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数学建模国赛优秀论文

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h 4m Tm ( ) Tn (h) 2 , (m 1, 2) 。 其 中 用 Tm 1 (h) 来 逼 近 I 的 误 差 为 Tm 1 (h) m 4 1 O(h 2( m 1) ) 。
龙贝格算法具体实现见附录一，将 h=0,1,2,3…119,120 带入到 V (h) ，由龙
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1．问题重述
通常加油站都有若干地下储油罐，许多储油罐在使用一段时间后，罐体 的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，需要定期对罐容表重新标定。本 题要求用数学建模的方法研究以下两个问题： 问题一：对平头小椭圆型储油罐无变位和纵向倾斜 4.1°两种情况进行 研究， 并建立数学模型， 研究罐体变位对罐容表的影响， 并重新标定罐容表。 问题二：对球形封头的实际储油罐的横向偏转和纵向倾斜进行研究，并 建立出罐体变位后标定罐容表的数学模型， 根据所建立的模型确定变位参数


L1 L2
S h
V ( h) V1 (h) Vm
Vhead h Vbody h
R
rh
rபைடு நூலகம்
V0
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5．模型建立与求解
5.1 问题一：小椭圆型储油罐的罐容表标定 此部分针对小椭圆型储油罐， 分别对罐体无变化和倾斜角为 的纵向变位两 种情况进行模型建立，然后与附表中所给实验数据进行对比，以此分析模型建立 的准确性，并研究罐体变位后对罐容表的影响。 5.1.1 罐体无变位时的罐容表标定 （1）模型的建立： 小椭圆型油罐横截面如图 1 所示，以椭圆下顶点为原点建立坐标系，可得 椭圆方程
3．模型假设
1） 变位纵向倾斜时只在出油管一侧向上倾斜 2） 不计储油罐壁厚对油量统计的影响及温度对油体积的影响 3） 进/出油时无油量损失
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4．符号说明
a 0.89 b 0.6 h
小椭圆型油罐横截面长半轴 小椭圆型油罐横截面短半轴 油浮子测得的油高 纵向倾斜角 横向倾斜角 油浮子到小椭圆型油罐左壁的距离 油浮子到小椭圆型油罐右壁的距离 油高为 h 时小椭圆油罐截面面积 小椭圆型油罐油高为 h 时罐内理论剩余油量 小椭圆型油罐油高为 h 时罐内实际剩余油量 小椭圆型油罐装满油时的油量 油高为 h 时 实际储油罐球冠的理论储油量 油高为 h 时实际储油罐中间筒体的理论储油量 球冠的球径 球冠水平截面圆的半径 球冠竖直截面圆的半径 实际储油罐出油时的初始油量
（2）模型求解与验证： 为验证模型的正确性，现将计算结果与实验数据进行对比。取表中所给一系
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列 h 值，求出对应的剩余油量，即为计算值；同时，将表中列出的剩余油量数据 进行曲线拟合得到如下函数：
V1 ( x) 7.247 1010 x 4 4.706 107 x3 0.002535 x 2 2.321 x 388.1 262
倾斜卧式储油罐油量标定的实用方法
摘要
储油罐长期使用会产生变位，从而使罐容表的标定值与理论值存在误差。因 此，需要进行识别变位并对罐容表进行重新标定。 首先，对小椭圆形储油罐进行研究：利用微积分知识建立了平头罐无变位情 况下罐内油量和油位高度关系的数学模型，并在此基础上建立了纵向倾角
4.1 时罐内油量和油位高度关系的 理论模型， 利用用龙贝格积分公式求解不
2.14° =4.6°
得到α和β后，对罐容量进行重新标定。检验模型时利用相对标准偏差的思 想，构造评价函数 ，得到结果 0.0055%，误差极其微小，说明了所建模型 的正确性和可靠性。 所建模型充分利用了附表中的数据，并合理地筛选了有效数据，适于推广到 运输，化工，储藏行业。
个高度为 2.45m 的柱体，故油高为 h 时对应的剩余油料体积
V (h) L
积分得：

h 0
(2
a b
y 2 2by )dy
2 h b hb 1 hb 1 arcsin V (h) 2abL b 2 b 4 2b
F1 h F h p 无关的常数。按理查森外推法 Fm (qh) qm Fm (h) Fm 1 (h) pm 1 q
满 足 1 q pm 0(m 1, 2) 的 适 当 正 数 。 以
, m 1, 2 其中 q 为 q
1 2
取 序 列
关键词：龙贝格积分法，最小二乘法，单目标优化，误差分析
目录
1.问题重述---------------------------------------------------------2 2.问题分析---------------------------------------------------------2 3.模型假设---------------------------------------------------------2 4.符号说明---------------------------------------------------------3 5.模型建立与求解---------------------------------------------------4 5.1 小椭圆型储油罐的罐容表标定----------------------------------4 5.1.1 罐体无变位时的罐容表标定-----------------------------4 5.1.2 纵向变位倾斜角α=4.1°时的罐容表标定-----------------5 5.2 实际储油罐的罐容表标定-------------------------------------10 5.2.1 油罐内油料体积的计算--------------------------------10 5.2.2 利用最小二乘法对α、β进行估计----------------------14 5.2.3 误差分析及模型检验----------------------------------15 6.模型分析---------------------------------------------------------16 7.参考文献---------------------------------------------------------17 8.附录-------------------------------------------------------------17 8.1 附录一 龙贝格积分 matlab 程序-------------------------------17 8.2 附录二 参数估计的 C++程序---------------------------------- 18
同油位高度时储油量的数值解，进而进行罐容表的标定。 其次，对实际储油罐进行研究：将油位高度分成三种情况，在每种情况下， 对球冠、筒身的油量与油位高度的函数关系进行了分别推导。在计算球冠内油量 与油位高度的关系时采用了拆补法，边缘情况使用了近似计算。对于最终建立的 储油量和油位高度关系理论模型， 利用最小二乘法和单目标优化的的方法进行参 数估计，求得：
③ M L1 tan h M 时：如图 6 所示
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图6
如图设 h' ，则易看出 h M h ( L2 L1 ) tan 。于是，设罐内总油量为 Vm ，
'
可以直观地看出： 油罐内的剩余油量 V = Vm V " 。 同时， 可使用①中的方法利用 h' 求得空余部分体积 V " V (h' ) ，最终可得到： 罐内油料体积 V
画出 V (h) 与 V1 (h) 的曲线图如下：
图 2 无变位储油量理论值与实际值对比图
由图 2 看出，理论计算值与实际值有存在一定的偏差，并且随 h 的增高，理 论计算值与实际测量值的差值越来越大。 仔细分析其原因：由于注油管、出油管及油浮子均占有一定体积，随 h 的增 高，注油管、出油管及油浮子浸入液面下的体积也在逐渐增加，导致实际值比理 论值偏大，且差值会随 h 的增加而增加。 5.1.2 纵向变位倾斜角 4.1 时的罐容表标定 （1）模型的建立： 由 5.1.1 模型建立过程问可知，高度为 h，长短轴为 a、b 的椭圆部分面积
图4
油罐内油料体积
V ( h)
h L1 tan 0
S (h ( L1 x) tan )dx
② L2 tan h M L1 tan 时：如图 5 所示
图5
油罐内油料体积 V (h)

L1 L2
0
S (h ( L1 x) tan )dx
Vm
h' L1 tan 0
S (h ' ( L1 x ) tan )dx
（2）模型求解与验证： 由于以上体积函数形式不一，且较为复杂，若通过正常的积分求取结果会比 较繁琐。考虑问题一不要求找出具体函数关系，只需要每隔 1cm 标注一次结果， 故利用龙贝格积分 [2 ] 算法求解积分的数值解，从而对罐容量进行标定。龙贝格积 分法具体算法如下： 设用复合梯形计算积分 f x dx 的近似值， 取步长 h
a b
ba ， 并记 T1 h Tn ， n
n 1 h 则有 I T1 (h) f (a ) f (b) 2 f ( xi ) 。当 f ( x) 在 [a, b] 上充分光滑时，可证 2 i 1
用 T1 h 逼近 I 的截断误差是 I T1 (h) a1h 2 a2 h 4 ak h 2 k ，其中 ak 是与 h
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贝格算法计算得到油位高度间隔为 1cm 的罐容表标定值，列表如下：
表 1 小椭圆型储油罐罐容表
油高(mm) 储油罐油量(L) 油高(mm) 储油罐油量(L) 油高(mm) 储油罐油量(L) 0 0~1.674387 400 965.660776 800 2661.422634 10 3.531122 410 1004.953782 810 2703.552425 20 6.263648 420 1044.583921 820 2745.491028 30 9.976866 430 1084.534871 830 2787.224773 40 14.758956 440 1124.790717 840 2828.739779 50 20.694101 450 1165.335924 850 2870.021937 60 27.858068 460 1206.155298 860 2911.056886 70 36.320883 470 1247.233966 870 2951.829995 80 46.147722 480 1288.557344 880 2992.326337 90 57.399578 490 1330.111117 890 3032.530662 100 70.133778 500 1371.881217 900 3072.42737 110 84.404394 510 1413.8538 910 3112.000481 120 100.262581 520 1456.01523 920 3151.233596 130 117.756843 530 1498.352059 930 3190.109866 140 136.933273 540 1540.851013 940 3228.611946 150 157.818421 550 1583.498973 950 3266.721951 160 180.259099 560 1626.282961 960 3304.421402 170 203.999405 570 1669.190128 970 3341.691168 180 228.906603 580 1712.20774 980 3378.511401 190 254.884875 590 1755.32316 990 3414.861462 200 281.857661 600 1798.523842 1000 3450.719834 210 309.760769 610 1841.797318 1010 3486.06402 220 338.538729 620 1885.131182 1020 3520.870436 230 368.142595 630 1928.513081 1030 3555.114269 240 398.5285 640 1971.930708 1040 3588.76932 250 429.656656 650 2015.371783 1050 3621.80782 260 461.49062 660 2058.824048 1060 3654.20019 270 493.996746 670 2102.275257 1070 3685.91477 280 527.143753 680 2145.713159 1080 3716.917462 290 560.902397 690 2189.125495 1090 3747.171291 300 595.245191 700 2232.499981 1100 3776.635821 310 630.146191 710 2275.824302 1110 3805.266392 320 665.580805 720 2319.086097 1120 3833.013049 330 701.525646 730 2362.272952 1130 3859.819002 340 737.958395 740 2405.372383 1140 3885.618241 350 774.857693 750 2448.371831 1150 3910.33151 360 812.203042 760 2491.258644 1160 3933.85845 370 849.974723 770 2534.020068 1170 3956.05568 380 888.153723 780 2576.643232 1180 3973.212325 390 926.721671 790 2619.115135 1190 3992.388755 1200 4009.883017 为分析模型的准确性， 将模型求得的数据与表中所给数据在同一坐标中作出 V-h 曲线图如下：

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2021年国赛数学建模A题优秀论文

2021年国赛数学建模A题优秀论文

2021年国赛数学建模A题优秀论文本文基于FAST的工作原理，通过机理分析、坐标変换、非线性最小二乘优化等方法，建立了反射面板谟节优化模型・并利用BFGS 算法、蒙特卡洛积分算法等算法，对不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。

问题一中，首先基于固定的仰角观测目标S、圆心C和焦点P・利用旋转抛物面的中心对祢性，选取焦距作为自由度控制变量，构建在极坐标系下开口竖直向上的二维抛物线方程.得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离.进而导出三维下的旋转掀物面方程。

其次，以焦距为决策变量，将口径300米的拋物面作为积分域•将理想抛物面到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数.建立了确定理想抛物面的优化模型。

最后，使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上的零点.得到理想抛物面焦距的精确值为280.854,误差平方积分的最小偵为10.112o此时对应理想抛物面的解析式为z=Q+#)2/561.708300.841,问题二中，首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性.在原坐标系和问题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系.得到了不同方位角下理想抛物面到原点的距离。

其次.以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量:.以积分域覆盖的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距厲之差的平方和为最小化目标函数.分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过0.07%.促动器的伸缩范围在±0.6m为约束条件.建立反射面板调节优化模型。

最后，使用拉格朗日乗子法和BFGS算法进行求解.得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为5.1353X109.理想抛物线的顶点坐标为(-49.392,-36.943,-294.450).调节后反射面300米口径内的主索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件result.xlsxe问题三中，首先通过旋转变换.将反肘问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。

全国研究生数学建模竞赛获奖论文

全国研究生数学建模竞赛获奖论文

全国研究生数学建模竞赛获奖论文一、概要《全国研究生数学建模竞赛获奖论文》是对全国范围内研究生数学建模竞赛的优胜者论文的集结和展示。

该竞赛旨在鼓励研究生群体深入探究数学建模理论与实践，挖掘科研潜力，锻炼解决实际问题的能力。

本书收录的论文，均为经过激烈竞争，展现出色创新思维、建模能力和问题解决能力的佳作。

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书中还会介绍各篇论文的创新点、难点及解决策略，以展现研究生们在面对复杂问题时所展现出的科研能力和创新思维。

还将介绍全国研究生数学建模竞赛的背景、发展历程以及未来的发展方向，为读者提供一个全面的视角来理解和参与这一重要的学术活动。

1. 介绍全国研究生数学建模竞赛的背景和意义全国研究生数学建模竞赛是一项针对全国范围内研究生的重要学术竞赛活动，旨在激发研究生在数学建模领域的创新精神和研究热情。

该竞赛不仅为研究生提供了一个展示自身才华的舞台，更是推动数学建模技术发展和应用的重要途径。

其背景源于数学建模在各个领域中的广泛应用，包括工程、经济、金融、生物、医学等多个领域。

随着科技的进步和学科交叉的加深，数学建模已经成为解决复杂问题不可或缺的工具。

全国研究生数学建模竞赛的举办，对于提高研究生的综合素质，培养创新思维和解决问题的能力，推动数学建模技术的研究和发展，具有十分重要的意义。

促进学术交流与合作。

全国研究生数学建模竞赛为来自全国各地的研究生提供了一个交流和学习的平台，促进了学术上的交流与合作，推动了数学建模技术的不断进步。

SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1

SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文1

SARS传播的数学模型_数学建模全国赛论文SARS 传播的数学模型摘要本文分析了题目所提供的早期 SARS 传播模型的合理性与实用性，认为该模型可以预测疫情发展的大致趋势，但是存在一定的不足.第一，混淆了累计患病人数与累计确诊人数的概念；第二，借助其他地区数据进行预测，后期预测结果不够准确；第三，模型的参数 L、K 的设定缺乏依据，具有一定的主观性. 针对早期模型的不足，在系统分析了 SARS 的传播机理后，把 SARS 的传播过程划分为：征兆期，爆发期，高峰期和衰退期 4 个阶段.将每个阶段影响SARS传播的因素参数化，在传染病 SIR 模型的基础上，改进得到SARS 传播模型.采用离散化的方法对本模型求数值解得到：北京 SARS 疫情的预测持续时间为 106 天，预测 SARS 患者累计2514 人，与实际情况比较吻合. 应用 SARS 传播模型，对隔离时间及隔离措施强度的效果进行分析，得出结论：早发现，早隔离能有效减少累计患病人数；严格隔离能有效缩短疫情持续时间. 在建立模型的过程中发现，需要认清 SARS 传播机理，获得真实有效的数据.而题目所提供的累计确诊人数并不等于同期累计患病人数，这给模型的建立带来不小的困难. 本文分析了海外来京旅游人数受 SARS 的影响，建立时间序列半参数回归模型进行了预测，估算出 SARS 会对北京入境旅游业造成 23.22 亿元人民币损失，并预计北京海外旅游人数在 10 月以前能恢复正常. 最后给当地1/ 2报刊写了一篇短文，介绍了建立传染病数学模型的重要性. 1．问题的重述 SARS（严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎）的爆发和蔓延使我们认识到，定量地研究传染病的传播规律，为预测和控制传染病蔓延创造条件，具有很高的重要性.现需要做以下工作：（1）对题目提供的一个早期模型，评价其合理性和实用性. （2）建立自己的模型，说明优于早期模型的原因；说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够信息的模型，并指出这样做的困难；评价卫生部门采取的措施，如：提前和延后 5 天采取严格的隔离措施，估计对疫情传播的影响. （3）根据题目提供的数据建立相应的数学模型，预测 SARS 对社会经济的影响. （4）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性. 2．早期模型的分析与评价题目要求建立 SARS 的传播模型，整个工作的关键是建立真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型.如何结合可靠、足够这两个要求评价一个模型的合理性和实用性，首先需要明确：合理性定义要求模型的建立有根据，预测结果切合实际. 实用性定义要求模型能全面模拟真实情况，以量化指标指导实际. 所以合理的模型能为预防和控制提供可靠的信息；实用的模型能为预防和控制提供足...。

数学建模全国赛07年A题一等奖论文

数学建模全国赛07年A题一等奖论文

关于中国人口增长趋势的研究【摘要】本文从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色预测、动态模拟等方法进行建模预测。

首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2007至2020年的人口数目进行了预测，得出在2015年时，中国人口有13.59亿。

在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。

然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2007至2050年的人口数目进行了预测，同时还用1990至2005年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2030年时，中国人口有14.135亿。

与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。

为了对人口结构、男女比例、人口老龄化等作深入研究，本文利用动态模拟的方法建立模型三，并对数据作了如下处理：取平均消除异常值、对死亡率拟合、求出2001年市镇乡男女各年龄人口数目、城镇化水平拟合。

在此基础上，预测出人口的峰值，适婚年龄的男女数量的差值，人口老龄化程度，城镇化水平，人口抚养比以及我国“人口红利”时期。

在模型求解的过程中，还对政府部门提出了一些有针对性的建议。

此模型可以对未来人口做出细致的预测，但是需要处理的数据量较大，并且对初始数据的准确性要求较高。

接着，我们对对模型三进行了改进，考虑人为因素的作用，加入控制因子，使得所预测的结果更具有实际意义。

在灵敏度分析中，首先针对死亡率发展因子θ进行了灵敏度分析，发现人口数量对于θ的灵敏度并不高，然后对男女出生比例进行灵敏度分析得出其灵敏度系数为0.8850，最后对妇女生育率进行了灵敏度分析，发现在生育率在由低到高的变化过程中，其灵敏度在不断增大。