函数与不等式中的恒成立问题PPT优秀课件

恒(能)成立问题的转化策略：若 f(x)在区间 D 上有最值，则(1) 恒成立：∀x∈D，f(x)>0 ⇔f(x)min>0；∀x∈D，f(x)<0⇔f(x)max<0.
(2) 能成立：∃x∈D，f(x)>0⇔f(x)max>0；∃x∈D，f(x)<0⇔f(x)min<0.
若对任意 x∈(0，＋∞)，不等式 2xln x≥－x2＋ax－3 恒成立，求实数 a 的取 值范围．
③当 a＝12时，h(x)≥0，f′(x)≤0，f(x)单调递减． ④当 a＜0 时，1a－1＜0.当 x∈(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当 x∈(1， ＋∞)时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增． 综上，当 a≤0 时，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增；当 a＝12时，f(x) 在(0，＋∞)上单调递减；当 a∈0，12时，f(x)在(0,1)上单调递减，在1，1a－1上单调递 增，在1a－1，＋∞上单调递减．
【解答】 (1) 由题知 f′(x)＝－ax2＋xx－2 1－a， 令 h(x)＝ax2－x＋1－a(x＞0)． ①当 a＝0 时，h(x)＝1－x(x＞0)，当 x(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增．当 a≠0 时，由 f′(x)＝0，得 x1 ＝1，x2＝1a－1. ②当 0＜a＜12时，1a－1＞1＞0，当 x∈(0,1)时，h(x)＞0，f′(x)＜0，f(x)单调递减； 当 x∈1，1a－1时，h(x)＜0，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当 x∈1a－1，＋∞时，h(x)＞0， f′(x)＜0，f(x)单调递减．

①
对称轴为x a . 2
O
1
xa
2
2
a
≤
0
2
a≥0
f (0) ≥ 0
8②Oxa Nhomakorabea2③
O1 2
令f (x) x2 ax 1≥ 0,对称轴为x a . 2
1 2
0
f
a 2
( a) 2
1 2
≥0
1
a
0
x
a 2
a≥1
f
22 (1)≥0
5 2
≤
a
≤ -1
2
综上①②③，a
≥
-
5
2
9
例2.若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2
则a的最小值为
C （
）
A.0
B.-2
C.- 5 2
D.-3
法三：验证法：令f (x) x2 ax 1, 对称轴为x a . 当a=0时，f ( x) x2 1≥ 0在（0,1 ]恒成立。 2
2 当a 2时，f (x) x2 2x 1 （x 1）2在（0,1 ]恒成立。
由x (0,1 ]， a ≥ (x 1 ).
2
x
Q (x 1 )在(0,1 ]上是减函数, x2
(x
1 x )max
5 2
a ≥- 5
2
7
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，
2 则a的最小值为 （ ）
A.0 B.-2
C.- 5
D.-3
2
法二：令f (x) x2 ax 1,
2
4
2
10
例2、若不等式x2 ax 1≥ 0对于一切xx (0,1 ]成立，

小结
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
课后练习
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
例题精讲
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
不等式中的恒成立问题
策略与方法
策略与方法
策略与方法
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
策略与方法
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐
例题精讲
【名校课堂】获奖PPT-江苏省高考二 轮复习 专题： 不等式 中的恒 成立问 题(共PP T)（最 新版本 ）推荐

所以 m
6 的取值范围是(－∞，0)∪0，7.
感悟总结
f ( x) > 0在区间[a, b]上恒成立 在区间[a, b]上f ( x) min > 0，转化为 求二次函数在区间上的最值问题
方法
解读
(1)ax2＋bx＋c≥0 对任意实数 x
a>0， 恒成立的条件是 Δ≤0；
m
b m+ n 2a 2
m+ n b < n 2 2a
n<
b 2a
f () f (x)min = _______ f () f (x)min = _______ f (m) f (x)min = _______ 2a 2a
b
b
f (n) f (x)min = _______
f (x)max = _______ f (m)
0, 6 a 2
变式训练
若不等式 mx2＋2mx＋1>0 的解集为 R，则 m 的取值范围是 ________．
解析：①当 m＝ 0 时， 1>0 显然成立． m>0， ②当 m≠ 0 时，由条件知 2 Δ ＝ 4 m － 4m<0. 得 0<m<1，由①②知 0≤ m<1. 答案： [0,1)
二次函数中的恒成立问题
高三（1）班
学习目标
1.掌握二次函数、一元二次方程和一元二次不
等式“三个二次”之间的联系 2.复习二次函数“轴动区间定”的最值问题 3.探究恒成立问题的题型与解题方法
判别式 △=b2- 4ac
△>0
y
△=0
y
△<0
y
y=ax2+bx+c (a>0)的图象

前一段时间和一位朋友聊天。他问我：“听说你这几年做投资，收益怎么？”我说：“这不才刚刚开始吗。”他一脸疑惑，问我：“这做投资就像做生意，你得定期盘盘库，明白自己到底是赚了，还是赔了。”
我回答说：“好像没这么简单，除非我从牌桌上下来，从此不再投资，才能真正算清是赚还是赔。”
我有个朋友，儿子几年前考取一所名牌大学。几天前路遇，见他愁眉不展，问他何故？他说：“孩子大学毕业后，已经在家里呆了大半年了。出去参加了几次招聘，大都是私营企业，工资太低，不怎么稳定，所以现在一直待在家里。”
请问，你怎么选择？真实情况是，好多人嘴上会说选A,但最终大都会选B。因为人们都认为自己是聪明人，当然选B，只有傻子才会选A。
谁愿意等那么长的时间？世界变化如此之快，到头来不知道会变成什么样子，这是大多数人内心的真实想法。似乎快速获取、及时行乐是人们的天性，人们的很多心理状态是由几万年基因的进化决定的。
迪士尼乐园，与我们成年人而言，它是一个守护了我们童年的港湾。 在这里的所有伙伴，不论男女老少，都能卸下自己的伪装和枷锁，尽情的享受一个美好的虚幻童话世界。
在这里，不会有人催你长大。 这里有关于梦想幻想的一切，你忘记烦恼，只为把快乐投入其中。
这是一个能让你变回孩子的地方，可以没有顾虑做回真实的自己。 这里虽然可爱却并不幼稚，你会惊叹于华特迪士尼的设计和想象力。 这里充满着无数的童年的回忆，有很多张笑脸，有很多意想不到的创意。 在这里我们得到的幸福不是痛苦或者失去头脑后的自我陶醉，而是我们人格完整的最好证明。
偶尔来给自己一点喘息的余地和放松的空间吧，只为回归纯粹。 于是，我选择了一个周五的傍晚，住进了“花筑”民宿，来到了位于迪士尼周边2km的小镇。
算是给自己放一个小假，只为圆一场童话梦。 穿梭回到童年，就为简单、不知所谓的快乐一番。

问题等价于f(x)max≤0,
y
f(x)2 (x9)2m 8 1,x [2 ,3 ], 48
fm a x (x )f(3 ) m 9 ≤ 0 , o m≤9.
（2）转换求函数的最值
. 2
3x
.
14
练习2：若不等式 mx2-2x+1>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
练习3：若不等式 x2-mx+4>0 对于x∈(0,3)恒 成立,则实数m的取值范围是_______.
10
变式：若对于任意 a [1,1]，函数 f (x) x2 ax 2 的值恒小
于 0，则 x 的取值范围是_______1____x____1_________．
a0 b2 4ac0
8
题型二 定义域不为R时
例2. 关于x的不等式 2x29xm≤ 0在区间[ 2, 3]
上恒成立,则实数m的取值范围是_m___≤__9_.
解：m≤-2x2+9x在区间［2，3］上恒成立，
记 g (x) 2 x2 9 x ,x [2 ,3 ],
则问题转化为 m≤g(x)min
gm in(x)g(3)9,m≤9. 分离参数法
求实数m的取值范围。
6
变式 4.设函数 f(x)＝mx2－mx－1.
若对于一切实数 x，f(x)<0 恒成立，求 m 的取值范围；
规范解答 解 (1)要使 mx2－mx－1<0 恒成立，
若 m＝0，显然－1<0；
m<0， 若 m≠0，则
Δ＝m2＋4m<0 所以－4<m≤0.
⇒－4<m<0.
练 习 ： 若 关 于 x 的 不 等 式 ： a x 2 2 a x + 2 0 的 解 集 为 R ,

则实数a的取值范围为{a|a≥4或a≤－1}．
（存在量词命题）解决能成立问题的方法
(1)结合二次函数图象，用判别式解决．
(2)对一些简单的问题也可用分离参数，a>y能成立可转化为a＞ymin，a<y能
成立可转化为a＜ymax的形式，通过求y的最小值与最大值，求得参数的取
值范围．当y取不到最小值或最大值时，注意参数取值范围的变动．
2.难点：对参数进行分类讨论。
复习：二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
b 2 4ac
二次函数
y=ax2+bx+c(a>0)
的图象
0
y
y
ax2+bx+c>0
(a>0)的解集
ax2+bx+c<0
(a>0)的解集
有两相异实根
x1, x2 (x1<x2)
x x x 或x x
4.不等式x2－x－2≥mx－3解集为R·，求实数m的取值范围．
解：由题意x2－x－2≥mx－3在R上恒成立，
整理得x2－(m＋1)x＋1≥0在R上恒成立，
对应二次函数y=x2－(m＋1)x＋1图像在x轴下方没有图像，
有Δ＝[－(m＋1)]2－4＝m2＋2m－3≤0，
解得－3≤m≤1.
小结 ：
1. 含参一元二次不等式恒成立问题属全称量词命题，关键是根据不等式的类
∃ ∈ ,－x2＋4x+a2－3a≥0成立，求实数a的范围(
A．{a|－4≤a≤1}
C．{a|a≥4或a≤－1}
√
)
B．{a|－1＜a＜4}
D．{a|－1≤a≤4}
(存在量词命题)由于函数y=－x2 ＋4x+a2 －3a图像可得，再x轴

设h(x)＝xln x＋1－x， 则h′(x)＝ln x,
所以当x∈(0,1)时，h′(x)<0，当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0， 所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 因此h(x)≥h(1)＝0，所以xln x＋1－x≥0，即xln x＋1≥x， 设F(x)＝x－asin x，x∈(0，＋∞)，－1≤a≤1， 则F′(x)＝1－acos x≥0， 所以F(x)在(0，＋∞)上单调递增，
(2)f(x)≥12x3＋1等价于12x3－ax2＋x＋1e－x≤1. 设函数g(x)＝12x3－ax2＋x＋1e－x(x≥0)，则 g′(x)＝－12x3－ax2＋x＋1－23x2＋2ax－1e－x ＝－12x[x2－(2a＋3)x＋4a＋2]e－x ＝－12x(x－2a－1)(x－2)e－x.
所以当7－4 e2≤a<12时，g(x)≤1.
(ⅲ)若2a＋1≥2，即a≥12，则g(x)≤12x3＋x＋1e－x.
由于0∈
7－4 e2，21
，故由(ⅱ)可得
12x3＋x＋1
e－x≤1.故当a≥
1 2
时，g(x)≤1.
综上，a的取值范围是7－4 e2，＋∞.
命题规律：以基本初等函数为载体，以不等式恒成立、能成立为 依托，考查参数的取值范围，难度较大．
(ⅰ)若2a＋1≤0，即a≤－
1 2
，则当x∈(0,2)时，g′(x)>0.所以g(x)在
(0,2)上单调递增，而g(0)＝1，故当x∈(0,2)时，g(x)>1，不合题意．
(ⅱ)若0<2a＋1<2，即－21<a<12，则当x∈(0,2a＋1)∪(2，＋∞)时， g′(x)<0；当x∈(2a＋1,2)时，g′(x)>0.所以g(x)在(0,2a＋1)，(2，＋∞)上 单调递减，在(2a＋1,2)上单调递增．由于g(0)＝1，所以g(x)≤1当且仅 当g(2)＝(7－4a)e－2≤1，即a≥7－4 e2.

3．已知函数f(x)＝kx(1－ln x)，其中k为非零实数．
(2) 当k＝4时，在函数g(x)＝f′(x)＋x2＋2x的图象上任取两个不同的点 M(x1 ， y1) ， N(x2 ， y2). 若 当 0 ＜ x1 ＜ x2 ＜ t 时 ， 总 有 不 等 式 g(x1) － g(x2)≥4(x1－x2)成立，求正实数t的取值范围．
1＜x＜x0 时，f′(x)＜0，于是 f(x)在(1，x0)上单调递减，所以 f(x)＜f(1)＝0，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是(－∞，2]. 方法二(参变分离法)：当 x∈(1，＋∞)时，f(x)＞0⇔a＜(x＋x－1)1ln x.令 H(x)＝(x＋x－1)1ln x，
则
H′(x)＝x＋x 1＋ln
3 已知函数 f(x)＝x－1－a ln x(a∈R)，若 a＜0，且对任意 x1，x2∈(0，1]，都有|f(x1)
| | －f(x2)|≤4
1－1 x1 x2
，求实数
a
的取值范围．
【解答】f′(x)＝1－ax，当 a＜0 时，函数 f(x)在(0，1]上是增函数．又函数 y＝1x在(0，1]
上是减函数，不妨设 0＜x1＜x2≤1，则|f(x1)－f(x2)|＝f(x2)－f(x1)，x11－x12＝x11－x12，所
时，f′(x)＜0，此时函数 f(x)单调递减，当 x＞1 时，f′(x)＞0，此时函数 f(x)单调递增，
所以 f(x)min＝f(1)＝2，所以 a＜2.
2．若关于 x 的不等式 sin x－x≥ax 对 x∈[0，π]恒成立，则实数 a 的取值范围是
( A)
A．(－∞，－1]
B．(－∞，1]
新视角 洛必达法则

恒成立问题：
• (1)若y在定义域内存在最大值m，则y<a(或y≤a)恒成立⇔a>m(或a≥m)；
• (2)若y在定义域内存在最小值m，则y>a(或y≥a)恒成立⇔a<m(或 a≤m)．
• 【对点练习】❶ 若关于x的不等式ax2＋(a－2)x－2≤0恒成立，求实数 a的取值范围．
[解析] 若 a＝0 时，原不等式为－2x－2≤0 不恒成立，所以 a≠0. 当 a≠0 时，则应有aΔ<≤0，0， 即aa<－0，22－4a－2≤0， 整理得aa<＋0，22≤0， 解得 a＝－2. 所以实数 a 的值为－2.
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
误区警示
2.3 第2课时二次函数与一元二次方程、不等 式的应 用-【 新教材 】人教A 版（20 19）高 中数学 必修第 一册课 件(共2 6张PPT )
[解析] 设桶的容积为 x 升，显然 x>8. 依题意，得(x－8)－4x－x 8≤28%·x. 由于 x>8，因而原不等式化简为 9x2－150x＋400≤0， 即(3x－10)(3x－40)≤0. 因此130≤x≤430，从而 8<x≤430. 故桶的容积最大为430升．
当 m≠0 时，由二次函数的图象可知有mΔ＝<04，－4mm－2<0， 解得 m<1－ 2.
综上可知，m 的取值范围是{m|m<1－ 2}．
[归纳提升] 求不等式恒成立问题中参数范围的常用方法