题型一 单变量不等式恒成立问题【例1】已知函数()42+=x xb f x 为奇函数． （1）求实数b 的值；（2）若对任意的[]0,1x ∈，有()23202--+<f x kx k 恒成立，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1=-b ；（2）3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵函数()42+=x x bf x 的定义域为R ，且为奇函数，∴()010=+=f b ，解得1=-b ，经验证：()411222-==-x x x x f x 为奇函数，符合题意，故1=-b ；（2）∵()122=-xxf x ， ∴()f x 在R 上单调递增，且()131222-=-=-f ． ∵()23202--+<f x kx k ，则()()23212--<-=-f x kx k f ，又函数()f x 在R 上单调递增，则221x kx k --<-在[]0,1x ∈上恒成立， ∴()32141k x x >++-+在[]0,1x ∈上恒成立，设()()32141g x x x =++-+，令1t x =+，则[1,2]t ∈，函数32y t t=+在3]2上递减，在3[,2]2上递增， 当1t =时，5y = ，当2t =时，112y =， 故()max 113422g x =-=，则32k > ，∴实数k 的取值范围为3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【变式1-1】已知定义在R 上的函数()22x xf x k -=-⋅是奇函数．（1）求实数k 的值；（2）若对任意的R x ∈，不等式()()240f x tx f x ++->恒成立，求实数t 的取值范围．【答案】（1）1k =；（2）()3,5-【解析】（1）函数()22x x f x k -=-⋅是定义域R 上的奇函数，∴(0)0f =，即()000220f k =-⋅=，解得1k =．此时()22x xf x -=-，则()()()2222x x x x f x f x ---=-=--=-，符合题意；（2）因为()22x x f x -=-，且2xy =在定义域R 上单调递增，2x y -=在定义域R 上单调递减，所以()22x xf x -=-在定义域R 上单调递增， 则不等式()()240f x tx f x ++->恒成立， 即()()24f x tx f x +>-恒成立，即24x tx x +>-恒成立，即()2140x t x +-+>恒成立，所以()21440t ∆=--⨯<，解得35t -<<，即()3,5t ∈-.【变式1-2】已知()21212xxm m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，则实数m 的取值范围为_________. 【答案】[]2,3-【解析】依题意，()21212xxm m ⎛⎫- ⎪⎝⎭≤-对任意(],1x ∈-∞-恒成立，可等价为221122x x m m ⎛⎫- ⎪⎝+⎭≤对任意(],1x ∈-∞-恒成立，即2in2m 1122x x m m ≤+⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 令[)12,2x t =∈+∞，()[)2211,2,24f t t t t t ⎛⎫∴=+=+-∈+∞ ⎪⎝⎭，()()2min 1122624f t f ⎛⎫∴==+-= ⎪⎝⎭，26m m ∴-≤，解得23m -≤≤，∴实数m 的取值范围为[]2,3-.【变式1-3】已知()()2log 124x xf x a =-⋅+ ，其中a 为常数（1）当()()102f f -= 时，求a 的值；（2）当[1x ∈+∞，）时，关于x 的不等式()1f x x ≥-恒成立，试求a 的取值范围；【答案】（1）32a =；（2）2a ≤【解析】（1）()()102f f -=得()()222log 124log 11log 4a a -+-+=－⇒()()22log 52log 42a a -=－ ⇒352842a a a -=-⇒=；（2）()122log 1241log 2x x x a x --⋅+≥-=1111242222x x x xx a a -⇒-⋅+≥⇒≤+-， 令2x t =，[)1[2x t ∈+∞∴∈+∞，，），设()112h t t t =+- ，则()min a h t ≤，()h t 在[2+∞，）上为增函数⇒2t =时，()112h t t t =+-有最小值为2，2a ∴≤.【变式1-4】已知函数()()4log 65x xf x m =+⋅.（1）当1m =-时，求()f x 的定义域；（2）若()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，求m 的取值范围. 【答案】（1）()0,∞+；（2）(]1,2-【解析】（1）当1m =-时()()4log 65x x f x =-，令650x x ->，即65xx>，即615x⎛⎫> ⎪⎝⎭，解得0x >，所以()f x 的定义域为()0,∞+.（2）由()2f x ≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，所以06516x x m <+⋅≤对任意的[]0,1x ∈恒成立，即6166555xxx m ⎛⎫⎛⎫-<≤- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭对任意的[]0,1x ∈恒成立，因为165x y =是单调递减函数，65xy ⎛⎫=- ⎪⎝⎭是单调递减函数，所以()16655xx g x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()min 12g x g ==，所以()65xh x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在[]0,1上单调递减，所以()()max 01h x h ==-，所以12m -<，即m 的取值范围为(]1,2-.题型二 单变量不等式能成立问题【例2】定义在[]3,3-上的奇函数()f x ，已知当[]3,0x ∈-时()143x xaf x =+（a R ∈）． （1）求()f x 在(]0,3上的解析式； （2）若存在[]2,1x ∈--时，使不等式()1123x x m f x -≤-成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）()34x x f x =-；（2）5m ≥【解析】（1）根据题意，()f x 是定义在[]3,3-上的奇函数，则()010f a =+=，得1a =-．经检验满足题意：故1a =-； 当[]3,0x ∈-时，()1114343x x x xa f x =+=-， 当(]0,3x ∈时，[]3,0x -∈-，()114343---=-=-x x x x f x ． 又()f x 是奇函数，则()()34x xf x f x =--=-． 综上，当(]0,3x ∈时，()34x xf x =-．（2）根据题意，若存在[]2,1x ∈--，使得()1123x x m f x -≤-成立， 即11114323x x x x m --≤-在[]2,1x ∈--有解，即12243x x x m ≥+在[]2,1x ∈--有解．又由20x>，则12223xx m ⎛⎫≥+⋅ ⎪⎝⎭在[]2,1x ∈--有解．设()12223xx g x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，分析可得()g x 在[]2,1x ∈--上单调递减，又由[]2,1x ∈--时，()()11min1212523g g x --⎛⎫=-=+⋅= ⎪⎝⎭，故5m ≥．即实数m 的取值范围是[)5,+∞．【变式2-1】已知函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦．（1）求()f x 的定义域B ；（2）对于（1）中的集合B ，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦；（2）13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）∵()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴114x ≤≤．∴12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．（2）令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值．∵()21324g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【变式2-2】已知函数()1422x x f x a +=-⋅+，其中[]0,3.x ∈（1）若()f x 的最小值为1，求a 的值；（2）若存在[]0,3x ∈，使()33f x ≥成立，求a 的取值范围． 【答案】（1）5a =；（2）1a ≥ 【解析】（1）因为[]0,3x ∈，()()()22242224x x x f x a a =-⋅+=-+-，当22x =时，即当1x =时，函数()f x 取得最小值， 即()()min 141f x f a ==-=，解得5a =.（2）令[]21,8xt =∈，则()24f x t t a =-+，由()33f x ≥可得2433a t t ≥-++，令()2433g t t t =-++，函数()g t 在[)1,2上单调递增，在(]2,8上单调递减，因为()136g =，()81g =， 所以，()()min 81g t g ==，1a ∴≥.【变式2-3】已知函数()e e x xf x -=+.（1）当[0,)x ∈+∞时，试判断并证明其单调性.（2）若存在[ln 2,ln3]x ∈-，使得(2)()30f x mf x -+≥成立，求实数m 的取值范围. 【答案】（1）单调递增，证明见解析；；（2）109,30⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】（1）()e e x xf x -=+在[0,)+∞上单调递增，证明如下：12,[0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则()()()()()112221212211211221e e e e ee eeee e e e 1e x x x x x x x x x x x x x x x xf x f x +--+⎛⎫--=+-+=-+=- ⎝-⎪⎭，由120x x ≤<得：21e e 0x x ->，12e 1x x +>，所以()()21f x f x >，即()f x 在[0,)+∞上的单调递增 （2）由题设，[ln 2,ln 3]x ∃∈-使()()()()222(2)()3e e e e 3e e e e 10x x x x x xx x f x mf x m m -----+=+-++=+-++≥，又()()e ee e ()x x x xf x f x -----=++==，即()f x 是偶函数， 结合（1）知：()f x 在[ln 2,0]-单调递减，在[0,ln 3]上单调递增， 又510(ln 2)(ln3)23f f -=<=， 所以(0)()(ln 3)f f x f ≤≤，即102()3f x ≤≤， 令e e xxt -=+，则102,3t ⎡⎤∃∈⎢⎥⎣⎦使210t mt -+≥，可得211t m t t t+≤=+，令1()g t t t =+在102,3t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递增，故max 10109()330g t g ⎛⎫==⎪⎝⎭； 所以max ()m g t ≤，即109,30m ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦.【变式2-4】已知1≤x ≤27，函数33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b (a ＞0)的最大值为4，最小值为0． （1）求a 、b 的值；（2）若不等式()(3)0tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）1,2a b ==；（2）43⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦， 【解析】（1）()()()()3333log 3log 2log 1log 3227xf x a x b a x x b =⋅++=+-++()23log 142a x a b =+--+，由1≤x ≤27得[]3log 0,3t x =∈，()[]23log 10,4x -∈，又a ＞0，因此33()log (3)log 227=⋅++xf x a x b 的最大值为24+=b ， 最小值为420a b -++=， 解得1,2a b ==．（2）()()23log 1f x x =-，()()()2310tg t f kt t kt =-=--≥又1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()2112t k t t t-≤=+-， 而1()2h t t t =+-在1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,3上单调递增．由不等式()()30tg t f kt =-≥在1,32t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有解，得：max 12k t t ⎛⎫≤+- ⎪⎝⎭43=． 因此，k 的取值范围是43⎛⎤∞ ⎥⎝⎦-，．题型三 任意-任意型不等式成立问题【例3】已知()()()21ln 12xf x xg x m ⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭，，若对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ．14⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，B ．14⎛⎥-∞⎤ ⎝⎦， C ．12⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭， D ．12⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦， 【答案】C【解析】易知()2(ln 1)f x x =+在[0,3]上单调递增，()()min 00f x f ==，()1()2x g x m =-在[1,2]上单调递减，()()max 112g x g m ==-，对任意[]10,3x ∈，[]21,2x ∈，使得()()12f x g x ≥，则()()min max f x g x ≥ 所以102m -≤，即12m ≥.故选：C.【变式3-1】已知定义在区间[0,2]上的两个函数()f x 和()g x ，其中2()24(1)f x x ax a =-+≥，2()1x g x x =+.（1）求函数()y f x =的最小值()m a ；（2）若对任意12,[0,2]x x ∈，21()()f x g x >恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）24,12()84,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩；（2）261a ≤<【解析】（1）由()()222244f x x ax x a a =-+=-+-，则二次函数的对称轴为x a =，则当12a ≤<时，()f x 在[)0,a 上单调递减，在(],2a 上单调递增，所以()()()2min 4m a f x f a a ===-；当2a ≥时，()f x 在[0,2]上单调递减，()()()min 284m a f x f a ===- ，所以()24,1284,2a a m a a a ⎧-≤<=⎨-≥⎩；（2）()()1121g x x x =++-+，当[0,2]x ∈时，[]11,3x +∈， 又()g x 在区间[0,2]上单调递增，所以()40,3g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 若对任意12,[0,2]x x ∈，()()21f x g x >恒成立 则()()21minmax f x g x >，故212443a a ≤<⎧⎪⎨->⎪⎩或24843a a ≥⎧⎪⎨->⎪⎩解得：261a ≤<.【变式3-2】已知函数()2xf x =，31()log 1xg x x-=+. （1）求()21log 20202f g ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的值；（2）试求出函数()g x 的定义域，并判断该函数的单调性与奇偶性；（判断函数的单调性不必给出证明.）（3）若函数()(2)3()F x f x f x =-，且对[]10,1x ∀∈，211,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，都有()()12F x g x m>+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）2021；（2）定义域为()1,1-，函数()g x 在()1,1-上为减函数；奇函数；（3）13,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【解析】（1）()2log2020231log 20202log 320212f g ⎛⎫+-=+= ⎪⎝⎭；（2）由101xx->+有11x -<<，∴函数()g x 的定义域为()1,1-. ∵3312()log log 111x g x x x -⎛⎫==-+ ⎪++⎝⎭，∴函数()g x 在()1,1-上为减函数； 31()log ()1xg x g x x+-==--，且定义域关于原点对称，∴函数()g x 为奇函数；（3）∵对[]10,1x ∀∈，211,22x ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，都有()()12F x g x m >+恒成立，∴min max ()()F x g x m >+，由（2）知()g x 在11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上为减函数，∴max 1()12g x g ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，∵2()(2)3()232x x F x f x f x =-=-⋅，令2x t =，则23y t t =-，当[]0,1x ∈时，12t ≤≤，∴当32t =即223log log 312x ==-时，min 9()4F x =-， ∴914m ->+，即134m <-， ∴m 的取值范围为13,4⎛⎫-∞-⎪⎝⎭.【变式3-3】已知函数()()2,f x x bx c b c =++∈R ，且()0f x ≤的解集为[]1,2-.（1）求函数()f x 的解析式；（2）设()()312f x x g x +-=，若对于任意的1x 、[]22,1x ∈-都有()()12g x g x M -≤，求M 的最小值.【答案】（1）()22f x x x =--；（2）M 的最小值为1516. 【解析】（1）因为()0f x ≤的解集为[]1,2-，所以20x bx c ++=的根为1-、2，由韦达定理可得1212b c-+=-⎧⎨-⨯=⎩，即1b =-，2c =-，所以()22f x x x =--.（2）由（1）可得()()2312322f x x xx g x +-+-==，当[]2,1x ∈-时，()[]2223144,0x x x +-=+-∈-，故当[]2,1x ∈-时，()22112,116x x g x +-⎡⎤∈⎢⎣=⎥⎦， 因为对于任意的1x 、[]22,1x ∈-都有()()12g x g x M -≤， 即求()()12max g x g x M -≤，转化为()()max min g x g x M -≤， 而()max 1g x =，()min 116g x =，所以，()()max min11511616M g x g x ≥-=-=. 所以M 的最小值为1516.题型四 任意-存在型不等式成立问题【例4】已知函数()9f x x x=+和函数()g x x a =--，若对任意的[]124x ∈，，总存在[]201x ∈，，使得()()21g x f x <成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】7a >-【解析】对任意的[]124x ∈，，总存在[]201x ∈，，使得()()21g x f x <，即()()min min g x f x <，因对勾函数()9f x x x=+在[]23，上递减，在[]34，上递增， 故当[]124x ∈，时，()()min 36f x f ==， 函数()g x x a =--在[]01，上递减，所以()()min 11g x g a ==--，由()()min min g x f x <得16a --<，即7a >-．【变式4-1】已知()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，当(]0,2x ∈时，()21x f x =-，函数()22.g x x x m =-+如果对于任意的[]12,2x ∈-，总存在[]22,2x ∈-，使得()()21g x f x ≥，则实数m 的取值范围是__________．【答案】[)5,-+∞【解析】若对于[]12,2x ∀∈-，[]22,2x ∃∈-，使得()()21g x f x ≥，则等价为()()max max g f x x ≥()f x 是定义在[]22-,上的奇函数，()00f ∴=，当(]0,2x ∈时，()(]210,3x f x =-∈，则当[]2,2x ∈-时，()[]3,3f x ∈-，()222(1)1g x x x m x m =-+=-+-，[]2,2x ∈-， ()max ()28g x g m ∴=-=+，则满足83m +≥，解得5m ≥-.【变式4-2】已知函数()()log 1xa f x a bx =+-（a ＞0且1,R ab ≠∈）是偶函数，函数()x g x a =（a ＞0且1a ≠）．（1）求实数b 的值；（2）当a ＝2时，若1(1,)∀∈+x ∞，2R ∃∈x ，使得()()()112220g x mg x f x +->恒成立，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）12b =；（2）32m ≥-.【解析】（1）由题设，()()f x f x -=，即()()log 1log 1x x a a a bx a bx -++=+-，所以log (1)(1)log (1)x xa a ab x a bx ++-=+-，则1b b -=-，可得12b =. （2）由（1）及a ＝2知：2()log (21)2x x f x =+-，()2xg x =，所以12122log ()2144xx x x m +⋅->+在1(1,)∀∈+x ∞，2R ∃∈x 上恒成立，令42x xy m +⋅=且(1,)x ∈+∞，2log (41)x t x =+-且R x ∈，只需min y t >恒成立，而21log (2)2xx t =+，由20x m =>在R x ∈上递增， 1n m m=+在(0,1)m ∈上递减，(1,)m ∈+∞上递增，2log t n =在定义域上递增，所以t 在(,0)-∞上递减，(0,)+∞上递增，故min 0|1x t t ===，综上，4210x x m +⋅->在(1,)x ∈+∞上恒成立，令2(2,)xk =∈+∞，则210k mk ->+在(2,)+∞上恒成立，而240m ∆=+>，故2{2230m m -≤+≥，可得32m ≥-.【变式4-3】已知函数2(1)()()x x a f x x ++=为偶函数. （1）求实数a 的值；（2）判断()f x 的单调性，并用定义法证明你的判断：（3）设()52g x kx k =+-，若对任意的1[12]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）1-；（2）()f x 在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减，证明见解析；（3）9(,]2-∞【解析】（1）()f x 为偶函数，定义域为(,0)(0,)-∞+∞，故()()f x f x -=对定义域内x 恒成立，22(1)()(1)()x x a x x a x x++-+-+=，即2(1)0a x +=对定义域内x 恒成立， 故1a =-；（2）22211()1x f x x x-==-，在(0,)+∞上单调递增，在(,0)-∞上单调递减， 证明：设120x x <<，21212122221212()()11()()0x x x x f x f x x x x x -+-=-=>， 故()f x 在(0,)+∞上单调递增，同理可证()f x 在(,0)-∞上单调递减； （3）由题意得()()12max max f x g x ≤，而()1max 1(2)2f x f ==，①0k ≥时，()2max (1)5g x g k ==-，152k -≥，解得902k ≤≤，②0k <时，()2max (0)52g x g k ==-，1522k -≥，故0k <时恒满足题意， 综上，k 的取值范围是9(,]2-∞．题型五 存在-存在型不等式成立问题【例5】已知函数()212=+f x x x ，()()ln 1=+-g x x a ，若存在1x ，[]20,2∈x ，使得()()12>f x g x ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】a ＞－4【解析】问题可转化为f (x )max >g (x )min ，易得f (x )max =4，g (x )min =－a ，由f (x ) ma x > g (x ) min 得：4＞－a ，故a ＞－4即为所求.【变式5-1】已知函数()11f x x =+，()1g x x =-，若1x ∃，[]2,1x a a ∈+，使得()()12f x g x >成立，求正实数．．．a 的取值范围．【答案】2)【解析】存在1x ，2[x a ∈，1]a +，使得()()12f x g x >成立，等价为在[a ，1]a +上，()()max min f x g x >．由()1g x x =-在[a ，1]a +递增，可得()g x 的最小值为()1g a a =-， 又0a >，所以()f x 在[a ，1]a +递减，可得()f x 的最大值为1()1f a a =+， 由111a a >-+，解得22a -<02a < 综上可得，a 的范围是2)．【变式5-2】已知()2f x x x=+，()g x x a =-+，对于[]11,3x ∃∈，[]21,3x ∃∈，()()12f x g x ≥成立．【答案】20,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】因为对于[]11,3x ∃∈，[]21,3x ∃∈，()()12f x g x ≥成立故当1x ，[]213x ∈，时，()()12max min f x g x ， 因为()2f x x x =+在2⎡⎤⎣⎦，2⎤⎦，递增，且()13f =，()2113333f =+=， 故()()max 1133f x f ==， 而()g x x a =-+在[]13，递减， 故()()min 33g x g a ==- 所以1133a -，解得203a ，即a 的取值范围是20,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．【变式5-3】已知函数()222x xf x m m -=+⨯+是R 上的偶函数，()2g x a x m =--．（1）求m 的值；（2）若存在1x ，2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x 成立，求a 的取值范围．【答案】（1）1；（2）92a． 【解析】（1）因为()222x xf x m m -=+⨯+是R 上的偶函数，所以()()f x f x -=，即222222x x x x m m m m --+⨯+=+⨯+，即(1)(22)0x xm ---=，解得1m =， 故()222x xf x -=++；（2）由（1）可得2,2()2{2,2x a x g x a x x a x -++=--=+-<， 因为2,2(){2,2x a x g x x a x -++=+-<，所以()g x 在[1，2]上是增函数，在[2，4]上是减函数，所以()max g x g =（2）a =，设2x t =，[1x ∈，4]，可得[2t ∈，16]，则12y t t=++在[2，16]递增，可得2t =时，f （2）取得最小值92，存在1x ，2[1x ∈，4]，使得12()()f x g x 成立，可得()()min max f x g x ，即为92a．题型六 任意-存在型等式成立问题【例6】已知函数1()423x x f x +=--，2()42(1)g x x mx m m =--≥，若对于任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．[1,2)D ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】定义1()423x x f x +=--，[0,1]x ∈，值域为A ；令2x t =，[1,2]t ∈，则1()423x x f x +=--可化为()222314y t t t =--=--在[1,2]t ∈上单增，所以()2max 2143y =--=-，()2min 1144y =--=-，即集合[]4,3A =--.定义2()42(1)g x x mx m m =--≥，[0,1]x ∈，值域为B ；因为对称轴22x m =≥，所以2()42g x x mx m =--在[0,1]x ∈上单调递减，所以max max ()(0)2,()(1)16g x g m g x g m ==-==-，即集合[]16,2B m m =-- 因为对于任意1[0,1]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x g x =成立， 所以A B ⊆.只需162164231m m m m m -<-⎧⎪-≤-⎪⎨-≥-⎪⎪≥⎩解得：1456321m m m m ⎧>⎪⎪⎪≥⎪⎨⎪≤⎪⎪⎪≥⎩， 即312m ≤≤。

函数不等式恒成立问题6大题型新高考越来越注重对综合素质的考查，恒成立问题变式考查综合素质的很好途经，它经常以函数、方程、不等式和数列等知识为载体，渗透着还原、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法。

近几年的数学高考中频频出现恒成立问题、能问题，其形式逐渐多样化，但都与函数、导数知识密不可分，考查难度一般为中等或难题。

一、单变量不等式恒成立问题一般利用参变分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：1、∀∈x D ，()()min ≤⇔≤m f x m f x2、∀∈x D ，()()max ≥⇔≥m f x m f x3、∃∈x D ，()()max ≤⇔≤m f x m f x4、∃∈x D ，()()min ≥⇔≥m f x m f x 二、双变量不等式与等式一般地，已知函数()[],,y f x x a b =∈，()[],,y g x x c d =∈1、不等关系（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∀∈，总有()()12f x g x <成立，故()()max min f x g x <；（2）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()max max f x g x <；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12f x g x <成立，故()()min min f x g x <；（4）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12f x g x <成立，故()()min max f x g x <．2、相等关系记()[],,y f x x a b =∈的值域为A ,()[],,y g x x c d =∈的值域为B,（1）若[]1,x a b ∀∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊆；（2）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∀∈，有()()12=f x g x 成立，则有A B ⊇；（3）若[]1,x a b ∃∈，[]2,x c d ∃∈，有()()12=f x g x 成立，故A B ⋂≠∅；【题型1单变量不等式恒成立问题】【例1】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）设函数()21f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭C ．33,22⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【变式1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，且满足()()2xg x h x -+=，若对任意的[]1,1x ∈-都有不等式()()0mh x g x -≥成立，则实数m 的最小值为（）A ．13B ．35C ．1D ．35-【变式1-2】（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知一次函数()f x 满足()()2f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()af x x >a 的取值范围.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.（1）求,a b 的值;（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）若对于任意R t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.【题型2单变量不等式能成立问题】【例2】（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（）A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫-⎪⎝⎭【变式2-1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数()3()23a a f x x -=-为幂函数．（1）求函数()2xf a +的值域；（2）若关于x 的不等式2()log ()f x f x a +<在[2,4]上有解，求a 的取值范围．【变式2-2】（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数()1f x x x a =+--，1a >．（1）当a ＝2时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()01,1x ∃∈-，使()20001f x x ax <-+-成立，求a 的取值范围．【变式2-3】（2021秋·江苏·高三校联考期中）已知函数()151x af x =-+为奇函数.（1）求实数a 的值；（2）若存在m ∈[-1，1]，使得不等式()22(2)2f x f mx x mx +--- 成立，求x 的取值范围.【变式2-4】（2022秋·重庆北碚·高三重庆市朝阳中学校考开学考试）已知函数4()2x xa g x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【题型3任意-任意型不等式成立问题】【例3】（2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）已知函数()213,11log ,12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的实数12,x x ，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__．【变式3-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考阶段练习）已知函数()f x 满足22()()(0)f x f x x x x+-=+≠．（1）求()y f x =的解析式，并求()f x 在[3,1]--上的值域；（2）若对12(2,4),x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()2121R k kf x f x x x x +>+∈成立，求实数k的取值范围．【变式3-2】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）已知函数()1lg x f x xλ+=．（1）当2λ=时，解不等式()0f x >；（2）设0λ>，当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，求λ的取值范围．【变式3-3】（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设()e xf x =，函数()g x 的图像和函数()f x 的图像关于y 轴对称．（1）若()()43f x g x =+，求x 的值．（2）令()()2f x h x x=，()22t x x x a =-++，若对任意1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12h x t x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【题型4任意-存在性不等式成立问题】【例4】（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，命题p ：对任意[]10,3x ∈，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x g x，则命题p 正确的一个充分不必要条件是（）A ．3mB ．2mC ．1mD ．0m【变式4-1】（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期末）已知函数2()x x af x x++=.（1）若()()1g x f x =-，判断()g x 的奇偶性并加以证明；（2）当12a =时，①用定义法证明函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，再求函数()f x 在[1,)+∞上的最小值；②设()52h x kx k =+-，若对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x h x ≤成立，求实数k 的取值范围.【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值；（3）若][()21,1,1,1,<22x a f x m am ∃∈-∀∈---⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【变式4-3】（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，且()()2log 21x f x kx =+-，()()g x f x x =+.（1）求k 的值；若函数()f x 的定义域为[]0,4，求()()22f x xh x +=的值域.（2）设()4ln 21h x x x x mx =+-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，求实数m 的取值范围.【题型5存在-存在性不等式成立问题】【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数()1f x x x a =-+.（1）当0a =时，解不等式()()2122f x f x -++>；（2）若存在1x ，(]2,ln 2x ∈-∞，使得()()12e e3x x f f ->，求实数a 的取值范围.【变式5-1】（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数()()121,2121x x x f x g x ++==--（1）利用函数单调性的定义，判断并证明函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）若存在实数()12,0,x x ∈+∞且12x x <，使得()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()21,m m g x g x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围.【变式5-2】（2022秋·江西抚州·高三江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知()214f x x x =-++（1）解不等式()23f x x +≤；（2）若存在实数x 1，x 2，使得()21222f x x x a <-++，求实数a 的取值范围．【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2xx ax bf x x R e ++=∈的一个极值点是2x =.（1）求a 与b 的关系式，并求()f x 的单调区间；（2）设0a >，()22x g x a e -=，若存在1x ，[]20,3x ∈，使得()()1222f xg x e -<成立，求实数a 的范围.【题型6任意-存在性等式成立问题】【例6】（2023·全国·高三对口高考）已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2cos 13g x k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意π4π,33t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，都存在π2π,63s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的可能取值是（）．A ．54B ．74C ．94D ．114【变式6-1】（2022秋·北京·高三人大附中校考阶段练习）已知函数()24a x x x f =-+，()5g x ax a =+-，若对任意的[]11,3x ∈-，总存在[]21,3x ∈-，使得()()12f x g x =成立，则实数a 的取值范围是（）A ．(],9-∞-B ．[]9,3-C ．[)3,+∞D ．(][),93,-∞-+∞ 【变式6-2】（2022秋·北京·高三北师大实验中学校考期中）已知函数()()214x a f x x x+=≤≤，且()15f =.（1）求实数a 的值，并求函数()f x 的最大值和最小值；（2）函数()()122g x kx x =--≤≤，若对任意[]11,4x ∈，总存在[]02,2x ∈-，使得()()01g x f x =成立，求实数k 的取值范围.【变式6-3】（2022秋·上海长宁·高三上海市延安中学校考期中）已知2()327mx n f x x +=+，||1()3x m g x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中,m n ∈R ，且函数()y f x =为奇函数；（1）若函数()y f x =的图像过点A （1，1），求实数m 和n 的值；（2）当3m =时，不等式()()()()f x g x af x g x +≥对任意[3,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围；（3）设函数()()()393f x x h xg x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若对任意1[3,)x ∈+∞，总存在唯一的2(,3)x ∈-∞使得()()12h x h x =成立，求实数m的取值范围；（建议用时：60分钟）1．（2022秋·北京西城·高三北京师大附中校考阶段练习）已知函数()253,121,1 2x x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩设R a ∈，若关于x 的不等式()2x f x a ≥+恒成立，则a 的取值范围是（）A ．[]2,1-B ．232,44⎡-⎢⎥⎣⎦C ．32,14⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]1,2-2．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校考期中）已知()f x ，()g x 分别为定义域为R 的偶函数和奇函数，且()()e xf xg x +=，若关于x 的不等式()()220f x ag x -≥在()0,ln 3上恒成立，则正实数a 的取值范围是（）A ．15,8⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．[)0,∞+C ．15,8⎛⎤-∞ ⎝⎦D ．150,8⎛⎤⎥⎝⎦3．（2022·全国·高三专题练习）设函数()()1xf x xe a x =--，其中1a <，若存在唯一整数0x ，使得()0f x a <，则a 的取值范围是（）．A ．21,1e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．211,e e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C ．211,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．21,1e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2222,2log ,2x x x f x x x ⎧-+<=⎨>⎩，若∃0x ∈R ，使得()2054f x m m ≤-成立，则实数m 的取值范围为()A ．11,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．124⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，5．（2022秋·江苏盐城·高三校考阶段练习）已知函数()29x f x x+=，()2log g x x a =+，若存在[]13,4x ∈，对任意[]24,8x ∈，使得()()12f x g x ≥，则实数a 的取值范围是（）A ．13,4⎛⎤-∞ ⎝⎦B ．13,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．130,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．（1，4）6．（2022秋·河南·高三安阳一中校联考阶段练习）已知函数()()22()26f x x x x ax b =-+++，且对任意的实数x ，()(4)f x f x =-恒成立，函数2()4mxg x x =+，若对[]11,3x ∀∈，[]21,3x ∃∈，使12()()g x f x =，则正实数m 的取值范围是（）A ．(][)0,1524,⋃+∞B ．[]15,24C ．[]16,25D ．(][)0,1625,⋃+∞7．（2023秋·河南郑州·高三校联考期末）已知函数()()224,243f x x m x g x x x =++-=-+.（1）若3m =，求不等式()7f x >的解集；（2）若12R,R x x ∀∈∃∈，使得()()12f x g x ≥成立，求实数m 的取值范围.8．（2022秋·辽宁·高三大连二十四中校联考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，且()2()log 21x f x kx =+-，()()g x f x x =+．（1）若不等式()422(2)x xg a g -⋅+>-恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设4()ln 21h x x x x mx =+-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，求实数m 的取值范围．9．（2022秋·湖南岳阳·高三校考阶段练习）已知函数()141log 1axf x x -=-的图象关于原点对称，其中a 为常数．（1）求a 的值；（2）当()1,x ∈+∞时，()()14log 1f x x m+-<恒成立，求实数m 的取值范围；（3）若关于x 的方程()()14log f x x k =+在[]2,3上有解，求实数k 的取值范围．参考答案【题型1单变量不等式恒成立问题】【例1】（2020秋·吉林白城·高三校考阶段练习）设函数()21f x x =-，对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．11,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎢⎝⎦⎣⎭C ．33,22⎛⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D ．11,00,22⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】C【解析】由对任意3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，()()()2414xf m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+ ⎪⎝⎭恒成立，得222222314(1)(1)14(1)(,))[2x m x x m x m ---≤--+-∈+∞恒成立，即22213241m m x x -≤--+在3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立，令211()321x x x ϕ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，因为3,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，令120,3t x ⎛⎤=∈ ⎥⎝⎦，则2()321t t t ϕ=--+，所以2()321t t t ϕ=--+在20,3t ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦单调递减，所以min 25()(33t ϕϕ==-，所以221543m m -≤-，化简得()2231(43)0m m +-≥，解得3m ≤3m ≥故选:C.【变式1-1】（2022秋·吉林·高三校考期末）已知()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，且满足()()2xg x h x -+=，若对任意的[]1,1x ∈-都有不等式()()0mh x g x -≥成立，则实数m 的最小值为（）A ．13B ．35C ．1D ．35-【答案】B【解析】 ()g x 为奇函数，()h x 为偶函数，且()()2xg x h x -+=①()()()()2x g x h x g x h x ∴-+-=-+=②①②两式联立可得()222x xg x -=-，()222x x h x -=+.由()()0mh x g x -≥，即2222022x x x xm ----≥+，得224121224141x x x x x x x m ----≥==-+++，∵41=+x t 在[]1,1x ∈-是增函数，且5,54t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，2y t=-在5,54t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上是单调递增，∴由复合函数的单调性可知2141x y =-+在[]1,1x ∈-为增函数，∴max 2231141415x⎛⎫-=-= ⎪++⎝⎭，∴35m ≥，即实数m 的最小值为35.故选：B.【变式1-2】（2022秋·陕西商洛·高三校联考阶段练习）已知一次函数()f x 满足()()2f f x x =+.（1）求()f x 的解析式；（2）若对任意的()0,x ∈+∞，()af x x >a 的取值范围.【答案】（1）()1f x x =+；（2）1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）设(),0f x kx b k =+≠，则()()()()22f f x f kx b k kx b b k x kb b x =+=++=++=+，所以212k kb b ⎧=⎨+=⎩解得11k b =⎧⎨=⎩所以()f x 的解析式为()1f x x =+.（2）由()0,x ∈+∞，()af x x >1x a x >+，11112x x x x=≤+x x =1x =时，1x x +取得最大值，所以12a >，即a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【变式1-3】（2022·全国·高三专题练习）已知定义域为R 的函数2()2xx b f x a-=+是奇函数.（1）求,a b 的值;（2）用定义证明()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）若对于任意R t ∈，不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，求k 的范围.【答案】（1）1a =，1b =；（2）证明见解析.；（3）1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】（1）()f x 为R 上的奇函数，02(0)02b f a-∴==+，可得1b =又(1)(1)f f -=-,11121222a a----∴=-++,解之得1a =,经检验当1a =且1b =时，12()21xx f x -=+，满足1221()()2112x x x xf x f x -----===-++是奇函数,故1a =，1b =.（2）由（1）得122()12121x x xf x -==-+++，任取实数12,x x ，且12x x <，则()()()()()211212122222221212121x x x x x x f x f x --=-=++++，12x x < ，可得1222x x <，且()()1221210x x ++>，故()()()211222202121x x x x ->++，()()120f x f x ∴->，即()()12f x f x >，所以函数()f x 在(,)-∞+∞上为减函数;（3）根据（1）（2）知，函数()f x 是奇函数且在(,)-∞+∞上为减函数.∴不等式()()22220f t t f t k -+-<恒成立，即()()()222222f t t f t k f t k -<--=-+恒成立，也就是:2222t t t k ->-+对任意的R t ∈都成立，即232k t t <-对任意的R t ∈都成立，221132333t t t ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭ ，当13t =时232t t -取得最小值为13-，13k ∴<-，即k 的范围是1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【题型2单变量不等式能成立问题】【例2】（2022秋·福建龙岩·高三上杭一中校考阶段练习）已知函数()f x 的定义域为B ，函数()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，则实数a 的取值范围为（）A ．13,16⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．130,16⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,16⎛⎫+∞⎪⎝⎭D ．1313,1616⎛⎫-⎪⎝⎭【答案】C【解析】∵()13f x -的定义域为1,14A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，∴114x ≤≤，12134x -≤-≤，则12,4B ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦．令()21g x x x =-+，x B ∃∈，使得21a x x >-+成立，即a 大于()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值．∵213()24g x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，∴()g x 在12,4⎡⎤-⎢⎣⎦上的最小值为113416g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴实数a 的取值范围是13,16⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．故选：C ．【变式2-1】（2022秋·辽宁葫芦岛·高三校联考阶段练习）已知函数()3()23a a f x x -=-为幂函数．（1）求函数()2xf a +的值域；（2）若关于x 的不等式2()log ()f x f x a +<在[2,4]上有解，求a 的取值范围．【答案】（1）10,2⎛⎫⎪⎝⎭；（2）7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】（1）由题意可得231a -=，解得2a =，则1()f x x =，所以()1222xx f a +=+，因为x ∈R ，则222x +>，故函数()2xf a +的值域为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）方法一：因为1()f x x=在[]2,4上单调递减，所以1()f x x =在[]2,4上的值域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦．令()f x t =，2()log g t t t =+，则()g t 在11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以()g t 的最小值为1172444g ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以74a >-，即a 的取值范围为7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．方法二：因为1()f x x =，所以2()log ()f x f x a +<即21log x a x-<．令函数21()log g x x x=-，则()g x 在[]2,4上单调递减，所以()g x 的最小值为17(4)244g =-=-，所以74a >-，即a 的取值范围为7,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．【变式2-2】（2022·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）已知函数()1f x x x a =+--，1a >．（1）当a ＝2时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()01,1x ∃∈-，使()20001f x x ax <-+-成立，求a 的取值范围．【答案】（1）{}1x x >；；（2）()2,+∞.【解析】（1）当a ＝2时，()12f x x x =+--，当2x ≥时，()3f x =，()1f x >恒成立，解得2x ≥；当12x -<<时，()21f x x =-，由()1f x >，得1x >，解得12x <<；当1x ≤-时，()3f x =-，()1f x >无解，综上所述，()1f x >的解集为{}1x x >；（2）当1a >，()1,1x ∈-时，()121f x x a x x a =+-+=-+．由()21f x x ax <-+-得2211x a x ax -+<-+-，即()2122x a x x +>++．当()1,1x ∈-时，()10,2x +∈，所以2221x x a x++>+．若()1,1x ∃∈-使()21f x x ax <-+-成立，则只需2min221x x a x ⎛⎫++> ⎪+⎝⎭，而222111(1)2111x x x x x x x++=++≥+⋅+++（当且仅当x ＝0时等号成立），所以a 的取值范围为()2,+∞．【变式2-3】（2021秋·江苏·高三校联考期中）已知函数()151x af x =-+为奇函数.（1）求实数a 的值；（2）若存在m ∈[-1，1]，使得不等式()22(2)2f x f mx x mx +--- 成立，求x 的取值范围.【答案】（1）2a =；（2）[]22-,【解析】（1）函数的定义域为R ，由题意可得()00f =，即01051a-=+，解得2a =，所以2()151x f x =-+，()()()222511120515151x x x xf x f x -+--+-=-==++++，即()f x 为奇函数，所以2a =.（2）由（1）可知2()151x f x =-+， 存在m ∈[-1，1]，使得不等式()22(2)2f x f mx x mx +--- 成立，∴存在m ∈[-1，1]，使得不等式()22(2)20f x x f mx mx ++-+-≤成立，设()()g x f x x =+，定义域为R ，()f x 为奇函数，()()f x f x ∴=--，而()()()()g x f x x f x x g x -=--=--=-，所以()g x 为奇函数，∴存在m ∈[-1，1]，()()22g x g mx ≤--成立，即存在m ∈[-1，1]，()()22g x g mx ≤-成立，又因为2()151xf x =-+在R 上单调递增，所以()()g x f x x =+在定义域R 上单调递增，所以22x mx ≤-，∴存在m ∈[-1，1]，使得220mx x +-≤，看成关于m 的一次函数，当0x >时，220x x -+-≤，解得02x <≤；当0x =时，20-≤不等式成立；当0x <时，则220x x +-≤，解得20x -≤<，综上所述，x 的取值范围为[]22-,【变式2-4】（2022秋·重庆北碚·高三重庆市朝阳中学校考开学考试）已知函数4()2x xa g x -=是奇函数，()()lg 101x f x bx =++是偶函数.（1）求a 和b 的值；（2）设1()()2h x f x x =+，若存在[0,1]x ∈，使不等式()[lg(109)]g x h m >+成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）11,2a b ==-；（2）910110m -<<.【解析】（1）因为函数4()2x x ag x -=是奇函数，所以(0)0g =得1a =，则41()2x x g x -=，经检验()g x 是奇函数.又()()lg 101xf x bx =++是偶函数，所以(1)(1)f f -=得12b =-，则()1()lg 1012xf x x =+-，经检验()f x 是偶函数，∴112a b ==-，.（2）()()lg 101x h x =+，lg(109)(lg(109))lg[101lg(1010)m h m m +⎤+=+=+⎦，则由已知得，存在(]0,1x ∈，使不等式lg(1010)()m g x >+成立，因为411()222x x x x g x -==-，易知()g x 单调递增，∴max 3()(1)2g x g ==，∴323lg(1010)lg101g10102m +<==∴101010m +<所以101m -，又109010100m m +>⎧⎨+>⎩，解得910m >-，所以910110m -<<.【题型3任意-任意型不等式成立问题】【例3】（2022秋·上海徐汇·高三上海中学校考期中）已知函数()213,11log ,12x x k x f x x x ⎧-++≤⎪=⎨-+>⎪⎩，2()1x g x x =+，若对任意的实数12,x x ，均有()()12f x g x ≤，则实数k 的取值范围是__．【答案】3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】由于对任意的12,R x x ∈，均有()()12f x g x ≤，因此max min ()()f x g x ≤，当0x >时，1()1g x x x =+，而12x x+≥，当且仅当=1x 时，等号成立，因此()()110,0012g x g x x<=≤=+，当0x <时，21()11x g x x x x==++，1120x x x x ⎛⎫+=---≤-< ⎪⎝⎭，当且仅当=1x -时，等号成立，此时，11()12g x x x =≥-+，所以，min 1()2g x =-.对()f x ，由已知，()2f x xx k =-++在1x ≤上最大值为1124f k⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()131log 2f x x =-+在1x >时单调递减，所以有()12f x <-满足.所以要使()()max min f xg x ≤成立，只需满足1142k +≤-所以34k ≤-，则实数k 的取值范围是3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦．【变式3-1】（2022秋·安徽合肥·高三合肥市第十中学校联考阶段练习）已知函数()f x 满足22()()(0)f x f x x x x+-=+≠．（1）求()y f x =的解析式，并求()f x 在[3,1]--上的值域；（2）若对12(2,4),x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()2121R k kf x f x x x x +>+∈成立，求实数k的取值范围．【答案】（1）2()(0)f x x x x =+≠，()f x 在[3,1]--上的值域为11,23⎡--⎢⎣；（2）(],2-∞.【解析】（1）函数()f x 的定义域为{}0x x ≠，因为22()()f x f x x x+-=+①，所以22()()f x f x x x-+=--②，联立①②解得2()(0)f x x x x=+≠22222(2((2)2))1f x x x x x x x '=--+-==，当3,2x ⎡∈-⎣时，()0f x '>，()f x 为增函数；当(2,1x ⎤∈-⎦时，()0f x '<，()f x 为减函数，因为11(3),(2)22,(1)33f f f -=--=--=-，所以11(),223f x ⎡∈--⎢⎣，即()f x 在[3,1]--上的值域为11,223⎡--⎢⎣．（2）对12(2,4),x x ∀∈且12x x ≠，都有()()()2121R k kf x f x x x x +>+∈成立，不妨设1224x x <<<，可得函数()()2kk g x f x x x x+=+=+在区间()2,4上单调递增，则()2210k g x x +'=-≥对任意的()2,4x ∈恒成立，即22k x +≤，当()2,4x ∈时，2416x <<，故24k +≤，解得2k ≤．因此，实数k 的取值范围是(],2-∞．【变式3-2】（2022秋·全国·高三统考阶段练习）已知函数()1lg x f x xλ+=．（1）当2λ=时，解不等式()0f x >；（2）设0λ>，当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，求λ的取值范围．【答案】（1）()(),10,x ∈-∞-+∞ ；（2）2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）当2λ=时，()21lgx f x x+=由21lg0x x+>，得2121110x x x x ++>⇒->，即10x x+>，等价于()10x x +>，解得()(),10,x ∈-∞-+∞ ；（2）因为对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()12lg 2f x f x -≤，所以对任意1x ，[]2,1x a a ∈+，都有()()max min lg 2f x f x ≤-，设()f x 的定义域为I ，又当1x ，2x I ∈且12x x <时，有121211x x x x λλ++>，即121211lg lg x x x x λλ++>，即()()12f x f x >，所以()f x 在I 上单调递减．因此函数()f x 在区间[],1a a +上的最大值与最小值分别为()f a ，()1f a +．由()11()1lg lg lg 21a a f a f a a a λλλ+++⎛⎫⎛⎫-+=-≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，化简得()2110a a λλ++-≥，上式对任意1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立．因为0λ>，2(1)40λλ∆=++>令()()211h a a a λλ=++-，对称轴为102a λλ+=-<，所以函数()()211h a a a λλ=++-在区间1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以，()min h a =131242h λ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由31042λ-≥，得23λ≥．故λ的取值范围为2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.【变式3-3】（2022秋·上海浦东新·高三校考阶段练习）设()e xf x =，函数()g x 的图像和函数()f x 的图像关于y 轴对称．（1）若()()43f x g x =+，求x 的值．（2）令()()2f x h x x=，()22t x x x a =-++，若对任意1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12h x t x ≥恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）ln 4x =；（2）,12e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦【解析】（1）由题意得：()e xg x -=，则e e 43x x -=+，即2e e 340x x --=，解得：e 4x =或1-（舍去），所以ln 4x =；（2）()e 2x h x x=，()22t x x x a =-++，对任意1x ，()20,x ∈+∞，都有()()12h x t x ≥恒成立，则只需()e 2xh x x=在()0,+∞上的最小值大于等于()t x 在()0,+∞上的最大值，()()2e 12x x h x x-'=，当1x >时，()0h x '>，当01x <<时，()0h x '<，所以()e 2xh x x =在()1,+∞上单调递增，在()0,1上单调递减，故()e 2xh x x =在=1x 处取得最小值，()()min 1e 2h x h ==，()()22211t x x x a x a =-++=--++，()0,x ∈+∞，当=1x 时，()t x 取得最大值，()()max 11t x t a ==+，所以e 12a ≥+，故12e a ≤-.求实数a 的取值范围,12e⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.【题型4任意-存在性不等式成立问题】【例4】（2022秋·江苏常州·高三校联考阶段练习）已知()()2ln 1f x x =+，()12xg x m ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，命题p ：对任意[]10,3x ∈，都存在[]22,1x ∈--，使得()()12f x g x，则命题p 正确的一个充分不必要条件是（）A ．3mB ．2mC ．1mD ．0m【答案】A【解析】p 为真，()f x 在[]0,3单调递增，()min ()00f x f ==，()g x 在[]2,1--单调递减，()min ()12g x g m =-=-，02m ∴≥-，2m ∴≥.又“3m ≥”是“2m ≥”的一个充分不必要条件.故选：A ．【变式4-1】（2022秋·天津宝坻·高三天津市宝坻区第一中学校考期末）已知函数2()x x a f x x++=.（1）若()()1g x f x =-，判断()g x 的奇偶性并加以证明；（2）当12a =时，①用定义法证明函数()f x 在[1,)+∞上单调递增，再求函数()f x 在[1,)+∞上的最小值；②设()52h x kx k =+-，若对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x h x ≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）由已知2()x x a f x x++=，()()()()1=00ag x f x x x x=-+∈-∞+∞ ，，，，()()a a g x x x g x x x ⎛⎫-=--=-+=- ⎪⎝⎭故()g x 为奇函数.（2）①当12a =时，()112f x x x=++，[)12,1,x x ∀∈+∞，且12x x <()()()()()211212121212121211111=1222x x f x f x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=-+--+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭又因为[)12,1,x x ∞∈+，所以()120x x -<，121102x x ⎛⎫-> ⎝⎭，所以()()120f x f x -<即()()12f x f x <，故函数()f x 在[1,)+∞为单调递增，函数()f x 在[1,)+∞上的最小值为()15111=22f =++②由①知，1[1,2]x ∈，所以()1513,24f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当0k =时，()25h x =，()()12f x h x ≤成立，符合题意.当0k >时，22()52h x kx k =+-在2[0,1]x ∈为单调递增，[]2()52,5h x k k ∈--对任意的1[1,2]x ∈，总存在2[0,1]x ∈，使得()()12f x h x ≤故()()12max max f x h x ≤，即1354k ≤-，解得704k <≤当0k <时，22()52h x kx k =+-在2[0,1]x ∈为单调递减，[]2()552h x k k ∈--，同理：()()12max max f x h x ≤，即13524k ≤-，解得0k <综上可知：k 的取值范围为74⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦，.【变式4-2】（2022秋·广东广州·高三广东实验中学校考阶段练习）已知函数()f x 对任意实数,x y 恒有()()()f x y f x f y +=+，当0x >时，()0f x <，且()12f =-（1）判断()f x 的奇偶性；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值；（3）若][()21,1,1,1,<22x a f x m am ∃∈-∀∈---⎡⎤⎣⎦恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）最大值为(3)6f -=；（3）2m <-或2m >.【解析】（1）令==0x y ，则(0)2(0)f f =，可得(0)=0f ，令y x =-，则(0)()()0f f x f x =+-=，可得()()f x f x -=-，又()f x 定义域为R ，故()f x 为奇函数.（2）令12=+>=x x y x x ，则1212()=()+()f x f x f x x -，且120x x ->，因为0x >时，()0f x <，所以1212()()=()<0f x f x f x x --，故12()()f x f x <，即()f x 在定义域上单调递减，所以()f x 在[]3,3-上的最大值为(3)=(12)=(1)+(2)=3(1)=3(1)=6f f f f f f -------.（3）由（2），()f x 在[]1,1-上min ()=(1)=2f x f -，2[1,1],[1,1],()<22x a f x m am ∃∈-∀∈---恒成立，即2[1,1],22>2a m am ∀∈----恒成立，所以2[1,1],()=2>0a g a m ma ∀∈--恒成立，显然0m =时不成立，则2>0(1)=2>0m g m m -⎧⎨⎩，可得2m >；2<0(1)=+2>0m g m m -⎧⎨⎩，可得2m <-；综上，2m <-或2m >.【变式4-3】（2022秋·河北邢台·高三校联考阶段练习）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x --=，且()()2log 21x f x kx =+-，()()g x f x x =+.（1）求k 的值；若函数()f x 的定义域为[]0,4，求()()22f x xh x +=的值域.（2）设()4ln 21h x x x x mx =+-+，若对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）12k =；()h x 值域为[]2,17；（2）3e 1,2⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭【解析】（1）()()()()22212log log 21log 222102xx x x f x f x kx kx kx k x -+--=+-++=+=-= ，210∴-=k ，解得：12k =，()()21log 212xf x x ∴=+-；若()f x 定义域为[]0,4，则由024x ≤≤得：02x ≤≤，即()2f x 的定义域为[]0,2；()()222log 21x f x x +=+ ，()()22221f x x x h x +∴==+，∴当[]0,2x ∈时，[]2212,17x +∈，()h x ∴值域为[]2,17.（2）由（1）得：()()21log 212xg x x =++；21x y =+ 在R 上单调递增，()2log 21xy ∴=+在R 上单调递增，又12y x =在R 上单调递增，()g x ∴在R 上单调递增；当[]0,3x ∈时，()()min 01g x g ==；对任意的[]10,3x ∈，存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，使得()()12g x h x ≥，∴存在22e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，4ln 211x x x mx +-+≤，即32ln m x x ≥+，3ln y x x =+ 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上单调递增，()33min ln e 1x x ∴+=+，32e 1m ∴≥+，解得：3e 12m +≥，即实数m 的取值范围为3e 1,2⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭.【题型5存在-存在性不等式成立问题】【例5】（2022秋·江西宜春·高三江西省丰城中学校考阶段练习）已知函数()1f x x x a =-+.（1）当0a =时，解不等式()()2122f x f x -++>；（2）若存在1x ，(]2,ln 2x ∈-∞，使得()()12e e3x xf f ->，求实数a 的取值范围.【答案】（1）1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭；（2）()1,23,2⎛⎫-∞⋃+∞⎪⎝⎭【解析】（1）当0a =时，()1f x x x =+，记()22,0,0x x g x x x x x ⎧-<==⎨≥⎩，则()()g x g x -=-，故()g x 为奇函数，且()g x 在R 上单调递增，不等式()()2122f x f x -++>化为()()211212g x g x -++++>，即()()2120g x g x -++>，进一步化为()()212g x g x ->-+，即()()212g x g x ->--，从而由()g x 在R 上单调递增，得212x x ->--，解得13x >-，故不等式的解集为1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.（2）设11e xt =，22e x t =，则问题转化为存在(]12,0,2t t ∈，使得()()123f t f t ->，又注意到0t >时，()11f t t t a =-+>，且()01f =，可知问题等价于存在(]0,2t ∈，()4f t >，即3t t a ->在(]0,2t ∈上有解.即3t a t ->在(]0,2t ∈上有解，于是3a t t ->或3a t t-<-在(]0,2t ∈上有解，进而3a t t >+或3a t t<-在(]0,2t ∈上有解，由函数()3g t t t =+在(3上单调递减，在3,2⎡⎤⎣⎦上单调递增，()3h t t t=-在(]0,2上单调递增，可知()min 323g t g==()()max 122h t h ==，故a 的取值范围是()1,23,2⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭.【变式5-1】（2022秋·江苏泰州·高一靖江高级中学校考期末）已知函数()()121,2121x x x f x g x ++==--（1）利用函数单调性的定义，判断并证明函数()f x 在区间()0,∞+上的单调性；（2）若存在实数()12,0,x x ∈+∞且12x x <，使得()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()21,m m g x g x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()f x 在区间()0,∞+上是减函数，详见解析；；（2）()9,+∞．【解析】（1）由题可得()21212121x x x f x +==+--，()f x 在区间()0,∞+上是减函数，任取()12,0,x x ∈+∞，且12x x <，则21221x x >>，则()()()()()22111212222221121212121x x x x x x f x f x -⎛⎫⎛⎫-=+-+= ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，由题设知21121120,20,220x x x x--->>>，故()()()()()21121222202121x x x x f x f x --=>--，所以()()12f x f x >，所以()f x 在区间()0,∞+上是减函数；（2）由（1）知()f x 在区间()0,∞+上是减函数，所以当120x x <<时，()f x 在区间[]12,x x 上单调递减，所以函数()f x 在区间[]12,x x 上的值域为()()2121212121,,2121x x x x f x f x ⎡⎤++⎡⎤=⎢⎥⎣⎦--⎣⎦，所以2221111121212121 2121x x x x x x m m ++⎧+=⎪⎪--⎨+⎪=⎪--⎩，所以1212121x x x m ++=--在()0,∞+上有两解，所以()()()22121210x x xm ⋅-+--=在()0,∞+上有两解，令21x t =-，则210x t =->，则关于t 的方程()()2120t t mt ++-=在()0,∞+上有两解，即()22520t m t +-+=在()0,∞+上有2解，所以220504Δ(5)160m m >⎧⎪-⎪>⎨⎪=-->⎪⎩，解得9m >，所以m 的取值范围为()9,+∞．【变式5-2】（2022秋·江西抚州·高三江西省抚州市第一中学校考阶段练习）已知()214f x x x =-++（1）解不等式()23f x x +≤；（2）若存在实数x 1，x 2，使得()21222f x x x a <-++，求实数a 的取值范围．【答案】（1）[)1,+∞；（2）()4,+∞【解析】（1）依题意，21423x x x -+++≤，不等式化为以下3个不等式组：①42(1)(4)23x x x x <-⎧⎨---+≤+⎩即423x x <-⎧⎪⎨≥-⎪⎩，无解，②412(1)(4)23x x x x-≤<⎧⎨--++≤+⎩即411x x -≤<⎧⎨≥⎩，无解，12(1)(4)23x x x x ≥⎧⎨-++≤+⎩，即13223x x x ≥⎧⎨+≤+⎩，解得1x ≥，所以不等式()23f x x +≤的解集为[)1,+∞．（2）因为()()()3246(41)321x x f x x x x x ⎧--<-⎪=-+-≤<⎨⎪+≥⎩所以当1x =时，()f x 取得最小值5()()222111=-++=--+++≤g x x x a x a a ，()max 1g x a =+若存在实数1x ，2x ，使得()21222f x x x a <-++，则()min max ()f x g x <即51a <+，所以4a >即实数a 的取值范围是()4,+∞．【变式5-3】（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()2xx ax bf x x R e ++=∈的一个极值点是2x =.（1）求a 与b 的关系式，并求()f x 的单调区间；（2）设0a >，()22x g x a e -=，若存在1x ，[]20,3x ∈，使得()()1222f xg x e -<成立，求实数a 的范围.【答案】（1）0a b +=，单调区间见解析；（2）0<<3a 【解析】（1）可求得()()22xx a x a b f x e -+-+-'=，()f x 的一个极值点是2x =，()()242220a a bf e-+-+-'∴==，解得0a b +=，()()()()2222xxx a x a x a x f x e e -+-+-+-'∴=，当2a =-时，()0f x '≤，()f x 单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意，当2a <-时，令()0f x ¢>，解得2x a <<-，令()0f x '<，解得2x <或x a >-，当2a >-时，令()0f x ¢>，解得2a x -<<，令()0f x '<，解得x a <-或2x >，综上，当2a <-时，()f x 的单调递增区间为()2,a -，单调递减区间为(),2∞-，(),a -+∞；当2a >-时，()f x 的单调递增区间为(),2a -，单调递减区间为(),a -∞-，()2,∞+；（2）()2xx ax a f x e +-=，由（1）可知，0a >时，()f x 在()0,2单调递增，在()2,3单调递减，()()2max 42af x f e +∴==，()00f a =-< ，()39230a f e +=>，()min f x a ∴=-，()22x g x a e-= 在[]0,3单调递增，()()22min 0ag x g e∴==，()()2max 3g x g a e ==，存在1x ，[]20,3x ∈，使得()()1222f xg x e -<成立，即存在1x ，[]20,3x ∈，使得()()()2122222g x f x g x e e -<<+成立，2222222240a a e e aa e e e a ⎧-<+⎪⎪+⎪∴-<⎨⎪>⎪⎪⎩，解得0<<3a .【题型6任意-存在性等式成立问题】【例6】（2023·全国·高三对口高考）已知函数()1π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()π2cos 13g x k x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，若对任意π4π,33t ⎡⎤∈⎢⎣⎦，都存在π2π,63s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，则实数k 的可能取值是（）．A ．54B ．74C ．94D ．114【答案】B【解析】当π4π,33x ⎡⎤∈⎢⎣⎦，有π1π5π3266x ≤+≤，故11πsin 1226x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，所以1π12sin 226x ⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭，故()f x 的值域为[]1,2.当π2π,63x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，有πππ633x -<-<，故1πcos 123x ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，所以π12cos 23x ⎛⎫<-≤ ⎪⎝⎭，当0k >时，()g x 的值域为(1,21]k k --，因为任意π4π,33t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，都存在π2π,63s ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得等式()()f t g s =成立，故[]1,2(1,21]k k ⊆--，故011212k k k >⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，即322k ≤<．当0k <，同理有[1,2][21,1)k k ⊆--，故012211k k k <⎧⎪->⎨⎪-≥⎩，此不等式组无解.综上，322k ≤<.四个选项中，只有37224≤<.故选：B.。

高中数学丨解题技巧「不等式恒成立」问题的8种解决策略分
享
不等式恒成立问题一般设计独特，涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识，渗透着函数与方程、等价转换、分类讨论、换元等思想方法，成为历年高考的一个热点．纵观历年高考数学压轴题，无一不是涉及有关不等式恒成立、求参数取值范围的问题。

这类题型意在考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考察的核心素养是逻辑推理、数学运算考生对于这类问题感到难以寻求问题解决的切入点和突破口．
恒成立与有解问题的解决策略大致分四类：
①构造函数，分类讨论；
②部分分离，化为切线；
③完全分离，函数最值；
④换元分离，简化运算；
这里对这一类问题整理了八种方法解决不等式恒成立问题，同学们可以收藏或打印一份，word打印版在文末获取。

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函数不等式恒成立问题解法函数和不等式是数学中的重要概念和工具，有着广泛的应用。

在解决函数和不等式恒成立的问题时，通常可以采用以下一些基本的解法。

一、函数恒成立问题的解法：1.分析函数的定义域和值域：函数的定义域是所有满足函数定义的输入值的集合，值域则是函数的所有可能输出值的集合。

通过分析函数的定义域和值域，可以判断函数在一些特定范围内是否恒成立。

2.化简和变形：有时候可以通过对函数进行化简和变形来更方便地判断函数的恒成立性。

例如，对于分式函数，可以尝试化简分式，然后观察化简后的形式是否恒成立。

对于多项式函数，可以通过因式分解或配方法进行化简和变形。

3.列出函数的性质和特点：函数有很多性质和特点，例如奇偶性、周期性、增减性等。

通过分析函数的性质和特点，可以判断函数在一些特定条件下是否恒成立。

4.利用函数的图像和性质：通过绘制函数的图像，可以帮助我们直观地理解函数的性质和变化趋势。

对于一些特殊类型的函数，如三角函数和指数函数，可以利用函数的图像和性质来判断函数是否恒成立。

二、不等式恒成立问题的解法：1.利用性质和等价变形：不等式有一些基本性质和等价变形，如加减性、乘除性、取反性、平方性等。

通过利用这些性质和等价变形，可以将原不等式转化为等价的不等式，然后判断等价不等式的恒成立性。

2.化简和变形：和函数恒成立问题类似，有时候可以通过对不等式进行化简和变形来更方便地判断不等式的恒成立性。

例如，可以合并同类项、化简分式、配方等。

3.列出不等式的性质和特点：不等式也有一些性质和特点，如单调性、对称性、周期性等。

通过分析不等式的性质和特点，可以判断不等式在一些特定条件下是否恒成立。

4.利用数轴和区间：对于一元不等式，可以利用数轴和区间的表示法来帮助我们理解和解决不等式。

可以将不等式中的变量表示在数轴上，并根据不等式的性质和条件，确定变量可取的范围和解集。

以上是一些常见的解决函数和不等式恒成立问题的基本方法和思路。

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范 B C D 四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0a f f a e>2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为14．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．16．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+ D ．21cos 12x x ≥-1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________． 2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________．6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________．1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________．3．已知函数1()ln (0)f x ax x a x=+>．（1）当1a =时，()f x 的极小值为___________；（2）若()f x ax ≥在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围为___________． 4．已知函数()()221xf exx x =-+，则()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为___________，若()f x ax ≥在()0,∞+上恒成立，则实数a 的取值范围为___________．5．设函数()32f x ax bx cx =++（a ，b ，R c ∈，0a ≠）若不等式()()2xf x af x '-≤对一切R x ∈恒成立，则a =___________，b ca+的取值范围为___________． 6．已知函数()()x x f x x ae e -=-为偶函数，函数()()xg x f x xe -=+，则a =___________；若()g x mx e >-对()0,x ∈+∞恒成立，则m 的取值范围为___________． 五、解答题1．已知函数()sin f x x ax =-，()=ln 1xg x x x e -+，2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数． （1）当()0,x π∈，()0f x <恒成立，求a 的取值范围；（2）当0a =时，记()()()h x f x g x =+，求证：对任意()1,x ∈+∞，()0h x <恒成立． 2．已知函数()1x f x ae x =--（1）若()0f x ≥对于任意的x 恒成立，求a 的取值范围 （2）证明：1111ln(1)23n n++++≥+对任意的n N +∈恒成立 3．若对任意的实数k 、b ，函数()y f x kx b =++与直线y kx b =+总相切，则称函数()f x 为“恒切函数”．（1）判断函数()2f x x =是否为“恒切函数”；（2）若函数()()ln 0f x m x nx m =+≠是“恒切函数”，求实数m 、n 满足的关系式；（3）若函数()()1x xf x e x e m =--+是“恒切函数”，求证：104m -<≤． 4．已知函数()(ln )sin x f x e x a x =+-．（1）若()ln sin f x x x ≥⋅恒成立，求实数a 的最大值； （2）若()0f x ≥恒成立，求正整数a 的最大值．专题04 恒成立问题一、单选题1．若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x -=+，且当1x <时，()x xf x e=，则满足()()35f f -的值 A ．恒小于0 B ．恒等于0 C ．恒大于0D ．无法判断【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理） 【答案】C【分析】当1x <时，求导，得出导函数恒小于零，得出()f x 在(),1-∞内是增函数．再由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，从而得()f x 在()1,+∞内是减函数，由此可得选项．【解析】当1x <时，'1()0xx f x e -=->，则()f x 在(),1-∞内是增函数． 由()()2f x f x -=+得()f x 的图象关于直线1x =对称，所以()f x 在()1,+∞内是减函数， 所以()()350f f ->．故选C ．2．()()(),f x R f x f x x R '∀∈设函数是定义在上的函数，其中的导函数为，满足对于()()f x f x '<恒成立，则下列各式恒成立的是A ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f <<B ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f >>C ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f e f ><D ．2018(1)(0),(2018)(0)f ef f ef【试题来源】2020届福建省仙游县枫亭中学高三上学期期中考试（理） 【答案】B【分析】构造函数()()xf x F x e =，求出'()0F x >，得到该函数为R 上的增函数，故得(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，从而可得到结论．【解析】设()()x f x F x e =，x R ∈（），所以'()()[]xf x F x e '==()()xf x f x e '-， 因为对于()(),x R f x f x ∀∈<'，所以'()0F x >，所以()F x 是R 上的增函数，所以(0)(1)F F <，(0)(2018)F F <，即(1)(0)f f e <，2018(2018)(0)f f e <， 整理得()()10f ef >和()20182018(0f ef >）．故故选B ．3．已知0a >，0b >，下列说法错误的是 A ．若1b a a b ⋅=，则2a b +≥ B ．若23a b e a e b +=+，则a b > C ．()ln ln a a b a b -≥-恒成立D ．ln 0b ba a e+≥恒成立 【试题来源】浙江省杭州市萧山中学2019-2020学年高三下学期返校考试 【答案】D【解析】对于A ，不妨令01a <≤，1b ≥，则1aab bb a aa a ab a b a b ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1baa b ⋅=即11b aaab-=，由10b a -≥可知101b aa -<≤，则101ab <≤，所以1≥ab ，2a b +≥，故A 正确； 对于B ，若a b ≤，则0a b e e -≤，320b a ->，故32ab e e b a -≠-即23a b e a e b +≠+，与已知矛盾，故B 正确；对于C ，()ln ln ln 1b b a a b a b a a-≥-⇔-≥-， 令0b x a =>，()()ln 10f x x x x =-->，则()1x f x x-'=， 则()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以()()10f x f ≥=，所以ln 10b b a a --≥即ln 1b ba a-≥-，故C 正确； 对于D ，设()()ln 0h x x x x =>，()()0x xg x x e=>， 则()ln 1h x x '=+，()1xxg x e -'=， 所以()h x 在()10,e -上单调递减，在()1,e -+∞上单调递增，则()()11h x h e e --≥=-，()g x 在()0,1上单调递增，在()1,+∞上单调递减，则()()11g x g e -≤=，所以()()110h e g e --+<，即当1a b e -==时ln 0bba a e +<，故D 错误．故选D ． 4．若1x =是函数()4312*()1n n n f x a x a x a x n N ++=--+∈的极值点，数列{}n a 满足11a =，23a =，设31log n n b a +=，记[]x 表示不超过x 的最大整数．设12231202*********n n n S b b b b b b +⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦，若不等式n S t 对n +∀∈N 恒成立，则实数t 的最大值为 A ．2020 B ．2019 C ．2018D ．1010【试题来源】新疆维吾尔自治区2021届高三第二次联考数学（理）能力测试试题 【答案】D【分析】由极值点得数列的递推关系，由递推关系变形得数列1{}n n a a +-是等比数列，求得1n n a a +-，由累加法求得n a ，计算出n b ，然后求和122311202020202020n n b b b b b b ++++，利用增函数定义得此式的最小值，从而得出n S 的最小值，再由不等式恒成立可得t 的最大值． 【解析】3212()43n n n f x a x a x a '++=--，所以12(1)430n n n f a a a '++=--=， 即有()2113n n n n a a a a +++-=-，所以{}1n n a a +-是以2为首项3为公比的等比数列， 所以1123n n n a a -+-=⋅，1201111221123232313n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a --++---=-+-+-++-+=⋅+⋅++⋅+=所以31log n n b a n +==，所以12231120202020202011120201223(1)n n b b b b b b n n +⎛⎫+++=+++⎪⨯⨯+⎝⎭1111120202020122311n n n n ⎛⎫=-+-++-=⎪++⎝⎭， 又20201ny n =+为增函数，当1n =时，1010n S =，10102020n S ≤<， 若n S t ≥恒成立，则t 的最大值为1010．故选D ．【名师点睛】本题考查函数的极值，等比数列的判断与通项公式，累加法求通项公式，裂项相消法求和，函数新定义，不等式恒成立问题的综合应用．涉及知识点较多，属于中档题．解题方法是按部就班，按照题目提供的知识点顺序求解．由函数极值点得数列的递推公式，由递推公式引入新数列是等比数列，求得通项公式后用累加法求得n a ，由对数的概念求得n b ，用裂项相消法求和新数列的前n 项和，并利用函数单调性得出最小值，然后由新定义得n S 的最小值，从而根据不等式恒成立得结论． 二、多选题1．若满足()()'0f x f x +>，对任意正实数a ，下面不等式恒成立的是 A ．()()2f a f a < B ．()()2af a ef a >-C ．()()0>f a fD ．()()0af f a e>【试题来源】江苏省扬州中学2019-2020学年高二下学期6月月考 【答案】BD【分析】根据()()'0f x f x +>，设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，得到()h x 在R 上是增函数，再根据a 是正实数，利用单调性逐项判断．【解析】设()()xh x e f x =，()()()()xh x ef x f x ''=+，因为()()'0f x f x +>，所以()0h x '>，()h x 在R 上是增函数， 因为a 是正实数，所以2a a <，所以()()22aae f a e f a <，因为21a a e e >>， ()(),2f a f a 大小不确定，故A 错误， 因为a a -<，所以()()aa ef a e f a --<，即()()2a f a e f a >-，故B 正确．因为0a >，所以()()()000a e f a e f f >=， 因为1a e >，()(),0f a f 大小不确定．故C 错误．()()()000a e f a e f f >=，因为1a e >，所以()()0af f a e>，故D 正确．故选BD. 【名师点睛】本题主要考查导数与函数单调性比较大小，还考查了运算求解的能力，属于中档题．2．定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()f x xf x xf x '+<对x ∈R 恒成立，则下列选项不正确的是 A ．2(2)(1)f f e> B ．2(2)(1)f f e< C ．()10f >D ．()10f ->【试题来源】江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高二下学期期中 【答案】BCD【分析】构造出函数()()xxf x F x e =，再运用求导法则求出其导数，借助导数与函数单调性之间的关系及题设中()()()f x xf x xf x '+<，从而确定函数()()xxf x F x e =是单调递减函数，然后可判断出每个答案的正误． 【解析】构造函数()()xxf x F x e =， 因为2[()()]()()()()()0()x x x xe f x xf x xe f x f x xf x xf x F x e e '+-+-=='<'， 故函数()()xxf x F x e=在R 上单调递减函数， 因为21>，所以212(2)(1)(2)(1)f f F F e e <⇒<，即2(2)(1)f f e<，故A 正确，B 错误； 因为()(1)0F F <，即()10f e<，所以()10f <，故C 错误； 因为()(1)0F F ->，即()110f e--->，所以()10f -<，故D 错误，故选BCD. 【名师点睛】解答本题的难点所在是如何依据题设条件构造出符合条件的函数()()xxf x F x e=，这里要求解题者具有较深的观察力和扎实的基本功，属于较难题． 3．已知函数()cos sin f x x x x =-，下列结论中正确的是 A ．函数()f x 在2x π=时，取得极小值1-B ．对于[]0,x π∀∈，()0≤f x 恒成立C ．若120x x π<<<，则1122sin sin x x x x < D ．若sin x a b x <<，对于0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭恒成立，则a 的最大值为2π，b 的最小值为1【试题来源】山东省肥城市2019-2020学年高二下学期期中考试 【答案】BCD【分析】先对函数求导，根据022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，排除A ；再由导数的方法研究函数单调性，判断出B 选项；构造函数()sin xg x x=，由导数的方法研究其单调性，即可判断C 选项；根据()sin x g x x =的单调性，先得到sin 2x x π>，再令()sin h x x x =-，根据导数的方法研究其单调性，得到sin 1xx<，即可判断D 选项． 【解析】因为()cos sin f x x x x =-，所以()cos sin cos sin f x x x x x x x '=--=-， 所以022f ππ⎛⎫'=-≠⎪⎝⎭，所以2x π=不是函数的极值点，故A 错； 若[]0,x π∈，则()sin 0f x x x '=-≤，所以函数()cos sin f x x x x =-在区间[]0,π上单调递减；因此()()00≤=f x f ，故B 正确； 令()sin x g x x =，则()2cos sin x x x g x x -'=， 因为()cos sin 0f x x x x =-≤在[]0,π上恒成立，所以()2cos sin 0x x xg x x -'=<在()0,π上恒成立，因此函数()sin xg x x=在()0,π上单调递减；又120x x π<<<，所以()()12g x g x >，即1212sin sin x x x x >，所以1122sin sin x x x x <，故C 正确；因为函数()sin x g x x =在()0,π上单调递减；所以0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()sin x g x x =也单调递减，因此()sin 22x g x g x ππ⎛⎫=>= ⎪⎝⎭在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立；令()sin h x x x =-，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1cos 0h x x '=-≥在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，所以()sin h x x x =-在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 因此()sin 0h x x x =->，即sin 1xx <在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立； 综上，2sin 1x x π<<在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，故D 正确．故选BCD ． 【名师点睛】本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数的极值，单调性等，属于常考题型．4．已知函数()2f x x x=-，()()πcos 5202xg x a a a =+->，．给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．若[]1,2x ∃∈，使得()f x a <成立，则1a >-B ．若R x ∀∈，使得()0g x >恒成立，则05a <<C ．若[]11,2x ∀∈，2x ∀∈R ，使得()()12f x g x >恒成立，则6a >D ．若[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，使得()()12f x g x =成立，则34a ≤≤ 【试题来源】冲刺2020高考数学之拿高分题目强化卷（山东专版） 【答案】ACD【分析】对选项A ，()f x 在[]1,2上的最小值小于a 即可；对选项B ，()g x 的最小值大于0即可；对选项C ，()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值即可；对选项D ，[]11,2x ∀∈，[]20,1x ∃∈，()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥即可．【解析】对选项A ，只需()f x 在[]1,2上的最小值小于a ，()f x 在[]1,2上单调递增，所以min 2()(1)111f x f ==-=-，所以1a >-，故正确； 对选项B ，只需()g x 的最小值大于0，因为[]πcos,2x a a a∈-，所以min ()52530g x a a a =-+-=->，所以503a <<，故错误； 对选项C ，只需()f x 在[]1,2上的最小值大于()g x 的最大值，min ()1f x =-，max ()525g x a a a =+-=-，即15a ->-，6a >，故正确；对选项D ，只需()min min ()g x f x ≤，()max max ()g x f x ≥，max 2()(2)212f x f ==-=，所以[]11,2x ∈，[]1()1,1f x ∈-， []0,1x ∈时，π0,22x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()g x 在[]0,1上单调递减， ()min (1)52a g x g ==-，()max (0)5a g x g ==-，所以()[]52,5g x a a ∈--，由题意，52151a a -≤-⎧⎨-≥⎩⇒34a ≤≤，故正确．故选ACD ．【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立和存在性问题，考查学生的分析转化能力，注意恒成立问题和存在性问题条件的转化，属于中档题．5．当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立，则整数k 的取值可以是 A ．2- B ．1- C ．0D ．1【试题来源】江苏省南京市2020-2021学年高三上学期期中考前训练 【答案】ABC 【分析】将()41ln ln 3k x x x x --<-+，当1x >时，恒成立，转化为13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立，令()()3ln ln 1x F x x x x x =++>，利用导数法研究其最小值即可．【解析】因为当1x >时，()41ln ln 3k x x x x --<-+恒成立， 所以13ln ln 4x k x x x ⎛⎫<++ ⎪⎝⎭，当1x >时，恒成立， 令()()3ln ln 1xF x x x x x =++>，则()222131ln 2ln x x x F x x x x x---'=-+=．令()ln 2x x x ϕ=--，因为()10x x xϕ-'=>，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增． 因为()10ϕ<，所以()0F x '=在()1,+∞上有且仅有一个实数根0x ， 于是()F x 在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()000min 00ln 3ln x F x F x x x x ==++．（*） 因为()1ln 3309F -'=<，()()21ln 22ln 4401616F --'==>，所以()03,4x ∈，且002ln 0x x --=，将00ln 2x x =-代入（*）式， 得()()0000min 00023121x F x F x x x x x x -==-++=+-，()03,4x ∈． 因为0011t x x =+-在()3,4上为增函数，所以713,34t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，即()min1713,41216F x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭． 因为k 为整数，所以0k ≤．故选ABC ． 6．下列不等式中恒成立的有 A ．()ln 11xx x +≥+，1x >- B ．11ln 2x x x ⎛⎫≤- ⎪⎝⎭，0x > C ．1x e x ≥+D ．21cos 12x x ≥-【试题来源】广东省中山市2019-2020学年高二下学期期末 【答案】ACD 【分析】令10tx ，()1ln 1f t t t=+-，导数方法求出最小值，即可判定出A 正确；令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >，导数方法研究单调性，求出范围，即可判定B 错； 令()1xf x e x =--，导数的方法求出最小值，即可判定C 正确；令()21cos 12f x x x =-+，导数的方法求出最小值，即可判定D 正确． 【解析】A 选项，因为1x >-，令10t x ，()1ln 1f t t t=+-，则()22111t f t t t t -'=-=，所以01t <<时，()210t f t t-'=<，即()f t 单调递减；1t >时，()210t f t t -'=>，即()f t 单调递增； 所以()()min 10f t f ==，即()1ln 10f t t t=+-≥，即1ln t t t -≥，即()ln 11x x x +≥+，1x >-恒成立；故A 正确；B 选项，令()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，0x >， 则()()2222211112110222x x x f x x x x x ---⎛⎫'=-+==-≤ ⎪⎝⎭显然恒成立， 所以()11ln 2f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在0x >上单调递减， 又()10f =，所以当()0,1x ∈时，()()10f x f >=，即11ln 2x x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，故B 错； C 选项，令()1xf x e x =--，则()1xf x e '=-，当0x >时，()10xf e x ='->，即()f x 单调递增；当0x <时，()10xf e x ='-<，所以()f x 单调递减；则()()00f x f ≥=，即1x e x ≥+恒成立；故C 正确； D 选项，令()21cos 12f x x x =-+，则()sin f x x x '=-+， 所以()cos 10f x x ''=-+≥恒成立，即函数()sin f x x x '=-+单调递增， 又()00f '=，所以当0x >时，()0f x '>，即()21cos 12f x x x =-+单调递增； 当0x <时，()0f x '<，即()21cos 12f x x x =-+单调递减； 所以()()min 00f x f ==，因此21cos 12x x ≥-恒成立，故D 正确；故选ACD ． 三、填空题1．函数3()2,()ln 1f x x x c g x x =-+=+，若()()f x g x ≥恒成立，则实数c 的取值范围是___________．【试题来源】【全国区级联考】江苏省徐州市铜山区下学期高二数学（文）期中试题 【答案】2c ≥【解析】由()()f x g x ≥，即32ln 1x x c x -+≥+，即32ln 1c x x x ≥-+++．令()()32ln 10h x x x x x =-+++>，()()()21331x x x h x x'-++=-，故函数()h x 在区间()0,1上递增，在()1,+∞上递减，最大值为()12h =，所以2c ≥．【名师点睛】本题主要考查利用分析法和综合法求解不等式恒成立，问题，考查利用导数研究函数的单调性，极值和最值等知识．首先根据()()f x g x ≥，对函数进行分离常数，这里主要的思想方法是分离常数后利用导数求得另一个部分的最值，根据这个最值来求得参数的取值范围．2．若[,)x e ∀∈+∞，满足32ln 0mxx x me -≥恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】2020届湖南省长沙市长郡中学高三下学期3月停课不停学阶段性测试（理） 【答案】(,2]e -∞【分析】首先对参数的范围进行讨论，分两种情况，尤其是当0m >时，对式子进行变形，构造新函数，将恒成立问题转化为最值来处理，利用函数的单调性来解决，综述求得最后的结果．【解析】（1）0m ≤，显然成立；（2）0m >时，由32ln 0mxx x me -≥22ln m x m x x e x ⇒≥2ln (2ln )mxx m x e e x⇒≥，由()x f x xe =在[),e +∞为增2ln mx x⇒≥2ln m x x ⇒≤在[),e +∞恒成立， 由()2ln g x x x =在[),e +∞为增，min ()2g x e =，02m e <≤， 综上，2m e ≤，故答案为(,2]e -∞．3．已知函数()()21ax x xf x x ++=≥，若()0f x '≥恒成立，则a 的取值范围为___________．【试题来源】四川省泸州市2020学年下学期高二期末统一考试（文） 【答案】(],3-∞【分析】求函数的导数，根据()0f x '，利用参数分离法进行转化，然后构造函数()g x ，转化为求函数的最值即可．【解析】函数的导数2()21f ax x x '=+-，由()0f x '在1x 上恒成立得2210a x x +-在1x 上恒成立，即221a x x+，得322x x a +在1x 上恒成立，设32()2g x x x =+， 则2()622(31)g x x x x x '=+=+，当1x 时，()0g x '>恒成立，即()g x 在1x 上是增函数， 则当1x =时，()g x 取得最小值()1213g =+=，则3a ， 即实数a 的取值范围是(],3-∞，故答案为(],3-∞.【名师点睛】本题主要考查函数恒成立问题，求函数的导数，利用参数分离法以及构造函数，利用导数研究函数的最值是解决本题的关键．属于中档题．4．已知函数()ln f x x x =-，若()10f x m -+≤恒成立，则m 的取值范围为___________． 【试题来源】2020年高考数学选填题专项测试（文理通用） 【答案】[)0,+∞【分析】把()ln f x x x =-，代入()10f x m -+≤，即ln 1m x x ≥-+恒成立，构造()ln 1g x x x =-+，利用导数研究最值，即得解．【解析】()ln f x x x =-，则()10f x m -+≤恒成立，等价于ln 1m x x ≥-+令11()ln 1(0),'()1(0)x g x x x x g x x x x-=-+>=-=> 因此()g x 在(0,1)单调递增，在(1)+∞，单调递减， 故max ()(1)00g x g m ==∴≥，故答案为[)0,+∞.【名师点睛】本题考查了导数在不等式的恒成立问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题．5．若函数()0x f x e ax =->恒成立，则实数a 的取值范围是___________． 【试题来源】2020届四川省成都七中高三二诊数学模拟（理）试题 【答案】0a e ≤<【分析】若函数()0x f x e ax =->恒成立，即min ()0f x >，求导得'()x f x e a =-，在0,0,0a a a >=<三种情况下，分别讨论函数单调性，求出每种情况时的min ()f x ，解关于a的不等式，再取并集，即得．【解析】由题意得，只要min ()0f x >即可，'()x f x e a =-，当0a >时，令'()0f x =解得ln x a =，令'()0f x <，解得ln x a <，()f x 单调递减， 令'()0f x >，解得ln x a >，()f x 单调递增，故()f x 在ln x a =时，()f x 有最小值，min ()(ln )(1ln )f x f a a a ==-， 若()0f x >恒成立，则(1ln )0a a ->，解得0a e <<； 当0a =时，()0x f x e =>恒成立； 当0a <时，'()x f x e a =-，()f x 单调递增，,()x f x →-∞→-∞，不合题意，舍去．综上，实数a 的取值范围是0a e ≤<．故答案为0a e ≤<6．当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】陕西省商洛市洛南中学2019-2020学年高二下学期第二次月考（理） 【答案】(2,)+∞【分析】设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=，利用导数求得函数的单调性与最大值，结合题意，即可求得实数m 的取值范围．【解析】由题意，设()3212,[1,2]2x x x x f x --∈-=， 则()22(1)(323)x x f x x x --=-+'=，当2[1,)3x ∈--或(1,2]x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当2(,1)3x ∈-时，()0f x '<，()f x 单调递减， 又由222(),(2)2327f f -==，即2()(2)3f f -<， 即函数()f x 在区间[1,2]-的最大值为2，又由当[1,2]x ∈-时，32122x x x m --<恒成立，所以2m >， 即实数m 的取值范围是(2,)+∞．故答案为(2,)+∞【名师点睛】本题主要考查了恒成立问题的求解，其中解答中熟练应用函数的导数求得函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题．7．若()()220xxx me exeex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，则实数m 的取值范围为___________．【试题来源】浙江省杭州地区（含周边）重点中学2020-2021学年高三上学期期中 【答案】32m ≤-【分析】对已知不等式进行变形，利用换元法、构造函数法、常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可．【解析】()()()()222210xx x x x xme ex e ex me ex e ex e e++++-⇒≤≤ （1）， 令x ext e=，因为()0,x ∈+∞，所以0t >， 则不等式(1)化为2221(2)(1)11t t m t t m t --+++≤⇒≤+，设()xex f x e=，()0,x ∈+∞，'(1)()x e x f x e -=，当1x >时，'()0,()f x f x <单调递减， 当01x <<时，'()0,()f x f x >单调递增，因此当()0,x ∈+∞时，max ()(1)1f x f ==， 而(0)0f =，因此当()0,x ∈+∞时，()(0,1]f x ∈，因此(0,1]t ∈，设2221()1t t g t t --+=+，(0,1]t ∈，因此要想()()220x x xme ex e ex e ++-≤在()0,x ∈+∞上恒成立，只需min ()m g t ≤，2'2243()(1)t t g t t ---=+，因为(0,1]t ∈，所以'()0g t <，因此()g t 在(0,1]t ∈时单调递减，所以min 3()(1)2g t g ==-，因此32m ≤-．8．已知函数()()(ln )xf x e ax x ax =--，若()0f x <恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】四川省三台中学实验学校2019-2020学年高二下学期期末适应性考试（理） 【答案】1,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】先由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；原问题即可转化为直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象，由图象得到只需<<OA OB k a k ；根据导数的方法求出OA ，OB 所在直线斜率，进而可得出结果． 【解析】由x y e =的图象与ln y x =的图象可得，ln >x e x 恒成立；所以若()()(ln )0=--<xf x e ax x ax 恒成立，只需0ln 0x e ax x ax ⎧->⎨-<⎩，即直线y ax =介于x y e =与ln y x =之间，作出其大致图象如下：由图象可得，只需<<OA OB k a k ；设11(,)A x y ，由ln y x =得1y x'=，所以111OA x x k y x =='=， 所以曲线ln y x =在点11(,)A x y 处的切线OA 的方程为1111ln ()-=-y x x x x ， 又该切线过点O ，所以11110ln (0)1-=-=-x x x ，解得1x e =，所以1=OA k e； 设22(,)B x y ，由x y e =得e x y '=，所以22x OB x x k y e =='=，所以曲线x y e =在点22(,)B x y 处的切线OB 的方程为222()-=-x x y e e x x ，又该切线过点O ，所以2220(0)-=-x x ee x ，解得21x =，所以=OB k e ；所以1a e e <<．故答案为1,e e ⎛⎫⎪⎝⎭. 【名师点睛】本题主要考查由导数的方法研究不等式恒成立的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型．9．已知函数()1x f x e ax =+-，若0,()0x f x 恒成立，则a 的取值范围是___________． 【试题来源】黑龙江省七台河市田家炳高级中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）【答案】[1,)-+∞【分析】求导得到()x f x e a '=+，讨论10a +和10a +<两种情况，计算10a +<时，函数()f x 在[)00,x 上单调递减，故()(0)0f x f =，不符合，排除，得到答案． 【解析】因为()1x f x e ax =+-，所以()x f x e a '=+，因为0x ，所以()1f x a '+． 当10a +，即1a ≥-时，()0f x '，则()f x 在[0,)+∞上单调递增，从而()(0)0f x f =，故1a ≥-符合题意；当10a +<，即1a <-时，因为()x f x e a '=+在[0,)+∞上单调递增，且(0)10f a '=+<，所以存在唯一的0(0,)x ∈+∞，使得()00f x '=．令()0f x '<，得00x x <，则()f x 在[)00,x 上单调递减，从而()(0)0f x f =，故1a <-不符合题意．综上，a 的取值范围是[1,)-+∞．故答案为[1,)-+∞．10．不等式()221n n n N *>-∈不是恒成立的，请你只对该不等式中的数字作适当调整，使得不等式恒成立，请写出其中一个恒成立的不等式：___________． 【试题来源】北京市101中学2019-2020学年高三10月月考 【答案】331n n >-【分析】将不等式中的数字2变为3，得出331n n >-，然后利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥即可，即可得出不等式331n n >-对任意的n *∈N 恒成立．【解析】13311>-，23321>-，33331>-，猜想，对任意的n *∈N ，331n n >-．下面利用导数证明出当3n ≥时，33n n ≥，即证ln 33ln n n ≥，即证ln ln 33n n ≤， 构造函数()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=，当3x ≥时，()0f x '<． 所以，函数()ln x f x x =在区间[)3,+∞上单调递减，当3n ≥时，ln ln 33n n ≤．所以，当3n ≥且n *∈N 时，33n n ≥，所以，331n n >-．故答案为331n n >-． 【名师点睛】本题考查数列不等式的证明，考查了归纳法，同时也考查了导数在证明数列不等式的应用，考查推理能力，属于中等题．11．已知()ln f x x x m x =--，若()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围是___________． 【试题来源】湖北省襄阳市第一中学2019-2020学年高二下学期5月月考 【答案】(,1)-∞【分析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->，分类讨论，分离参数，求最值，即可求实数m 的取值范围．【解析】函数()f x 的定义域为(0,)x ∈+∞，由()0f x >，得ln ||xx m x->， (ⅰ)当(0,1)x ∈时，||0x m -≥，ln 0xx<，不等式恒成立，所以m R ∈； (ⅰ)当1x =时，|1|0m -≥，ln 0xx=，所以1m ≠； (ⅰ)当1x >时，不等式恒成立等价于ln x m x x <-恒成立或ln xm x x>+恒成立， 令ln ()x h x x x =-，则221ln ()x x h x x'-+=，因为1x >，所以()0h x '>，从而()1h x >， 因为ln xm x x<-恒成立等价于min ()m h x <，所以1m ， 令ln ()x g x x x =+，则221ln ()x xg x x+-'=， 再令2()1ln p x x x =+-，则1'()20p x x x=->在(1,)x ∈+∞上恒成立，()p x 在(1,)x ∈+∞上无最大值，综上所述，满足条件的m 的取值范围是(,1)-∞．故答案为(,1)-∞．12．已知函数21,0()2,0x e x f x ax x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若()1f x ax ≥-恒成立，则a 的取值范围是___________．【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）【答案】4e -⎡⎤⎣⎦【分析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立，当0x ≠时，则2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩，然后构造函数()x e g x x=（0x >），()221x h x x x +=-（0x <），分别求解函数()g x 的最小值和()h x 的最大值，只需()()min max h x a g x ≤≤即可．【解析】若()1f x ax ≥-，则211,021,0x e ax x ax x ax x ⎧-≥-≥⎨+≥-<⎩，当0x =时，显然成立；当0x ≠时，则()2,012,0x e ax x a x x x x ⎧≥>⎪⎨-≥--<⎪⎩，因为当0x <时，20x x ->， 所以只需满足2,021,0xe a x xx a x x x ⎧≤>⎪⎪⎨+⎪≥<⎪-⎩即可，令()x e g x x =（0x >），则()()21x x e g x x-'=， 则()0,1x ∈时，()0g x '<，所以()g x 在()0,1x ∈上递减， 当()1,x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 在()1,+∞上递增， 所以()()1min g x g e ==，所以a e ≤，令()221x h x x x +=-（0x <）， 则()()()()()()22222222112221x x x x x x h x x x x x --+-+-'==--，令()0h x '=，得x =x =则当x ⎛∈-∞ ⎝ ⎭时，()0h x '>；当x ⎫∈⎪⎪⎝⎭时，()0h x '<， 所以函数()h x在⎛-∞ ⎝ ⎭上递增，在⎫⎪⎪⎝⎭上递减， 所以()4maxh x h ===-⎝⎭⎝⎭故4a ≥-4a e -≤．故答案为4e -⎡⎤⎣⎦．【名师点睛】本题考查根据不等式恒成立问题求参数的取值范围问题，考查学生分析问题、转化问题的能力，考查参变分离思想的运用，考查利用导数求解函数的最值，属于难题． 解决此类问题的方法一般有以下几种：（1）作出函数的图象，利用数形结合思想加以研究；（2）先进行参变分离，然后利用导数研究函数的最值，即可解决问题，必要时可以构造新函数进行研究．13．函数()2cos sin f x x x x x =+-，当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x ax ≤恒成立，则实数a 的取值范围是___________．【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（理）联考试题 【答案】[)0,+∞ 【分析】先根据2x π=时22f a ππ⎛⎫≤⎪⎝⎭得0a ≥，再对函数()f x 求导，研究导函数的单调性、最值等，进而研究函数()f x 单调性，即可解决．【解析】22f a ππ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，02f ⎛⎫= ⎪⎝⎭π，0a ∴≥． 由题意得()()2sin sin cos 1sin cos 1f x x x x x x x x '=-++-=-+-⎡⎤⎣⎦， 令()sin cos 1g x x x x =-+-，则()sin g x x x '=-． 当,2x π⎛⎤∈π⎥⎝⎦时，()0g x '<，()g x 单调递减； 当3,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，()g x 单调递增，()g x ∴的最小值为()1g ππ=--． 又22g π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，302g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，3,22x ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，()0g x ≤，即()0f x '≤， ()f x ∴在区间3,22ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦为减函数．02f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴当3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x ≤．又当0a ≥，3,22x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0ax ≥，故()f x ax ≤恒成立，因此a 的取值范围是[)0,+∞．14．已知0a <，且()221ln 0ax ax x ax -+≥+恒成立，则a 的值是___________．【试题来源】6月大数据精选模拟卷04（上海卷）（满分冲刺篇） 【答案】e -【分析】把不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，转化为函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，结合函数的单调性和零点，得出1a-是函数ln y ax x =-的零点，即可求解． 【解析】由题意，不等式()221ln 0a x ax x ax -+≥+恒成立，即函数()()()1ln 0f x ax ax x =+⋅-≥在定义域内对任意的x 恒成立，由ln ,0,0y ax x a x =-<>，则10y a x'=-<，所以ln y ax x =-为(0,)+∞减函数， 又由当0a <，可得1y ax =+为(0,)+∞减函数， 所以1y ax =+ 与ln y ax x =-同为单调减函数，且1a-是函数1y ax =+的零点， 故1a -是函数ln y ax x =-的零点，故110ln a a a ⎛⎫⎛⎫=⋅--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得a e =-．【名师点睛】本题主要考查了不等式的恒成立问题，以及函数与方程的综合应用，其中解答中把不等式恒成立问题转化为函数的性质和函数的零点问题是解答的关键，着重考查转化思想，以及推理与运算能力．15．若对任意实数(],1x ∈-∞，2211xx ax e-+≥恒成立，则a =___________． 【试题来源】2020届辽宁省抚顺市高三二模考试（理） 【答案】12-【分析】设()()2211xx ax f x x e-+=≤，结合导数可知当0a <时，()()min 21f x f a =+；由题意可知，()()2122211a a f x f a e++≥+=≥，设()1t g t e t =--，则()0g t ≤，由导数可求出当0t =时，()g t 有最小值0，即()0g t ≥．从而可确定()0g t =，即可求出a 的值．【解析】设()()2211xx ax f x x e -+=≤，则()()()121xx x a f x e --+⎡⎤⎣⎦'=．当211a +≥，即0a ≥时，()0f x '≤，则()f x 在(],1-∞上单调递减， 故()()2211a f x f e -≥=≥，解得102ea ≤-<，所以0a ≥不符合题意； 当211a +<，即0a <时，()f x 在(),21a -∞+上单调递减，在(]21,1a +上单调递增， 则()()min21f x f a =+．因为2211xx ax e -+≥，所以()()2122211a a f x f a e ++≥+=≥． 令211a t +=<，不等式21221a a e++≥可转化为10te t --≤，设()1t g t e t =--， 则()1tg t e '=-，令()0g t '<，得0t <；令()0g t '>，得01t <<，则()g t 在(),0-∞上单调递减，在()0,1上单调递增；当0t =时，()g t 有最小值0， 即()0g t ≥．因为()0g t ≤，所以()0g t =，此时210a +=，故12a =-． 【名师点睛】本题考查了函数最值的求解，考查了不等式恒成立问题．本题的难点在于将已知恒成立问题，转化为()10tg t e t =--≤恒成立．本题的关键是结合导数，对含参、不含参函数最值的求解． 四、双空题1．已知函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点1x ，2x ，则a 的取值范围___________；且不等式()()1212f x f x x x t +<++恒成立，则实数t 的取值范围___________．【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2020-2021学年高三上学期第一次联考 【答案】10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭[)5,-+∞【分析】求出导函数()2122122ax x f x ax x x-+'=-+=，只需方程22210ax x -+=有两个不相等的正根，满足1212010210x x a x x a ⎧⎪∆>⎪⎪=>⎨⎪⎪+=>⎪⎩，解不等式组可得a 的取值范围；求出 ()()1212f x f x x x +--的表达式，最后利用导数，通过构造函数，求出新构造函数的单调性，最后求出t 的取值范围．【解析】2221()(0)ax x f x x x'-+=>，因为函数()22ln f x ax x x =-+有两个不同的极值点12,x x ，所以方程22210ax x -+=有两个不相等的正实数根，于是有：121248010102a x x a x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．()()221112221212122ln 2ln f x f x x x x ax x x ax x x x +--+--++=--()()212121212()23ln a x x x x x x x x ⎡⎤=+--++⎣⎦21ln 2a a=---， 设21()1ln 2,02h a a a a ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭， 22()0a h a a '-=>，故()h a 在102a <<上单调递增，故1()52h a h ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，所以5t ≥-．因此t 的取值范围是[)5,-+∞. 故答案为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭；[)5,-+∞【名师点睛】本题考查了已知函数极值情况求参数取值范围问题，考查了不等式恒成立问题，构造新函数，利用导数是解题的关键，属于基础题．2．对任意正整数n ，函数32()27cos 1f n n n n n πλ=---，若(2)0f ≥，则λ的取值范围是___________；若不等式()0f n ≥恒成立，则λ的最大值为___________． 【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】13,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦132-【分析】将2n =代入求解即可；当n 为奇数时，cos 1n π=-，则转化。

高三数学 第一讲 不等式恒成立问题在近些年的数学高考题及高考模拟题中经常出现不等式恒成立问题，此类问题一般综合性强，既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何等有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点.高考往往通过此类问题考查学生分析问题、解决问题、综合驾驭知识的能力。

此类问题常见解法：一、构造函数法在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数.例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围.例2：在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x(1－y) 若不等式(x －a)⊗(x ＋a)<1对任意实数x 成立，则 ( )(A)－1<a<1 (B)0<a<2 (C) 2321<<-a (D) 3122a -<< 例3：若不等式x 2-2mx+2m+1>0对满足0≤x ≤1的所有实数x 都成立，求m 的取值范围。

二、分离参数法在题目中分离出参数，化成a>f(x) （a<f(x)）型恒成立问题，再利用a>f max (x) （a<f min (x)）求出参数范围。

例4．（2012•杭州一模）不等式x 2﹣3＞ax ﹣a 对一切3≤x ≤4恒成立，则实数a 的取值范围是 ．例5：设a 0为常数，数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝51[3n +(-1)n-1·2n ]+(-1)n ·2n ·a 0(n ∈N * )若对任意n ≥1，n ∈N *，不等式a n >a n-1恒成立，求a 0的取值范围。

例6．（2012•安徽模拟）若不等式x 2+ax+4≥0对一切x ∈（0，1]恒成立，则a 的取值范围是 ． 例7．（2011•深圳二模）如果对于任意的正实数x ，不等式恒成立，则a 的取值范围是 ．例8．（2013•闵行区一模）已知不等式|x ﹣a|＞x ﹣1对任意x ∈[0，2]恒成立，则实数a 的取值范围是 ．三、数型结合法例9：如果对任意实数x ，不等式kx 1x ≥+恒成立，则实数k 的取值范围是例10：已知a>0且a ≠1,当x ∈(-1，1)时，不等式x 2-a x <21恒成立，则a 的取值范围 例11、 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 .例12、（2009•上海）当时，不等式sin πx ≥kx 恒成立．则实数k 的取值范围是 ．例13、若不等式log a x ＞sin2x （a ＞0，a ≠1）对任意都成立，则a 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ． （0，1）四、利用函数的最值（或值域）求解（1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥⇔min )(；（2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥⇔。

专题四恒成立问题在近几年的高考数学试题中，常常出现含参数的不等式成立的问题，这类问题与函数，导数，方程等知识综合在一起，演绎出一道道设问新颖，五光十色的题目，这些试题的思辨性很强，往往让人眼花缭乱，使解题者不知所措，这些题目从解题目标上看，基本上有三种，即求参数的取值范围，使含参数的不等式恒成立，能成立或恰成立.用函数思想作指导,解不等式的恒成立、能成立、恰成立问题的操作程序是这样的:1.恒成立问题若不等式()Af在区间D上的f>在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最小值大于A,若不等式()Bf在区间D上的f<在区间D上恒成立,则等价于函数()xx最大值小于B.2. 能成立问题若在区间D上存在实数x使不等式()Axf>在区间D上f>成立,即()Ax能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最大值大于A,若在区间D上存在实数x使不等式()Bxf<在区间D上f<成立,即()Bx能成立, ,则等价于函数()xf在区间D上的最小值小于B.3. 恰成立问题若不等式()Af>的解集xf>在区间D上恰成立, 则等价于不等式()Ax为D ,若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D ,如果从解题模式看,好象问题很简单,但是,由于试题的结构千变万化,试题的设问方式各不相同,就使得题目变得十分灵活,如何对这类题目进行思辨和模式识别,把问题化归到常见的基本的题型,是高考复习的一个课题.【例1】若关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞，则实数a 的取值范围是 ；若关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是 ．【分析及解】第一个填空是不等式恒成立的问题,设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式02>--a ax x 的解集为),(+∞-∞()0>⇔x f 在()+∞∞-,上恒成立()0min >⇔x f ,即(),0442min >+-=a a x f 解得04<<-a 第二个填空是不等式能成立的问题. 设()a ax x x f --=2.则关于x 的不等式32-≤--a ax x 的解集不是空集()3-≤⇔x f 在()+∞∞-,上能成立()3min -≤⇔x f ,即(),3442min -≤+-=a a x f 解得6a ≤-或2a ≥. 【例2】三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．【分析及解】关键在于对甲，乙，丙的解题思路进行思辨，这一思辨实际上是函数思想的反映.设()()232255,f x x x x g x ax =++-=.甲的解题思路，实际上是针对两个函数的，即把已知不等式的两边看作两个函数，设()()232255,f x x x x g x ax =++-= 其解法相当于解下面的问题：对于[][]121,12,1,12x x ∈∈,若()()12f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围. 所以，甲的解题思路与题目[]1,12x ∈,()()f x g x ≥恒成立,求a 的取值范围的要求不一致.因而, 甲的解题思路不能解决本题.按照丙的解题思路需作出函数()232255f x x x x =++-的图象和()g x ax =的图象,然而,函数()f x 的图象并不容易作出.由乙的解题思路,本题化为()f x a x≥在[]1,12x ∈上恒成立,等价于[]1,12x ∈时, ()minf x a x ⎡⎤≥⎢⎥⎣⎦成立.由()255f x x x x x x =++-在[]51,12x =∈时,有最小值10,于是,10a ≤. 【例3】已知向量2(,1),(1,),a x x b x t =+=-r r 若函数()b a x f ρρ⋅=在区间()1,1-上是增函数，求t 的取值范围.【分析及解】 依定义,)1()1()(232t tx x x x t x x x f +++-=++-=.23)(2t x x x f ++-='则()x f 在区间()1,1-上是增函数等价于()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立;而()0>'x f 在区间()1,1-上恒成立又等价于x x t 232->在区间()1,1-上恒成立;设()()1,1,232-∈-=x x x x g进而()x g t >在区间()1,1-上恒成立等价于()()1,1,max -∈≥x x g t考虑到()()1,1,232-∈-=x x x x g 在⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,1上是减函数,在⎪⎭⎫ ⎝⎛1,31上是增函数,则()()51max =-=g x g . 于是, t 的取值范围是5≥t .【例4】已知函数()()()331,5f x x ax g x f x ax '=+-=--，其中()'f x 是()f x 的导函数.（1）对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <，求实数x 的取值范围； （2）设2a m =-，当实数m 在什么范围内变化时，函数()y f x =的图象与直线3y =只有一个公共点.【分析及解】只考虑（Ⅰ）.解法1.由题意()2335g x x ax a =-+-，这一问表面上是一个给出参数a 的范围，解不等式()0g x <的问题，实际上，把以x 为变量的函数()g x ，改为以a 为变量的函数，就转化为不等式的恒成立的问题，即令()()2335a x a x ϕ=-+-，()11a -≤≤，则对11a -≤≤，恒有()0g x <，即()0a ϕ<，从而转化为对11a -≤≤，()0a ϕ<恒成立，又由()a ϕ是a 的一次函数，因而是一个单调函数，它的最值在定义域的端点得到.为此只需()()1010ϕϕ<⎧⎪⎨-<⎪⎩ 即22320,380.x x x x ⎧--<⎨+-<⎩解得213x -<<.故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <. 解法2.考虑不等式()23350g x x ax a =-+-<. 由11a -≤≤知,236600a a ∆=-+>,于是,不等式的解为x <<.但是,这个结果是不正确的,因为没有考虑a 的条件,还应进一步完善.为此,设()()g a h a ==不等式化为()(),11g a x h a a <<-≤≤恒成立,即()()max min ,11g a x h a a <<-≤≤.由于()23660a a a g a --+=在11a -≤≤上是增函数,则()()max 213g a g ==-,()23660a a a h a +-+=在11a -≤≤上是减函数,则()()min 1 1.h a h ==所以,213x -<<. 故2,13x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，对满足11a -≤≤的一切a 的值，都有()0g x <.【例5】求与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点的最大圆C 的方程.【分析及解】因为圆C 与抛物线2:E y ax =相切于坐标原点,所以,可设()222:C x y r r +-=.由题意, 抛物线E 上的点(),P x y 除坐标原点()0,0之外,都在圆C 的外边.设P 和圆心()0,C r 的距离为d ,则本题等价于()22d x y r r =+-≥ ①在0y ≥的条件下,恒成立.整理①式得 12y r a≥- ②于是,本题又等价于②式在0y ≥的条件下,恒成立.即min 12y r a≥-, 由min 0y =得 102r a≥-,即12r a≤. 所以,符合条件的最大圆的半径是12r a=,最大圆C 的方程为 2221122x y a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【例6】设a ∈R ，二次函数2()22.f x ax x a =--若()0f x >的解集为A ，{}|13,B x x A B =<<≠∅I ，求实数a 的取值范围.【分析及解】这是一个题目在不等式成立的前提下，求参数的范围的问题，这个题目的常规解法是：由题设,0a ≠.()0f x =的两个根为11x a=-21x a =+显然,120,0x x <>. (1) 当0a <时,{}12A x x x x =<<,21A B x ≠∅⇔>⇔I 1a +1> 2.a ⇒<- (2) 当0a >时, {}{}12A x x x x x x =<>U ,23A B x ≠∅⇔<⇔I 1a +637a <⇒>. 于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .我们注意到,题目的要求与大部分见到的题并不相同.这类题目在试题中出现最多的是不等式恒成立的问题,而本题却是一个不等式能成立的问题,因为,题目的条件是只要集合,A B 的交集不是空集就可以,即只要不等式()0f x >在区间()1,3有解就可以,这等价于()()max 0,1,3f x x >∈成立.解法就简单些.解法如下:(1) 当0a <时,因为()f x 的图象的对称轴10a<，则对()1,3x ∈，()1f 最大，()()max 1220. 2.f x f a a a ==-->⇒<-(2) 当0a >时, ()()max ,1,3f x x ∈在()1f 或()3f 实现, 由()()120,376f a f a =--<=-,则()637607f a a =->⇒>于是,实数a 的取值范围是()6,2,7⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .这个解法的关键是用函数思想指导,学会用函数和变量来思考. 【例7】已知函数()x x f ln =，()bx ax x g +=221，0≠a .若2=b ，且()()()x g x f x h -=存在单调递减区间，求a 的取值范围； 【分析及解】只研究第（I ）问.x ax x x h b 221ln )(,22--==时，则.1221)(2xx ax ax x x h -+-=--=' 因为函数()h x 存在单调递减区间，所以()0h x '<有解. 由题设可知,()x h 的定义域是()+∞,0 ,而()0<'x h 在()+∞,0上有解,就等价于()0<'x h 在区间()+∞,0能成立, 即x xa 212->, ()+∞∈,0x 成立, 进而等价于()x u a min >成立,其中()xx x u 212-=. 由()x xx u 212-=1112-⎪⎭⎫⎝⎛-=x 得,()1min -=x u .于是,1->a ,由题设0≠a ,所以a 的取值范围是()()+∞-,00,1Y【例8】设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x -=++∈R 的一个极值点. （Ⅰ）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；（Ⅱ）设0a >，225()()4xg x a e =+,若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.【分析及解】本题的第（Ⅱ） “若存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，求a 的取值范围.”如何理解这一设问呢？如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集非空，则一定存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，如果函数()f x 在[]0,4x ∈的值域与()g x 在[]0,4x ∈的值域的交集是空集，只要这两个值域的距离的最小值小于1即可.由（Ⅰ）可得,函数()f x 在[]0,4x ∈的值域为()323,6a e a ⎡⎤-++⎣⎦,又()g x 在[]0,4x ∈的值域为2242525,44a a e ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦, 存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立，等价于()()max min 1f x g x -<或()()max min 1g x f x -<，容易证明,2254a +6a >+. 于是, ()22561,30420.a a a a ⎧⎛⎫+-+<⎪ ⎪⇒<<⎝⎭⎨⎪>⎩.【例9】已知函数].1,0[,274)(2∈--=x xx x f （1）求)(x f 的单调区间和值域；（2）设1≥a ，函数()[]1,0,2323∈--=x a x a x x g ,若对于任意1x []1,0∈,总存x(a 2+254)e 4a 2+254a+6-(2a+3)e3g (x )f (x )在[]1,00∈x 使得)()(10x f x g =成立，求a 的取值范围. 【分析及解】（1）对函数)(x f 求导，得222)2()72)(12()2(7164)(x x x x x x x f ----=--+-=' 令0)(='x f 解得.2721==x x 或可以求得，当)21,0(∈x 时，)(x f 是减函数；当)1,21(∈x 时，)(x f 是增函数.当]1,0[∈x 时，)(x f 的值域为[]4,3--. （2）对函数)(x g 求导，得).(3)(22a x x g -=' 因为1≥a ，当)1,0(∈x 时，.0)1(3)(2≤-<'a x g 因此当)1,0(∈x 时，)(x g 为减函数， 从而当]1,0[∈x 时有)].0(),1([)(g g x g ∈ 又,2)0(,321)1(2a g a a g -=--=即]1,0[∈x 时有()g x 的值域为是2[123,2].a a a ---如何理解“任给]1,0[1∈x ，]3,4[)(1--∈x f ，存在]1,0[0∈x 使得)()(10x f x g =”， 实际上，这等价于)(x f 值域是()g x 值域的子集，即2[123,2][4,3].a a a ---⊃--这就变成一个恒成立问题，)(x f 的最小值不小于()g x 的最小值，)(x f 的最大值不大于()g x 的最大值即⎩⎨⎧-≥--≤--.32,43212a a a 解①式得 351-≤≥a a 或； 解②式得.23≤a又1≥a ，故a 的取值范围为.231≤≤a① ②以上几个例题主要探讨的是不等式的“恒成立”与“能成立”的问题，在历年高考中还出现过“恰成立”和“部分成立”的题目，例如：【例10】(1)已知(),22xa x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围;(2)已知(),22xa x x x f ++=当[)()x f x ,,1+∞∈的值域是[)+∞,0,试求实数a 的值.【分析及解】 这两问给出的函数的表达式相同,x 的范围相同,()f x 的取值区间也相同,但是,由于设问的含义不相同,所以解题的目标也不相同.本题的第(1)问是一个恒成立问题,()022≥++=xa x x x f 对任意[)+∞∈,1x 恒成立 等价于()022≥++=a x x x ϕ对任意[)+∞∈,1x 恒成立,又等价于1≥x 时,()x ϕ的最小值0≥成立.由于()()112-++=a x x ϕ在[)+∞,1上为增函数,则()()31min +==a x ϕϕ,所以 3,03-≥≥+a a .第(2)问是一个恰成立问题,这相当于()022≥++=xa x x x f 的解集是[)+∞∈,1x . 当0≥a 时,由于1≥x 时,()3222≥++=++=xa x x a x x x f ,与其值域是[)+∞,0矛盾, 当0<a 时, ()222++=++=xa x x a x x x f 是[)+∞,1上的增函数, 所以,()x f 的最小值为()1f ,令()01=f ,即.3,021-==++a a【例11】已知0c >，设:P 函数x y c =在R 上单调递减；:Q 21x x c +->的解集为R .如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.【分析及解】函数x y c =在R 上单调递减01c ⇔<<，22,2,22,2.x c x c x x c c x c -≥⎧+-=⎨<⎩Q ()min 22x x c c ∴+-=. 21x x c +->的解集为R ⇔21x x c +->在R 上恒成立⇔()min 21x x c +->121.2c c ⇔>⇔> 如果P 正确,且Q 不正确,则102c <≤, 如果Q 正确,且P 不正确,则1c ≥.由以上, c 的取值范围是[)10,1,2⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦U 这是一个部分成立问题.【例12】已知：(),23r qx px x x f +++=且q p 32<，若对R x ∈都有 ()()x m f x m f cos 2sin 2+-≥-，求m 的取值范围. 【例13】设函数()3243af x x bx cx d =+++的图象关于原点对称，且()f x 的图象在点()1,p m 处的切线的斜率为－6，且当2x =时，()f x 有极值. （Ⅰ）求,,,a b c d 的值；（Ⅱ）若[]12,1,1x x ∈-时，求证()()12443f x f x -≤. 【分析及解】（Ⅰ） ()f x 的图象关于原点对称0b d ⇒==， ()/24f x ax c =+ . ()()//16,20f f =-=Q 462,20a c a c a c +=-⎧⇒⇒==-⎨+=⎩. （Ⅱ）()()3/228,283f x x x f x x =-=-,当[]1,1x ∈-时，()/0f x <, ()[]11f x ∴-在，上为减函数，若[]12,1,1x x ∈-时， ()()()()1244113f x f x f f -≤--=.。