人教版高中数学四种命题间的相互关系教案

高中数学命题之间关系教案
教学目标：
1.了解数学命题之间的关系，包括等价命题、逆命题、逆否命题、充分必要条件等概念；
2.能够灵活运用这些概念，分析和解决问题。

教学重点：
1.等价命题之间的关系及其特点；
2.逆命题、逆否命题及其与原命题的关系；
3.充分必要条件的概念及其应用。

教学难点：
1.理解逆否命题的概念和推导方法；
2.能够有效运用不同关系来表述问题。

教学准备：
1.教师准备好相关教材和课件；
2.学生准备好笔记本和笔。

教学过程：
一、导入
1.什么是数学命题？
2.数学命题之间有哪些关系？
3.引出等价命题的概念。

二、讲解
1.等价命题的定义和性质；
2.逆命题和逆否命题的引入；
3.充分必要条件的概念和应用。

三、练习
1.练习判断命题间的关系；
2.实际问题的转换和推理。

四、归纳总结
1.总结不同命题之间的关系；
2.分析实际问题的解决方法。

五、作业布置
1.巩固课堂所学知识；
2.练习逆命题和逆否命题的推导。

教学延伸：
1.拓展数学命题的其他关系；
2.解决更复杂的问题。

教学反馈：
1.及时检查学生作业；
2.评价学生掌握情况。

教学设计说明：
本课程通过引入不同数学命题之间的关系，帮助学生理解命题的本质，提高逻辑思维能力
和问题解决能力。

同时，通过实际问题的转换和推理，激发学生对数学的兴趣和探索欲望。

河北省唐山市开滦第二中学高中数学 1.1.2 四种命题间的相互关系学案 新人教A 版选修1-1【学习目标】1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 【重点难点】四种命题的内在联系 、相互关系 【学习内容】 一、课前准备 复习1：四种命题复习2：判断命题“若0a ≥，则0x x a +-=有实根”的逆命题的真假.二、新课导学 1、自学探究：(1)分析下列四个命题之间的关系（1）若()f x 是正弦函数，则()f x 是周期函数；（2）若()f x 是周期函数，则()f x 是正弦函数； （3）若()f x 不是正弦函数，则()f x 不是周期函数；（4）若()f x 不是周期函数，则()f x 不是正弦函数. （1）（2）互为 （1）（3）互为 （1）（4）互为 （2）（3）互为 通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：(用框图形式表达)（2）四种命题的真假分析： 以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假并总结其规律性.通过上例真假性可总结如：（1） . (2） . 【当堂练习】：判断下列命题的真假.(1)命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题； （2）命题“若0ab ≠，则0a ≠且0b ≠”的否命题； （3）命题“若0a ≠且0b ≠，则0ab ≠”的逆否命题； （4）命题“若0a ≠且0b ≠，则220a b +>”的逆命题.【反思】：判断命题真假方法【例题研讨】：例1判断命题“若220x y +=，则0x y ==”是真命题还是假命题？变式：证明:若220x y +=，则0x y ==.【反思】：变式中的证明方法【当堂练习】：证明：若222430a b a b -+--≠，则1a b -≠.例2 已知函数()f x 在(,)-∞+∞上是增函数,,a b R ∈,对于命题“若0a b +≥，则()()()()f a f b f a f b +≥-+-.”(1) 写出逆命题，判断其真假，并证明你的结论. (2) 写出其逆否命题,并证明你的结论.【当堂练习】:1.求证：若一个三角形的两条边不等，这两条边所对的角也不相等.2.命题“如果22x a b ≥+，那么2x ab ≥”的逆否命题是（ ） A.如果22x a b <+，那么2x ab < B.如果2x ab ≥，那么22x a b ≥+ C.如果2x ab <，那么22x a b <+ D.如果22x a b ≥+，那么2x ab < 三、总结提升：这节课你学到了哪些知识？课后作业A.若0,0x y ≤≤，则0xy ≤B.若0,0x y >>，则0xy ≤C.若,x y至少有一个不大于0，则0xy< D.若,x y 至少有一个小于0，或等于0，则0xy ≤2. 命题“正数a 的平方根不等于0”是命题“若a不是正数，则它的平方根等于0”的（ ）. A.逆命题 B.否命题C.逆否命题D.等价命题3.）. A. B. C. D.4. 写出“若1x >，则21x >”的逆命题、否命题并判别真假。

§1．1.2 四种命题间的相互关系【学情分析】：四种命题的关系是命题这一节的核心内容，由原命题写出其他三种形式且引导学生探究四种命题相互间的内在的联系,从而引导学生探究出互为逆否命题的真假性一致.利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力．这也是反证明法证明问题的理论依据．【教学目标】：（1）知识目标：理解四种命题之间的相互关系，能由原命题写出其他三种形式；理解一个命题的真假与其他三个命题真假间的关系；初步掌握反证法的概念及反证法证题的基本步骤。

（2）过程与方法目标：让学生初步学会运用逻辑知识整理客观素材，合理进行思维的方法，初步形成运用逻辑知识准确地表述数学问题的数学意识。

（3）情感与能力目标：通过对四种命题之间关系的学习，培养学生逻辑推理能力。

【教学重点】：四种命题之间的关系；【教学难点】：利用互为逆否命题的等价性,通过“正难则反”培养自己的逆向思维能力。

【教学过程设计】””课后练习1．如果一个命题的否命题是真命题，那么这个命题的逆命题是（）A．真命题，B．假命题，C．不一定是真命题，D．不一定是假命题。

2．一个命题与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中（）A．真命题的个数一定是奇数B．真命题的个数一定是偶数C．真命题的个数可能是奇数也可能是偶数D．上述判断都不正确3．已知原命题“菱形的对角线互相垂直”，则它的逆命题、否命题、逆否命题的真假判断正确的是( )A．逆命题、否命题、逆否命题都为真B．逆命题为真，否命题、逆否命题为假C ．逆命题为假，否命题、逆否命题为真D ．逆命题、否命题为假，逆否命题为真 4．有下列四个命题：①“若1,xy =则,x y 互为倒数”的逆命题； ②“相似三角形的周长相等”的否命题③“若0b ≤，则关于若x 的方程若2220x bx b b -++=有实根”的逆否命题④“A B B =，则A B ⊇”的逆否命题 其中，真命题的个数是（ ）A ． 0B ． 1C ． 2D ．35．用反证法证明命题“a 、b ∈N *，ab 可被5整除，那么a ，b 中至少有一个能被5整除”，那么假设内容是（ ）A ．a 、b 都能被5整除B ．a 、b 都不能被5整除C ．a 不能被5整除D ．a 、b 有一个不能被5整除6．下列4个命题是真命题的是（ ）①“若022=+y x 则x 、y 均为零”的逆命题②“相似三角形的面积相等”的否命题 ③“若B A A =则B A ⊆”的逆否命题④“末位数字不是零的数可被3整除”的逆否命题A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④7、命题“若a ＞b ,则ac 2＞bc 2(a 、b ∈R )”与它的逆命题、否命题中，真命题的个数为（ ）A.3B.2C.1D.08．“在整数范围内，a ，b 是偶数，则b a +是偶数”的逆否命题是 。

§1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习目标1．掌握四种命题的内在联系；2. 能分析逆命题、否命题和逆否命题的相互关系，并能利用等价关系转化. 二、课前准备命题 表述形式 原命题 若p ,则q 逆命题 否命题 逆否命题 复习2：写出命题“若0a ≥，则20x x a +-=有实根”的逆命题，并判断真假.三、新课导学引例1、分析下列四个命题之间的关系 （1）若2320x x -+=，则2x = （2）若2x =，则2320x x -+= （3）若2320x x -+≠，则2x ≠ （4）若2x ≠，则2320x x -+≠（1）（2）互为 （3）（4）互为 （2）（4）互为 （2）（3）互为通过上例分析我们可以得出四种命题之间有如下关系：2、四种命题的真假性看引例1，探究：以“若2320x x -+=，则2x =”为原命题，它的逆命题、否命题、逆否命题，判断这些命题的真假并总结其规律性. 原命题 逆命题 否命题 逆否命题真 真 假 假（1） . （2） .练习1：判断下列命题的真假.命题“在ABC ∆中，若AB AC >，则C B ∠>∠”的逆命题；否命题;逆否命题练习2．设原命题是：当c>0时，若a>b,则ac>bc. 写出它的逆命题、否命题、逆否命题。

并分别判断它们的真假。

分析：“当c>0时”是大前提，写其它命题时应该保留。

原命题的条件是“a>b ”， 结论是“ac>bc ”。

解：逆命题：当 时，若 , 则 是 命题否命题：当 时，若 , 则 是 命题 逆否命题：当 时，若 ，则 是 命题总结：判断真假的方法：（1）直接判断；（2）互为逆否命题的两个命题等价来判断. 典型例题例1．写出下列命题的其它三种命题命题,并判断真假： （1）若41>m ，则方程012=+-x mx 无实根。

逆命题 （ ） 否命题： （ ） 逆否命题 （ ）（2）若022≠+y x ，则x 、y 全为0。

1.1.3 四种命题间的相互关系一、学习内容、要求及建议二、预习指导1．预习目标(1)了解命题的逆命题、否命题与逆否命题的意义；会分析四种命题的相互关系．(2)感悟四种命题真假性的判断方法：直接判断、利用等价性判断．2．典型例题(1)如何判断一个命题的真假?例1 判断下列语句是不是命题?若是，判断其真假，若不是，请说明理由．①x2－5x+6=0；②当x=4时，2x<0；③垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?④一个数不是合数就是质数；⑤求证：若x∈R，方程x2+x+1=0无实根．(2)如何写出四种命题，它们的真假关系如何?例2 已知命题:有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形．请判断这个命题和它的否命题的真假．例3 原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”，请写出它的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假．3．自我检测1.命题“如果x≥a2+b2,那么x≥2ab”的等价命题是()A.如果x<a2+b2,那么x<2abB.如果x≥2ab,那么x≥a2+b2C.如果x<2ab,那么x<a2+b2D.如果x≥a2+b2,那么x<2ab2.若命题p的等价命题是q,q的逆命题是r,则p与r是()A.互逆命题B.互否命题C.互逆否命题D.不确定3.在命题“若函数f(x)是偶函数,则f(x)的图象关于y轴对称”的逆命题,否命题,逆否命题中结论成立的是()A.都真B.都假C.否命题假,逆命题真D.逆否命题假4.关于命题:“设a,b为实数,若ab=0,则a,b至少有一个为0.”有下列说法: ①原命题为真命题;②逆命题为真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b不都为0”;④逆否命题为“设a,b为实数,若a,b都不为0,则ab≠0”.其中,说法不正确的个数是()A.0B.1C.2D.35.关于原命题“在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则△ABC是钝角三角形”的叙述:①原命题是假命题;②逆命题为假命题;③否命题是假命题;④逆否命题为真命题.其中,正确的个数是()A.1B.2C.3D.4三、拓展视野我们规定真命题赋值为1，假命题赋值为0，“1”或“0”均称作命题的“真值”．命题A：“在同一个直角坐标系中，曲线y = a x(a > 0)的图象与y = x的图象至多有一个交点．”那么，命题A的真值是_______．——★参考答案★——例1 【分析】可以判断真假的语句叫做命题，命题非真即假，二者必居其一．对于不含逻辑联结词的简单命题，可直接判断其真假．[答案]解:①不是命题，因为语句中含有变量x，在不给定变量的值之前，我们无法确定该语句的真假(这种含有变量的语句叫“开语句”)；②是命题，它是能作出真假判断的语句，它是一个假命题；③不是命题，因为没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断，疑问句不是命题；④是命题，假命题，因为数1既不是质数也不是合数；⑤不是命题，它是祈使句，没有作出判断．【点评】开语句、疑问句、祈使句、感叹句都不是命题．例2 【分析】我们先要把命题写成为“若p则q”的形式，然后写出命题的逆命题、否命题与逆否命题．[答案]解：等腰梯形的一组对边平行，另一组对边相等，但等腰梯形不是平行四边形，故原命题是假命题．又平行四边形的一组对边平行，另一组对边相等，即逆命题是真命题，据逆命题和否命题的等价性知，否命题是真命题．【点评】直接举反例可知原命题为假命题．而否命题的真假难判定，则通过判定其等价命题－－逆命题的真假来推得结论．原命题与逆否命题、逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假．例3 【分析】因为互为逆否命题的两个命题同真或同假，所以要判断四种命题的真假，只需判断其中两个的真假，然后利用等价性得到另两个命题的真假．[答案]解：原命题“若xy=1，则x，y互为倒数”是真命题，逆否命题：“若x，y不互为倒数，则xy≠1”，因为原命题与逆否命题是等价命题，它们同真或同假，所以逆否命题是真命题；逆命题：“若x，y互为倒数，则xy=1”，是真命题，否命题：“若xy≠1，则x，y不互为倒数”，因为逆命题与否命题是等价命题，它们同真或同假，所以否命题是真命题．因此原命题、逆命题、否命题、逆否命题都是真命题．【点评】本题是利用四种命题的关系判断四种命题的真假．自我检测1.[答案]C[解析]等价命题即为原命题的逆否命题,故选C.2.[答案]B[解析]因为p与q的条件与结论既互换又否定,且q与r的条件与结论互换,所以p与r的条件与结论是相互否定的,故p与r是互否命题.3.[答案]A[解析]因为f(x)是偶函数,与f(x)的图象关于y轴对称是等价的,故四种命题均为真命题.4.[答案]B[解析]①原命题为真命题;②逆命题为“设a,b为实数,若a,b至少有一个为0,则ab=0”,真命题;③否命题为“设a,b为实数,若ab≠0,则a,b都不为0”,故③不正确;④正确.5.[答案]C[解析]在△ABC中,若cos A=2sin B sin C,则-cos(B+C)=2sin B sin C,得cos B cos C+sin B sin C=0,得cos(B-C)=0,故B-C=90°或B-C=-90°,即B=C+90°或C=B+90°,故△ABC是钝角三角形,原命题与逆否命题为真命题.逆命题和否命题互为逆否命题,是假命题,如在钝角△ABC中,A=15°,B=15°,C=150°,cos A=cos15°=4,sin B=sin15°=4,sin C=sin150°=12,2sin B sin C=4≠cos A.三、拓展视野[答案]解：当a =1和0 <a < 1时，y = a x与y = x的图象有且仅有一个交点；而当a > 1时，若取a =2，则x =1时，y = a x= 2>1，(1，2)在直线y =x的上方；当x =2时，y = a x =2，(2，2)是两曲线的一个交点，当x = 3时，y = a x= 22< 3，(3，22)在直线y = x 的下方；当x = 4时，y = a x= 4，(4 ，4)是两曲线的另一个交点；当x> 4时，(2)x>x，两曲线再无交点．所以，当a = 2时，y = a x的图象与y =x的图象有两个交点，故命题A是假命题，其真值为0．【点评】题中当0 < a ≤1时两曲线只有一个公共点，但当a> 1且a比较接近1时，如解中的a =2，或a = 1．1等，两曲线有两个公共点．而当a较大时，如a =2，a =3等时，两曲线无公共点．判断一个命题为假，只需找出一个反例．故A是假命题．。

四种命题的相互关系教案
一、教学目标
1.能够认识四种命题的概念；
2.能够掌握四种命题的相互关系；
3.能够掌握判断命题真假的技巧。

二、教学内容
本课的内容主要讲解四种命题的相互关系，具体包括：
1.说明真命题、假命题、可能真命题和可能假命题的概念；
2.讨论四种命题的相互关系，例如：真命题的充要条件，假命题的充要条件，可能真命题和可能假命题的充分条件，以及四种命题的定义；
3.教学如何通过实例进行判断命题真假，例如：当有充分条件时，可以判断出可能真命题，当有充要条件时，可以判断出可能假命题，以及当有必要条件时，可以判断出真命题或者假命题。

三、教学方法
1.讲解法：让学生充分认识四种命题的概念，以及它们之间的关联和互斥；
2.实际操作法：通过实例题目，让学生实际动起来，判断出这些命题的真假，并且归纳掌握问题解决的技巧；
3.讨论法：让学生以小组形式讨论，分享解题技巧，帮助每个人掌握不同的方法。

四、教学步骤
1.让学生先通过讲解，了解四种命题的概念，以及它们的差别；
2.给出实际的题目，让学生实际动起来，判断出它们的真假；
3.让学生讨论，分享。

高中数学《四种命题间的相互关系》教案一、教学目标1. 了解四种命题（命题、肯定命题、否定命题、疑问命题）的定义及其相互关系。

2. 掌握使用逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

3. 能够通过推理得出含有复合命题的命题的真假。

二、教学重点1. 掌握四种命题的定义及其相互关系。

2. 掌握逆否命题、转化命题、等价命题的方法，判断命题的真假并进行推理。

三、教学难点1. 掌握含有复合命题的命题的真假推理方法。

2. 能够根据实际问题判断、转化、等价、逆否命题。

四、教学方法运用讲授、举例、实践等方法。

五、教学过程Step 1 引入新知教师将以下命题逐个呈现给学生：A：上学期数学我没有及格。

B：你不是数学系的学生。

C：你可以给我一些做题的建议吗？D：今天下雨了。

请学生分别判断这些命题的类型，并解释其判断依据。

Step 2 讲解四种命题的相互关系1. 命题：有明确意义的陈述语句，有真假之分。

2. 肯定命题：断言事件一定会发生的命题，其真假值为真。

3. 否定命题：断言事件一定不会发生的命题，其真假值为假。

4. 疑问命题：询问事件是否会发生的命题，无法判断其真假值。

5. 说明四种命题的关系：命题 +肯定命题否定命题疑问命题Step 3 运用逆否命题、转化命题、等价命题进行推理1. 逆否命题：在肯定命题的基础上，将主语和谓语都进行否定得到的命题。

例如：肯定命题“如果A成立，则B成立”的逆否命题是“如果B不成立，则A不成立”。

2. 转化命题：将两个命题的主语或谓语交换位置得到的命题，其真假值与原命题相同。

例如：命题“如果A成立，则B成立”转化为“如果B不成立，则A不成立”。

3. 等价命题：在不改变命题真假性的前提下，将一些命题组合成一个命题表示。

例如：命题“如果A成立，则B成立”和命题“如果B不成立，则A不成立”是等价命题。

Step 4 操练应用请学生以具体的实例来判断、转化、等价、逆否一些命题，提高学生的综合能力。

《四种命题间的相互关系》说课稿我说课的课题是新课标人教版选修1-1第一章第3节《四种命题间的相互关系》。

其主要内容是：研究四种命题——原命题、逆命题、否命题、逆否命题它们之间的关系，并运用四种命题的关系判断命题的真假。

新课标指出，学生是教学的主体，教师的教应本着从学生的认知规律出发，以学生活动为主线，在原有知识的基础上，建构新的知识体系。

我将尝试运用新课标的理念指导本节课的教学。

从教材分析，教学目标分析，教法学法分析，教学过程分析和教学评价这几个方面加以说明。

一、教材分析1.教材的地位与作用命题及其逆命题，否命题，逆否命题之间的关系是本章重点内容之一，也是全面分析与理解命题内涵的重要工具，在近年来的高考中时有涉及。

有时为叙述考题的工具，有时考查命题结构的变化，更多的时候是利用其等价关系（原命题与逆否命题，逆命题与否命题）判断命题真假或进行证明。

在前面的学习中，学生已经学习了原命题、逆命题、否命题、逆否命题的初步知识，掌握了简单的推理方法，并能判断一些简单命题的真假。

因为下一节是“充分、必要条件”，所以从结构上看，本节起着承上启下的作用。

从内容上来看，数学知识大多以命题的形式呈现，也是学生继续学习的必备知识，在教学中要给予足够的重视。

2.教学目标通过本节的学习，了解命题的四种形式及其关系，利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题之间的等价性解决有关问题，渗透由特殊到一般的化归数学思想。

二、教学目标分析1.教学目标（1）让学生会分析四种命题之间的关系以及真假性之间的关系，会利用命题的等价性解决问题（2）通过案例分析及类比方法进行探索研究，引导学生理解归纳本节的主要内容，培养学生归纳类比知识的能力。

2.教学重点与难点重点：分析四种命题之间的关系以及真假性之间的联系，利用命题的等价性解决问题。

难点：分析四种命题之间相互的关系并判断命题的真假。

三、教法学法分析1.教法分析教学过程是教师和学生共同参与的过程，是师生多向合作的过程，鼓励学生自主学习,充分调动学生的积极性、主动性，以学生发展为本；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。

1.1.3四种命题间的相互关系教学目标1.知识与技能初步理解原命题、逆命题、否命题、逆否命题这四种命题的概念，掌握四种命题的形式；初步理解四种命题间的相互关系并能判断命题的真假．2．过程与方法培养学生发现问题、提出问题、分析问题、有创造性地解决问题的能力；培养学生抽象概括能力和思维能力．3．情感、态度与价值观激发学生学习数学的兴趣和积极性，优化学生的思维品质，培养学生勤于思考、勇于探索的创新意识，感受探索的乐趣．教学重点：四种命题之间相互的关系．教学难点：互为逆否关系的应用及命题真假的判断．通过一个生活中的场景引出逻辑在生活中必不可少的重要地位，从而引发学生学习四种命题的兴趣，然后主要通过对概念的讲解和分析，并配以适量的课堂练习，让学生掌握四种命题的概念，会写四种命题，并掌握四种命题之间的关系以及通过逆否命题来判断命题的真假；最后运用所学命题知识解决实际生活中的问题，让学生学会用理性的逻辑推理能力思考问题，从而突破重难点．问题导思观察下面四个命题：(1)若f(x)是正弦函数，则f(x)是周期函数．(2)若f(x)是周期函数，则f(x)是正弦函数．(3)若f(x)不是正弦函数，则f(x)不是周期函数．(4)若f(x)不是周期函数，则f(x)不是正弦函数．我们发现，命题（2）（3）是互为逆否命题，命题（2）（4）互否命题，命题（3）（4）是互逆命题.一般地，四种命题的关系如下图：上面考察了四种命题之间的相互关系，它们的真假性是否也有一定的相互关系呢？[答案]以“思考”中命题（1）~（4）为例，并设命题（1）是原命题，容易判断，原命题（1）是真命题，它得逆命题（2）是假命题，它的否命题（3）也是假命题，而它的逆否命题（4）是真命题.一般地，这四种命题的真假性有且只有下面几种情况：例题[解析]例1 证明：若x2+y2=0，则x=y=0.证明：若x，y中至少有一个不为0，不妨设x≠0，则x2＞0，所以x2+y2 ＞0，也就是说x2+y2 ≠0.因此，原命题的逆否命题为真命题，从而原命题为真命题.巩固练习一、选择题1．命题“若函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则log a2＜0”的逆否命题是()A．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若log a2≥0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数D．若log a2＜0，则函数f(x)＝log a x(a＞0，a≠1)在其定义域内是增函数[解析]命题“若p，则q”的逆否命题为“若綈q，则綈p”“f(x)在其定义域内是减函数”的否定是“f(x)在其定义域内不是减函数”，不能误认为是“f(x)在其定义域内是增函数．”[答案] A2．设原命题：若a＋b≥2，则a、b中至少有一个不小于1.则原命题与其逆命题的真假情况是()A．原命题真，逆命题假B．原命题假，逆命题真C．原命题与逆命题均为真命题D．原命题与逆命题均为假命题[解析]原命题显然为真，逆命题中，假设a＝2，b＝－1，则逆命题为假命题．[答案] A3．有下列四个命题：①“若xy＝1，则x、y互为倒数”的逆命题；②“相似三角形的周长相等”的否命题；③“若b≤－1，则方程x2－2bx＋b2＋b＝0有实根”的逆否命题；④若“A∪B＝B，则A⊇B”的逆否命题．其中的真命题是()A．①②B．②③C．①③ D．③④[解析]①③是真命题，②④是假命题．[答案] C4．互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性．我们用“↔”表示同真或同假，把它叫做“连连看”．下面让我们领略“连连看”的风采：已知命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，命题p的逆命题是t，则下列同真同假的“连连看”中，正确的一组是() A．p↔r，s↔t B．p↔t，s↔rC．p↔s，r↔t D．p↔r，s↔r[解析]因为命题p的否命题是r，命题r的逆命题为s，所以命题p与s互为逆否命题，故有p↔s；又由于命题p的否命题为r，命题p的逆命题为t，故t、r也是互为逆否命题，即r↔t.[答案] C5．与命题“若a·b＝0，则a⊥b”等价的命题是()A．若a·b≠0，则a不垂直于bB．若a⊥b，则a·b＝0C．若a不垂直于b，则a·b≠0D．若a·b≠0，则a⊥b[解析]原命题与其逆否命题为等价命题．[答案] C二、填空题6．下列命题中：①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形；②正方形的四条边相等；③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形．其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为逆否命题的有________．[解析]②③互为逆命题，①③互为否命题，①②互为逆否命题．[答案]②③①③①②7．在空间中，给出下列两个命题：①若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线；②若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线．其中逆命题为真命题的是________．[解析]①的逆命题：若空间四点中任何三点都不共线，则这四点不共面，是假命题；②的逆命题：若两条直线是异面直线，则这两条直线没有公共点，是真命题．[答案]②8．小强同学参加了市数学奥林匹克竞赛，班内有三位同学对他的成绩作了如下猜测：甲：小强非第一名，也非第二名；乙：小强非第一名，而是第三名；丙：小强非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则小强得了第________名．[解析](1)假设小强得了第三名，则甲全猜对，乙也全猜对，显然与已知条件矛盾，故假设不成立；(2)假设小强得了第二名，则甲猜对了一半，乙猜对一半，也与已知条件矛盾，故假设不成立；(3)假设小强得了第一名，则甲猜对了一半，乙全猜错，丙全猜对．综上分析，可知小强得了第一名．[答案]一三、解答题9．判断下列命题的真假，写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，并判断这些命题的真假．(1)若a＞b，则ac2＞bc2；(2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形；(3)若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，b2－4ac＜0，则该二次函数的图象与x轴有公共点．解：(1)该命题为假命题．因为当c＝0时，有ac2＝bc2.逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b.(真)否命题：若a≤b，则ac2≤bc2.(真)逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b.(假)(2)该命题为真命题．逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则该四边形的对角互补．(真)否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形．(真)逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则该四边形的对角不互补．(真)(3)该命题为假命题．当b2－4ac＜0时，二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，因此二次函数的图象与x轴无公共点．逆命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有公共点，则b2－4ac＜0.(假)否命题：若在二次函数y＝ax2＋bx＋c中b2－4ac≥0，则该二次函数图象与x轴没有公共点．(假)逆否命题：若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴没有公共点，则b2－4ac≥0.(假) 10．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，a、b∈R，对命题“若a＋b≥0，则f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)”．(1)写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论．(2)写出其逆否命题，判断其真假，并证明你的结论．解：(1)逆命题是：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.它为真，可证明原命题的否命题为真来证明它．否命题为：若a＋b＜0，则f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．如果a＋b＜0，则a＜－b，b＜－a .因为f (x )是(－∞，＋∞)上的增函数，则f (a )＜f (－b )，f (b )＜f (－a )，所以f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，故原命题的否命题为真，所以逆命题为真．(2)逆否命题是：f (a )＋f (b )＜f (－a )＋f (－b )，则a ＋b ＜0.它为真，可证明原命题为真来证明它．因为a ＋b ≥0，所以a ≥－b ，b ≥－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f (a )≥f (－b )，f (b )≥f (－a )，所以f (a )＋f (b )≥f (－a )＋f (－b )，故原命题为真．所以逆否命题为真．11．已知下列三个方程：x 2＋4ax －4a ＋3＝0，x 2＋(a －1)x ＋a 2＝0，x 2＋2ax －2a ＝0，至少有一个方程有实根，求实数a 的取值范围．解：假设三个方程都无实根， 则有⎩⎪⎨⎪⎧Δ1＝4a 2＋44a －3＜0，Δ2＝a －12－4a 2＜0，Δ3＝2a 2＋8a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧－32＜a ＜12，a ＞13或a ＜－1，－2＜a ＜0.解得－32＜a ＜－1.故三个方程中至少有一个方程有实根，则a 的取值范围是a ≥－1或a ≤－32课时小结1．四种命题：首先找清命题的条件和结论，然后 (1)交换原命题的条件和结论，得到逆命题； (2)同时否定原命题的条件和结论，得到否命题；(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，得到逆否命题． 2．四种命题的真假判断原命题与它的逆否命题同真假，原命题的逆命题和否命题互为逆否命题也具有相同的真假性．所以对于一些命题的真假判断(或证明)，我们可以借助与它同真假的(具有逆否关系的)命题来判断(或证明).。