实对称矩阵的特征值和特征向量

实对称矩阵的特征值与特征向量的性质
性质1：实对称矩阵的特征值都是实数。
设是n阶实对称矩阵A的特征值, (a1, a2 ,, an )T
是对应的特征向量,即A 两边取共轭，得
A (1)
A (aij )nn
A,
(a , 1
a 2
,
,
an
)T
,由于A为实对称阵，故
AT
AT
A,
（1）两端取转置，得：
2 4 2
1 2
2
A E 2 2 4 ( 2)2 ( 7)
2
4 2
1 2 2,3 7.
1 (2,1,0)T ,2 (2,0,1)T为属于特征值2的线性无关的特
征向量.
3 7的特征向量为3 (1，2， 2)T .
2 2 1
2
P 1
2
3
1
0
0 1
2 , 2
1 1 0
B 4 3 0 1 2 1,3 2.
1 0 2
对1 2 1,
2 1 0 1 0 1
B
E
4
1
2 0
0 1
0 0
1 0
2 , 1 (1,2, 1)T .
0
线性无关 的特征向 量只有一个
1 2 2 例：设A 2 2 4 ，求可逆阵P，使P1AP为对角阵。
1T A 11T .
1T A2 11T2.
21T2 11T2. (2 1)1T2 0.
1T2 0.
例：设1，1，1是三阶实对称方阵A的3个特征值，
1 （1，1，1）T,2 （2，2，1）T是A的属于特征值1的特
征向量，求A的属于特征值1的特征向量。
设A的属于特征值 1的特征向量为3 （x1，x2，x3）T ,

§22 实对称矩阵22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量若矩阵满足则称为对称矩阵.本节主要讨论实对称矩阵的性质. 这类矩阵应用广泛，理论丰富、优美.一个实矩阵的特征值可能是虚数, 如但定理：实对称矩阵的特征值都是实数.证明：设实对称矩阵有则因故即为实数.22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量属于不同特征值的特征向量线性无关, 对实对称矩阵有更强的结果. 定理：实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量相互正交.证明：设与是实对称矩阵的两互异特征值(由前面定理是实数), 是相应特征向量, 即于是而故22.1 实对称矩阵的特征值与特征向量例：有特征值为分别属于的特征向量.易见与正交.22.2 实对称阵正交相似于对角阵回忆：矩阵可对角化有一组特征向量作为空间的基.故若是可对角化的实对称阵, 则存在的一组特征向量构成空间的单位正交基.事实上，定理：任何实对称阵正交相似于对角阵, 即对实对称阵存在正交阵使为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵证明：对矩阵的阶数用数学归纳法.时结论成立. 假设结论对阶矩阵成立.对阶实对称阵设且则可扩充为的一组基, 进一步正交化，得一组标准正交基,记为则为正交阵，且22.2 实对称阵正交相似于对角阵由得且由归纳假设知, 对阶实对称矩阵存在正交阵使令则为正交阵, 且22.2 实对称阵正交相似于对角阵例：设求正交阵使为对角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵解：因此的特征值是22.2 实对称阵正交相似于对角阵对可求出齐次线性方程组的一个基础解系:对可求出齐次线性方程组的一个基础解系:22.2 实对称阵正交相似于对角阵作正交化(只需对进行),22.2 实对称阵正交相似于对角阵再作单位化，得则为正交阵，且22.2 实对称阵正交相似于对角阵由前面定理知, 对任何实对称阵其中为正交阵，于是即22.2 实对称阵正交相似于对角阵注记：为到由特征向量张成的一维空间的投影矩阵.任意实对称阵可表示为秩投影矩阵的和.可类似证明：Schur定理：任意一个复方阵均酉相似于上三角阵，即对任何复方阵存在酉矩阵使为上三角阵.22.2 实对称阵正交相似于对角阵例：设是阶实对称阵，为的全部特征值，则存在实数满足对任意证明：因为实对称阵，故存在正交阵使则对任意记有令则22.2 实对称阵正交相似于对角阵例：设是实对称阵的最大特征值.求证：的对角线元素证明：因实对称，故存在正交阵使注意到其中令则22.3 实对称阵特征值和主元的关系矩阵特征值的符号与主元的符号一般无关，如特征值为 (两负)主元为 (两正)但对实对称阵而言，二者符号一致，如特征值为 (一正一负)主元为 (一正一负) 定理：实对称阵的正特征值数与正主元数相同.22.3 实对称阵特征值和主元的关系引理：设矩阵可逆，且则证明：假设则齐次线性方程组有非零解令则22.3 实对称阵特征值和主元的关系于是上式左边右边矛盾！故同理可证故22.3 实对称阵特征值和主元的关系定理的证明：由于实对称阵的主元数等于其非零特征值数，故不失一般性，可对可逆实对称阵讨论.设的正主元数为正特征值数为则其中是对角元为的下三角阵，为主元.又其中是正交阵，为特征值.22.3 实对称阵特征值和主元的关系于是22.3 实对称阵特征值和主元的关系令则可逆，且由引理知定理得证.注记：事实上，我们证明了惯性定理.22.3 实对称阵特征值和主元的关系小结：1.实对称阵的特征值都是实数.2.实对称阵属于不同特征值的特征向量相互正交.3.实对称阵正交相似于对角阵.4.实对称阵的正特征值数与正主元数相同.。

A (aij )nn A (aij )nn
实对称矩阵的性质:
1.(定理4.12)实对称矩阵的特征值都是实数.
推论 实对称矩阵的特征向量都是实向量.
2.(定理4.13)实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交.
定理4.4 矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 定理2.15 正交向量组必线性无关.
推论 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量线性无关. 3.实对称矩阵的属于ni重特征值的线性无关的特征向量恰有ni个. 4. n 阶实对称矩阵恰有n个线性无关的特征向量, 进而有n个单 位正交的特征向量. 5. 实对称矩阵必可对角化, 即 若A为实对称矩阵 , 则可逆矩阵P, 使P1 AP为对角矩阵 .
7.(定理4.14)若A为实对称矩阵 , 则正交矩阵Q, 使1.求A的所有互异的特征值 1 , 2 ,, m , 其中i的重数为ni , i 1,2,, m. 2.i , 解方程组(i E A) x 0, 求A的属于i的线性无关的特征向量 i1 , i 2 ,, ini . 3.利用Schmidt正交化方法将 i1 , i 2 , , ini 正交化, 再单位化, i 1,2, , m. 设所得的单位正交向量 组为1 , 2 , , n . 4.令Q ( 1 , 2 , , n ), 则Q为正交矩阵, 且 1 1 2 Q 1 AQ 2 m m
§4.3 实对称矩阵的特征值和特征向量 实对称矩阵: 对称的实矩阵. 共轭矩阵: 性质:
(1) A为实对称矩阵 A A AT . (2) AB A B , kB k B (k C ). (3)若A为实对称矩阵, 则 , R n , 有( A , ) ( , A ).

<定理2> 定理2> n阶矩阵 A与对角矩阵相似的充分必要
λi，矩阵 λi I − A 条件是对于每一个 条件是对于每一个 n重特征根 i
的秩是 n − ni . <推论> 推论> n阶矩阵 A与对角矩阵相似的充分必要 条件是对于每一个 λi ，其线性无关 条件是对于每一个 n重特征根 i 的特征向量个数为 ni .
§4.3 实对称矩阵的 特征值与特征向量
即矩阵 P 的列向量和对角矩阵中特征值的 位置要相互对应. 互对应. 2) 把矩阵 A 先对角化再求 Ak , 是计算矩阵的 幂的方法之一.
4
§4.3 实对称矩阵的 特征值与特征向量
向量内积 正交向量组 正交矩阵 实对称矩阵的特征值与特征向量 小结、 小结、作业、 作业、思考题
i =1
T 和 β 的内积. 的内积. 记作 (α , β ) 或 α β .
即 α T β = (α , β ) = ∑ ai bi
i =1
n
例如： 设 α = ( −1,1, 0, 2)T , β = (2, 0, −1, 3)T . 例如： 则向量 α 和 β 的内积
(4) α T α ≥ 0, 当且仅当 α = 0时，有α T α = 0. 其中 α , β , γ 为 R n中的任意向量. 中的任意向量.
3
4 6 0 例2 设 A = −3 −5 0 −3 −6 1
把特征值 λ1 = λ2 = 1 代入得齐次方程组
−3 x1 − 6 x2 = 0 ( I − A) x = 0, 即 −3 x1 + 6 x2 = 0 −3 x − 6 x = 0 1 2
= ( λ + 1)3