专项训练：导数的极大值与极小值
一、单选题
1．已知函数f(x)＝x ln x－a e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )
A．B．(0，e)
C．D．(－∞，e)
2．函数y＝xe x的最小值是( )
A．－1B．－e
C．－D．不存在
3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A．B．－
C．－ln 2D．ln 2
4．已知函数，则（）
A．有个零点B．在上为减函数
C．的图象关于点对称D．有个极值点
5．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( )
A．a>－3B．a<－3
C．a>－D．a<－
6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( )
A．B．－
C．－ln 2D．ln 2
7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
A．?x0∈R，f(x0)＝0
B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形
C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减
D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
8．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（）
A．,B．,C．,D．,
9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．
10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（）
A．B．C．D．
11．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（）
A．B．C．D．
12．若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（）
A．B．C．D．
13．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）
A．B．C．
D．
14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
15．设，则函数
A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值
C．有无数个极值D．没有极值
16．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
17．如图，已知直线与曲线相切于两点，则函数有( )
A．个零点
B．个极值点
C．个极大值点
D．个极大值点
18．设函数，直线是曲线的切线，则的最小值是（）
A．B．1C．D．
19．已知函数(为自然对数的底)，则的大致图象是（）A．B．C．
D．
二、填空题
20．已知a R，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________．
21．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间有关系y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为________．
22．若函数在内有且只有一个零点，则在上的最大值与最小值的和为________．
23．求下列函数的极值：
(1)f(x)＝x2－2x－4ln x；
(2)f(x)＝ax3－3x2＋1－(a∈R且a≠0).
24．已知三次函数的图象如图所示，则__________．
25．设函数f(x)＝ax3－2x2＋x＋c.若f(x)在R上无极值点，则实数a的取值范围为________. 26．己知函数．若函数在定义域内不是单调函数，则实数的取值范围是__________．
三、解答题
27．已知函数，且为常数）
(Ⅰ)若函数的极值点只有一个，求实数的取值范围；
(Ⅱ)当时，若（其中）恒成立，求的最小值的最大值.
28．已知函数f(x)＝e x－，a为实常数.
(1)当a>0时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若f(x)在(0，＋∞)上存在极值点，且极值大于ln 4＋2，求a的取值范围.
29．已知函数f(x)＝(a>0，r>0)．
(1)求f(x)的定义域，并讨论f(x)的单调性；
(2)若＝400，求f(x)在(0，＋∞)内的极值．
30．设函数f(x)＝aln x－bx2(x>0)，若函数f(x)在x＝1处与直线y＝－相切，
(1)求实数a，b的值；
(2)求函数f(x)在上的最大值．
31．设函数，且为的极值点.
（1）若为的极大值点，求的单调区间（用表示）；
（2）若恰有两解，求实数的取值范围.
32．已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个零点，，且，证明：．
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
先求函数导数，再根据题意将导函数为零转化为两个函数有两个不同的交点，然后求的导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定图象，最后根据图象确定实数a的取值范围.
【详解】
f(x)＝x ln x－a e x(x>0)，∴f′(x)＝ln x＋1－a e x(x>0)，由已知函数f(x)有两个极值点可得y＝a 和g(x)＝在(0，＋∞)上有两个交点，
g′(x)＝(x>0)，令h(x)＝－ln x－1，
则h′(x)＝－－<0，
∴h(x)在(0，＋∞)上单调递减且h(1)＝0，
∴当x∈(0，1]时，h(x)≥0，即g′(x)≥0，g(x)在(0，1]上单调递增，g(x)≤g(1)＝，
当x∈(1，＋∞)时，h(x)<0，即g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减，
故g(x)max＝g(1)＝，
而x→0时，g(x)→－∞，x→＋∞时，g(x)→0；
若y＝a和g(x)在(0，＋∞)上有两个交点，只需0 【点睛】 极值点个数问题，一般转化为方程解的问题，再通过适当的变量分离转化为对应函数值域问题. 2．C 【解析】 【分析】 先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值.【详解】 y′＝e x＋xe x＝(1＋x)e x，令y′＝0，则x＝－1，因为x<－1时，y′<0，x>－1时，y′>0，所以x＝－1 时，y min＝－.选C. 【点睛】 利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用得可疑最值点，如导函数不变号，则根据函数单调性确定最值点在对应区间端点取得；第二步：比较极值同端点值的大小．在应用题中若极值点唯一，则极值点为开区间的最值点. 3．B 【解析】 【分析】 先求导数，再求导函数零点，最后验证. 【详解】 y′＝2x＋x·2x ln 2＝0，∴x＝－.经检验， x＝－时函数取极小值，所以x＝－.选B. 【点睛】 已知函数求极值.求→求方程的根→列表检验在的根的附近两侧的符号→下结论. 4．B 【解析】 【分析】 因为，故可判断无零点，而， 当，可通过的符号确定其单调性，通过考虑与可得极值点的个数.最后通过取特殊值去判断函数的图像是否关于对称. 【详解】 因此，故，所以，故判断无零点判断，A错. 又， 当时，故在为减函数，所以B正确. ，因，故函数的图像不关于对称，所以C错误. 考虑及的图像（如图所示）， 它们在上有且仅有一个交点， 故在上有且仅有一个实数根，且在其左右两侧，导数的符号发生了变化，故有一个极值点，所以D错.综上，选B. 【点睛】 （1）函数的零点的个数判断有时可以根据解析式的特点去判断，大多数情况下需要零点存在定理和函数的单调性来考虑. （2）如果函数的解析式满足，那么函数的图像关于对称. 5．B 【解析】 【分析】 “有大于零的极值点”问题往往通过导函数的零点问题：f′（x）=3+ae ax=0有正根，通过讨论此方程根为正根，求得参数的取值范围． 【详解】 设f（x）=e ax+3x，则f′（x）=3+ae ax． 若函数在x∈R上有大于零的极值点． 即f′（x）=3+ae ax=0有正根． 当有f′（x）=3+ae ax=0成立时，显然有a＜0， 此时x=ln（﹣）． 由x＞0，得参数a的范围为a＜﹣3． 故选：B． 【点睛】 本题考查了导数的意义，利用导数求闭区间上函数的极值点，恒成立问题的处理方法．6．B 【解析】 【分析】 对函数求导，由y′=2x+x?2x ln2=（1+xln2）?2x=0，即可得出结论． 【详解】 y′=2x+x?2x ln2=（1+xln2）?2x=0， 即1+xln2=0，x=﹣． 函数在，﹣上单调递减，在﹣，上单调递增， ∴函数的极小值点为﹣ 故选：B． 【点睛】 本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】 利用导数的运算法则得出f′（x），分△＞0与△≤0讨论，列出表格，即可得出． 【详解】 f′（x）=3x2+2ax+b． （1）当△=4a2﹣12b＞0时，f′（x）=0有两解，不妨设为x1＜x2，列表如下 由表格可知： ①x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（﹣∞，x2）不具有单调性，故C不正确． ②∵+f（x）=+x3+ax2+bx+c=﹣ +2c， =， ∵+f（x）=， ∴点P，为对称中心，故B正确． ③由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确． ④∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?xα∈R，f（xα）=0，故A正确． （2）当△≤0时，，故f（x）在R上单调递增，①此时不存在极值点，故D正确，C不正确； ②B同（1）中②正确； ③∵x→﹣∞时，f（x）→﹣∞；x→+∞，f（x）→+∞，函数f（x）必然穿过x轴，即?x0∈R，f（x0）=0，故A正确． 综上可知：错误的结论是C． 由于该题选择错误的，故选：C． 【点睛】 熟练掌握导数的运算法则、三次函数的中心、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法． 8．C 【解析】 【分析】 先求出，再求函数的单调减区间和极小值. 【详解】 的定义域为， 当a=1时，， 由得， 由得，或，由得， ∴的单调递增区间为，；单调递减区间为； ∴极大值为；极小值为， 故答案为：C 【点睛】 (1)本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求函数的极值的一般步骤:先求定义域,再求导，再解方程 （注意和求交集），最后列表确定极值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧>0，右侧<0，那么是极大值.一般地，函数在点连续时，如果附近左侧<0，右侧>0，那么是极小值. 9．C 【解析】 【分析】 先利用导数求出函数的单调区间，函数在，上单调递增，在上单调递减，数形结合得到，即得a的取值范围. 【详解】 因为，令，所以，所以函数在，上单调递增；在上单调递减，要函数在上有最小值，所以，解得，故实数的取值范围是． 故答案为：C 【点睛】 (1)本题主要考查利用导数求函数的单调区间，意在考查学生对该知识的掌握水平和数形结合分析推理能力.(2)解答本题的关键是数形结合得到. 10．B 【解析】 【分析】 任意的、总有即是，再由函数的单调性可以得出结果。 【详解】 由题意在上递减得，由对任意的，总有 ，得，即，因此，选B. 【点睛】 本题是对二次函数的综合应用，通过单调性得出t的最小值，再通过取值范围得出t的最大值。 11．C 【解析】 【分析】 由题意，代入，求得，由，得到方程的两根，即可判定函数的单调性和函数的极小值，得到答案． 【详解】 的定义域为（）， 当时，， 由得， 由得，或，由得， ∴的单调递增区间为，；单调递减区间为； ∴极大值为；极小值为，选C. 【点睛】 本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用． 12．D 【解析】 【分析】 根据题意，求出函数的导数，令可得，再令，原问题可以转化为有两个零点，求出的导数，分析的单调性，分析可得答案． 【详解】 ，， 令，得，再令， 函数在上恰有两个极值点， 有两个零点， 又，令，得，且； 令，得，函数在上单调递增， 在上单调递减，由于， 因为与有两个交点， 根据数形结合法可得，，即，故选D. 【点睛】 本题考查导数与极值问题，考查转化与化归、函数与方程的数学思想以及运算求解能力和推理论证能力． 13．D 【解析】 【分析】 求出原函数的导函数，由导函数的图象得到，然后利用指数函数的图象平移得答案． 【详解】 由已知，f′（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，，由图象可知，对称轴，解得，则函数的图象如图，则函数的图象为D. 故选：D 【点睛】 本题考查指数式的图象平移，考查了导数的综合运用，属于中档题． 14．C 【解析】 【分析】 根据函数的解析式，可求导函数，根据导函数与单调性的关系，可以得到；分离参数，根据所得函数的特征求出的取值范围. 【详解】 因为 所以 因为在上是单调减函数 所以 即 所以 当时，恒成立 当（-时， （ （ 令，可知双刀函数，在（-上为增函数，所以 即 所以选C 【点睛】 导数问题经常会遇见恒成立的问题： （1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题； （2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立； （3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.. 15．A 【解析】 【分析】 求函数导数，令，由，从而得即的单调性，结合，即可得解. 【详解】 ，得. 设，则. 即为增函数，且. 所以当,则单调递减； 当,则单调递增， 且. 所以函数仅有一个极小值. 故选A. 【点睛】 这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者对函数求导后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。 16．C 【解析】 【分析】 对函数求导，根据函数在内有且只有一个极值点，可得，从而求出实数的范围. 【详解】 详解：， 因为函数在内有且只有一个极值点， 只有一个正数解， 所以，，又当时，，令，满足题意，所以，选C. 【点睛】 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及一元二次方程根与系数的关系，意在考查转化与划归思想、函数与方程思想的应用，属于中档题. 17．D 【解析】 【分析】 根据函数有三个极大值点，两个极小值点，判断，在极值点左右两边的符合，可得函数五个极值点，三个极大值，两个极小值，从而可得结果.【详解】 直线与曲线相切于两点， 有两个根，且， 由图象知，则 即， 则函数，没有零点， 函数有三个极大值点，两个极小值点， 则，设的三个极大值点分别为， 由图可知，在的左侧的右侧， 此时函数有三个极大值， 在的左侧，的右侧，， 此时函数有两个极小值点， 故函数有五个极值点，三个极大值，两个极小值， 故答案选D. 【点睛】 这个题目考查了导数在研究函数的极值和单调性中的应用，极值点即导函数的零点，但是必须是变号零点，即在零点两侧正负相反；极值即将极值点代入原函数取得的函数值，注意分清楚这些概念，再者求导之后如果出现二次，则极值点就是导函数的两个根，可以结合韦达定理应用解答。 18．C 【解析】 【分析】 设切点是，求出切线方程，可得，利用导数研究函数的单调性，根据单调性求出的最小值即可的结果. 【详解】 设切点是， 由是切线斜率， 切线方程为， 整理得， ， 记， 当，递减； 当，递增； 故， 即的最小值是，故选C. 【点睛】 本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与最值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程. 19．C 【解析】分析：求出导函数，利用导函数判断函数的单调性，根据数形结合，利用零点存在定理判断极值点位置，结合，利用排除法可得结果. 详解： 函数的极值点就是的根， 相当于函数和函数交点的横坐标，画出函数图象如图， 由图知函数和函数有两个交点， 因为,. 所以，可排除选项，； 由，可排除选项，故选C. 点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 20． 【解析】 【分析】 通过转化可知|x+﹣a|+a≤5且a≤5，进而解绝对值不等式可知2a﹣5≤x+≤5，进而计算可得结论． 【详解】 由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]． 【点睛】 本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 21．40 【解析】 【分析】 求出导函数，根据导函数的符号判断出函数的单调性，进而得到函数的最值情况，从而得到所求． 【详解】 由y′＝x2－39x－40＝0， 得x＝－1或x＝40， 由于0 所以当x＝40时，y有最小值． 故答案为40. 【点睛】 本题考查函数的最值的求法，解题时结合导函数得到函数的单调性，进而可得所求，属于基础题． 22． 【解析】 【分析】 推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，f（0） 极大值与极小值 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2 班级：高二（ ）班 姓名：____________ 教学目标： 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数f (x )在闭区间上所有点（包括端点a ，b ）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 教学重点： 利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 教学过程： 一、问题情境 1．问题情境．函数极值的定义是什么？ 2．探究活动．求函数f (x )的极值的步骤． 二、建构数学 1．函数的最大值和最小值． 观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的函数)(x f 的图象． 图中)(1x f ,35(),()f x f x 是极小值，24(),()f x f x 是极大值． 函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ． 一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在[]b a ,上必有最大值与最小值． 说明： （1）在开区间(,)a b 内连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值． 如函数x x f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值； （2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的； (3)函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个． 2．利用导数求函数的最值步骤： 由上面函数)(x f 的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了． 设函数)(x f 在[]b a ,上连续，在(,)a b 内可导，则求)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下： 基本概念 遗传算法是一类借鉴生物界的进化规律（适者生存，优胜劣汰遗传机制）演化而来的随机化搜索方法。它是由美国的J.Holland教授1975年首先提出，其主要特点是直接对结构对象进行操作，不存在求导和函数连续性的限定；具有内在的隐并行性和更好的全局寻优能力；采用概率化的寻优方法，能自动获取和指导优化的搜索空间，自适应地调整搜索方向，不需要确定的规则。遗传算法的这些性质，已被人们广泛地应用于组合优化、机器学习、信号处理、自适应控制和人工生命等领域。它是现代有关智能计算中的关键技术之一。 遗传算法的基本运算过程如下： 1)初始化：设置进化代数计数器t=0，设置最大进化代数T，随机生成M个个体作为初始群体P(0)。 2)个体评价：计算群体P(t)中各个个体的适应度。 3)选择运算:将选择算子作用于群体。选择的目的是把优化的个体直接遗传到下一代或通过配对交叉产生新的个体再遗传到下一代。选择操作是建立在群体中个体的适应度评估基础上的。 4)交叉运算：将交叉算子作用于群体。所谓交叉是指把两个父代个体的部分结构加以替换重组而生成新个体的操作。遗传算法中起核心作用的就是交叉算子。 5)变异运算：将变异算子作用于群体。即是对群体中的个体串的某些基因座上的基因值作变动。群体P(t)经过选择、交叉、变异运算之后得到下一代群体P(t 1)。 6)终止条件判断:若t=T,则以进化过程中所得到的具有最大适应度个体作为最优解输出，终止计算。 以上操作过程可以用图1来表示。 图1 遗传算法流程图 利用遗传算法求Rosenbrock 函数的极小值 求解该问题遗传算法的构造过程： （1）确定决策变量和约束条件； （2）建立优化模型； （3）确定编码方法 用长度为15位的二进制编码串来分别表示两个决策变量x1,x2。10位二进制编码串可以表示从0到2^15-1之间的个2^15不同的数，故将x1,x2的定义域离散化为1023个均等的区域，包括两个端点在内共有1024个不同的离散点。 从离散点-100到离散点100 ，分别对应于从000000000000000(0)到111111*********(1023)之间的二进制编码。 将x1,x2分别表示的两个15位长的二进制编码串连接在一起，组成一个30位长的二进制编码串，它就构成了这个函数优化问题的染色体编码方法。使用这种编码方法，解空间和遗传算法的搜索空间就具有一一对应的关系。 例如 x :000000000110111 000001101110001 表示一个个体的基因型，其中前10位表示x1，后10位表示x2 4）确定解码方法：解码时需要将30位长的二进制编码串切断为两个15位长的二进制编码串，然后分别将它们转换为对应的十进制整数代码，分别记为y1和y2。 依据个体编码方法和对定义域的离散化方法可知，将代码y 转换为变量x 的解码公式为 )2,1(1001 15^2200=--?=i yi xi 例如，对个体x :00000000110111 000001101110001 它由两个代码所组成 上述两个代码经过解码后，可得到两个实际的值239.722,247.891=-=x x （5） 确定个体评价方法：由于Rosenbrock 函数的值域总是非负的，并且优 化目标是求函数的最小值，故可将个体的适应度直接取为对应的目标函数值，即 选个体适应度的倒数作为目标函数 （6）设计遗传算子：选择运算使用比例选择算子，交叉运算使用单点交叉算子，变异运算使用基本位变异算子。 （7）确定遗传算法的运行参数：群体大小M=40，终止进化代数G=500，交叉???=≤≤--+-=)2,1(100100)1()(100),(212221212i x x x x x x f i 881 ,5521==y y ) ,()(21x x f x F =)(1)(x F x J = 1 《函数的最大（小）值与导数》教案 §1.3.3 函数的最大(小)值与导数（1） 【教学目标】 1．使学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件； 2．使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤． 【教学重点】利用导数求函数的最大值和最小值的方法． 【教学难点】函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系． 【教学过程】 一、复习引入： 1．极大值： 一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜f (x 0)，就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作y 极大值=f (x 0)，x 0是极大值点． 2．极小值：一般地，设函数f (x )在x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)．就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值=f (x 0)，x 0是极小值点． 3．极大值与极小值统称为极值 注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小．并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小． （ⅱ）函数的极值不是唯一的即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个． （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值，如 下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f ． （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点． 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点． 4． 判别f (x 0)是极大、极小值的方法： 若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值． 5． 求可导函数f (x )的极值的步骤： （1）确定函数的定义区间，求导数f ′(x )； （2）求方程f ′(x )=0的根； （3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f ′(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，那么f (x ) 在这个根处无极值． 二、讲解新课： 1．函数的最大值和最小值 %%%%%%%%%%%%%%% 梯度下降法求函数极小值%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 函数：f(x,y)=(x-2)^2+(y-4)^2 % 目的：求极小值和对应的极小值点坐标 % 方法：梯度下降法 % 理论： % 方向导数：偏导数反应的是函数沿坐标轴方向的变化率，但许多物理现象告诉我们，只考虑函数沿坐标轴方向的变化率是不够的，有必要研究函数沿任一指定方向的变化率。 % 函数f(x,y)在点P0(x0,y0)可微分，那么函数在改点沿任一方向l的方向导数存在，其值为： f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β)，其中，cos(α)，cos(β)是方向l % 的方向余弦。 % 梯度：是与方向导数有关联的另一个概念，梯度是一个向量，表示为：f'x(x0,y0)*i+f'y(x0,y0)*j。 % 关系： % f'x(x0,y0)*cos(α)+f'y(x0,y0)*cos(β) % =grad f(x0,y0)*el % =|grad f(x0,y0)|*cos(θ)，其中el=（cos(α)，cos(β)）是与方向l同方向的单位向量。 % 变化率：函数沿某个方向的变化率指的是函数值沿这个方向变化的快慢。 % θ=0，el与梯度同向，函数增加最快，函数在这个方向的方向导数达到最大值，这个最大值就是梯度的模；% θ=π，el与梯度反向，函数减少最快，函数在这个方向的方向导数达到最小值； % θ=π/2，el与梯度方向正交，函数变化率为零； %% clear syms x y b f=2*(x-2)^2+(y-4)^2; %求解函数的极小值点 Grad=[diff(f,x),diff(f,y)]; %求梯度 eps=1e-3; v=[x,y]; v0=[0,0]; Grad0=subs(Grad,v,v0);%求V0的梯度值 M=norm(Grad0);%梯度的模，方向导数 n=0; %% while n<=100 d=-Grad0;%寻优搜索方向 fval=subs(f,v,v0);%函数值 %% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%求出最优步长，然后确定下一刻的坐标点%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %设步长变量为b,将v0=v0+b*d带入函数，求导，令导数等于零，解出最佳步长b1,此为一维寻优。得到下一刻坐标点v0=v0+b1*d ft=subs(f,v,v0+b*d);%将步长变量带入函数 dft=diff(ft);%求导 b1=solve(dft);%得到该方向的最优步长 函数的极值与导数 作者单位：宁夏西吉中学作者姓名：蒙彦强联系电话： 一．教材分析 本节课选自高中数学人教A版选修2-2教材函数的极值与导数,就本册教材而言本节既是前面所学导数的概念、导数的几何意义、导数的计算、函数的单调性与导数等内容的延续和深化，又为下节课最值的学习奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用.就整个高中教学而言，函数是高中数学主要研究的内容之一，而导数又是研究函数的主要工具，同时导数在化学、物理中都有所涉及可见它的重要性. 二．教学目标 1. 了解极大值、极小值的概念，体会极值是函数的局部性质； 2. 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件； 3. 会用导数求函数的极值； 4. 培养学生观察、分析、探究、推理得出数学概念和规律的学习能力； 5. 感受导数在研究函数性质中的一般性和有效性，体会导数的工具作用.三．重点与难点 重点是会用导数求函数的极值． 难点是导函数的零点是函数极值点的必要不充分条件的理解. 四．学情分析 基于本班学生基础较差，思维水平参差不齐，所以备课上既要考虑到薄弱同学的理解与接受，又要考虑到其他同学视野的拓展，因此在本节课中我设置了许多的问题，来引导学生怎样学，以问答的方式来激发学生的学习兴趣，同时让更多的学生参与到教学中来．学生已经学习了函数的单调性与导数的关系，学生已经初步具备了运用导数研究函数的能力，为了进一步培养学生的这种能力，体会导数的工具作用，本节进一步研究函数的极值与导数． 五．教具教法 多媒体、展台，问题引导、归纳、类比、合作探究发现式教学 六．学法分析 借助多媒体辅助教学，通过观察函数图像分析极值的特征后，得出极值的定义；通过函数图像上极值点及两侧附近导数符号规律的探究，归纳出极值与导数的关系；通过求极值的问题归纳用导数求函数极值的方法与步骤． 七．教学过程 1．引入 让学生观察庐山连绵起伏的图片思考“山势有什么特点”并结合诗句“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，由此联想庐山的连绵起伏形成好多的“峰点”与“谷点”，这就是数学上研究的函数的极值引出课题． 【设计意图】从庐山美景出发并结合学生熟悉的诗句来激发学生学习兴趣，让学生在愉快中知道学什么． 函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。 【知识网络】 【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(x f 在点0x x =及其附近有定义， （1）若对于0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f <，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值，记作 )(0x f y =极大值； （2）若对0x 附近的所有点，都有)()(0x f x f >，则)(0x f 是函数)(x f 的一个极小值，记作 )(0x f y =极小值. 极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '； ③求方程0)(='x f 的根； ④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()y f x =在闭区间],[b a 上连续，则)(x f 在],[b a 上必有最大值和最小值；在开区间),(b a 内连 函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值 函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值.如1 ()(0)f x x x = >. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。 ②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()y f x =在闭区间],[b a 有定义，在开区间(,)a b 内有导数，则求函数()y f x =在],[b a 上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(x f 在),(b a 内的导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 在),(b a 内的根； （3）求在),(b a 内使0)(='x f 的所有点的函数值和)(x f 在闭区间端点处的函数值)(a f ，)(b f ； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()y f x =在闭区间],[b a 上的最大值，最小者为函数 ()y f x =在闭区间],[b a 上的最小值. 【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题 例1.已知函数.,33)(23R m x x mx x f ∈-+=若函数1)(-=x x f 在处取得极值，试求m 的值，并求 )(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程； 【解析】2'()363,.f x mx x m R =+-∈ 因为1)(-=x x f 在处取得极值 所以'(1)3630f m -=--= 所以3m =。 又(1)3,'(1)12f f == 所以)(x f 在点))1(,1(f M 处的切线方程312(1)y x -=- 即1290x y --=. 举一反三： 【变式1】设a 为实数，函数()22,x f x e x a x =-+∈R ． (1)求()f x 的单调区间与极值； 《函数的极大值与极小值》同步检测 一、基础过关 1．函数y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，y ＝f ′(x )的图象如图，则函数y ＝f (x )在开区间(a ，b )内取得极小值的点有________个． 2．下列关于函数的极值的说法正确的是________．(填序号) ①导数值为0的点一定是函数的极值点； ②函数的极小值一定小于它的极大值； ③函数在定义域内有一个极大值和一个极小值； ④若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内不是单调函数． 3．函数y ＝x 3－3x 2－9x (－2 ①函数y ＝f (x )在区间????－3，－1 2内单调递增； ②函数y ＝f (x )在区间????－1 2，3内单调递减； ③函数y ＝f (x )在区间(4,5)内单调递增； ④当x ＝2时，函数y ＝f (x )有极小值； ⑤当x ＝－1 2时，函数y ＝f (x )有极大值． 则上述判断正确的是________．(填序号) 二、能力提升 8．若a >0，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于________． 9．若函数y ＝x 3－3ax ＋a 在(1,2)内有极小值，则实数a 的取值范围是________． 10．求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3－12x ； (2)f (x )＝x 3－2 2(x －1)2 . 11．已知f (x )＝x 3＋12mx 2－2m 2x －4(m 为常数，且m >0)有极大值－5 2，求m 的值． 12．设a 为实数，函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋a . (1)求f (x )的极值； (2)当a 在什么范围内取值时，曲线y ＝f (x )与x 轴仅有一个交点？ 三、探究与拓展 13．已知函数f (x )＝(x 2＋ax －2a 2＋3a )e x (x ∈R )，其中a ∈R . (1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线的斜率； (2)当a ≠2 3 时，求函数f (x )的单调区间与极值． 函数的最大值和最小值教案 1.本节教材的地位与作用本节主要研究闭区间上的连续函数最大值和最小值的求法和实际应用,分两课时,这里是第一课时,它是在学生已经会求某些函数的最值,并且已 经掌握了性质:“如果f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在闭区间[a,b]上有最大值和最小值” ,以及会求可导函数的极值之后进行学习的,学好这一节,学生将会求更多的函数的 最值,运用本节知识可以解决科技、经济、社会中的一些如何使成本最低、产量最高、效益最大等实际问题.这节课集中体现了数形结合、理论联系实际等重要的数学思想方法,学好本节,对于进一步完善学生的知识结构,培养学生用数学的意识都具有极为重要的意义. 2.教学重点会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值. 3.教学难点高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础,但由于对求函数极值还不熟练,特别是对优 化解题过程依据的理解会有较大的困难,所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法. 4.教学关键本节课突破难点的关键是:理解方程f′(x)=0的解,包含有指定区间内全部可能的极值点. 【教学目标】根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用,结合学生已有的认知水平,制定本节如下的 教学目标: 1.知识和技能目标 (1)理解函数的最值与极 值的区别和联系. (2)进一步明确闭区间[a,b]上的连续函数 f(x),在[a,b]上必有最大、最小值. (3)掌握用导数法求上述 函数的最大值与最小值的方法和步骤. 2.过程和方法目标(1)了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有 最大、最小值. (2)理解闭区间上的连续函数最值存在的可能 位置:极值点处或区间端点处. (3)会求闭区间上连续,开区 间内可导的函数的最大、最小值. 3.情感和价值目标 (1) 认识事物之间的的区别和联系. (2)培养学生观察事物的能力,能够自己发现问题,分析问题并最终解决问题. (3)提高 学生的数学能力,培养学生的创新精神、实践能力和理性精神. 【教法选择】根据皮亚杰的建构主义认识论,知识是个体在 与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果,而认识则是起源于主 客体之间的相互作用. 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间 上的连续函数一定存在最大值和最小值之后,引导学生通过观察 闭区间内的连续函数的几个图象,自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置,进而探索出函数最大值、最小值求解的 方法与步骤,并优化解题过程,让学生主动地获得知识,老师只是 进行适当的引导,而不进行全部的灌输.为突出重点,突破难点, 这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学. 【学法指导】对于求函数的最值,高三学生已经具备了良好的知识基础,剩下 的问题就是有没有一种更一般的方法,能运用于更多更复杂函数 的求最值问题?教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望,使 得他们能积极主动地观察、分析、归纳,以形成认识,参与到课堂 极大值与极小值 【本课目标】 1.理解函数的极大值.极小值的概念； 2.掌握求可导函数极值的方法. 【预习导引】 1.下列四个函数，在x=0处取得极值的函数的序号有_________. （1）y=x 3 （2）y=x 2+1 （3）y=|x| （4）y=2x 2.函数y=x+x 1的极大值是________，极大值点是__________. 【典型例题】 例1.求下列函数的的极值 （1）1x 3x y 2 3-+= （2）x ln x y 2 = 例2.若函数cx bx ax y +-=2 3的图象过点A （1，4），当2=x 时，此函数有极值0， 求a .b .c 的值. 例3.已知函数2()(3361),x f x x ax x e a R =-++?∈，试确定f(x)的极值点个数. [学习反思] 如果函数)(x f y =在某个区间内有导数，就可以采用如下的方法求它的极值： （1）求导数)(x f '； （2）求方程0)(='x f 的根； （3）规范列表； （4）下结论. 江苏省泰兴中学高二数学课后作业（29） 班级: 姓名: 学号： 【A 组题】 1.函数1y x x =+，当x = 时，y 有极小值 2.函数x y x e -=?的极大值为 . 3.如果函数c x x x f +-=233)(的极小值是3，则c = ，极大值为 . 4.函数3)2a (3ax 3x )x (f 3 ++++=既有极大值又有极小值，则a 的范围是________. 5.函数322()f x x ax bx a =+++在x =1时有极值10，那么a = , b = . 6.函数2 )()(c x x x f -=在2=x 处有极大值，则常数c 的值为 . 7.（1）求函数)1()(2x x x f -=在[0,1]上的极值. 3.8函数的最大值和最小值（第1课时） 嵊州市马寅初中学袁利江 【教学目标】 根据本节教材在高中数学知识体系中的地位和作用，结合学生已有的认知水平，制定本节如下的教学目标： 1．知识和技能目标 （1）理解函数的最值与极值的区别和联系． （2）进一步明确闭区间[a，b]上的连续函数f(x)，在[a，b]上必有最大、最小值． （3）掌握用导数法求上述函数的最大值与最小值的方法和步骤． 2．过程和方法目标 （1）了解开区间内的连续函数或闭区间上的不连续函数不一定有最大、最小值． （2）理解闭区间上的连续函数最值存在的可能位置：极值点处或区间端点处． （3）会求闭区间上连续，开区间内可导的函数的最大、最小值． 3．情感和价值目标 （1）认识事物之间的的区别和联系． （2）培养学生观察事物的能力，能够自己发现问题，分析问题并最终解决问题． （3）提高学生的数学能力，培养学生的创新精神、实践能力和理性精神． 【教学重点】 会求闭区间上连续开区间上可导的函数的最值． 【教学难点】 高三年级学生虽然已经具有一定的知识基础，但由于对求函数极值还不熟练，特别是对优化解题过程依据的理解会有较大的困难，所以这节课的难点是理解确定函数最值的方法．【难点突破】 本节课突破难点的关键是：理解方程f′(x)=0的解，包含有指定区间内全部可能的极值点．【教法选择】 根据皮亚杰的建构主义认识论，知识是个体在与环境相互作用的过程中逐渐建构的结果，而认识则是起源于主客体之间的相互作用． 本节课在帮助学生回顾肯定了闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值之后，引导学生通过观察闭区间内的连续函数的几个图象，自己归纳、总结出函数最大值、最小值存在的可能位置，进而探索出函数最大值、最小值求解的方法与步骤，并优化解题过程，让学生主动地获得知识，老师只是进行适当的引导，而不进行全部的灌输．为突出重点，突破难点，这节课主要选择以合作探究式教学法组织教学． 【学法指导】 对于求函数的最值，高三学生已经具备了良好的知识基础，剩下的问题就是有没有一种更一般的方法，能运用于更多更复杂函数的求最值问题？教学设计中注意激发起学生强烈的求知欲望，使得他们能积极主动地观察、分析、归纳，以形成认识，参与到课堂活动中，充分发挥他们作为认知主体的作用． 专项训练：导数的极大值与极小值 一、单选题 1．已知函数f(x)＝x ln x－a e x(e为自然对数的底数)有两个极值点，则实数a的取值范围是( ) A．B．(0，e) C．D．(－∞，e) 2．函数y＝xe x的最小值是( ) A．－1B．－e C．－D．不存在 3．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 4．已知函数，则（） A．有个零点B．在上为减函数 C．的图象关于点对称D．有个极值点 5．设a∈R，若函数y＝e ax＋3x，x∈R有大于零的极值点，则( ) A．a>－3B．a<－3 C．a>－D．a<－ 6．当函数y＝x·2x取极小值时，x＝( ) A．B．－ C．－ln 2D．ln 2 7．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( ) A．?x0∈R，f(x0)＝0 B．函数y＝f(x)的图像是中心对称图形 C．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞，x0)单调递减 D．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0 8．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．,B．,C．,D．, 9．若函数在上有最小值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 10．已知在上递减的函数，且对任意的，总有，则实数的取值范围为（） A．B．C．D． 11．若函数，当时，函数的单调减区间和极小值分别为（） A．B．C．D． 12．若函数在上恰有两个极值点，则的取值范围为（） A．B．C．D． 13．已知是常数，函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（） A．B．C． D． 14．已知，函数，若在上是单调减函数，则的取值范围是( ) A．B．C．D． 15．设，则函数 A．仅有一个极小值B．仅有一个极大值 C．有无数个极值D．没有极值 16．若函数在内有且仅有一个极值点，则实数的取值范围是（） 《函数的单调性与极值》教案 【教学目标】： 正确理解利用导数判断函数的单调性的原理； 掌握利用导数判断函数单调性的方法； 【教学重点】：利用导数判断函数单调性； 【教学难点】：利用导数判断函数单调性 【教学过程】： 一 引入： 以前，我们用定义来判断函数的单调性.在假设x 1 例1 确定函数422+-=x x y 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数。 例2 确定函数76223+-=x x y 的单调区间。 2 极大值与极小值 观察例2的图可以看出，函数在X=0的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们说f(0)是函数的一个极大值；函数在X=2的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我们说f(0)是函数的一个极小值。 一般地，设函数y=f(x)在0x x =及其附近有定义，如果)(0x f 的值比0 x 附近所有各点的函数值都大，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极大值；如果)(0x f 的值比0x 附近所有各点的函数值都小，我们说f(0x )是函数y=f(x)的一个极小值。极大值与极小值统称极值。 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念。由定义，极值只是某个点的函数值与它 4.3.2 函数的极大值和极小值 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数 2() 4.9 6.510 h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？ 通过观察图像，我们可以发现： （1） 运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是 增函数．相应地，' ()()0v t h t =>． （2） 从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是 减函数．相应地，'()()0v t h t =<． 2．函数的单调性与导数的关系 观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系． 如图 3.3-3，导数'0()f x 表示函数()f x 在点00(,)x y 处的切线的斜率．在0x x =处， §3. 5 函数的极值与最大值最小值 授课次序22 极大值和函数在区间端点的函数值中最大者. 同理, 函数在闭区间[a , b ]上的最小值一定是函数的所有极小值和函数在区间端点的函数值中最小者. 最大值和最小值的求法: 设f (x )在(a , b )内的驻点和不可导点(它们是可能的极值点)为x 1, x 2, ? ? ? , x n , 则比较 f (a ), f (x 1), ? ? ? , f (x n ), f (b ) 的大小, 其中最大的便是函数f (x )在[a , b ]上的最大值, 最小的便是函数f (x )在[a , b ]上的最小值. 例3求函数f (x )=|x 2-3x +2|在[-3, 4]上的最大值与最小值. 解 ???∈-+-?-∈+-=)2 ,1( 23]4 ,2[]1 ,3[ 23)(22x x x x x x x f , ???∈+-?-∈-=')2 ,1( 32)4 ,2()1 ,3( 32)(x x x x x f 在(-3, 4)内, f (x )的驻点为2 3=x ; 不可导点为x =1和x =2. 由于f (-3)=20, f (1)=0,41)23(=f , f (2)=0, f (4)=6, 比较可得f (x )在x =-3处取得它在[-3, 4]上的最 大值20, 在x =1和x =2处取它在[-3, 4]上的最小值0. 例4 工厂铁路线上AB 段的距离为100km . 工厂C 距A 处为20km , AC 垂直于AB . 为了运输需要, 要在AB 线上选定一点D 向工厂修筑一条公路. 已知铁路每公里货运的运费与公路上每公里货运的运费之比3:5. 为了使货物从供应站B 运到工厂C 的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), 则 DB =100-x , 2220x CD +=2400x +=. 设从B 点到C 点需要的总运费为y , 那么 y =5k ?CD +3k ?DB (k 是某个正数), 即 24005x k y +=+3k (100-x ) (0≤x ≤100). 现在, 问题就归结为: x 在[0, 100]内取何值时目标函数y 的值最小. 先求y 对x 的导数: )34005(2 -+='x x k y . 2400x CD += 解方程y '=0, 得x =15(km). 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+ ==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当AD =x =15km 时, 总运费为最省. 例2' 工厂C 与铁路线的垂直距离AC 为20km,A 点到火车站B 的距离为100km. 欲修一条从工厂到铁路的公路CD . 已知铁路与公路每公里运费之比为3:5. 为了使火车站B 与工厂C 间的运费最省, 问D 点应选在何处？ 解 设AD =x (km), B 与C 间的运费为y , 则 y =5k ?CD +3k ?DB )100(340052x k x k -++=(0≤x ≤100), 其中k 是某一正数. 由)34005( 2 -+='x x k y =0, 得x =15. 由于y |x =0=400k , y |x =15=380k ,21005 1 1500|+==k y x , 其中以y |x =15=380k 为最小, 因此当 AD =x =15km 时, 总运费为最省. D C 20km A B 100km 《函数的最大与最小值》教案 【教学目标】： 1、使学生掌握可导函数)(x f 在闭区间[]b a ,上所有点（包括端点b a ,）处的函数中的最大（或最小）值； 2、使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法 【教学重点】：掌握用导数求函数的极值及最值的方法 【教学难点】：提高“用导数求函数的极值及最值”的应用能力 【教学过程】 一、复习： 1、() ___________/ =n x ；2、[]_____________)()(/ =±?x g x f C 3、求y=x 3—27x 的 极值。 二、新课 在某些问题中，往往关心的是函数在一个定义区间上，哪个值最大，哪个值最小 观察下面一个定义在区间[]b a ,上的函数)(x f y =的图象 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间[]b a ,上的函数 )(x f y =的最大值是______，最小值是 _______ x 在区间 []b a ,上求函数 )(x f y =的最大值与最小值 的步骤： 1、函数 )(x f y =在),(b a 内有导数．．． ；． 2、求函数 )(x f y =在),(b a 内的极值 3、将．函数)(x f y =在),(b a 内的极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个为最大值 ，最小的一个为最小值 三、例题 例1、求函数5224+-=x x y 在区间[]2,2-上的最大值与最小值。 解：先求导数，得x x y 443/-= 令/y ＝0即0443=-x x 解得1,0,1321==-=x x x 导数/y 的正负以及)2(-f ，)2(f 如下表 从上表知，当2±=x 时，函数有最大值13，当1±=x 时，函数有最小值4 在日常生活中，常常会遇到什么条件下可以使材料最省，时间最少，效率最高等问题，这往往可以归结为求函数的最大值或最小值问题。 例2 用边长为60CM 的正方形铁皮做一个无盖的水箱，先在四个角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成，问水箱底边的长取多少时，水箱容积最大，最大容积是多少？ 《3.3.2 函数的极大值和极小值》教案 教学目标： 1.理解极大值、极小值的概念； 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 3.掌握求可导函数的极值的步骤； 教学重点： 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤. 教学难点： 对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 教学过程： 一．创设情景 观察图3.3-8，我们发现，t a =时，高台跳水运动员距水面高度最大．那么，函数()h t 在此点的导数是多少呢？此点附近的图像有什么特点？相应地，导数的符号有什么变化规律？ 放大t a =附近函数()h t 的图像，如图3.3-9．可以看出()h a '；在t a =，当t a <时，函数()h t 单调递增，()0h t '>；当t a >时，函数()h t 单调递减，()0h t '<；这就说明，在t a =附近，函数值先增（t a <，()0h t '>）后减（t a >，()0h t '<）．这样，当t 在a 的附近从小到大经过a 时，()h t '先正后负，且()h t '连续变化，于是有()0h a '=． 对于一般的函数()y f x =，是否也有这样的性质呢？ 附：对极大、极小值概念的理解，可以结合图象进行说明.并且要说明函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的. 从图象观察得出，判别极大、极小值的方法.判断极值点的关键是这点两侧的导数异号 二．新课讲授 1．问题：图 3.3-1（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图3.3-1（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数' ()()9.8 6.5v t h t t ==-+的图像． 【学习目标】 1.理解极大值、极小值的概念. 2.能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值. 3.掌握求可导函数的极值的步骤 【重点与难点】 极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤 【学法提示】 讲练结合 【课前预习】 用导数法求下列函数的单调区间. (1) 2()2f x x x =-- (2)311433 y x x = -+ 1.极大值： 2.极小值： 3.极大值与极小值统称为极值 取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值。请注意以下几点： （ⅰ）极值是一个局部概念由定义，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 （ⅱ）函数的极值不是唯一的即函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，1x 是极大值点，4x 是极小值点，而)(4x f >)(1x f （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 4. 判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若0x 满足 0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的极大值点，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是极小值 5. 求可导函数f (x )的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数/()f x (2)求方程/()f x =0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列表.检查/()f x 在方程根左右的值的符号，若左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；若左负右导数运用极大值与极小值(含答案)
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