高二数学高三新课：函数的单调性与极值(文)人教版知识精讲.doc
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高二数学高三新课：函数的单调性与极值（文）人教版
【本讲教育信息】
一. 教学内容：
高三新课：函数的单调性与极值
二. 知识讲解：
1. 函数的单调性
一般地，设函数)(x f y =在某个区间内有导数，如果在这个区间内0>'y ，那么)(x f y =为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0<'y ，那么)(x f y =为这个区间内的减函数。
2. 极值
一般地，设函数)(x f y =在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都大，就称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，就称)(0x f 是函数)(x f y =的一个极小值。
如果函数)(x f y =在某个区间有导数，就采用以下方法求它的极值：
（1）求导数)(x f '；
（2）求方程0)(='x f 的根；
（3）检查)(x f '在方程)(x f '=0的根的左右符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数)(x f y =在这个根处取得极大值；如果在根的左侧附近为负，在根的右侧附近为正，那么函数)(x f y =在这个根处取得极小值。
要注意在求函数的极值时，除了)(0x f '=0的条件外，还要考虑)(x f '在0x 附近两侧的正负情况。
【典型例题】
[例1] 已知函数bx ax x x f 23)(23+-=在1=x 处有极小值1-，试确定b a ,的值，并求
出)(x f 的单调区间。
分析：此题是2001年文史类考试题，主要考查函数和函数极值概念，考查运用导数研究函数性质的方法，以及分析和解决数学问题的能力。
解：由已知，可得1231)1(-=+-=b a f ①
又b ax x x f 263)(2+-=' 则0263)1(=+-='b a f ② 由①、②可得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-==2131b a 故函数的解析式为x x x x f --=23)(
由此得123)(2--='x x x f
根据二次函数的性质，当31-
<x 或1>x 时，0)(>'x f ；当13
1<<-x 时，0)(<'x f 因此，在区间)31,(--∞和),1(+∞上，函数)(x f 为增函数；在区间)1,31(-内，函数)(x f 为减函数。
[例2] 设函数c bx ax x x f +++=23)(在1=x 处取得极值2-，试用c 表示a 和b ，并求)(x f 的单调区间。
分析：此题为2006年高考湖北文科试题，主要考查导数的概念和计算，考查应用导数研究函数性质的方法和运算能力。
解题思路：由导数公式和已知条件利用待定系数法求出c b a ,,，然后由)(x f '的符号判断单调区间，最后单调区间要分开写不能用并集符号。
解：由已知，有2)1(-=f ，0)1(='f
而b ax x x f ++='23)(2
故⎩
⎨⎧=++-=+++02321b a c b a 解得⎩⎨
⎧--==32c b c a
从而)1)(323()32(23)(2-++=+-+='x c x c cx x x f
令0)(='x f ，得1=x 或3
32+-
=c x 由于)(x f 在1=x 处取极值，故13
32≠+-c ，即3-≠c （1）若1332<+-c 即3->c ，则当)332,(+--∞∈c x 时，0)(>'x f ；当
)1,3
32(+-
∈c x 时，0)(<'x f ；当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f （2）若1332>+-c ，即3-<c 同上可得)(x f 的单调递增区间为（1,∞-），（3
32+-c ，∞+）；单调递减区间为（1，332+-c ）
[例3] 已知函数a x ax x f 313)(23-
+-= （1）讨论函数)(x f 的单调性；
（2）若曲线)(x f y =上两点A 、B 处的切线都与y 轴垂直，且线段AB 与x 轴有公共点，求实数a 的取值范围。
分析：此题为2006年高考湖南省文科试题，主题考查利用导数方法研究函数的单调性，同时考查学生分类讨论的思想。
解：
（1）由题设知0≠a ，)2(363)(2a
x ax x ax x f -=-=' 令0)(='x f ，则a
x x 2,021=
= ① 当0>a 时， 若)0,(-∞∈x ，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间（0,∞-）上是增函数 若)2
,0(a x ∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间)2,0(a
上是减函数； 若),2(+∞∈a x ，则0)(>'x f ，所以在区间),2
(+∞a
上是增函数
② 当0<a 时， 若)2,(a x -∞∈，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间（a
2,∞-）上是减函数 若)0,2(a x ∈，则0)(>'x f ，所以)(x f 在区间)0,2(a 上是增函数； 若),0(+∞∈x ，则0)(<'x f ，所以)(x f 在区间),0(+∞上是减函数
（2）由（1）的讨论及题设知，曲线)(x f y =上的两点A 、B 的纵坐标均为函数的极值，且函数)(x f y =在0=x ，a x 2=处分别取得极值a f 31)0(-=，134)2(2+--=a a
a f 因为线段AB 与x 轴有公共点，所以0)2()0(≤⋅a f f ，即0)31)(134(2≤-+--a a a
所以0)4)(3)(1(3≤--+a
a a a 故0)4)(3)(1(≤--+a a a a 且0≠a
解得01<≤-a 或43≤≤a
即所求实数a 的取值范围是]4,3[)0,1[⋃-
【模拟试题】
一. 选择题：
1. 设0x 为)(x f 的极值点，则（ ）
A. 0)(0='x f
B. )(0x f '不存在
C. )(0x f '=0或不存在
D. )(0x f '存在但可能不为0 2. 下列命题正确的是（ ）
A. 极大值比极小值大
B. 极小值不一定比极大值小
C. 极大值比极小值小
D. 极小值不大于极大值
3. 一元三次函数)(x f 当1=x 时有极大值4，当3=x 时有极小值为0且函数过原点，则此函数是（ ）
A. x x x y 9623++=
B. x x x y 9623+-=
C. x x x y 9623--=
D. x x x y 9623-+=
二. 填空题：
4. 函数)0(3)(23>--=a a x a x x f 的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围是 。
5. 若函数c bx x x x f ++-=232
1)(在R 上为增函数，则实数b 的取值范围是 。
试题答案
一.
1. C
2. B
3. B
二. 4. ),2
2(
+∞ 5. ),121[+∞。
