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组合优化问题与现代优化算法在当今这个充满挑战和竞争的时代，优化问题无处不在。
无论是在生产制造、物流配送、资源分配，还是在金融投资、网络通信、科学研究等领域，我们都面临着如何在有限的资源和条件下，找到最优的解决方案，以实现最大的效益或最小的成本。
这就是组合优化问题的核心所在，而解决这些问题的关键则在于现代优化算法的应用。
组合优化问题是一类在离散的解空间中寻找最优解的问题。
这些问题的特点是解的数量有限，但可能的组合数量非常庞大，使得通过穷举法找到最优解几乎是不可能的。
例如，旅行商问题（TSP）就是一个经典的组合优化问题。
假设有一个旅行商要访问 n 个城市，每个城市只能访问一次，最后回到出发城市，要求找到一条最短的路径。
对于 n 个城市，可能的路径数量是 n! ／ 2，当 n 较大时，这个数字会变得极其巨大。
另一个常见的组合优化问题是背包问题。
假设有一个容量有限的背包和一组物品，每个物品都有一定的价值和重量。
我们需要选择一些物品放入背包，使得背包中的物品总价值最大，同时总重量不超过背包的容量限制。
这看似简单，但由于物品的选择组合众多，要找到最优解并非易事。
为了解决这些复杂的组合优化问题，科学家们提出了各种各样的现代优化算法。
这些算法大致可以分为两类：确定性算法和随机性算法。
确定性算法通常基于精确的数学模型和严格的推理，能够在有限的时间内找到最优解或者证明问题的最优解不存在。
例如，线性规划算法就是一种常见的确定性算法。
它适用于目标函数和约束条件都是线性的组合优化问题，可以通过求解一系列线性方程组来找到最优解。
然而，确定性算法的应用范围往往受到问题性质的限制，对于许多复杂的非线性或非凸的组合优化问题，它们可能无能为力。
随机性算法则是通过随机的搜索过程来寻找最优解。
这类算法虽然不能保证一定能找到最优解，但在大多数情况下能够找到一个较好的近似解。
常见的随机性算法包括遗传算法、模拟退火算法、粒子群优化算法等。
遗传算法的灵感来源于生物进化的过程。
第二十三章 现代优化算法简介§1 现代优化算法简介现代优化算法是80年代初兴起的启发式算法。
这些算法包括禁忌搜索（tabu search ），模拟退火（simulated annealing ），遗传算法（genetic algorithms ），人工神经网络（neural networks ）。
它们主要用于解决大量的实际应用问题。
目前，这些算法在理论和实际应用方面得到了较大的发展。
无论这些算法是怎样产生的，它们有一个共同的目标－求NP-hard 组合优化问题的全局最优解。
虽然有这些目标，但NP-hard 理论限制它们只能以启发式的算法去求解实际问题。
启发式算法包含的算法很多，例如解决复杂优化问题的蚁群算法（Ant Colony Algorithms ）。
有些启发式算法是根据实际问题而产生的，如解空间分解、解空间的限制等；另一类算法是集成算法，这些算法是诸多启发式算法的合成。
现代优化算法解决组合优化问题，如TSP （Traveling Salesman Problem ）问题，QAP （Quadratic Assignment Problem ）问题，JSP （Job-shop Scheduling Problem ）问题等效果很好。
本章我们只介绍模拟退火算法，初步介绍一下蚁群算法，其它优化算法可以参看相关的参考资料。
§2 模拟退火算法2.1 算法简介模拟退火算法得益于材料的统计力学的研究成果。
统计力学表明材料中粒子的不同结构对应于粒子的不同能量水平。
在高温条件下，粒子的能量较高，可以自由运动和重新排列。
在低温条件下，粒子能量较低。
如果从高温开始，非常缓慢地降温（这个过程被称为退火），粒子就可以在每个温度下达到热平衡。
当系统完全被冷却时，最终形成处于低能状态的晶体。
如果用粒子的能量定义材料的状态，Metropolis 算法用一个简单的数学模型描述了退火过程。
假设材料在状态i 之下的能量为)(i E ，那么材料在温度T 时从状态i 进入状态j 就遵循如下规律：（1）如果)()(i E j E ≤，接受该状态被转换。
第6章现代优化算法简介第1节关于算法的基本认识在现代物流的诸多环节，常常涉及到构造模型并需对这些模型进行求解。
构造的模型合适、采用的算法恰当，可以取得事半功倍的效果。
因此，有必要对算法有一个初步的了解。
现代优化算法包括禁忌搜索、模拟退火、遗传算法、神经网络和拉格朗日松弛算法，这些算法涉及生物进化、人工智能、数学和物理科学神经系统和统计力学等概念，都是以一定的直观基础而构造的算法，我们称之为启发式算法。
启发式算法的兴起与计算复杂性理论的形成有密切都关系。
当人们不满足于用常规算法求解复杂问题时，现代优化算法开始体现其作用。
现代优化算法自20世纪80年代兴起以来，至今发展迅速。
6.1.1 组合最优化问题组合最优化是通过对数学方法的研究去寻找离散事件的最优编排、分组、次序或筛选等，是运筹学中一个经典且重要的分支，所研究的问题涉及信息技术、经济管理、工业工程、交通运输、通信网络、选址、配送等诸多领域。
该问题可用数学模型描述为：minf（x）s.t. g(x)≥0,x∈D,其中，f（x）为目标函数，g(x)为约束函数，x为决策变量，D表示有限个点组成的集合。
一个组合最优化问题可用三参数（D，F，f）表示，其中，D表示决策变量的定义域，F表示可行解区域F＝{x∣x∈D , g(x)≥0}，F中的任何一个元素称为该问题的可行解，f表示目标函数。
满足f(x*)=min{f(x) ∣x∈F}的可行解x*称为该问题的最优解。
组合最优化的特点是可行解集合为有限点集。
由直观可知，只要将D中有限个点逐一判别是否满足g(x)的约束和比较目标值得大小，该问题的最优解一定存在和可以得到，因为现实生活中的大量优化问题是从有限个状态中选取最好的，所以大量的实际优化问题是组合最优化问题。
6.1.2 计算复杂性的概念由组合最优化问题的定义可知，每一个组合最优化问题都可以通过枚举的方法求得最优解。
枚举是以时间为代价的。
有的枚举时间可以接受，有的则不可能接受。
现代优化算法基本思想简介遗传算法、模拟退火算法、禁忌算法、人工神经网络统称20世纪80年代初产生的现代优化算法．它主要解决优化问题中的难解的问题，下面分别介绍遗传算法、模拟退火算法、禁忌算法。
模拟退火算法1、模拟退火算法基本原理模拟退火算法（Simalated Annealing ，简称SA ）属于一种通用的随机探索算法，1953年N. Metropolis 等人提出了模拟退火算法，其基本思想是把某类优化问题的求解过程与统计热力学中的热平衡问题进行对比试图通过模拟高温物体退火过程，来找到优化问题的全局最优解或近似全局最优解。
一个物体（如金属）的退火过程大体如下：首先对该物体高温加热（熔化），显然物体内原子处于高速运行的高能状态。
然而作为一个实际的物理系统，原子的运动又总是趋于最低的能量状态，在退火的初始状态，由于温度较高，物体处于高能状态，随着温度的逐渐降低，物体内部原子运动化学能趋于低能状态，这种由高能向低能逐渐降温的过程称为退火。
当温度降至结晶温度后，物体由原子运动变为围绕晶体格点的微小振动，液体凝固成固体，退火过程结束。
对于一个优化问题m in ()()0,1,2,,..()0,1,2,,i j f X g x i l s t h x j m ≥=⋅⋅⋅⎧⎨≥=⋅⋅⋅⎩，当我们把目标函数()f X 看成定义在可行集（解空间）上的能量曲面，而整个曲面()f X 凹凸不平，如果让一个光滑圆球在曲面上自由滚动，这个圆球十有八九会滚到最近的凹处停止运动，但该低谷并不一定是最深的一个凹谷，模拟退火方法就类似于沿水平方向给圆球一个水平方向作用力，若作用于小球的作用力足够大且小球所处的低谷并不很深。
小球受水平力作用会从该低谷流出，落入另一低谷，然后受水平力作用又滚出，如此不断滚动，如果作用小球的水平力掌握得适当，小球很有可能停留在最深的低谷之中，这个最深低谷就是优化问题的全局最优解或接近于全局最优解。
作用于小球上的水平力相应于模拟退火中的温度T ，水平作用力减小相应于温度降低，如图所示。
