江苏省扬州市高三数学上学期期中考试试题新人教A版

高 三 数 学2013．11全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．复数21iz i+=-的实部为 ▲ ． 2．命题“2,10x R x ∀∈+>”的否定是 ▲ ．3．已知向量(1,2),(2,)a b k ==-，且a b ∥，则实数=k ▲ .4．已知直线1:210l ax y a -++=和2:2(1)20l x a y --+=()a R ∈，若12l l ⊥，则a = ▲ ．5．已知(,)2παπ∈，且tan 2α=-，则cos2α= ▲ ．6．已知实数x ，y 满足5030x y x x y -+≥⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为 ▲ ．7．已知函数()1ln f x x x=-，若函数()f x 的零点所在的区间为()(),1k k k Z +∈，则 k = ▲ .8．若双曲线2212x y m m -=+的一个焦点与抛物线28y x =的焦点相同，则m = ▲ ．9．若函数()()(2)f x x a bx a =++(,)a b R ∈是偶函数，且它的值域为(,8]-∞，则ab = ▲ ．10．1()sin()(0)26f x x πωω=+>的图象与直线y m =相切，相邻切点之间的距离为π．若点00(,)A x y 是()y f x =图象的一个对称中心，且00,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 则0x = ▲ ．11．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一条准线与x 轴的交点为P ，点A 为其短轴的一个端点，若PA 的中点在椭圆C 上，则椭圆的离心率为 ▲ ．12．函数()2()241f x x x x R =-+∈，若12()()f x f x =，且12x x >，则221212x x x x +-的最小值为 ▲ ．13． 已知向量OA ，OB 满足||1OA =，||2OB =，||7AB =，()()AC OA OB R λλ=+∈，若||7BC =λ所有可能的值为 ▲ ．14．设圆22(1)1x y +-=的切线l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于点,A B ，当AB 取最小值时，切线l 在y 轴上的截距为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分） 已知集合4|1+1A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，()(){}|410B x x m x m =---+>. （1）若2m =，求集合A B ；（2）若A B =∅，求实数m 的取值范围. 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，已知向量()cos ,sin m B B =，()sin 2sin ,cos n C A C =-，且m n ⊥.（1）求角B 的大小；（2）若7a c +=，b =BA BC ⋅的值. 17．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M :22860x y x +-+=，过点(0,2)P 且斜率为k 的直线与圆M 相交于不同的两点,A B ，线段AB 的中点为N 。

(1)求k 的取值范围； (2)若//ON MP ，求k 的值。

18．（本小题满分15分）某小区有一块三角形空地，如图△ABC，其中AC=180米，BC=90米，∠C=90︒，开发商计划在这片空地上进行绿化和修建运动场所，在△ABC 内的P 点处有一服务站（其大小可忽略不计），开发商打算在AC 边上选一点D ，然后过点P 和点D 画一分界线与边AB 相交于点E ，在△ADE 区域内绿化，在四边形BCDE 区域内修建运动场所．现已知点P 处的服务站与AC 距离为10米，与BC 距离为100米．设DC=d 米，试问d 取何值时，运动场所面积最大？DC B19．（本小题满分16分）如图，椭圆1C ：22221x y a b+=（0a b >>）和圆2C ：222x y b +=，已知圆2C 将椭圆1C 的长轴三等分，椭圆1C ，椭圆1C 的下顶点为E ，过坐标原点O 且与坐标轴不重合的任意直线l 与圆2C 相交于点A 、B ．（1）求椭圆1C 的方程；（2）若直线EA 、EB 分别与椭圆1C 相交于另一个交点为点P 、M . ①求证：直线MP 经过一定点； ②试问：是否存在以(,0)m 为半径的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交？若存在，请求出所有m 的值；若不存在，请说明理由。

20．（本小题满分16分） 已知函数2()6f x ax x=++，其中a 为实常数. （1）若()3f x x >在(1,)+∞上恒成立，求a 的取值范围； （2）已知34a =，12,P P 是函数()f x 图象上两点，若在点12,P P 处的两条切线相互平行，求这两条切线间距离的最大值；（3）设定义在区间D 上的函数()y s x =在点00(,)P x y 处的切线方程为:()l y t x =，当0x x ≠时，若()()0s x t x x x ->-在D 上恒成立，则称点P 为函数()y s x =的“好点”．试问函数2()()g x x f x =是否存在“好点”．若存在，请求出所有“好点”坐标，若不存在，请说明理由．第二部分（加试部分） （总分40分，加试时间30分钟）注意事项：答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答题卷上规定的位置．解答过程应写在答题卷的相应位置，在其它地方答题无效． 21．（本题满分10分）已知矩阵123a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值是1-，求矩阵A 的另一个特征值λ，及属于λ的一个特征向量。

22．（本题满分10分）已知n的展开式中第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7. （1）求n 的值；（2）求展开式中的常数项（用组合数表示）。

23．（本题满分10分）一个盒子中装有5张相同的卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1,2,3,4,5，现从盒子中随机抽取卡片。

（1）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；（2）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当抽到记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X 的概率分布列和数学期望。

24．（本题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(2,2)M ，P 是动点，且POM ∆的三边所在直线的斜率满足OM OP PM k k k +=． （1）求点P 的轨迹C 的方程；（2）点N 在直线41y x =-，过N 作（1）中轨迹C 的两切线，切点分别为,A B ，若ABN ∆ 是直角三角形，求点N 的坐标。

参 考 答 案1、12 2、2,10x R x ∃∈+≤ 3、4- 4、135、35-6、3-7、18、19、4± 10、512π 11、312、213、0、214、32+ 解析：设直线l 与坐标轴的交点分别为(,0)A a ，(0,)B b ，显然1a >，2b >．则直线l ：1x y a b +=，1|1|1-=，即22211121a b b b +=-+，所以22ba b =-，所以22222b AB a b b b =+=+-，设2()2x f x x x =+-， 则22222[(2)1]'()2(2)(2)x x f x x x x ---=+=--322222(441)2(1)(31)(2)(2)x x x x x x x x -+---+==--(2)x >设'()0f x =，则11x =，2x =，3x =， 又2x >，故当3(2,)x x ∈时，()f x 单调递减；当3(,)x x ∈+∞时，()f x 单调递增；所以当b =，222ba b ==-时，AB 有最小值．15、（1）由411x >+得13x -<< 即{}|13A x x =-<<， ····················· 2分 当2m =时，由()()610x x -->得6x >或1x < ·········· 4分 所以{}|36AB x x x =<>或 ················· 7分（2）由()()410x m x m ---+>得4x m >+或1x m <-即{}|41B x x m x m =>+<-或 ················· 9分因为AB =∅，所以⎧⎨⎩3411m m ≤+-≥-， ··············· 12分 即10m -≤≤. ························ 14分 16、（1）因为m n ⊥，所以()cos sin 2sin sin cos 0B C A B C -+=，即：()()sin 2cos sin sin 12cos 0B C B A A B +-=-= ······· 3分 因为()0,A π∈，所以sin 0A ≠，故1cos 2B =， ·········· 5分 因为()0,B π∈，所以3B π=. ·················· 7分（2）由（1）可知，因为3B π=，b =所以2222132cos3a c ac a c ac π=+-=+-， ① ······ 9分又7a c +=， ②由①②解得12ac = ····················· 11分 所以cos 6BC BA ac B ⋅== ·················· 14分 17、（1）方法一：圆的方程可化为22(4)10x y -+=，直线可设为2+=kx y ，即20kx y -+=，圆心M到直线的距离为d =，依题意d <22(42)10(1)k k +<+，解之得：133k -<<； ····················· 7分 方法二：由⎧⎨⎩228602x y x y kx +-+==+可得：22(1)4(2)100k x k x ++-+=，依题意22[4(2)]40(1)0k k ∆=--+>， 解之得：133k -<<． （2）方法一：因为//ON MP ，且MP 斜率为12-，故直线ON ：12y x =-， 由⎧⎨⎩122y x y kx =-=+可得42(,)2121N k k -++， 又N 是AB 中点，所以MN AB ⊥，即21214421k k k +=---+， 解之得：43k =-． ······················· 15分方法二：设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则1212(,)22x x y y N ++由⎧⎨⎩228602x y x y kx +-+==+可得：22(1)4(2)100k x k x ++-+=， 所以1224(2)1k x x k -+=-+， 又//ON MP ，且MP 斜率为12-， 所以12121222y y x x +=-+，即121212y y x x +=-+，也就是1212()412k x x x x ++=-+， 所以224(2)()4114(2)21k k k k k --++=---+，解之得：43k =-．方法三：点N 的坐标同时满足⎧⎪⎨⎪⎩21214y kx y x y x k=+=-=--，解此方程组，消去,x y 可得43k =-．18、解法一：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴，CA 所在直线为y 轴建立直角坐标系，································ 2分 则(0,0)C ，(0,180)A ，(90,0)B ，(10,100)P ，(0,)D d ．DE 直线方程：100100(10)10d y x --=--，① ············ 4分 AB 所在直线方程为2180x y +=，② ················ 6分解①、②组成的方程组得，101800120E d x d -=-， ············· 8分∵直线DE 经过点B 时2252d =，∴22502d <<，11101800||(180)22120ADE Ed SAD x d d -=⋅=⋅-⋅- ············· 10分 =2(180)5120d d -⋅-，设15120(,120)2d t -=∈，2(60)5ADEt St +=⋅=36005(120)t t⋅++， 3600120t t+≥（当且仅当60t =，即4k =时取等号），此时12060d t =-=， ∴当d =60时，绿化面积最小，从而运动区域面积最大． ········· 15分 解法二：如图，分别过点,P E 作AC 的垂线，垂足为,Q F ，设EF h =，则若如图1所示，则10,100,100PQ CQ DQ d ===-， 由AFE ACB ∆∆得18090AF h=，即2AF h=，从而1802CF h =-，1802DF h d =--， 由DPQDEF ∆∆得101001802d h h d -=--，解得180010120dh d-=- （若如图2所示，则10,100,100PQ CQ DQ d ===-，2AF h =，1802CF h =-，2180DF h d =+-，由DPQDEF ∆∆得101001802d h h d -=--，解得180010120dh d-=-） 由090h <<得22502d <<， 由11101800(180)22120ADEd SAD h d d -=⋅=⋅-⋅-（下同解法一）19、（1）依题意，1223b a =⋅，则3a b =， ∴2222c a b b =-=，又2224a b c c c -==，∴1b =，则3a =， ∴椭圆方程为2219x y +=． ···················· 4分 （2）①由题意知直线,PE ME 的斜率存在且不为0，设直线PE 的斜率为k ，则PE ：1y kx =-，由221,1,9y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22218,9191,91k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴2221891(,)9191k k P k k -++， ····················· 6分 用1k-去代k ，得222189(,)99k k M k k --++， 方法1：22222229191919181810919PMk k k k k k k k k k k ----++==+++， ∴PM ：22229118()9109k k k y x k k k ---=+++，即214105k y x k -=+， ∴直线PM 经过定点4(0,)5T ．方法2：作直线l 关于y 轴的对称直线'l ，此时得到的点'P 、'M 关于y 轴对称，则PM 与''P M 相交于y 轴，可知定点在y 轴上，当1k =时，94(,)55P ，94(,)55M -，此时直线PM 经过y 轴上的点4(0,)5T ，∵22229141591,181091PTk k k k k k k ---+==+222294159,18109MT k k k k k kk ---+==-+ ∴PT MT k k =，∴P 、M 、T 三点共线，即直线PM 经过点T ，综上所述，直线PM 经过定点4(0,)5T ． ·············· 10分②由221,1,y kx x y =-⎧⎨+=⎩得2222,11,1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩或0,1,x y =⎧⎨=-⎩∴22221(,)11k k A k k -++， 则直线AB ：212k y x k-=， 设2110k t k-=，则t R ∈，直线PM ：45y tx =+，直线AB ：5y tx =，································ 13分 假设存在圆心为(,0)m，半径为5的圆G ，使得直线PM 和直线AB 都与圆G 相交，则()4||()imtii<⎨+⎪<由（i）得22181825()2525t m-<对t R∈恒成立，则21825m≤，由（ii）得，221882()025525m t mt-+-<对t R∈恒成立，当21825m=时，不合题意；当21825m<时，228182()4()()052525m m∆=---<，得2225m<，即m<<，∴存在圆心为(,0)m，半径为5的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为(,55-．··················16分解法二：圆2218:()25G x m y-+=，由上知PM过定点4(0,)5，故22418()525m+<；又直线AB过原点，故2218:025G m+<，从而得(,55m∈-．20、解：（1）方法一：()3f x x>在(1,)+∞上恒成立，即为2(3)620a x x-++>在(1,)+∞上恒成立，①3a=时，结论成立；②3a>时，函数2()(3)62h x a x x=-++图象的对称轴为62(3)xa=-<-，所以函数2()(3)62h x a x x=-++在(1,)+∞单调递增，依题意(1)0h>，即5a>-，所以3a>；③3a<不合要求，综上可得，实数a的取值范围是3a≥．··············4分方法二：()3f x x>在(1,)+∞上恒成立等价于2263ax x>--+，令()222613153222h xx x x⎛⎫=--+=-++⎪⎝⎭因为1x >，所以101x<<，故()53h x -<< 所以3a ≥. （2）232'()4f x x=- 设111(,)P x y ，222(,)P x y ，过点12,P P 的两切线互相平行， 则2212323244x x -=-，所以12x x =（舍去），或12x x =-， 过点1P 的切线1l ：111'()()y y f x x x -=-，即1111'()()'()0f x x y f x x f x -+-=， ································ 6分 过点2P 的切线2l ：2222'()()'()0f x x y f x x f x -+-=两平行线间的距离是d =11232322|()()|x x +--=8==，因为2121254516x x +≥=，所以d ≤=即两平行切线间的最大距离是 ················ 10分 （3）232()()62g x x f x ax x x ==++，设()g x 存在“好点”00(,)P x y ，由2'()3122g x ax x =++，得000()'()()()h x g x x x g x =-+， 依题意()()0g x h x x x ->-对任意0x x ≠恒成立，因为0000()['()()()]g x g x x x g x x x --+-0000[()()]'()()g x g x g x x x x x ---=-，323220000000[(62)(62)](3122)()ax x x ax x x ax x x x x x ++-++-++-=- 22200000[()6()2](3122)a x x x x x x ax x =+++++-++22000(6)(26)ax ax x ax x =++-+， ················ 13分所以22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立，①若0a ≤，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>不可能对任意0x x ≠恒成立，即0a ≤时，不存在“好点”；②若0a >，因为当0x x =时，22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+=， 要使22000(6)(26)0ax ax x ax x ++-+>对任意0x x ≠恒成立， 必须22000(6)4(26)0ax a ax x ∆=+++≤20(2)0ax +≤，所以02x a=-， 综上可得，当0a ≤时，不存在“好点”； 当0a >时，存在惟一“好点”为22164(,)aa a --． ··········16分 21．解：矩阵123a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式是()(1)(3)2f a λλλ=---， 由(1)0f -=得4a =，令()0f λ=，则1λ=-或5λ=，解方程组⎧⎨⎩(51)402(53)0x y x y --=-+-=可得一组不为零的解是⎧⎨⎩11x y ==所以矩阵A 的另一个特征值是5，属于5的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ．22．解：（1）2561((1)n rrn rr r r r nn T C C x --+==-第2项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为1：7.∴1217n n C C =，解得15n = ···················· 5分 （2）由（1）得3056115(1)r r rr T C x-+=-，令30506r-=，则6r =， 所以常数项为第7项，666611515(1)T C C +=-= ············· 10分23．解：（1）依题意：每次取到偶数的概率为25， 设A 表示事件“有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到卡片的数字为偶数”则2232236()()(1)55125P A C =-=； ················· 5分 （2）依题意：1,2,3X =，则3(1)5P X ==，323(2)5410P X ⨯===⨯， 231(3)P X ⨯===，所以X 的分布列为：所以，()122410102E X =⨯+⨯+⨯=·············· 10分 24．解：（1）设(,)P x y ，由OM OP PM k k k +=得：212y y x x -+=-，即22x y =， 所以P 点的轨迹C 的方程是：22x y =(0x ≠，且2)x ≠， ······ 3分 （2）因为212y x =，所以'y x =，设2111(,)2A x x ，2221(,)2B x x ，(,)N a b 则1ANk x =，2BN k x =，由于AN 是曲线的切线，所以211112x bx x a-=-，即211220x ax b -+=，同理222220x ax b -+=，两式相减可得121212()()2()0x x x x a x x +---=， 又12x x ≠，故122x x a +=，①若AN BN ⊥，则1AN BN k k =-，所以121x x =-，由⎧⎪⎨⎪⎩211222122202201x ax b x ax b x x -+=-+==-，得21b =-，12b =-，此时11(,)82N -； ·· 6分②若AN AB ⊥，则1AN ABk k =-，即222112111221x x x x x -⋅=-- 化简得：121()20x x x ++=，即1220ax +=，11x a=-， 又211220x ax b -+=，即21220b a++=由⎧⎨⎩2122041b a b a ++==-可得123a b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩ 所以1(,3)2N --，③若BN AB ⊥，同理可得1(,3)2N --；综上可得，所求点N 有两个：11(,)82N -，和1(,3)2N -- ······· 10分。